Tài liệu Cs-môđun và môđun hầu như m-nội xạ

LỜI NÓI ĐẦU Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành và môđun. Vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết vành và môđun trở nên hiển nhiên vào những năm 1960, 1970 và lâu hơn nữa. Trong suốt quá trình phát triển của lý thuyết, nó được rất nhiều nhà toán học quan tâm và do đó nó không ngừng được phát triển. Người ta đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun M–nội xạ, môđun tự nội xạ. Sau đó nó lại tiếp tục mở rộng thành các khái niệm môđun gần M–nội xạ, môđun M–nội xạ cốt yếu. Rồi vào những năm 80, những nhà toán học như M. Harada (Nhật Bản), B. Muller (Đức) đã đóng góp nhiều công trình trong việc nghiên cứu môđun π–nội xạ (hay môđun tựa liên tục) và tổng quát hơn là CS–môđun. Vào năm 1988, Yoshitomo Baba (Nhật Bản) đã đưa ra khái niệm môđun hầu như M–nội xạ. Vào năm 2008, Saunder K. Jain, nhà toán học Hoa Kì tiếp tục công bố những kết quả mới về môđun hầu như M–nội xạ trong bài báo mang tên: “A note on almost injective modules”. Từ đầu thập niên 90 trở lại đây, nhiều bài toán về CS- môđun và những dạng tổng quát khác của môđun nội xạ được đặt ra và nghiên cứu rộng rãi. Đó là việc khảo sát cấu trúc, thiết lập điều kiện đặc trưng và cho những ứng dụng vào lý thuyết vành đối với một số lớp môđun có liên hệ gần với tính CS. Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “ CS-môđun và môđun hầu như M-nội xạ” Mục đích của bản luận văn này là tìm hiểu môđun hầu như M–nội xạ, đặc biệt là những môđun hầu như M–nội xạ không phân tích được và tìm hiểu mối liên hệ giữa CS–môđun với môđun hầu như M–nội xạ. Đề tài nhằm trình bày một cách hệ thống chi tiết những kiến thức nền tảng về môđun nội xạ làm cơ sở cho những nghiên cứu sâu hơn. Luận văn ngoài phần mở đầu, phần kết luận, được bố cục thành ba chương nội dung: Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị, các khái niệm của môđun như: Môđun,môđun con cốt yếu, môđun Uniform, môđun nội xạ, môđun con bù. Kết quả chủ yếu là chiều Uniform và về sự phân tích môđun nội xạ. Chương 2: Trình bày về môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, CS-môđun, môđun tựa liên tục,… gọi chung là các dạng yếu hơn của tính chất nội xạ và xem xét mối liên hệ giữa chúng. Trong đó quan trọng là định lí 2.6.7 phát biểu một tính chất đặc trưng của môđun tựa liên tục được S. K. Jain đưa ra. Chương 3: Là chương chính của đề tài nghiên cứu về môđun hầu như Nnội xạ là mở rộng của môđun nội xạ, cùng với vành các tự đồng cấu của môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được và quan trọng nhất là mối liên hệ giữa môđun hầu như M-nội xạ và CS-môđun. Trong chương này chúng tôi xem xét tính chất CS đối với f.c.uniform và tính chất của å -CS môđun thể hiện qua mệnh đề 3.1.2 và định lí 3.3.8. Mệnh đề và định lí này dã được A.Alahmadi và S.K.Jain đưa ra trong các công trình nghiên cứu của họ. Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự lao động nghiêm túc của bản thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Duy Thuận, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng quản lý Sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, cùng các thầy cô giáo phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố gắng, nỗ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý chân tình của thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Chương I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MÔĐUN NỘI XẠ Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra một số khái niệm và kết quả đã biết về môđun nội xạ, bao nội xạ môđun con cốt yếu,…Ta quy ước nếu nói: Môđun con M mà không nói gì thêm, ta hiểu đó là môđun phải M. Các vành đều được giả thiết là có đơn vị, các môđun đều là Unita (Nghĩa là x .1R = x với mọi x Î M R ). 1.1 Môđun con cốt yếu Khái niệm môđun con cốt yếu được sử dụng xuyên suốt trong luận văn. 1.1.1. Định nghĩa. 1) Môđun con A của môđun M được gọi là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi B Ì M thoả mãn A Ç B = 0 thì B = 0 . * Kí hiệu A Ì M . Ta còn gọi A là môđun con lớn của M. * 2) Đồng cấu a : A ® M được gọi là đồng cấu cốt yếu nếu Im a Ì M , 1.1.2. Mệnh đề. M là R môđun, A Ì B Ì M . Khi đó, A Ì *M khi và chỉ khi A Ì *B và B Ì *M . 1.1.3. Mệnh đề. Giả sử A là môđun con của M khi đó A Ì *M khi và chỉ M ,m khi " m ι$ι 0, r 0 mà mr Î A . R , mr 1.1.4. Mệnh đề. Cho họ ( Ai ) các môđun con của M n 1) 2) Ai Ì *M , " i = 1,..., n Þ Ç Ai Ì *M 1 n M = ÅÌÌM i , M i Khi đó, iÎ I n M , Ai A = å Ai = Å Ai 1 *M i , " i . n 1 và A Ì *M . 1.2 Phần bù 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử A là môđun con của M . 1) * Môđun con A của M được gọi là phần bù cộng tính đối với A trong * * * M nếu A + A = M và A là môđun con tối tiểu có tính chất A + A = M . 2) Môđun con A’ của M được gọi là phần bù theo giao (hay Ç -bù ) nếu A Ç A ' = 0 và A’ là môđun con tối đại có tính chất A Ç A ' = 0 . 1.2.2. Mệnh đề. Mọi môđun con của môđun M đều có bù giao. 1.2.3. Mệnh đề. 1) Nếu A ⊂ M , B ⊂ M và A I B = 0 . Khi đó : B = A ' ⇔ ( A + B ) / B ⊂* M / B . 2) Nếu B = A ' và A" = B thì A’ bù giao đối với A" trong M. * 3) Nếu A ⊂ A" thì A ⊂ A" . 1.3 Môđun uniform Tính chất uniform quan hệ chặt chẽ với tính chất nội xạ và các dạng suy rộng của tính chất này. Bởi vậy môđun uniform có mặt hầu kháp nơi trong luận văn. Đi cùng với nó là khái niệm chiều uniform. 1.3.1. Định nghĩa. Môđun con M được gọi là môđun Uniform (thuần nhất) nếu mỗi môđun con khác không của M đều là môđun con cốt yếu của M. (Nói cách khác, M là Uniform nếu mọi môđun con khác không A và B ta có A Ç B ¹ Æ). 1.3.2. Ví dụ. a) Mỗi R môđun đơn là uniform. b) Mỗi môđun con khác không của một môđun uniform là uniform. Thật vậy, giả sử N Ì M , N ¹ 0 . Mọi B Ì M mà N Ç B = 0 nên B = 0 . Vì nếu B ¹ 0 thì do giả thiết M là Uniform ta sẽ có: N Ç B ¹ 0 (mâu thuẫn với giả thiết N Ç B = 0 ). Vậy N Ì *M . Nhận xét. Mỗi R môđun M chứa một môđun con uniform N, N cốt yếu trong M thì M là uniform. Chứng minh. Giả sử N Ì *M , N uniform thì M uniform: 0 ¹ U ,V Ì M . Vì N Ì *M Þ N ÇU ¹ 0 và N ÇV ¹ 0 . Khi đó ( N ÇU ) Ç ( N ÇV ) ¹ 0 suy ra N Ç (U ÇV ) ¹ 0 hay U ÇV ¹ 0 . Vậy M là uniform. 1.3.3. Mệnh đề. M là R môđun khác không, M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không. Khi đó M chứa một môđun con uniform. U2 1.3.4. Mệnh đề. Giả sử N Ì *M , với N = U 1 ÅÅÅ ... Un . (U i là uniform trong M, " i = 1, n ). Thế thì mỗi môđun con K ¹ 0 của M là cốt yếu trong M khi và chỉ khi K ÇU i ¹ 0 với " i = 1, n . n 1.3.5. Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun và Å Ui Ì i =1 * M , trong đó mọi U i đều là môđun uniform. Khi đó, 1) Mọi tổng trực tiếp những môđun con khác 0 của M có nhiều nhất n hạng tử. k 2) Nếu Å Vi Ì * i =1 M , với V i là những môđun uniform thì k=n. Chứng minh. 1) Giả sử tồn tại trong M tổng trực tiếp: K 1 Å K 2 Å ... Å K n + 1, K i ¹ 0 , ( i = 1,..., n + 1 ), K i Ì M . Thế thì K 2 Å ... Å K n + 1 Ë *M ( vì có K 1 ¹ 0 , sao cho K 1 Ç ( K 2 Å ... Å K n + 1 ) = 0 ). Theo mệnh đề 1.3.4 tồn tại U i (i = 1,..., n ) sao cho: ( K 2 Å K 3 Å ... Å K n + 1 ) ÇU i = 0 . Giả sử U i = U 1 , ta có tổng trực tiếp trong M: U 1 Å K 2 Å ... Å K n + 1 Ta lại có: U 1 Å K 3 Å ... Å K n + 1 Ë *M (Vì (U 1 Å K 3 Å ... Å K n + 1 ) Ç K 2 = 0 ). U j Ç (U 1 Å K 3 Å ... Å K n + 1 ) = 0 Do đó tồn tại U j sao cho: với ( j ¹ 1 ) Chẳng hạn U j = U 2 , khi đó ta có tổng trực tiếp: U 1 Å U 2 Å K 3 ... Å K n + 1 . Sau n bước như vậy ta có tổng trực tiếp: U 1 Å U 2 Å ... Å U n Å K n + 1 . Suy ra (U 1 Å ... Å U n ) Ç K n + 1 = 0 . Vì U 1 Å ... Å U n Ì *M nên K n + 1 ¹ 0 (Trái với giả thiết K n + 1 ¹ 0 ). Vậy 1) được chứng minh. 2) Nếu V 1 Å ... Å V k Ì *M . Ta có theo 1) k £ n . Mặt khác thay đổi vai trò của V i thành U i và lại áp dụng 1) ta có n £ k . Vậy n = k . Như vậy với môđun M ¹ 0 ta có môđun M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một số nguyên dương n sao cho M chứa một môđun cốt yếu dạng:U 1 Å U 2 Å ... Å U n , Ui uniform (i=1,…,n). 1.3.6. Định nghĩa. Số n bất biến với môđun M trong mệnh đề 1.3.5 gọi là chiều uniform của môđun M. Kí hiệu UdimM. 1.3.7. Mệnh đề. Cho M và N là các R – môđun, N là môđun con của M 1) N Ì *M khi đó U dim M hữu hạn khi và chỉ khi U dim N hữu hạn và trong trường hợp này U dim M = U dim N . 2) Giả sử N và M / N có chiều uniform hữu hạn thì M cũng có chiều uniform hữu hạn và U dim M = U dim N + U dim M / N . 1.4 Môđun nội xạ Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, môđun nội xạ là điểm xuất phát đi đến những vấn đề nghiên cứu của luận văn. Mặc dù không là đối tượng nghiên cứu chính nhưng tính chất nội xạ xuất hiện thường xuyên trong các khảo sát của chúng tôi. 1.4.1. Định nghĩa. Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu a : A ® B và mọi đồng cấu b : A ® Q , tồn tại đồng cấu g : B ® Q thoả mãn ga = b . Q α 0 b A Khi đó ta nói g là một mở rộng của b theo đơn cấu a . 1.4.2. Định lí. Đối với môđun Q các mệnh đề sau tương đương: i) Q là môđun nội xạ ii) Mỗi đơn cấu a : A ® B đều cảm sinh một toàn cấu: a * : Hom (B ,Q ) ® Hom (A ,Q ) xác định bởi a * ( f ) = f a , với f Î Hom ( B ,Q ) . iii) Mỗi đơn cấu a : Q ® M đều chẻ ra. 1.4.3. Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi R đồng cấu I ® E từ một iđêal I của R (xem như R-môđun) vào E luôn mở rộng được thành một đồng cấu R ® E . 1.4.4. Định lý. Giả sử E là R môđun. Các điều kiện sau là tương đương: (i) E là nội xạ. j (ii ) Mỗi dãy khớp 0 ® E ¾ ¾® M ® M ' ® 0 các R môđun đều chẻ ra. j (iii) Mỗi dãy khớp 0 ® E ¾ ¾® M ® M ' ® 0 các R môđun, với M’ là môđun xyclic đều chẻ ra. a (iv) Nếu dãy các R môđun 0 ® N ' ¾ ¾® N ® N '' ® 0 là khớp thì dãy 0 ® Hom ( N ", E ) ® Hom ( E , N ) ® Hom ( N ', E ) ® 0 là khớp. 1.5 Bao nội xạ Khái niệm bao nội xạ có liên quan chặt chẽ với môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của nó. 1.5.1. Định nghĩa. Cho M là một R môđun. Một R môđun E được gọi là bao nội xạ của M và kí hiệu là E ( M ) nếu E là R môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M. 1.5.2. Định lý. Cho E là một R môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) E là R môđun nội xạ. (ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E’ là một mở rộng cốt yếu của E thì E @E ' . 1.5.3. Hệ quả. Cho E là một mở rộng của R môđun M. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) E là một bao nội xạ của M. (ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M. 1.5.4. Định lý. Mỗi R môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, giả sử E và E’ là những bao nội xạ của M khi đó tồn tại một R đẳng cấu f : E ® E ' sao cho f ( x ) = x với mọi x Î M . 1.6 Môđun nội xạ không phân tích được Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết môđun là vấn đề phân tích một môđun thành tổng trực tiếp các môđun con. 1.6.1. Định nghĩa. 1) Một R môđun khác không M được gọi là không phân tích được, nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và M . 2) Một R môđun con N của M được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại hai môđun con N 1, N 2 chứa thực sự N sao cho N = N 1 Ç N 2 . 1.6.2. Định lý. Cho E là một R môđun nội xạ khác không. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) E là không phân tích được. (ii) E là bao nội xạ của mọi R môđun con khác không của E. (iii) Môđun không của E là bất khả quy. (iv) Mỗi môđun con trong E là thuần nhất. (v) E là bao nội xạ của một môđun con thuần nhất khác không nào đó . 1.6.3. Hệ quả. Cho R môđun M và N là một R môđun con của M. Khi đó bao nội xạ là không phân tích được khi và chỉ khi N là môđun con bất khả quy của M. 1.6.4. Hệ quả. Bao nội xạ của một R môđun đơn là môđun không phân tích được. Chương II MÔĐUN A-NỘI XẠ VÀ CS-MÔĐUN Như đã giới thiệu trong phần mở đầu, nội dung chương này bao gồm các kết quả nghiên cứu tính chất nội xạ suy rộng. Môđun tựa nội xạ và môđun tựa liên tục đã được đặc trưng bởi tính chất bất biến qua một tập thích hợp những tự đồng cấu của bao nội xạ. 2.1 Môđun A-nội xạ 2.1.1. Định nghĩa. Cho A và M là các R-môđun. Môđun M được gọi là Anội xạ nếu và chỉ nếu với môđun con X của M và với mỗi đồng cấu j : X ® M , j có thể mở rộng đến đồng cấu y : A ® M . M A ϕ ψ X 2.1.2. Mệnh đề. Giả sử a b 0 ® A ¾ ¾® B ¾ ¾® C ® 0 là một dãy khớp ngắn. Nếu M là B-nội xạ thì M cũng là A-nội xạ và C-nội xạ. 2.1.3. Mệnh đề. M là môđun A-nội xạ và B Ì A . Khi đó M là B-nội xạ và A / B -nội xạ. 2.1.4. Mệnh đề. Cho A và M là những R - môđun. M là A-nội xạ khi và chỉ khi M là aR-nội xạ với mỗi a Î A . 2.1.5. Mệnh đề. M là R-môđun, M là Å Ai iÎ I -nội xạ khi và chỉ khi M là Ai - nội xạ, với mọi i Î I . * 2.1.6. Mệnh đề. Giả sử môđun M là A-nội xạ, N Ì M . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) N là A –nội xạ. (ii) a ( A ) Ì N , " a Î Hom (A , M ) . 2.1.7. Mệnh đề. Môđun Õ Mi iÎ I là A–nội xạ khi và chỉ khi Mi là A_nội xạ với mỗi i Î I . 2.1.8. Định lý. Đối với các R –môđun A và M các mệnh đề sau tương đương (i) M là A-nội xạ. f A Ì M , " f Î Hom ( E ( A ) , E ( M ) ) (ii) ( ) . (iii) Nếu dãy 0 ® K ® A ® B ® 0 là dãy khớp ngắn thì dãy 0 ® Hom ( B , M ) ® Hom ( A , M ) ® Hom ( K , M ) ® 0 cũng là dãy khớp ngắn. (iv) M là K nội xạ với mọi môđun xyclic K Ì A . 2.2 Môđun tự nội xạ Khái niệm môđun tự nội xạ được Johson-Wong đưa ra.. 2.2.1. Định nghĩa. Một môđun M gọi là tự nội xạ nếu và chỉ nếu M là Mnội xạ. 2.2.2. Hệ quả. Mọi môđun nội xạ đều là môđun tựa nội xạ. 2.2.3. Hệ quả. M là tự nội xạ Û f ( M ) Ì M với mọi f Î End ( E ( M ) ) . 2.2.4. Mệnh đề. Cho các môđun M 1 và M 2 . Khi đó M 1 Å M 2 là tựa nội xạ , ). khi và chỉ khi M i là M j -nội xạ ( i, j = 12 2.2.5. Hệ quả. Giả sử M = Å Mi là M j -nội xạ với i, j = 1, n . iÎ I , khi đó M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M i 2.2.6. Định nghĩa. Cho R-môđun M, N Ì M thì N gọi là môđun con hoàn toàn bất biến của M nếu f ( N ) Ì N , " f Î End ( M ) . 2.2.7. Mệnh đề. Môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi nó là môđun con hoàn toàn bất biến của môđun E ( M ) . 2.3 Môđun con đóng 2.3.1. Định nghĩa. Môđun con N của môđun M được gọi là đóng trong M nếu mọi mở rộng cốt yếu của nó trong M đều trùng với nó. 2.3.2. Mệnh đề. Giả sử N là một môđun con của M, L là bù giao của N trong M, K là bù giao của L trong M và N Ì K . Khi đó, * 1) K Å L Ì M . 2) K là môđun con đóng trong M. 2.3.3. Mệnh đề. Giả sử K, L là những môđun con của môđun M và K Ì L. L K Ì Nếu * M K * thì L Ì M . 2.3.4. Định lí. Giả sử K, L, N là những môđun con của môđun M và K Ì L . Thế thì * 1) Tồn tại một môđun con đóng H của M sao cho N Ì H . * 2) Môđun con K đóng trong M khi và chỉ khi với mỗi môđun Q Ì M sao Q K Ì *M K K Ì Q cho thì . 3) Nếu L là môđun con đóng trong M thì L K đóng trong M K . 4) Nếu K đóng trong L và L đóng trong M thì K đóng trong M. K Ç ( K '+ L ') = 0 . 2.4 CS-Môđun Ở phần trên chúng ta nghiên cứu các tính chất nội xạ suy rộng là những trường hợp đặc biệt của tính chất CS. 2.4.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là một CS-môđun (hay một môđun Extending) nếu nó thoả mãn điều kiện sau: Mỗi môđun con N của M đều là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M Vành R được gọi là CS-vành bên phải nếu môđun R R là CS-môđun. 2.4.2. Ví dụ. Mỗi môđun nửa đơn là CS-môđun vì mỗi môđun con là tổng trực tiếp. Hơn nữa, mỗi môđun uniform là CS-môđun vì mỗi môđun con khác không là cốt yếu. 2.4.3. Mệnh đề. Đối với R-môđun M, hai điều kiện sau đây tương đương: (i) M là CS- môđun (ii) Mỗi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M. 2.4.4. Mệnh đề. M là môđun không phân tích được. Khi đó, M là CS– môđun khi và chỉ khi M là môđun uniform. 2.4.5. Hệ quả. Mỗi hạng tử trực tiếp của một CS-môđun là một CS-môđun. 2.4.6. Định nghĩa. Họ các môđun ( M i ) i Î I và M 2 được gọi là nội xạ tương hỗ nếu M i là M j -nội xạ với mọi i ¹ j . 2.4.7. Bổ đề. Giả sử M = M 1 Å M 2 . Thế thì M 1 là M 2 -nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N Ì M sao cho N Ç M 1 = 0 đều tồn tại một môđun con M ' Ì M sao cho M = M 1 Å M ' và N Ì M ' . 2.4.8. Mệnh đề. Giả sử M 1 và M 2 là những CS-môđun và M = M 1 Å M 2 . Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mỗi môđun con đóng K Ì M thoả mãn điều kiện K Ç M 1 = 0 hoặc K Ç M 2 = 0 đều là một hạng tử trực tiếp của M. 2.4.9. Định lí. Giả sử n M = Å Mi i =1 với các M i là những môđun nội xạ tương hỗ. Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi mọi M i là CS-môđun. 2.5 Uniform CS-môđun 2.5.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là một uniform CS-môđun (f.c.uniform CS-môđun) nếu mỗi môđun con uniform (f.c.uniform) đều là môđun con cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp nào đó của M. 2.5.2. Mệnh đề. Giả sử M là một uniform CS-môđun và K Ì M là môđun con đóng có chiều uniform hữu hạn. Khi đó K là một hạng tử trực tiếp của M. 2.5.3. Định lí. Giả sử udim M=n < ¥ . Thế thì M là CS-môđun khi và chỉ khi M là uniform CS-môđun. Môđun tựa liên tục 2.6 Khái niệm môđun tựa liên tục được Utumi đưa ra. Đây là một trường hợp đặc biệt của CS-môđun. 2.6.1. Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun tựa liên tục nếu nó là một CS – môđun và với hai hạng tử trực tiếp M 1 , M 2 của M mà M 1 Ç M 2 = 0 thì M 1 Å M 2 cũng là một hạng tử trực tiếp của M. 2.6.2. Mệnh đề. Mọi môđun Uniform đều là môđun tựa liên tục. 2.6.4 Bổ đề. Cho môđun M, f Î EndM . Nếu f luỹ đẳng thì: M = f ( M ) Å1( - f ) M . Ngược lại, nếu M = M 1 Å M 2 thì tồn tại e Î End ( M ) , e luỹ đẳng sao cho: M 1 = e ( M ) và M 2 = ( 1 - e ) M . 2.6.5 Định lý . Cho R - môđun M. Các mệnh đề sau tương đương: ( i) M là môđun tựa liên tục ( ii ) M = X Å Y với mỗi cặp môđun con X, Y của M mà chúng là phần bù của nhau. ( iii ) ( iv ) f ( M ) Ì M với mỗi luỹ đẳng f Î End ( E ( M ) ) . E ( M ) = Å Ei M = Å M I Ei Nếu iÎ I thì iÎ I . 2.6.6. Định lý. Giả sử E = E ( M ) . Các mệnh đề sau tương đương: (i) M là môđun tựa liên tục. (ii) Nếu N 1, N 2 Ì M và N 1 Ç N 2 = 0 thì tồn tại M 1, M 2 Ì M , . sao cho M = M 1 Å M 2 , trong đ ó N i Ì M i , i = 12 (iii) Nếu N 1, N 2 Ì M và N 1 Ç N 2 = 0 thì tồn tại f Î End ( M ) sao cho N 1 Ì Kerf và N 2 Ì Ker ( 1 - f ) . (iv) Nếu N 1, N 2 Ì M và N 1 Ç N 2 = 0 thì đơn cấu sau chẻ ra: M ® ( M / N 1) Å ( M / N 2 ) x ® ( x + N 1, x + N 2 ) . = f ( x ) + ( 1- f ) ( y ) . 2.6.7. Định lí. Đối với môđun M các mệnh đề sau tương đương: i) M là một môđun tựa liên tục. ii) Với hai môđun con bất kì M 1 , M 2 của M mà M 1 Ç M 2 = 0 thì mỗi phép chiếu chính tắc pi : M 1 Å M 2 ® M i , (i=1; i=2) đều mở rộng được thành một tự đồng cấu của M. Chứng minh. ( i ) Þ ( ii ) Giả sử M là môđun tựa liên tục, M 1, M 2 là hai môđun con bất kì của M sao cho: M 1 Ç M 2 = 0 , ; } , là phép chiếu chính tắc. pi : M 1 Å M 2 ® M i , i = { 12 Ta chứng minh pi mở rộng được thành tự đồng cấu của M. Nếu M 1 = 0 thì p1 = 0 . Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu 0 của M. Nếu M 2 = 0 , thì p2 = 1M . Do đó nó mở rộng được thành tự đồng cấu 1M . 1 Nếu M 1 ¹ 0, M 2 ¹ 0 thì tồn tại những hạng tử trực tiếp K 1, K 2 của M sao * * cho: M 1 Ì K 1, M 2 Ì K 2 . K 1 Ç K 2 = 0. Thật vậy nếu 0 ¹ x Î K 1 I K 2 thì tồn tại r Î R sao cho 0 ¹ xr Î K 2 . Vì 0 ¹ xr Î K 2 nên tồn tại s Î R sao cho 0 ¹ xrs Î M 2 . Khi đó 0 ¹ xrs Î M 1 I M 2 = 0 . K ÇK2 = 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ x = 0 . Vậy 1 . Do đó Vì M là tựa liên tục nên K 1 Å K 2 là hạng tử trực tiếp của M, chẳng hạn M = K 1 ÅÅK 2 L. Gọi q1 : M ® K 1 là phép chiếu chính tắc, và u 1 : K 1 ® M là phép nhúng chính tắc. f1 = u 1q1 : M ® M . x 1 + x 2 ÎÅM 1 M 2 , Với f ( x 1 + x 2 ) = u 1q1 ( x 1 + x 2 ) = u1 ( x 1 ) = x 1 = p1 ( x 1 + x 2 ) . Vậy fi là mở rộng của pi . Tương tự p2 mở rộng được thành một tự đồng cấu của M. ta có ( ii ) Þ ( i ) Giả sử ( ii ) được thoả mãn. Để chứng minh M là môđun tựa liên tục ta sẽ chứng minh điều kiện ( iv ) trong định lý 2.6.6 được thoả mãn: Giả sử M 1, M 2 là hai môđun con của M mà M 1 Ç M 2 = 0 , ta chứng minh rằng đồng cấu h : M ® ( M / M 1) Å ( M / M 2 ) , ( ) xác định bởi h x = ( x + M 1, x + M 2 ) , với x Î M , bị chẻ ra Theo ( ii ) , phép chiếu pi : M 1 Å M 2 ® M i mở rộng được thành tự đồng cấu fi : M ® M i . Chọn f2 = 1 - f1 , với x 1 + x 2 ÎÅM 1 M 2 . Ta có f2 ( x 1 + x 2 ) = ( 1 - f1 ) ( x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 - f1 ( x 1 + x 2 ) = x 1 + x 2 - x 1 = x 2 = p2 ( x 1 + x 2 ) Ta xác định ánh xạ như sau k : ( M / M 1) Å ( M / M 2 ) ® M ( ) theo quy tắc k ( x + M 1, y + M 2 ) = f2 x - f1 ( y ) Đó là một ánh xạ vì nếu có: x Î M 1, y Î M 2 thì f2 ( x ) = p2 ( x + 0) = 0, f1 ( y ) = p1 ( 0 + y ) = 0 . Với x Î M , ta có: kh ( x ) = k ( x + M 1, x + M 2 ) = f1 ( x ) - f2 ( x ) = ( f1 - f2 ) ( x ) = ( f1 + 1 - f1 ) ( x ) = x nghĩa là kh = 1M . Vậy M là tựa liên tục. Chương 3 MÔĐUN HẦU NHƯ N-NỘI XẠ Nội dung chính của chương này là nghiên cứu về môđun hầu như Nnội xạ và các tính chất liên quan đến khái niệm này 3.1 Môđun hầu như N-nội xạ Môđun hầu như N-nội xạ có định nghĩa khá phức tạp. Trong phần này chúng tôi đưa ra mệnh đề 3.1.2, mệnh đề này đã được đưa ra trong bài báo của A.Alahmadi và S.K.Jain . 3.1.1. Định nghĩa. Giả sử M và N là hai R- môđun. M được gọi là môđun hầu như N-nội xạ nếu với mỗi môđun con X của N và mỗi đồng cấu f : X ® M thì hoặc là tồn tại một đồng cấu g : N ® M sao cho biểu đồ (1) sau đây giao hoán hoặc tồn tại một hạng tử trực tiếp N 1 ¹ 0 của N và một đồng cấu h : M ® N 1 sao cho biểu đồ sau đây giao hoán: 0 X N = N1 ⊕ N 2 M N1 f h p i 0 N X M g f (1) (2) Trong đó i, p lần lượt là phép nhúng và phép chiếu chính tắc. Nếu M là hầu như M - nội xạ thì ta nói M là môđun hầu như tự nội xạ. Vành R được gọi là vành hầu như tựa nội xạ nếu nó là R-môđun hầu như tự nội xạ. 3.1.2. Mệnh đề. Mỗi môđun hầu như tự nội xạ và không phân tích được đều là môđun tựa liên tục, do đó là môđun uniform. Chứng minh. Ta có M là hầu như tự nội xạ không phân tích được nên M chỉ có hai hạng tử trực tiếp là 0 và M. Giả sử M 1, M 2 là hai môđun con của M mà M 1 Ç M 2 = 0 . Khi đó phép chiếu chính tắc pi : M 1 Å M 2 ® M i đều mở rộng thành tự đồng cấu của M. Thật vậy, nếu có một M i = 0 , chẳng hạn M 1 = 0 . p = 1M Khi đó p1 = 0 , 2 . 2 Thế thì mở rộng của p1 là đồng cấu 0, mở rộng của p2 là 1M . Giả sử M 1 ¹ 0, M 2 ¹ 0 và pi không mở rộng được thành tự đồng cấu của M. Vì M là môđun hầu như tự nội xạ nên tồn tại đồng cấu h : M ® M sao cho hp1 = 1M 1 . Suy ra p1 là đơn cấu. Nhưng p1 không phải là đơn cấu vì Kerp1 = M 2 ¹ 0 . Mâu thuẫn này chứng tỏ p1 mở rộng được thành tự đồng cấu của M. Tương tự đối với p2 . Vậy M là môđun tựa liên tục. Do đó mỗi môđun con khác không của M là môđun con cốt yếu của M (định nghĩa môđun tựa liên tục, điều kiện 1). Do vậy là môđun uniform (Định nghĩa môđun uniform). 3.1.3. Định lí. Giả sử M và N là hai môđun uniform. Thế thì M là môđun hầu như N-nội xạ khi và chỉ khi với mỗi f : E (N ) ® E (M ) ta có f ( N ) Í M - 1 hoặc f là một đẳng cấu và f ( M ) Í N . 3.1.4. Định lý. Giả sử R là một vành không có phần tử luỹ đẳng không tầm thường. Các mệnh đề sau đây tương đương: (i) R là vành hầu như tự nội xạ.