Tài liệu Cuc tri cua ham so (tom tat)

CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Ñònh nghóa Giaû söû haøm soá f  x  xaùc ñònh treân taäp D �� vaø x0 �D . 1) x0 ñöôïc goïi laø moät ñieåm cöïc ñaïi cuûa haøm soá f  x  neáu toàn taïi moät khoaûng  a; b  chöùa ñieåm x0 sao cho  a; b  �D vaø f  x   f  x0  , x � a; b  \  x0  . Khi ñoù f  x0  ñöôïc goïi laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa haøm soá f  x  . 2) x0 ñöôïc goïi laø moät ñieåm cöïc tieåu cuûa haøm soá f  x  neáu toàn taïi moät khoaûng  a; b  chöùa ñieåm x0 sao cho  a; b  �D vaø f  x   f  x0  , x � a; b  \  x0  . Khi ñoù, f  x0  ñöôïc goïi laø giaù trò cöïc tieåu cuûa haøm soá f  x  . Giaù trò cöïc ñaïi vaø giaù trò cöïc tieåu ñöôïc goïi chung laø cöïc trò II. Ñieàu kieän ñeå haøm soá coù cöïc trò 1) Ñieàu kieän caàn Giaû söû haøm soá f  x  ñaït cöïc trò taïi ñieåm x0 . Khi ñoù, neáu f  x  coù ñaïo haøm taïi x0 thì f '  x0   0 . 2) Ñieàu kieän ñuû Daáu hieäu 1. Giaû söû haøm soá f  x  lieân tuïc treân khoaûng  a; b  chöùa ñieåm x0 vaø coù ñaïo haøm treân caùc khoaûng  a; x0  vaø  x0 ; b  . Khi ñoù:  Neáu f '  x  ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x qua ñieåm x0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi  ñieåm x0 . Neáu f '  x  ñoåi daáu töø döông sang aâm khi x qua ñieåm x0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm x0 . Daáu hieäu 2. Giaû söû haøm soá f  x  coù ñaïo haøm treân khoaûng  a; b  chöùa ñieåm x0 , f '  x0   0 vaø f  x  coù ñaïo haøm caáp hai khaùc 0 taïi ñieåm x0 . Khi ñoù:   Neáu f ''  x0   0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm x0 . Neáu f ''  x0   0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm x0 . III. Caùc phöông phaùp tìm cöïc trò cuûa haøm soá Phöông phaùp 1.  Tìm f '  x  .  Tìm caùc ñieåm xi  i  1, 2,... maø taïi ñoù ñaïo haøm cuûa haøm soá baèng 0 hoaëc haøm soá lieân  tuïc nhöng khoâng coù ñaïo haøm. Laäp baûng xeùt daáu f '  x  . Neáu f '  x  ñoåi daáu khi x qua xi thì haøm soá ñaït cöïc trò taïi xi . Phöông phaùp 2.  Tìm f '  x  .   Giaûi phöông trình f '  x   0 tìm caùc nghieäm xi  i  1, 2,... . Tính f ''  xi  . http://kinhhoa.violet.vn Neáu f ''  xi   0 thì haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi ñieåm xi . Neáu f ''  xi   0 thì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi ñieåm xi . A. CAÙC VÍ DUÏ Ví duï 1. Vôùi giaù trò naøo cuûa tham soá m thì caùc haøm soá sau coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu 3 2 1) y  m  2  x  3 x  mx  m . 2) y  x 2  2m 2 x  m 2 x 1 1) y  m  2  x  3 x  mx  m Taäp xaùc ñònh: D  � 2 Ñaïo haøm: y '  3  m  2  x  6 x  m 3 Giaûi 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y '  0 hay g  x   3  m  2  x  6 x  m  0 coù hai nghieäm phaân bieät m  2 m  2  0  m  2    2  '  9  3m  m  2   0  3  m  1 3   m  2m  3  0 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: 3  m  1 vaø m  2 . x 2  2m 2 x  m 2 2) y  x 1 Taäp xaùc ñònh: D  �\  1 Ñaïo haøm: y '  x2  2 x  m2  x  1 2 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y '  0 hay g  x   x  2 x  m  0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc –1  '  1  m 2  0  1  m  1     1  m 1  2  m  1  g  1  1  m  0 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: 1  m  1 . Ví duï 2. Vôùi giaù trò naøo cuûa tham soá m thì caùc haøm soá sau ñaây khoâng coù cöïc trò 3 2 1) y   m  3 x  2mx  3 . 2) y  mx 2  x  m xm 1) y   m  3 x  2mx  3 Taäp xaùc ñònh: D  � 3 http://kinhhoa.violet.vn 2 Giaûi 2 Ñaïo haøm: y '  3  m  3  x  4mx y '  0  3  m  3 x 2  4mx  0 (1)  Xeùt m  3 : y ' 0 �  12 x 0 � x 0 � y ' ñoåi daáu khi x ñi qua x0  0 � Haøm soá coù cöïc trò � m 3 khoâng thoûa  Xeùt m � 3 : Haøm soá khoâng coù cöïc trò  y ' khoâng ñoåi daáu  phöông trình (1) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp m  3  0 m  3    m 0 2 m  0  '  4m  0 Vaäy giaù trò caàn tìm laø m  0 . mx 2  x  m 2) y  xm Taäp xaùc ñònh: D  �\  m Ñaïo haøm: y '  mx 2  2m 2 x  x  m 2 y '  0  g  x   mx 2  2m 2 x  0 (1)  x  m  Haøm soá khoâng coù cöïc trò  y ' khoâng ñoåi daáu  phöông trình (1) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp  Xeùt m  0 : y '  0, x   m  m  0 thoûa  Xeùt m 0 : Yeâu caàu baøi toaùn   '  m 4  0 : voâ nghieäm m 0 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  0 . x 2  mx  m . Chöùng minh vôùi moïi m haøm soá luoân luoân coù cöïc x 1 trò vaø khoaûng caùch giöõa caùc ñieåm cöïc trò laø khoâng ñoåi. Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  �\  1 Ví duï 3. Cho haøm soá y  Ñaïo haøm: y '  x2  2 x  x  1 2  x  0  y  m y' 0   x  2  y  4  m Vaäy y '  0 luoân luoân coù hai nghieäm phaân bieät m  Haøm soá luoân luoân coù cöïc trò Toïa ñoä caùc ñieåm cöïc trò A  0; m  , B  2; 4  m  Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B laø: AB   2  0 2   4  m  m   2 5 = const (ñpcm) http://kinhhoa.violet.vn 2 Ví duï 4. Cho haøm soá y  x 2  mx  1 . Ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x 2 . xm Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  �\  m Ñaïo haøm: y '  x 2  2mx  m2  1  x  m 2 Ñieàu kieän caàn Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x  2  y '  2   0 m 2  4m  3  m 2  4m  3  0  m  1  0    2  2  m  m  3  m  2  Ñieàu kieän ñuû + Vôùi m  1 : x  0 x2  2 x y' 0 2  x  1 x  2  Baûng bieán thieân x y'  + 0 0 CÑ 1 -  - 2 0  +  y   CT Töø baûng bieán thieân ta thaáy haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x  2  m  1 khoâng thoûa. + Vôùi m  3 : x  2 x2  6x  8 y' 0 2  x  3 x  4 Baûng bieán thieân x y'  + 2 0 CÑ 3 -  - 4 0 y   CT Töø baûng bieán thieân ta thaáy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x  2  m  3 thoaû yeâu caàu baøi toaùn. Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  3 . http://kinhhoa.violet.vn  +  Caùch khaùc Ta coù: 1 y  x xm Taäp xaùc ñònh: D  �\  m 1 y '  1 2  x  m y' 2  x  m 3  y '  2   0 Haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x 2    y ''  2   0 1  0  m 2  4m  3  0 2 1  2  m        m  2  2 m  2 0   2  m 3  m  1  m  3   m  3  m  2 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  3 . ax 2  bx  ab Ví duï 5. Cho haøm soá y  . Tìm caùc giaù trò cuûa a, b sao cho haøm soá ñaït cöïc trò ax  b taïi x  0 vaø x  4 . Giaûi Haøm soá xaùc ñònh khi ax  b 0 . a 2 x 2  2abx  b 2  a 2b y' 2  ax  b   Ñieàu kieän caàn Haøm soá ñaït cöïc trò taïi x  0 vaø x  4  y '  0   0   y '  4   0  b 2  a 2b 0  b2   2 2 2 16a  8ab  b2  a b  0   4a  b  b  a 2  0   8a 2  a  2   0  2  4a  a  0  Ñieàu kieän ñuû Vôùi a  2, b  4 , ta coù: http://kinhhoa.violet.vn b 2  a 2b  0  b  0  2 2 2 16a  8ab  b  a b  0  4a  b  0   a  2  b  4 y' x2  4x   x  2 2 x  0 0  x  4 Baûng bieán thieân x y'  + 0 0 CÑ 2 -  - 4 0  +  y   CT Töø baûng bieán thieân ta thaáy haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x  0 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x  4 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: a  2, b  4 . 3 2 2 Ví duï 6. Cho haøm soá y  x   2m  1 x   m  3m  2  x  4 . Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá coù hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía cuûa truïc tung. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Ñaø Naüng, 2000) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 2 Ñaïo haøm: y ' 3x  2  2m  1 x  m  3m  2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naèm veà hai phía cuûa truïc tung  y '  0 hay g  x   3 x 2  2  2m  1 x  m 2  3m  2  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 thoaû x1  0  x2  3.g  0   0  m 2  3m  2  0  1  m  2 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: 1  m  2 . 3 2 Ví duï 7. Cho haøm soá y  2 x  ax  12 x  13 (a laø tham soá). Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa a thì ñoà thò cuûa haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu, caùc ñieåm naøy caùch ñeàu truïc tung. (Trích ÑTTS vaøo Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi, 1997) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 2 Ñaïo haøm: y ' 6 x  2ax  12 2  3 x  ax  6  2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu caùch ñeàu truïc tung  y '  0 hay g  x   3x  ax  6  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 thoaû x1  x2  0   a 2  72  0, a    a 0 a  x1  x2    0 3  Vaäy giaù trò caàn tìm laø: a  0 . 1 3 1 2 Ví duï 8. Cho haøm soá y  x  x  mx . Ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu taïi 3 2 caùc ñieåm coù hoaønh ñoä x  m . http://kinhhoa.violet.vn (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Y Döôïc TPHCM, 1996) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 Ñaïo haøm: y '  x  x  m 2 Yeâu caàu baøi toaùn  y '  0 hay g  x   x  x  m  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 thoaû m  x1  x2  1     1  4m  0 m  4    1.g  m   m 2  2m  0  m  2  m  0  m   2 S  1  1 m m    2 2  2 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  2 . 3 2 2 2 Ví duï 9. Cho haøm soá y  x  3  m 1 x   3m  7m  1 x  m  1 .Ñònh m ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi moät ñieåm coù hoaønh ñoä nhoû hôn 1. Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 2 Ñaïo haøm: y '  3x  6  m  1 x   3m  7m  1 2 2 Yeâu caàu baøi toaùn  y '  0 hay g  x   3 x  6  m  1 x   3m  7 m  1  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 thoaû  x1  1  x2   x1  x2  1  1  2  1  3.g  1  0 4  3  3m 2  m  4   0    m  1 (a) 3   '  0   2   3.g  1  0 S  1  2 3m  12  0   3m 2  m  4  0 m  0  9  m  1 2  3  3m 2  7 m  1  0    3  3m 2  m  4   0  m  1  1 m  4  4   m    m  1 3  m  0 4 (b) 3 Keát hôïp (a) vaø (b) ta coù giaù trò caàn tìm laø: m  1 . m 3 2 Ví duï 10. Cho haøm soá y  x  3 x  2  C  . Haõy xaùc ñònh taát caû caùc giaù trò cuûa a ñeå ñieåm cöïc ñaïi vaø ñieåm cöïc tieåu cuûa ñoà thò (C) ôû veà hai phía khaùc nhau cuûa ñöôøng troøn (phía trong 2 2 2 vaø phía ngoaøi): x  y  2ax  4ay  5a  1  0 . (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc An Ninh, 2000) http://kinhhoa.violet.vn Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 Ñaïo haøm: y '  3 x  6 x x  0  y  2 y' 0    x  2  y  2  Ñoà thò haøm soá coù hai ñieåm cöïc trò A  0; 2  , B  2; 2  2 2 2 Ñaët  Ca  : x  y  2ax  4ay  5a  1  0 Hai ñieåm A, B ôû veà hai phía cuûa hai ñöôøng troøn  Ca   PA /  Ca  .PB /  Ca   0   5a 2  8a  3   5a 2  4a  7   0 2  5a 2  8a  3  0 (do 5a  4a  7  0, a ) 3   a 1 5 Caùch khaùc Phöông trình ñöôøng troøn  Ca  ñöôïc vieát laïi: 2 2  x  a    y  2a  1  Ca  coù taâm I  a; 2a  vaø baùn kính R 1 Ta coù: IB   a  2 2   2a  2  2  5a 2  4a  8 2 6 � 2 � 36  5� a  �  �  1 R 5� 5 5 �  Ñieåm B naèm ôû ngoaøi  Ca  Do ñoù: Ñieåm A naèm phía trong ñöôøng troøn  Ca   IA  1 3 2  a 2   2  2 a   1  5a 2  8a  3  0   a  1 . 5 1 3 1 2 Ví duï 11. Cho haøm soá y  mx   m  1 x  3  m  2  x  . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì 3 3 haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoàng thôøi hoaønh ñoä caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu x1 , x2 thoaû x1  2 x2 1 . Giaûi Taäp xaùc ñònh: D � 2 Ñaïo haøm: y ' mx  2  m  1 x  3  m  2  2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y ' 0 hay mx  2  m  1 x  3  m  2  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 �� m 0 � m 0 � � 2 2 �  '  m  1  3m  m  2   0 �  2m  4m  1  0 http://kinhhoa.violet.vn � m 0 �  � 2 6 2  6 (*) m � � 2 2 Theo ñònh lí Vi-eùt vaø theo ñeà baøi, ta coù: 2  m  1 x1  x2  (1) m 3 m  2 x1.x2  (2) m x1  2 x2 1 (3) 3m  4 2 m , x2  Töø (1) vaø (3), ta coù: x1  m m Theá vaøo (2), ta ñöôïc: � 3m  4 � � 2  m � 3  m  2  � �� � m � m �� m � 2  3m  8m  4 0 (do m 0 ) 2 � m �  3 (thoaû (*)) � � m 2 2 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m   m 2 . 3   3 2 2 Ví duï 12. Cho haøm soá y x  3  m  1 x  2 m  7m  2 x  2m  m  2  . Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua cöïc ñaïi, cöïc tieåu ñoù. (Trích ÑTTS vaøo Hoïc vieän Kó thuaät Maät maõ, naêm 1999) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D � 2 2 Ñaïo haøm: y ' 3x  6  m  1 x  2 m  7 m  2    y ' 0 � 3 x 2  6  m  1 x  2 m 2  7 m  2 0  Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu �    (1) y ' 0 coù hai nghieäm phaân bieät   �  ' 9  m  1  6 m  7 m  2  0 � 3 m 2  8m  1  0 2 2 � m  4  17 �m  4  17 Laáy y chia cho y’, ta coù: 1 2 2 y   x  m  1 . y ' m2  8m  1 x  m3  5m 2  3m  2 3 3 3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1) Ta coù: 2 2 2 3 � 1 2 �y1   x1  m  1 . y '  x1   m  8m  1 x1  m  5m  3m  2 3 3 3 � �y '  x1   0 �    � y1       2 2 2 m  8m  1 x1  m3  5m 2  3m  2 3 3   http://kinhhoa.violet.vn    Töông töï ta cuõng coù: 2 2 y2   m 2  8m  1 x2  m3  5m 2  3m  2 3 3 Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng qua hai ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu laø: 2 2 y   m 2  8m  1 x  m3  5m 2  3m  2 . 3 3         3 2 Ví duï 13. Cho haøm soá y  x  6 x  3  m  2  x  m  6 . Ñònh m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoàng thôøi hai giaù trò cöïc trò cuøng daáu. Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 2 Ñaïo haøm: y '  3 x  12 x  3  m  2  y '  0  3x 2  12 x  3  m  2   0 (1)  Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu � y '  0 coù hai nghieäm phaân bieät   '  36  9  m  2   0  2  m  0  m  2 (*) Laáy y chia cho y’, ta coù: 1 y   x  2  . y ' 2  m  2  x  m  2 3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1) Theo ñònh lí Vi-eùt, ta coù: x1  x2  4, x1 x2  m  2 Ta coù: 1   y1   x1  2  . y '  x1   2  m  2  x1  m  2 3  y1  2  m  2  x1  m  2   y '  x1   0  Töông töï ta cuõng coù: y2  2  m  2  x2  m  2 Yeâu caàu baøi toaùn  y1. y2  0  �� 2  m  2  x1  m  2�� �� 2  m  2  x2  m  2��  0 2 2  2 x1  1  2 x2  1  0   m  2   4 x1 x2  2  x1  x2   1  0 2 2   m  2   4  m  2   2.4  1  0   m  2   4m  17   0   m  2 17  m    4 m  2 So vôùi ñieàu kieän (*) ta coù giaù trò caàn tìm laø:  17  m  2. 4 3 2 2 Ví duï 14. Cho haøm soá y  x  3 x  m x  m . Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi, cöïc tieåu vaø caùc ñieåm cöïc ñaïi, 1 5 cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng y  x  . 2 2 (Trích ÑTTS vaøo Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi, 2001) Giaûi http://kinhhoa.violet.vn Taäp xaùc ñònh: D  � 2 2 Ñaïo haøm: y '  3x  6 x  m y '  0  3x 2  6 x  m 2  0 (1)  Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu � y '  0 coù hai nghieäm phaân bieät   '  9  3m 2  0   3  m  3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá vaø I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB Do x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1) neân theo ñònh lí Vi-eùt, ta coù: m2 x1  x2  2 , x1.x2  3 1 5 Hai ñieåm A, B ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng  : y  x  2 2 �AB   �� �I � Ñöôøng thaúng  vaø AB coù heä soá goùc laàn löôït laø: 1 k1  2 3 3 2 2 2 y2  y1 x2  x1  3  x2  x1   m  x2  x1  k2   x2  x1 x2  x1 2   x1  x2   x1 x2  3  x1  x2   m 2 m2  6  m2 3 2m 2  6  3  4 1  2m 2  6  AB    k1.k2  1  .    1  m 0 . 2  3  Vôùi m  0 :  x  0  y1  0 y '  3x 2  6 x  0   1  x2  2  y2  4  Ñoà thò haøm soá coù hai cöïc trò laø A  0;0  , B  2; 4   Trung ñieåm cuûa AB laø: I  1; 2  T a coù: I   Vaäy: m  0 thoaû yeâu caàu baøi toaùn. 4 2 4 Ví duï 15. Cho haøm soá y  x  2mx  2m  m . Tìm m ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu, ñoàng thôøi caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu laäp thaønh moät tam giaùc ñeàu. (Trích ÑTTS vaøo Hoïc vieän Quan heä Quoác teá, 1997) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  � 3 Ñaïo haøm: y '  4 x  4mx http://kinhhoa.violet.vn x  0 y' 0   2  x  m  * Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y '  0 coù ba nghieäm phaân bieät vaø y’ ñoåi daáu khi x qua caùc nghieäm ñoù  Phöông trình (*) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0  m  0 Khi ñoù :  x  0  y  m 4  2m y' 0   4 2  x   m  y  m  m  2m 4 Ñoà thò haøm soá coù moät ñieåm cöïc ñaïi laø A  0; m  2m  vaø hai ñieåm cöïc tieåu laø    B  m ; m 4  m 2  2m , C m ; m 4  m 2  2m  � AB  AC Caùc ñieåm A, B, C laäp thaønh moät tam giaùc ñeàu  � � AB BC 3  AB 2 BC 2  m  m 4 4m  m  m  3 0 � m  3 3 (do m  0 ) Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  3 3 . 4 2 Ví duï 16. Cho haøm soá y kx   k  1 x  1  2k . Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá k ñeå ñoà thò cuûa haøm soá chæ coù moät ñieåm cöïc trò. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán truùc Haø Noäi, 1999) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D � 3 Ñaïo haøm: y ' 4kx  2  k  1 x � x 0 y ' 0  � 2 � 2kx  k  1 0  * Haøm soá chæ coù moät cöïc trò  y ' 0 coù moät nghieäm duy nhaát vaø y’ ñoåi daáu khi x ñi qua nghieäm ñoù  Phöông trình (*) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm x 0 � k 0 � k 0 �  � � k 0 �  k 0  k 1 � k  0  k 1 � ��  '  2k  k  1 0 � Vaäy giaù trò caàn tìm laø: k 0  k 1 . 1 4 3 2 Ví duï 17. Cho haøm soá y  x  mx  . Xaùc ñònh m ñeå ñoà thò cuûa haøm soá coù cöïc tieåu 2 2 maø khoâng coù cöïc ñaïi. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Caûnh saùt, 2000) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D � 3 Ñaïo haøm: y ' 2 x  2mx � x 0 y ' 0  � 2 � x m  * http://kinhhoa.violet.vn Haøm soá coù cöïc tieåu maø khoâng coù cöïc ñaïi  y ' 0 coù moät nghieäm duy nhaát vaø y’ ñoåi daáu töø aâm sang döông khi x ñi qua nghieäm ñoù  Phöông trình (*) voâ nghieäm hoaëc coù nghieäm keùp x 0  m 0 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m 0 . x 2  mx  2 .Tìm m ñeå ñieåm cöïc tieåu cuûa ñoà thò haøm soá naèm x 1 2 treân parabol  P  : y x  x  4 . Ví duï 18. Cho haøm soá y  Giaûi m3 Ta coù: y x  m  1  x 1 D � \ 1  Taäp xaùc ñònh: Ñaïo haøm: y '  x2  2 x  m  2  x  1 2 y '  0 � g  x   x 2  2 x  m  2  0  x �1 (1) Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu � y ' 0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 1 ��  ' 1    m  2   0 � m 3  0 � � � � � m   3 (*) �m � 3 � g  1  m  3 � 0 Khi ñoù: m3 � x1  1  m  3 � y1  1  m  3  m  1   m 22 m3 �  m  3 y' 0 � � m3 � x2  1  m  3 � y2  1  m  3  m  1   m22 m3 � m3 � Baûng bieán thieân x y’ 1 x1 � + 0 y1 x2 - - � 0 + � � y � y2 � Töø baûng bieán thieân, ta thaáy: xCT  x2 1  m  3 yCT  y2 m  2  2 m  3 �  Ñieåm cöïc tieåu laø A 1  m  3; m  2  2 m  3  A �  P  � m  2  2 m  3  1 m  3  2 1  m  3  4 � m  3 1 � m  3 1 � m  2 (thoûa (*)) Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  2 . http://kinhhoa.violet.vn  Ví duï 19. Cho haøm soá y  x 2   m  1 x  m 2  4m  2 . Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá x 1 m thì haøm soá ñaõ cho coù cöïc trò. Tìm m ñeå tích caùc giaù trò cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñaït giaù trò nhoû nhaát. (Trích ÑTTS vaøo Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi, 1999) Giaûi 2 m  3m  2 Ta coù: y  x  m  x 1 Taäp xaùc ñònh: D �\  1 Ñaïo haøm: y '  x 2  2 x  m2  3m  3  x  1 2 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y ' 0 hay g  x  x  2 x  m  3m  3 0 hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc 1 �'  0 �  � g  1 0  x 1 coù �  m 2  3m  2  0  1  m  2 (*) � 2 � m  3m  2 0 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1) Khi ñoù: � x 1   m 2  3m  2  y 1  m  2  m 2  3m  2 1 y ' 0  � 1 �� x2 1   m 2  3m  2  y2 1  m  2  m 2  3m  2 Ta coù:   y1. y2  1  m  2  m 2  3m  2 1  m  2  m 2  3m  2   1  m   4   m 2  3m  2  2 5m 2  14m  9 2 7� 4 4 � 5 � m  �   5� 5 5 � 4 7  Min  y1. y2   , ñaït ñöôïc khi m  . 5 5 7 So vôùi ñieàu kieän (*) ta coù giaù trò caàn tìm laø: m  . 5 x 2   m  1 x  3m  2 Ví duï 20. Cho haøm soá y  . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì haøm soá ñaõ cho x 1 coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu ñoàng thôøi giaù trò cöïc ñaïi vaø giaù trò cöïc tieåu cuøng daáu. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Cao ñaúng Sö phaïm TPHCM, 2000) Giaûi 2m  2 Ta coù: y x  m  x 1 Taäp xaùc ñònh: D �\  1 Ñaïo haøm: y '  x 2  2 x  2m  1  x  1 http://kinhhoa.violet.vn 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y ' 0 hay g  x   x  2 x  2m  1 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc 1 �'  0 � 2m  2  0 � �  m   1 (*) � g  1 0 �  2m  2 0 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1) Khi ñoù: 2m  2 � � x1 1  2m  2  y1 1  2m  2  m   2m  2 1  m  2 2m  2 y ' 0  � 2m  2 � � x2 1  2m  2  y2 1  2m  2  m  2m  2 1  m  2 2m  2 � Hai giaù trò cöïc trò cuøng daáu  y1. y2  0    2  1  m  2 2 m  2 1  m  2 2 m  2  0   1  m   4  2m  2   0  m 2  10m  7  0  m  5  4 2  m  5  4 2 So vôùi ñieàu kieän (*) ta coù giaù trò caàn tìm laø:  1  m  5  4 2  m  5  4 2 . Caùch khaùc Taäp xaùc ñònh: D �\  1 Ñaïo haøm: y '  x 2  2 x  2m  1  x  1 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y ' 0 hay g  x   x  2 x  2m  1 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc 1 vaø y ' ñoåi daáu khi x qua hai nghieäm ñoù �'  0 �  � g  1 0 � 2m  2  0  m   1 (*) � �  2m  2 0 Hai giaù trò cöïc trò cuøng daáu  Ñoà thò cuûa haøm soá caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät  y 0 hay x 2   m  1 x  3m  2 0  x 1 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 1 ��   m  1 2  4  3m  2   0 � m 2  10m  7  0 � � � 2m  2 0 � 1   m  1  3m  2 0 �m 5 4 2  m  54 2 � � m  1 So vôùi ñieàu kieän (*) ta coù giaù trò caàn tìm laø:  1  m  5  4 2  m  5  4 2 . Ví duï 21. Xaùc ñònh p sao cho haøm soá y   x2  3x  p coù giaù trò cöïc ñaïi M vaø giaù trò cöïc x 4 tieåu m vôùi m  M 4 . Giaûi 4 p x 4 Taäp xaùc ñònh: D �\  4 Ta coù: y  x  1  Ñaïo haøm: y '   x 2  8 x  p  12  x  4 http://kinhhoa.violet.vn 2 y ' 0 � g  x   x 2  8 x  p  12 0  x �4  (1) Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu � y ' 0 coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 4 ��  ' 16   p  12   0 �4 p 0 � � � � � p  4 (*) �p� 4 � g  4  4  p � 0 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1). Khi ñoù: 4 p � � x1 4  4  p � y1  4  4  p  1   4  p  5  2 4  p y ' 0 � � � 4 p  5  2 4  p � x2 4  4  p � y2  4  4  p  1  4  p � Baûng bieán thieân    x y’ 4 x1 � -  0 x2 + � + 0 y2 � � - y y1 � � Töø baûng bieán thieân, ta thaáy: M  y2  5  2 4  p m  y1  5  2 4  p Do ñoù:   m  M 4 � 5  4  p  5  4  p  4 � 4  p  1 � p  3 (thoaû (*)) Vaäy giaù trò caàn tìm laø: p  3 . Ví duï 22. Cho haøm soá y  x 2  m 2 x  2 m 2  5m  3 . Tìm m  0 ñeå haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x x   0; 2m  . Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  �\  0 x 2  2 m 2  5m  3 Ñaïo haøm: y '  x2 Baûng bieán thieân x y’  + x1 0 CÑ y http://kinhhoa.violet.vn 0 -  - x2 0 2m +     CT 2 2 Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x   0; 2m   y '  0 hay g  x  x  2m  5m  3 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2  x1  x2  thoaû: x1  0  x2  2m m  0   1.g  0   0  1.g  2m   0  m  0  3   m  1  m  2  1  m  3  m  2 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  0     2 m 2  5m  3  0  2 m 2  5m  3  0  1 2  m 1  m  3  2 1 3  m  1 m  . 2 2 Ví duï 23. 1) Cho haøm soá y  ta coù: u  x . Chöùng minh raèng neáu y '  x0   0 vaø v '  x0   0 thì v  x u '  x0  u  x0   . v '  x0  v  x0  2) Chöùng toû raèng neáu haøm soá: y  x2 thì ta coù : 2 x 2  3x  m  2 ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2 y  x1   y  x2   4 x1  x2 Giaûi 1) Ta coù: u ' x v  x  u  x v ' x y' 2 v  x   Do ñoù: y '  x0   0  u '  x0  v  x0   u  x0  v '  x0   0  u '  x0  v  x0   u  x0  v '  x0   u '  x0  u  x0   (ñpcm) v '  x0  v  x0  2) Theo keát quaû ôû caâu 1) neân ta coù: y  x1   4 x1  3 , y  x2   4 x2  3  y  x1   y  x2   4 x1  x2 (ñpcm) Ví duï 24. Cho haøm soá y  http://kinhhoa.violet.vn x 2  2mx  2 . x 1 Tìm giaù trò cuûa m ñeå ñoà thò haøm soá coù ñieåm cöïc ñaïi, ñieåm cöïc tieåu vaø khoaûng caùch töø hai ñieåm ñoù ñeán ñöôøng thaúng x  y  2  0 baèng nhau. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Haø Noäi, 2001) Giaûi Taäp xaùc ñònh: D  �\  1 Ñaïo haøm: y '  x 2  2 x  2m  2  x  1 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y '  0 hay g  x   x  2 x  2m  2  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc -1  '  0 3  2m  0 3   m 2  g  1  0  2m  3  0 (*) Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1). Theo ñònh lí Vi-eùt, ta coù: x1  x2  2, x1.x2  2m Maët khaùc: y1  2 x1  2m , y2  2 x2  2m Ñaët  : x  y  2  0 Yeâu caàu baøi toaùn  d  A,    d  B,    x1  y1  2  x2  y2  2 2 2 2 2  3 x1  2m  2  3 x2  2m  2   3 x1  2m  2    3 x2  2m  2  2 2   3 x1  2m  2    3 x2  2m  2  0   x1  x2  3  x1  x2   4m  4   0  3  x1  x2   4m  4 0 m 1 2  x1  x2   3  2   4m  4  0 (thoaû (*)) Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m  1 . 2 x 2   m  2  x  3m  2 Ví duï 25. Cho haøm soá y  . x 1 1) Tìm ñeå haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu. 2 2 2) Giaû söû y coù giaù trò cöïc ñaïi, cöïc tieåu laø yCÑ , yCT . Chöùng minh: yCÑ  yCT  1 . 2 Giaûi 1) Taäp xaùc ñònh: D  �\  1 Ñaïo haøm: y '  x 2  2 x  2m  x  1 2 2 Haøm soá coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu  y '  0 hay g  x   x  2 x  2m  0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 , x2 khaùc -1  '  0  2m  1  0 1   m 2  g  1  0  2 m  1  0 http://kinhhoa.violet.vn 1 Vaäy giaù trò caàn tìm laø: m   . 2 2) Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (1). Theo ñònh lí Vi-eùt, ta coù x1  x2  2, x1 .x2  2m Maët khaùc: y1  2 x1  m  2 , y2  2 x2  m  2 Do ñoù: 2 2 yCÑ  yCT  y12  y22 2   2 x1  m  2    2 x2  m  2   2 2 2  4 x1  x2  4  m  2   x1  x2   2  m  2  2 2 2 4 � x1  x2   2 x1 x2 �  4  m  2   x1  x2   2  m  2  � �  4  4  4m   8  m  2   2  m  2  2  2m2  16m  8 f  m   2m 2  16m  8, m   Xeùt haøm soá: f '  m   4m  16  0, m   1 2 1 2 Baûng bieán thieân x  1 2 � f ' m + f  m � 1 2 Töø baûng bieán thieân, ta thaáy f  m   2 2 Vaäy: yCÑ  yCT  1 �1 � , m ��  ; ��. 2 �2 � 1 (ñpcm) 2 Ví duï 26. Cho haøm soá y  mx 2   m2  1 x  4m3  m . Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñoà thò haøm xm soá töông öùng coù moät ñieåm cöïc trò thuoäc goùc phaàn tö thöù  II  vaø moät ñieåm cöïc trò thuoäc goùc phaàn tö thöù  IV  cuûa maët phaúng toaï ñoä. (Trích ÑTTS vaøo Tröôøng Ñaïi hoïc Y Döôïc TPHCM, 2001) Giaûi 4m3 xm  Tieäm caän xieân: y  mx  1 Ta coù: y  mx  1  http://kinhhoa.violet.vn  m �0  Taäp xaùc ñònh: D  �\  m Ñaïo haøm: y '  mx 2  2m 2 x  3m3  x  m 2 y '  0  g  x   mx 2  2m 2 x  3m3  0  x   m  (*) Giaû söû A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   x1  x2  laø caùc ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá thì x1 , x2 laø nghieäm cuûa (*). �A thuoäc goùc phaàn tö thöù (II) Yeâu caàu baøi toaùn � � �B thuoäc goùc phaàn tö thöù (IV)  x1  0  x2  1    y2  0  y1  2   Heäsoá goùc cuûa tieäm caän xieân nhoû hôn 0  3  1  m.g  0   0  3m4  0  m 0  2   Ñoà thò haøm soá khoâng caét truïc Ox (a)  y  0 hay mx 2   m 2  1 x  4m3  m  0  x  m  m  0  2 2 3    m  1  4m  4m  m   0 m  0 1 1  m  2 1 m (b) 5 5 m  5 m  0  4 2 15m  2m  1  0  3  m  0 voâ nghieäm (c) Töø (a), (b) vaø (c) ta coù giaù trò caàn tìm laø: m   1 . 5 x 2  m  m  1 x  m3  1 Ví duï 27. Cho haøm soá y  . xm 1) Chöùng minh raèng ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho luoân luoân coù caùc ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu vôùi moïi giaù trò cuûa m. Xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñieåm cöïc trò ñoù. 2) Chöùng toû raèng chæ coù moät ñieåm A duy nhaát treân maët phaúng toaï ñoä sao cho noù laø ñieåm cöïc ñaïi cuûa ñoà thò öùng vôùi moät giaù trò thích hôïp cuûa m vaø cuõng laø ñieåm cöïc tieåu cuûa ñoà thò öùng vôùi moät giaù trò thích hôïp khaùc. Tìm toaï ñoä cuûa A. (Trích ÑTTS vaøo TTÑT Caùn boä Y teá TPHCM, 2000) Giaûi 1) Taäp xaùc ñònh: D  �\  m Ñaïo haøm: y '  x 2  2mx  m 2  1  x  m 2 y ' 0  x 2  2mx  m 2  1 0  x m  2 2 Ta coù:  '  m   m  1  1  0, m Do ñoù: http://kinhhoa.violet.vn