Tài liệu Đặc trưng môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-c1)

MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu và chữ cái viết tắc 2 Mở đầu 3 Chương 1: Kiến thức cơ bản 1.1.Định nghĩa và ví dụ 5 1.2.Một số tính chất của môđun nội xạ 10 Chương 2: Đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1) 2.1.Một số tính chất của môđun tựa nội xạ 15 2.2.Một số tính chất của lớp CS-môđun và (1-C1)-môđun 18 2.3.Đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1) 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 31 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu trong luận văn này chúng tôi chủ yếu dựa vào F.W Anderson and K.R Fuller [1], Ngo Sy Tung [5]. N ∩ M : Giao của tập hợp N và tập hợp M N ⊆ M : N là môđun con của môđun M N ⊆ e M: N là môđun con cốt yếu của môđun M N ⊂ ⊕ M: N là hạng tử trực tiếp của M A ⊕ B : tổng trực tiếp của môđun A và môđun B ⊕ M i : Tổng trực tiếp các môđun Mi với tập chỉ số I i∈I ∏ M i :Tích Đềcác của các môđun Mi i∈I ∑ M i :Tập hợp mà mỗi phần tử là một tổng của các tập hợp Mi , i∈I i∈I 2 MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết môđun đã được các nhà toán học rất quan tâm và đã đạt được nhiều kết quả xuất sắc. Vào năm 1977, Chatters và Hajarnavis đưa ra khái niệm CS-môđun (Extending Module). Khi các lớp CS-môđun ra đời thì lý thuyết môđun đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Đặc biệt, Đinh Văn Huỳnh, P.F Smith, R.Wisbauer, A.Harmanci, Nguyễn Việt Dũng, Ngô Sỹ Tùng,…, là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về CS-môđun. Lớp (1-C1)-môđun là mở rộng thực sự của lớp CS-môđun và hiện nay lớp CS-môđun đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1C1) đó là một vấn đề có ý nghĩa và thời sự. Đó cũng chính là lí do chúng tôi chọn đề tài “đặc trưng môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1)”. Trong đề tài này chúng tôi dựa trên cơ sở là bài báo “Some Results on quasi-continuous modules” của Ngô Sỹ Tùng, Đại Học Vinh. Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản có liên quan đến luận văn. Chương 2: Trình bày một số tính chất của môđun tựa nội xạ, lớp CS-môđun, (1-C1)-môđun và đặc trưng của môđun tựa nội xạ bởi tính chất (1-C1). Kết quả chính của chương này là: Hệ quả 2.1.3, Hệ quả 2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Bổ đề 2.2.9, Mênh đề 2.2.11, Định lí 2.3.2. Luận văn bắt đầu từ tháng 7 năm 2007, được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc 3 trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn, giúp cho tác giả tự tin hơn trong quá trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng và rèn luyện khả năng tập dượt nghiên cứu khoa học. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh. Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, Khoa Sau đại học trường Đại học sư phạm Đồng Tháp và các bạn lớp cao học khoá 13 tại Đồng Tháp, Sở Giáo dục và Đào tạo TP Cần Thơ, Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Hà Huy Giáp, đã động viên và giúp đỡ để luận văn được hoàn thành đúng kế hoạch. Cuối cùng, do khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Vinh, tháng 04 năm 2008 Tác giả 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong toàn bộ luận văn vành luôn được xét là vành kết hợp có đơn vị ký hiệu 1 và các môđun là các môđun phải unita trên một vành R nào đó. 1.1.Định nghĩa và ví dụ 1.1.1.Định nghĩa. Cho môđun M và N ⊆ M. Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M, ký hiệu N ⊆ e M, nếu N ∩ K ≠ 0 với mọi môđun con khác không K của M. Nếu N là môđun con cốt yếu của M, thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N. e e Ví dụ. Môđun M ⊆ M ; nZ ⊆ Z, ∀n ≠ 0 1.1.2.Định nghĩa. Môđun U được gọi là đều nếu bất kỳ môđun con A và B khác 0 của U thì A B ≠ 0, hay mọi môđun con khác không của U là môđun ∩ cốt yếu trong U. Ví dụ. Z-môđun Z là đều vì bất kỳ 0 ≠ A, B ⊆ Z thì A= nZ, B= mZ, với m, n ∈N* và A ∩ B= [m,n]Z ≠ 0, ([m,n] là bội số chung nhỏ nhất của m,n ) 1.1.3.Định nghĩa. Cho môđun M và N ⊆ M. Môđun N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng thực sự trong M. Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K ≠ 0 của M mà N ⊆ e K thì K=N. Ví dụ. A và B là hai môđun con của M thỏa mãn M=A ⊕ B thì môđun B là đóng trong M. 1.1.4.Định nghĩa. Cho môđun M và N ⊆ M. Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là một môđun con tối đại trong M sao cho N ⊆ e K. Hệ quả. Bao đóng của môđun luôn tồn tại. Chứng minh. Thật vậy cho H ⊆ M. Ta chứng minh luôn tồn tại bao đóng của H trong M. Đặt S={K ⊆ M/H ⊆ e K} - S khác rỗng vì H ∈ S 5 - Sắp thứ tự của S theo quan hệ ⊆ . Lấy tập con của S, sắp thứ tự tuyến tính là K1 ⊆ K2 ⊆ … ⊆ Kn ⊆ … (1) Đặt A= ∞ 1 Ki, ta thấy A là cận trên của (1). Ta chứng minh A ∈ S hay H ⊆ e A. Lấy x ∈ A và x ≠ 0 suy ra tồn tại n để x ∈ Kn, mà H ⊆ e Kn suy ra Rx ∩ H ≠ 0 suy ra H ⊆ e A suy ra A ∈ S. Vậy mỗi tập sắp thứ tự tuyến tính đều có cận trên. Theo Bổ đề Zorn suy ra S có phần tử tối đại là K. Ta chứng minh K là bao đóng của H. Do K ∈ S suy ra H ⊆ e K, nếu tồn tại B ⊆ M sao cho K ⊆ e B suy ra H ⊆ e B suy ra B ∈ S điều này mâu thuẩn với giả thiết tính tối đại của K suy ra B=K. Ví dụ. Xét Z- môđun, 2Z có bao đóng là Z 1.1.5.Định nghĩa. Cho môđun M và N,H ⊆ M. Môđun H được gọi là một phần bù giao của N trong M nếu H là môđun tối đại trong các môđun con của M thỏa mãn H ∩ N=0. 1.1.6.Định nghĩa (1) Một môđun M khác không được gọi là môđun đơn trong trường hợp nó không có những môđun con không tầm thường. (2) Cho họ (Mi)i ∈I là một tập hợp những môđun con đơn của M. Nếu M là tổng trực tiếp của tập hợp này, thì M= ⊕ Mi là một sự phân tích nửa đơn i∈I của M. Một môđun M được gọi là môđun nửa đơn trong trường hợp nó có một sự phân tích nửa đơn. 1.1.7.Định nghĩa (1) Một môđun M được gọi là không thể phân tích được trong trường hợp nó khác không và không có những hạng tử trực tiếp không tầm thường. 6 (2) Một hạng tử trực tiếp K của M được gọi là một hạng tử trực tiếp tối đại của M nếu và chỉ nếu K có một bù hạng tử trực tiếp không phân tích được N trong M. (3) Một sự phân tích M= ⊕ Mi của một môđun M như một tổng trực tiếp i∈I của những môđun con khác không (Mi)i∈I được gọi là bù hạng tử trực tiếp (bù hạng tử trực tiếp tối đại) trong trường hợp cho mọi hạng tử trực tiếp K   j∈J   của M có tập hợp con J của I với M =  ⊕ M j  ⊕ K 1.1.8.Định nghĩa. Cho hai môđun I và J. (1) Môđun I được gọi là J-nội xạ (J-injective) nếu với mỗi đơn cấu môđun g:K  → J và với mỗi đồng cấu môđun f: K  → I thì có một đồng cấu môđun f *:J  → I (f * là một mở rộng của f theo đơn cấu g) sao cho f *.g = f g K f J f* I (2) Môđun I được gọi là tựa nội xạ (quasi-injective) nếu I là I- nội xạ Ví dụ: i) Z–môđun q là Z nội xạ ii) Z–môđun Z không phải là Z nội xạ 1.1.9. Định nghĩa. Cho hai môđun P và J. (1)Môđun P được gọi là J-xạ ảnh (J- projective) nếu với mỗi toàn cấu → K và với mỗi đồng cấu h:P → K thì có một đồng cấu h*:P  g:J  → J sau cho g.h*= h 7 P h* h J g K (2) Môđun P được gọi là tựa xạ ảnh (quasi-projective) nếu P là P-xạ ảnh 1.1.10. Định nghĩa. Cho môđun M. Ta thường xét các điều kiện sau: (C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M. Nói cách khác, mọi môđun con đóng trong M là một hạng tử trực tiếp của M. (C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là một hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C3) Nếu những môđun con của A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B=0 thì A⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (1-C1) Mọi môđun con đều của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. (1) Một môđun M được gọi là CS-môđun (hay Extending) nếu M thỏa mãn điều kiện (C1). (2) Một môđun M được gọi là (1-C1)-môđun nếu M thỏa mãn điều kiện (1-C1). (3) Một môđun M được gọi là liên tục (hay continuous) nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C2). (4) Một môđun M được gọi là tựa liên tục (hay quasi-continuous) nếu M thỏa mãn các điều kiện (C1) và (C3). 8 1.1.11.Định nghĩa. Cho họ các môđun (Ai/i∈I). Khi đó tích đềcác { } ∏ A = (a i ) / a i ∈ A i , i ∈ I cùng với các phép toán cộng và phép nhân vô i∈I i hướng theo thành phần (ai)+ (bi)=(ai+bi); (ai)r =(air), là một môđun. Môđun này được gọi là tích trực tiếp của họ (Ai/i∈I). I Trường hợp Ai = A, ∀i ∈ I , ta ký hiệu ∏ A i = A . i∈I A Phép chiếu Pj : i∏ ∈I i (ai)  → Aj là một R-đồng cấu môđun, ∀j ∈ I aj 1.1.12.Định nghĩa. Môđun A được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con (Ai/i∈I) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: ∑ Ai , (1) A = i∈I A = 0; ∀j ∈ I (2) A j ∩ i∑ ≠j i 1.1.13.Định nghĩa. Một họ {Ai/i∈I} các môđun con của M được gọi là hạng ∑ Ai là tổng trực tiếp và ∑ A i là hạng tử tử trực tiếp địa phương của M nếu i∈I i∈J trực tiếp của M với mỗi tập con hữu hạn J của I. ∑ Ai là tổng trực tiếp của M thì hạng tử trực tiếp địa phương là Nếu i∈I hạng tử trực tiếp. 9 1.2.Một số tính chất của môđun nội xạ 1.2.1.Mệnh đề. Cho N là A-môđun nội xạ. Nếu B ⊆ A thì N là B-nội xạ và N là A B -nội xạ. Chứng minh. i) Ta chứng minh N là B-nội xạ. Với mọi môđun X ⊆ B ta có X ⊆ A. Mà N là A-nội xạ nên với mỗi đồng → N luôn mở rộng được thành đồng cấu h : A  cấu ϕ : X  → N sao cho α = hi . → N sao cho ψ = h.i . Khi đó ψ là một mở rộng của ϕ Chọn ψ : B  nên N là B -nội xạ i i X B A ψ ∃h ϕ N ii) Ta chứng minh N là A B -nội xạ. → N là đồng cấu bất Giả sử X B là môđun con của A B và ϕ : X B  i ' A π X kỳ. Gọi là đồng cấu tự nhiên từ A vào B và π là thu hẹp củaAπ trên X. ( π ' = π x). Ta xét biểu đồ sau: ∃θ π ' X ϕ B 10 N π A B ' Vì N là A- nội xạ nên tồn tại θ : A  → N sao cho ϕ.π = θ.i . Ta có B ⊆ A và θ(B) = θ.i(B) (do B ⊆ X = ϕπ' (B) = ϕ(0) = 0 ) Vậy B ⊆ Kerθ hay Ker π ⊆ Kerθ . Do π là toàn cấu nên có thể chọn ψ:A B  → N sao cho ψπ = θ , ∀x ∈ X thì x ∈ A ta có ψ ( x + B) = ψ[π( x )] = ψπ( x ) = θ( x ) = θ.i( x ) = ϕπ' ( x ) = ϕ( x + B) Vậy ψ là mở rộng của ϕ hay N là A B -nội xạ. 1.2.2.Mệnh đề. Môđun N là A -nội xạ khi và chỉ khi N là aR-nội xạ, ∀a ∈ A Chứng minh. (⇒) ∀a ∈A thì aR ⊆ A nên theo Mệnh đề 1.2.1,N là aR-nội xạ (⇐) Bây giờ ta giả sử N là aR-nội xạ ∀a ∈A, ta sẽ chứng minh N là A- nội xạ. → N là đồng cấu bất kỳ. Xét tập Gọi X là môđun con của A và ϕ : X  → N là mở rộng S gồm tất cả các cặp (B,ψ ), trong đó X ⊆ B ⊆ A và ψ : B  của ϕ quan hệ thứ tự trên S là quan hệ ⊆ . (X, ϕ )∈ S nên S khác rỗng, S thỏa Bổ đề Zorn. Vậy ta có thể tìm được cặp (B,ψ ) tối đại theo nghĩa X ⊆ B ⊆ A và ψ:B → N là đồng cấu mở rộng của ϕ . Ta chứng minh B cốt yếu trong A. Giả sử B không cốt yếu trong A, khi đó có môđun Y ⊆ A, Y ≠ 0 sao cho B ∩ Y=0. Khi đó X ⊆ B⊕ Y ⊆ A. Xác định đồng cấu θ : B ⊕ Y  → N như sau θ(b + y) = θ(b) + θ( y) = ψ (b) + 0 = ψ (b) . Như vậy θ là mở rộng của ψ và là mở rộng của ϕ . Do đó (B,ψ ) ⊆ (B ⊕ Y, θ) mâu thuẫn với (B,ψ ) tối đại. 11 Giả sử B ≠ A, ta xét phần tử a∈A-B. Đặt K = { r ∈ R : ar ∈ B} . Do aK = aR ∩ B nên K ≠ 0 (Vì B ⊆ e A ) → N sao cho µ ( ak ) = ψ (ak ) Ta xác định đồng cấu µ như sau: µ : aK  Do N là aR- nội xạ nên µ có thể mở rộng được thành v : aR  → N Ta xác định λ : B + aR  → N như sau λ (b + ar ) = ψ(b) + v(ar ) , λ là ánh xạ , vì giả sử có b’+ar’=b+ar ⇔ (b’-b) +(ar’-ar) = 0 Ta có λ (b’+ar’ )- λ (b+ar ) = ψ (b ' ) + v(ar ' ) − ψ (b) − v(ar ) = ψ (b’-b) +v(ar’-ar). Vì (b’-b) +a(r’-r) = 0 nên ta có a(r’-r) ∈ B . Suy ra (r’-r) ∈ K do đó v(ar’ –ar) = ψ (ar’-ar) Do đó λ (b’+ar’ )- λ (b+ar ) = ψ (b ' − b) + ψ (ar ' − ar ) =ψ (b’-b+ar’-ar) = ψ (0) = 0 . Vậy λ (b’+ar’ )=λ (b+ar ). Dễ dàng kiểm tra λ là đồng cấu và λ là mở rộng của ϕ . Vậy (B,ψ )∈(B+aR, λ ) điều này trái với (B,ψ ) tối đại. Vậy B=A và ψ : A → N là mở rộng của ϕ hay N là A-nội xạ. 1.2.3.Mệnh đề. Môđun N là ⊕ Ai - nội xạ nếu và chỉ nếu N là Ai -nội xạ, i∈I ∀i ∈ I Chứng minh. ( ⇒ ) N là ⊕ A i -nội xạ mà Ai ⊆ ⊕ A i , ∀i ∈ I nên theo Mệnh đề i∈I i∈I 1.2.1, N là Ai -nội xạ, ∀i ∈ I . ( ⇐ ) Giả sử N là Ai -nội xạ, ∀i ∈ I . A i , X ⊆ A và ϕ : X  → N là đồng cấu. Đặt A= ⊕ i∈I Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2.2, bằng Bổ đề Zorn chúng ta có thể giả sử ϕ không thể mở rộng thành đồng cấu từ X’ vào N với bất kỳ môđun X’ ⊆ A mà X’ chứa X. Khi đó X ⊆ e A. Do X ≠ A nên ∃j∈ I và a∈Aj sao cho a∉X. Vì N là Aj-nội xạ nên N là aR-nội xạ theo Mệnh đề 1.2.1 12 Lý luận tương tự Mệnh đề 1.2.2, ta có thể mở rộng ϕ thành ψ : X + aR  → N , điều này trái với sự tối đại của ϕ . Vậy N là A-nội xạ. 1.2.4.Mệnh đề [3, Proposition 1.6]. ∏ M α là A-nội xạ nếu và chỉ nếu M α là α ∈Λ A-nội xạ, ∀α ∈ Λ 1.2.5.Mệnh đề [3, Theorem 1.7]. Cho họ các môđun { M α : α ∈ Λ} những điều kiện sau là tương đương (1) (2) ⊕ M α là A-nội xạ α∈Λ ⊕ M i là A-nội xạ với mọi tập con đếm được I ⊆ A i∈I (3) M α là A-nội xạ ∀α ∈ Λ và mọi cách chọn mi∈ M α i , (i ∈ N ) với ∞ 0 α i ∈ Λ sao cho mi0 ≥ a 0 với a ∈ A, dãy tăng mi ( n ∈ N ) dừng. i≥n i =1 1.2.6.Mệnh đề [3, Corollary 1.8]. ⊕ M i là A nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là Ai∈I nội xạ, ∀i ∈ N và mọi cách chọn mi∈ M i sao cho ∞ mi0 ≥ a 0 với i =1 a ∈ A, dãy 0 tăng mi ( n ∈ N ) dừng. i≥n Cho họ R- môđun { M α : α ∈ Λ} .Ta có các điều kiện sau (A1) Mọi cách chọn α i ∈ Λ , ∀i ∈ N và mi∈ M α i , (i ∈ N ) thì dãy mi0 (n ∈ N ) dừng. i≥n (A2) Mọi cách chọn x ∈ M α (α ∈ Λ ) và mi∈ M α i , (i ∈ N ) với α i ∈ Λ , 0 ∀i ∈ N sao cho mi0 ≥ x 0 thì dãy tăng mi ( n ∈ N ) dừng. i≥n (A3) Mọi cách chọn α i ∈ Λ , ∀i ∈ N và mi∈ M α i , (i ∈ N ) ,nếu dãy mi0 là dãy tăng nó là dãy dừng. 13 Rõ ràng (A1) ⇒ (A2) ⇒ (A3) M α .Khi đó M( Λ − α ) là 1.2.7.Mệnh đề [3, Propossition 1.9]. Cho M = α⊕ ∈Λ M α -nội xạ với mọi α ∈ Λ nếu và chỉ nếu M α là M β -nội xạ với mọi α ≠ β ∈ Λ và thỏa mãn (A2) 1.2.8.Mệnh đề [3, Propossition 1.10]. Cho ⊕ M α là nội xạ nếu và chỉ nếu α ∈Λ M α là nội xạ và thỏa mãn (A1) 1.2.9.Mệnh đề. Nếu K là môđun con của M và L là phần bù giao của K, khi đó (1) L là môđun con đóng trong M (2) L⊕ K là môđun con cốt yếu của M Chứng minh. (1) Ta chứng minh L đóng trong M. Thật vậy, gọi N là môđun con của M sao cho L ⊆ e N. Nếu N ≠ L thì L ∩ K=0, L tối đại nên N ∩ K ≠ 0. Mà N ∩ K ⊆ N và L ⊆ e N nên (N ∩ K) ∩ L=N ∩ (K ∩ L) ≠ 0. Vì K ∩ L = 0 nên ta có điều vô lý. Do đó N=L hay L là môđun con đóng trong M. (2) Ta chứng minh L⊕ K ⊆ e M. Thật vậy, lấy 0 ≠ N ⊆ M, nếu N ∩ (K⊕ L)=0 thì N ∩ K=0 và N ∩ L =0. Do đó (N⊕ L) ∩ K=0 (vì nếu n+l=k thì n=k-l, hay n∈N và n∈K⊕ L và do đó n=0 và k-l =0). Lúc đó theo tính tối đại của L thì N ⊕ L =L hay N= 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0 ≠ N. Vậy N ∩ (K ⊕ L) ≠ 0 hay L⊕ K ⊆ e M. 14 CHƯƠNG 2. ĐẶC TRƯNG MÔĐUN TỰA NỘI XẠ BỞI TÍNH CHẤT (1-C1) 2.1.Một số tính chất của môđun tựa nội xạ 2.1.1.Bổ đề. Cho A và N là các môđun. Khi đó môđun N là A-nội xạ nếu và chỉ nếu ψA ⊆ N với mọi ψ ∈ Hom( E ( A), E ( N )) . Chứng minh. Vì E(N) là nội xạ nên ta chỉ cần chứng minh với mọi ψ ∈ Hom(E(A ), E( N )) . Giả sử X ⊆ A và ϕ :X → N là một đồng cấu. Từ E(N) là nội xạ ϕ được mở rộng đến ψ :E(A) → E(N). Mặt khác ψA ⊆ N suy ra ϕ được mở rộng tới một đồng cấu từ A vào N. Vì vậy N là A-nội xạ. X A ϕ ψ N E(N) Ngược lại,với mọi ψ ∈ Hom(E (A ), E ( N )) . ta giả sử X= { a ∈ A : ψ (a ) ∈ N} . Từ giả thiết, N là A-nội xạ, ψ x có thể mở rộng được tới đồng cấu v:A  → N. Ta khẳng định rằng, N ∩ ( v − ψ )A = 0 . Thật vậy, giả sử n∈N, a∈A sao cho n= ( v − ψ )(a ) . Khi đó ta có ψ (a ) = v(a ) − n ∈ N vì thế a∈X. Suy ra rằng n = v(a ) − ψ(a ) = ψ(a ) − ψ(a ) = 0 tức là N ∩ ( v − ψ )A = 0 ⇒ ( v − ψ )A = 0 vì N ⊆ e E(N). Do đó ψA = vA ⊆ N 15 X A v x ψ N E(N) 2.1.2.Hệ quả [3, Corollary 1.14]. Mọi môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu fM ⊆ M với mọi f∈End(E(M)) 2.1.3.Hệ quả. Cho A và B nội xạ lẫn nhau (A là B-nội xạ và B là A-nội xạ). Nếu E(A) ≅ E(B) thì A ≅ B. Thực tế mọi đẳng cấu từ E(A) đến E(B) thu hẹp thành đẳng cấu từ A đến B. Trong trường hợp này A và B là tựa nội xạ. Chứng minh. Giả sử g:E(A)  → E(B) là một đẳng cấu. Vì B là A-nội xạ nên theo Bổ đề 2.1.1, g(A) ⊆ B. Tương tự g -1(B) ⊆ A. Ta lại có B=(gg-1)(B)=g(g-1(B)) ⊆ g(A) ⊆ B. Vậy g(A) = B,Vì vậy g A:A  → B là một đẳng cấu, hay A ≅ B. Ta lại có A là B-nội xạ, B ≅ A nên A là A-nội xạ, có nghĩa là A là môđun tựa nội xạ. 2.1.4.Mệnh Đề [3, Proposition 1.17]. M1 ⊕ M2 là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là Mj nội xạ (i,j= 1,2). Đặc biệt, hạng tử trực tiếp của môđun tựa nội xạ là tựa nội xạ. Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 2.1.5.Mệnh đề [3, Proposition 1.18]. Cho M = ⊕ M α . Những điều kiện sau α ∈Λ là tương đương (1) M là tựa nội xạ (2) M α là tựa nội xạ và M( Λ − α ) là M α - nội xạ ∀α ∈ Λ (3) M α là M β -nội xạ ∀α , β ∈ Λ và thỏa mãn (A2) Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.2.7 và Mệnh đề 2.1.4 16 2.1.6.Hệ quả [3, Proposition 1.19]. ⊕ M i là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu Mi là i=I Mj nội xạ (i,j=1,2,3,…,n). M n là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là nội xạ. Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.1.5 17 2.2.Một số tính chất lớp CS-môđun và (1-C1)-môđun 2.2.1.Hệ quả. Cho môđun M. Nếu M là CS-môđun thì M là (1-C1)-môđun Chứng minh. Giả sử M là CS-môđun theo định nghĩa CS-môđun, mỗi môđun con của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Do vậy, mỗi môđun con đều cũng cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, từ đó dẫn đến M là (1-C1)–môđun theo Định nghĩa 1.1.10. 2.2.2.Bổ đề . Giả sử M là môđun nào đó, khi đó ta có: i) Cho A là môđun con tùy ý của M. Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M. ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M. Chứng minh. i) Giả sử M = M1 ⊕ M 2 và A đóng trong M1, ta chứng minh A đóng trong M. Thật vậy, xét phép chiếu π : M1 ⊕ M 2 → M1 Giả sử A ⊆ e B ⊆ M ta chứng minh A = B. Ta có: A ⊆ M1 suy ra A ∩ M 2 = 0 vì thế π A là đơn cấu. Do đó A = π( A ) ⊆ e π( B) ⊆ M1 . Vì A đóng trong M1 nên π( B) = A ⊆ B cho nên (1 − π ) B ⊆ B. Suy ra (1 − π ) B ∩ B = 0 mà ta có A ⊆ e B suy ra (1 − π)( B) = 0 . Hay B = π( B) ⊆ M1 . Do A đóng trong M1 nên ta có A = B. Vậy A đóng trong M. ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có M = A ⊕ B . Lấy N ⊆ M sao cho A ⊆ e N thì A ∩ B ⊆ e N ∩ B . Từ đó 0 ⊆ e N ∩ B suy ra N ∩ B = 0 Xét phép chiếu π : A ⊕ B  → A ta có Ker( π ) = B mà N ∩ B = 0 nên N ∩ ker(π) = 0 ⇒ π B là đơn cấu. Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A mà A ⊆ N⇒ A = N. Vậy A đóng trong M 2.2.3. Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của (1-C1) – môđun là (1-C1) – môđun. 18 Chứng minh. Giả sử A ⊂ ⊕ M hay M = A ⊕ B , M thoả (1-C1). Ta thấy A đóng trong M ta chứng minh A là (1-C1)–môđun. Thật vậy, lấy bất kỳ môđun T đều đóng trong A. Do A đóng trong M và sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta có T đóng trong M. Mà M là (1-C1)–môđun nên T ⊂ ⊕ M ⇒ M = T ⊕ K với K ⊆ M . Mặt khác M = A ⊕ B và T ⊆ A , suy ra tồn tại môđun C = A ∩ K ⊆ M thỏa mãn ( A ∩ K) + T = A ( A ∩ K ) ∩ T = { 0} , suy ra ⇒ A = ( A ∩ K ) ⊕ T hay A = C ⊕ T ⇒ T ⊆ ⊕ A , do đó A là (1-C1) – môđun 2.2.4.Bổ đề. Nếu M là (1-C1)–môđun, khi đó mỗi môđun con đóng của M là (1-C1)–môđun. Chứng minh. Giả sử N là môđun con đóng của M và U là môđun con đóng đều nào đó của N (Do môđun con A đóng trong môđun con B mà môđun B đóng trong môđun C thì môđun A đóng trong môđun C). Khi đó U đóng trong M. Vì M là (1-C1)–môđun nên U là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là M = U ⊕ X với X là môđun con nào đó của M. Vì U ⊆ N nên theo luật modunlar ta có N = U ⊕ ( X ∩ N ) . Như vậy U là hạng tử trực của N suy N là (1-C1)–môđun 2.2.5.Hệ quả. Nếu M là (1-C1)–môđun thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là (1-C1)–môđun Chứng minh. Gọi môđun con N là một hạng tử trực tiếp của M và U là môđun con đóng đều trong N. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.4 thì U đóng trong M. Vì M là (1-C1)–môđun nên U là môt hạng tử trực tiếp của M, khi đó ta có M=U⊕ U/ với U/ là một môđun con nào đó của M. Vì U ⊆ N nên theo luật modunlar ta có N=U⊕ (N ∩ U/). Vậy U là một hạng tử trực tiếp của N. Hay N là (1-C1) –môđun. 19 2.2.6.Mệnh đề. Giả sử M là (1-C1)–môđun và X ⊕ U là một môđun con đóng của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều. Khi đó X ⊕ U là hạng tử trực tiếp của M. Chứng minh. Vì A là hạng tử trực tiếp của M do đó M = X ⊕ M1 với M1 là môđun con của M. Gọi π : M → M1 là phép chiếu tự nhiên. Giả sử V là mở rộng cốt yếu của π( U ) trong M1, vì U ∩ X = 0 do đó π U là một đơn cấu nên ta có π( U ) ≅ U , do đó π( U ) là môđun đều. Như vậy V là một môđun con đóng đều của M1. Do M1 là hạng tử trực tiếp của M, M là (1-C1)-môđun, M1 cũng là (1-C1)-môđun. Ta thấy π −1 ( V ) ⊇ π −1 ( π( U ) ) ⊇ X ⊕ U (vì π( X ) = 0 ). Ta sẽ chứng minh π −1 ( V ) ⊆ X ⊕ U . Thật vậy, lấy x ∈ π −1 ( V ) thì π( x ) ∈ V mà x = x '+ m1 với x '∈ X, m1 ∈ M1 do vậy π( x ) = m1 ∈ V . Từ đó suy ra x = x '+ m1 ∈ X ⊕ V hay X ⊕ U ⊆ π −1 (V) ⊆ X ⊕ V (*). Ta sẽ chứng minh rằng X ⊕ U là cốt yếu trong X ⊕ V . Thật vậy, gọi Z = ( X ⊕ U ) ∩ V . Lấy x + u ∈ X ⊕ U, u ≠ 0 . Theo (*) ta có x + u ∈ X ⊕ V hay x + u = x '+ v , do đó v= x – x’ và V ≠ 0 nên suy ra Z ≠ 0 . Bởi vì V đều nên Z ⊆ e V . Từ đó ta có ( X ⊕ Z ) ⊆ e ( X ⊕ V ) . Nhưng ( X ⊕ Z) ⊆ ( X ⊕ U ) nên ( X ⊕ U ) ⊆ e ( X ⊕ V ) . Theo giả thiết X ⊕ U là đóng nên X ⊕ U = X ⊕ V . Vì M = X ⊕ M1 và V là hạng tử trực tiếp của M1 nên M = X ⊕ V ⊕ M 2 với M2 là môđun con của M1. Suy ra X ⊕ V là hạng tử trực tiếp của M nghĩa là X ⊕ U là hạng tử trực tiếp của M. 2.2.7.Mệnh đề. Giả sử M = M 1 ⊕ M 2 trong đó M1 và M2 là các (1-C1)môđun. Khi đó M là (1-C1)-môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun con đóng đều K của M là hạng tử trực tiếp của M, trong đó K ∩ M 1 = 0 hoặc K ∩ M 2 = 0 20