Tài liệu Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định

NGUYỄN THẾ HOÀN - PHẠM PHU Cơ SỞ PHIÍƠNG T R ÌN H V I PH Â N \J ầ (Tái bản lần thứ sáu) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM ■ ■ LÒI NÓI ĐẰU C ủ n g n h ư các m ò n khoa, h ọ c k h á c , p h ư ơ n g t r i n h vi /h à n x u ã t h iện trên cơ sỏ p h á t triền cùa kh oa học, k i tiu ặ t và n h ữ n g yêu cầu d ò i hỏi của thực tế. Dã cỏ ì h ữ n g tà i liệ u , g i ả o t r i n h d'ê c ậ p đ ế n n h ữ n g b à i to á n a học, v ậ t lý d ẫ n d ế n sự n g h i ê n c ứ u các p h ư ơ n g t r i n h V p h à n tương ứng. Ỏ d â y c h ú n g tôi m u ố n giói thiệu un b ạ n dọc m ộ t v í d ụ vẽ m ộ t ứ n g d ụ n g c ủ a p h ư ơ n g tì n h vi p h ồ n tr o n g s i n h hoe. G iả s ử ta c ò n n g h i ê n ctu s ự p h á t tr iể n c ù a m ộ t q u ả n thề. Gọi x ít) lờ m ậ t . . • rìx CƯ) của quán th ể ỏ thời d i e m t, x(t) = — là tốc d ộ p i ả t tr iể n c ủ a q u â n th ể. Tọi m ỗ i th ờ i d i ể m t, tốc đ ộ pi.át triển nói ch u n g ti lệ với s ố lượng của quàn th ề tie ỉa với m ậ t d ộ cùa 11Ó : X = h(t)x (chằng hạn, s ố h ọ n g c à n g n h i ề u c à n g l à m con). N h ư n g tạ i m ỗ i th ờ i d ể m t m ộ t sô con v ậ t củ a q u à n t h ề c ũ n g c h ế t d i (do btĩih tậ t hoặc bị các loài khác ăn thịt). Vờ s ố lượng CƠI vật "chết di" này cũng ti lệ vói m ậ t độ của quần tỉể. D o d ó tôc d ộ p h á t tr iể n c ủ a q u ầ n t h ề d ư ợ c v iế t một cách c h í n h x á c h ơ n d ư ớ i d ạ n g X = x(k(t) - h(t)x) (*) Đ ại lượng k(t) - huIX dược gọi là tốc d ộ p h á t triển rung của q u ầ n thề. Nếu q u à n th ể p h á t triển chưa dén , -mức tới hạn (chàng h ạ n m ô i t r ư ờ n g còn c u n g c á p d à y d ủ th ứ c ă n c h o q u ầ n th ể ) t h ì tốc đ ộ p h á t t r i ể n r i ê n g k ( t) - h (t)x > 0. N ế u q u ầ n t h ể p h á t tr iể n q u ả m ứ c tó i h ạ n t h ì k ( t) - h ( t) x < 0 (c h ả n g h ạ n d o m ô i tr ư ờ n g k h ô n g t h ể c u n g cắ p d ầ y đ ủ t h ứ c ăn). P h ư ơ n g t r ì n h (*) là m ộ t p h ư ơ n g t r ì n h v i p h ả n c á p m ộ t v à t h ư ờ n g d ư ợ c g ọ i là p h ư ơ n g t r ì n h lo g i s t ic . V iệc n g h i ê n c ứ u p h ư ơ n g t r ì n h (*) có m ộ t ý n g h í a q u a n tr ọ n g t r o n g s i n h t h á i học. T h ờ i g i a n q u a ở t r o n g n ư ớ c ta d ã x u á t h i ệ n m ộ t s ố g iá o t r ì n h p h ư ơ n g t r ì n h vi p h ả n (xem [1], [2]). N h ư n g các g i ả o t r ì n h n à y i n d ã lả u v à có h ạ n n ê n h i ệ n n a y t r ê n t h ị t r ư ờ n g k h ô n g cò n n ữ a . Đ ề d á p ứ n g n h u c ầ u b ạ n d ọ c , n h á t là d ố i v ó i t ầ n g lớ p s i n h v i ê n , c h ú n g tô i v i ế t g i á o t r ì n h n à y n h à m c u n g cáp tư ơ n g d ố i d ầ y đ ủ n h ữ n g k i ế n th ứ c cơ b ả n c ủ a l í t h u y ế t cơ sỏ p h ư ơ n g t r ì n h v i p h ả n v à d i s â u h ơ n , n h ữ n g k i ế n t h ứ c cơ b ả n của lí th u y ế t ổn d ịn h n g h iệ m p h ư ơ n g tr ìn h vi p h ả n . Chư ơng I và chương II của p h ầ n m ộ t chủ y ế u tr ìn h b à y các p h ư ơ n g p h á p g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n c á p m ộ t c ủ n g n h ư cách tìm n g h iệ m k ì d ị và q u ỹ d ạ o d à n g g iá c . C h ư ơ n g I I I g i ó i th i ệ u m ộ t s ố p h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n cáp n có t h ể g i ả i đ ư ợ c h o ặ c h ạ t h á p c á p d ư ợ c. C h ư ơ n g I V t r ì n h b à y l í t h u y ế t tổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h tu y ế n t í n h c á p n v à từ d ó s u y r a c á u t r ú c n g h i ệ m t ổ n g q u á t c ủ a ló p p h ư ơ n g t r ì n h n à y . Chương V c h ỉ ra m ộ t số p h ư ơ n g trìn h vi p h ả n t u y ế n tính, c á p n m à đ ố i vói c h ú n g , ta có t h ể x â y d ự n g 4 dược nghiệm tồng quát bàng một biểu thức tường minh. Cũng ỏ chương này một ván d'ê nhỏ của lí thuyết dinh tinh phương trình vi phân dược đ'ê cập đến. Đó Là vấn đ'ê dao dộng nghiệm của phương trinh tuyến tính thuần nhất cáp hai. Phần dầu của chương Ví trinh bày phương pháp giải hệ phương trinh vi phần và chứng m inh định lí tôn tại, duy nhát nghiệm của bài toán Côsi. Nhờ sự liên hệ giữa hệ n phương trinh vi phản cấp một với một phương trình vi phản cấp n, từ dây suy ra định Lý tòn tại và duy nhát nghiệm đối với phương trinh vi phần cáp n dã phất biểu mà không chứng m inh ỏ chương 111 . Phần tiếp theo của chương V I trinh bày lí thuyết tổng quát vè hệ phương trinh vi phản tuyến tính và từ đó suy ra cáu trúc nghiệm của chúng. Cuối cũng , chi ra cách xây dựng nghiệm tồng quát dưới biểu thức tường m inh của hệ phương trinh vi phàn tuyến tính VỚI hệ số hằng. Bắt dâu từ chương l phần h a i, chúng tôi muốn giới thiệu dến bạn dọc một trong những phương hướng cơ bàn cùa lí thuyết định tính phương trinh vi phân có nhiêu ứng dụng trong thực tiễn. Đó là sự ổn định của nghiệm, ơàn nói rang trong khuôn khổ một phần của một cuốn sách chúng tôi không có tham vọng di sâu và trinh bày đầy dừ lí thuyết ồn định mà chủ yếu muốn giới thiệu vói bạn dọc những khái niệm cơ bản nhát và một số kết quả kinh diền nhát của lí thuyết này. T r o n g lẩ n t ả i b ả n n à y , CUÔĨ I sách đã được sử a chừa k h á n h i ề u l ô i in á n v à m ộ t sô s a i s ó t v ề t í n h to á n . C á c tá c g iá c h â n t h à n h c á m ơn T S . T r ị n h T u ả n A n h và T h . s N g u y ễ n T r ọ n g H ả i đ ả có n h ữ n g n h ậ n x é t và góp ý quý báu đ ể cu ô ìĩ sách hoàn th iệ n tố t hơn. T u y n h iê n v ẫ n k h ô n g t h ể tr á n h k h ỏ i n h ữ n g sa i sót t r o n g c á c h t r i n h b à y c u ô ìĩ s á c h . C h ú n g tô i r ấ t m o n g n h ậ n được n h ữ n g góp ý x ả y d ự n g của b ạ n đọc g ầ n xa. X i n c h â n t h à n h c ả m ơn tr ư ớ c . T h ư t ừ x i n g ử i về đ ị a c h ỉ : N h à x u ấ t b á n G iáo d ụ c V iệt N a m - 8 1 T r ầ n H ư n g Đ ạo H à N ội. CÁC TÁC GIẢ 6 Plan một Cơ s ỏ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C hư ơng I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂP MỘT §1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẨU l. Đ ị n h n g h ĩ a P h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t có d ạ n g t ổ n g quát. : F(x, y, y’) = 0 (1.1) tro ig đò hàm F xác định tro n g miền D c R 3. N e u t r o n g m i ế n D, t ừ p h ư ơ n g t r ì n h ( 1 .1 ) t a có t h ể giải đ ư ợ c y ’ : y ’ = f(x, y) ( 1 .2 ) t h ì t a đ ư ợ c p h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t đ ã g iả i r a đ ạ o h à m . tỉàni y = đ ư - c gọi là 1) ( X, ( f i x ) x á c đ ị n h v à k h ả vi t r ê n nghiệm khoảng I = c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (1.1) n ế u ’( x) ) E D với mọi )) F ( x , f ( x ) , - yn (1 5) t r o n g đ ó x 0, y ) l à c á c s ố c h o t r ư ớ c . Đ iề u k iệ n (1.5) đ ư ợ c gọi là đ ie u k iệ n b a n d ầ u . B à i t o á n t ì m nghiệm ban đấu của phương trìn h (1.1) h o ặ c (1.2) t h ỏ a m ã n kiện ( 1 . 5 ) đ ư ợ c g ọi l à b à i t o á n C ô si. S a u n à y c h ú n g t a s ẽ t h ấ y với n h ữ n g đ i ể u k i ệ n n à o t h ì n g h i ệ m tốn tại và duy n h ấ t. 8 điểu của bài to án c ỏ s i là 3. hàm Ý n g h ía h ìn h h ọ c . Ta x é t p h ư ơ n g t r ì n h đ ã giải (1.2). G iả s ử h à m f x á c đ ị n h là n g h i ệ m c ủ a (1.2) x á c đ ị n h t r ê n thị c ủ a 0 s a o c h o đối với h a i đ i ể m (x, ỹ) E G, (x, ỹ) E G b ấ t kì, t a có b ấ t đ ản g thứ c |f(x, ỹ) - f(x, ỹ ) | < L |ỹ - y | (2.2) N h ậ n xét. Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa m ã n n ế u t r o n g mien G hàm f có đ ạ o h à m r i ê n g t h e o y giớ i n ộ i : |fy’(x > y)l =5 M , V(x, y) e G. T h ậ t vậy, theo công th ứ c L a g ra n g e t a cò |f(x, ỹ) - f(x, y ) I = |fy’(x, ỹ + ớ(ỹ - ỹ))(y - ỹ ) | í Ế M |ỹ - ỹ| với mọi (x, ỹ), (x, ỹ) e G. Điểu ngược lại, nói c h u n g khô ng đúng, c h ả n g h ạ n h à m f(x, y) = llyl nhưng |y | - t h ỏ a m ã n đ i ể u k i ệ n L i p s i t vì |ỹ II « |y - ỹ| n đ k h ô n g c d đ ạ o h à m t ạ i y = 0. 2 . D á y x ấ p xỉ P i c a r . B â y giờ t a g i á t h i ế t h à m f(x, y) li ê n tục tro n g m iền G ; (xQ, yQ) là điểm tro n g của G. Chọn các số dương a, b sao cho hình chữ n h ậ t X - x0 | í a Q = |y - y Ql « b ^ ì ch ứ a tro n g G. Đ ặ t M = m a x | f ( x , y ) | . Kỉ hiệu h = m in Ir a , jjjj. 10 rI ầ x â y d ự n g d ã y n g h i ệ m x ấ p xỉ c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h ( 2 . 1 ) n h ư sau : y„(x) = y D> yj(x) = y a + f ỉ(r, y0(T))dr, X G [x0 - h, xo + h] X o X y„ = y n + / X f (r > y n - i ( ĩ ) ) d r , X G [xQ - h, x o + h] o D ã y {yn(x)} x á c đ ị n h n h ư t r ê n đ ư ợ c gọi là d ã y x á p xi P ic a r. T a c h ứ n g m i n h r ằ n g khi X biế n t h i ê n t r ê n [x Q - h, X + h] thì (x, y n( x ) ) G Q v ớ i m ọ i n = 0, 1, 2, ... v à d o đ ố d ã y {yn (x)} đ ư ợ c x á c đ ịn h . T h ậ t vậy, đ iề u n à y rõ r à n g đ ú n g với n = 0. G i ả s ử t a có (x, y n_ j ( x ) ) E G k h i X G [x0 - h, XQ + h]. K h i đ đ cổ t h ể xây dự ng X y n(x ) = y0 + / f (r ’ y n - i ( r ) ) d r x o oI X - y Dl ^ I/ X l f(r > y n - i W ) |d ^ l * M |/d r| Xo = M x - X I ^ Mh 1 °' Xo b ^ M . — = M b t ứ c là (x, y n(x)) E G khi X E [xo - h, XQ + h]. 3. D ị n h lý C ô s i Giả - P i c a r (Định lí tổn tại và duy n h ấ t nghiệm). sử h à m f th ỏ a m ã n các điều kiện sau đây : a) f l i ê n t ụ c t r o n g m i ề n G ; b) f t h ỏ a m ã n đ i é u k i ệ n L i p s i t t h e o y t r o n g G . 11 K h i đ ó ứ n g v ớ i m ỗ i đ i ể m t r o n g ( x Q, y Q) E G t ồ n t ạ i d u y n h ấ t m ộ t n g h iệ m y = y(x) c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) t h ỏ a m ã n đ iề u kiện b a n đ ẩ u y(x ) = X y Q. N g h i ệ m n à y x á c đ ị n h t r ê n + h], t r o n g đ đ h được xác định đ o ạ n [XQ - h, n h ư ở p h ầ n xây d ự n g dãy x ấ p xỉ P ic a r. C h ứ n g m i n h . T a x é t d ã y x ấ p xỉ P i c a r { y n, ( x ) } đ ã x â y d ự n g ở t r ê n . Vì (x, y n ( x ) ) 6 G, n = 0, 1, 2, ... v à f l i ê n t ụ c n ê n c á c h à m y n (x) l i ê n t ụ c v à k h ả vi t r ê n [xQ - h , XQ + h ] . D ễ d à n g t h ấ y y n( x Q) = y Q, n = 1, 2 , ... B â y g i ờ t a c h ứ n g m i n h r ằ n g y n(x) h ộ i t ụ đ ề u t r ê n [xQ - h, XQ + h]. T r ê n đ o ạ n [x Q - h, XQ + h ] t a có X |yj(x) - y Q(x) I = I f f(T, yG) d r I < M | x - XQ|, X o X |y2(x) - yj(x)| = I f [f(r, yj(T)) - f(r, y0(ĩ))]dr X o X * I / X | f ( T> y i ( r ) ) - f ( r > y 0( ^ ) I d r o X < L I/ X |yi(ĩ) - ya(ĩ) Idr I « L I / M |t - x j d r ML . 2! x_ — x l 2 1° T a c h ứ n g m i n h r ằ n g , khi X E [xQ - h, XQ + h] thì MLn - 1 | y nw - y n -!<*) T h ậ t vậy, với n = đ ú n g với n. K h i đ ổ n! 1, 2 t a đ ã k i ể m X — Xo n (2.3) t r a ở t r ê n . G i ả s ử (2.3) * x L 1 1 lyn(r ) - y p - i W I d r | ^ x0 = MLn x 1 lr - xo l n d r = *0 M L " IY , _ Y n +,„1 + 1 ( n + 1)! 1 ol t ứ c l à b ấ t đ ẳ n g t h ứ c ( 2 . 3 ) đ ú n g v ớ i n + 1. v ì ( 2 . 3 ) đ ú n g k h i | x - x Q| ^ h n ê n t a đi đ ế n đ á n h g i á s a u đ â y : | y n( x ) ■ y n- i ( x ) l e X e [ x 0 - h, XQ + h ] , MLn_ 1 “ Ị— h " n = 1, 2, (2.4) ... X ét chuỗi h àm y0(x) + (yi(x) - yQ(x)) + ... + (yn(x) - y n_!(x)) + ... (2.5) Do (2.4) t a suy r a rằng, giá trị tu y ệ t đối của số h ạ n g tổ n g quát của chuỗi (2.5) trên đoạn [xQ - h, XQ + h] không vượt quá 00 M L n ~ 1 sổ h ạ n g t ổ n g q u á t c ủ a c h u ỗ i d ư ơ n g hội t ụ ^ ------ j— h n. n= 1 Bởi vậy, theo tiêu ch u ẩ n Vâyơstrass chuỗi (2.5) hội tụ đều trên [xQ - h, XQ + h] đ ế n h à m y ( x ) . D ễ t h ấ y r ằ n g , t ổ n g r i ê n g S n(x) c ủ a chuỗi (2.5) là yn(x) và do đđ t a đã c hứ n g m in h y n(x) ^ y ( x ) t r ê n [x Q - h, XQ + h]. Vì y n( x ) = ya + f f (T> y n - i W ) d r <2 -6 ) x_o và h à m f liên tục t r ê n G n ên t r o n g đ ẳ n g th ứ c (2.6) t a cđ t h ể chuyển qua giới hạn khi n —* 00 dưới dấu tích phân. Kết quả ta được X y(*> = yQ + / X f (T’ y ( * ) ) d ĩ o ( 2 -? ) Vì s ự hội t ụ c ủ a d ã y {yn(x)} là đ ể u t r ê n đ o ạ n [xQ - h, XQ + h] nên hàm giới hạn y(x) liên tục trên đoạn [xQ - h, XQ + h]. Đẳng th ứ c (2.7) v à sự liên tụ c c ủ a h à m f ch o t a k h ả n g đ ịn h đ ư ợ c r ằ n g y(x) là h à m k h ả vi t r ê n [ x () - h , XQ + h]. L ấ y đ ạ o h à m hai vế c ủ a (2 .7 ) t a cổ y ’(x) = f(x, y ( x ) ) , X G [x Q - h, XQ + h] H i ể n n h i ê n y ( x Q) = y . V ậ y y ( x ) l à n g h i ệ m c ủ a b à i t o á n C ô s i x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x() - h, x () + h]. B â y giờ t a c h ứ n g m i n h r à n g n g h i ệ m n à y là d u y n h ấ t . G iả s ử c òn có n g h i ệ m ỹ(x) c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) x á c đ ị n h t r ê n k h o ả n g [xQ - h ’, XQ + h ’] t h ỏ a m ã n đ i ề u ỹ ’(x) = f(x, ỹ (x ) ) k i ệ n b a n đ ẩ u ỹ ( x o) = y C).K h i đó t r ê n [ x Q - h \ XQ + h ’] T í c h p h â n đ ổ n g n h ấ t t h ứ c n à y với X E [ x o - h ’, XQ + h ’] t a có X ỹ (x) = ya + I X Đ ặt ố f ( T> ỹ ( r ) ) d r ( 2 -8 ) o — m i n { h ’, h} v à x é t đ o ạ n [x Q - ỗ, XQ + ỗ]. T r ừ (2 .8 ) các đ ẳ n g th ứ c (2.6), (2 .8 ) t r ê n cho (2.6) t a đ ư ợ c X ỹ (x ) - y n( x ) = / X [ f (r > ỹ ( r ) ) - f (r > y n - i ( r ) ) l d r o Ta c h ứ n g m in h rằ n g MLn |y(x) - y n(x)l « (n + i j j ổn + 1 (2'9) n = 0, 1, 2, ... ^ T h ậ t v ậ y , với n = 0 t a có X |ỹ (x ) - y Q( x ) l = lỹ (x ) - y Ql = I / X ^ Mix -x„ I ^ Mỗ 14 f ( T> ỹ ( T) ) d r o Tương tự như trên ta chứng minh được rằng |y(x) - yj(x)| ML Sỉ ~ ỵ xD 2 X - MLn lỹ(x) " y n(x)l X 86 ( f r i j ! - n + 1 XG Do đ ó X |ỹ (x ) - y n + 1( x ) | = I / [f(r, ỹ(T )) - f(r, y n( r ) ) ] d r X o M L n + 1 . xr , -----------í r - x n + 1dr ( n + 1)! I J 1 ol MLn + 1 = -----------(n + 2 )! X_ o * MLn + l , § T 2 j! á (210> 00 Ln Vì c h u ỗ i M V - — n = 0 + 1 kội tụ nên số h ạ n g t ổ n g quát ' c ủ a n ó d ấ n tớ i 0 k h i n —» 00 . T ừ ( 2 . 1 0 ) t a s u y r a l i m y n(x) = ỹ ( x ) , X G [ x ơ - ổ, XQ + ỗ] n —» 00 D o t í n h d u y n h ấ t c ủ a g i ớ i h ạ n t a đi đ ế n k ế t l u ậ n ỹ ( x ) = y(x). Đ ị n h lý đ ã đ ư ợ c c h ứ n g m i n h . Hệ 9f* quả. G iả sử h à m f liê n t ụ c c ù n g với đ ạ o h à m r i ê n g — 3y t r o n g m i ề n G . K h i đ ổ q u a m ỗ i đ i ể m t r o n g ( x 0 , y Q) E G c d m ộ t v à c h ỉ m ộ t đ ư ờ n g c o n g tíc h p h â n c ủ a h ệ (2.1) đi q u a . 15 T h a t v â y , vì — liê n tụ c n ê n giới n ộ i t r ê n h ì n h c h ữ n h ậ t Q y t â m t ạ i (x , y ). D o đ ó t h ỏ a m ã n đ i ề u k i ệ n L i p s i t t r ê n Q. Ấ p d ụ n g đ ị n h lí t a s u y r a đ i ề u c á n c h ứ n g m i n h . 4. S ự k é o d à i n g h i ệ m , ở t r ê n t a đ ã c h ứ n g m i n h r ằ n g , với đ i ề u k i ệ n đ ã n ê u t r o n g đ ị n h lý, t ồ n t ạ i d u y n h ấ t n g h i ệ m y ( x ) c ủ a (2.1) t h ỏ a m ã n đ i ể u k i ệ n b a n đ ầ u y ( x Q) = y n . N g h i ệ m n à y x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x0 - h, x 0 + h]. Đ ặ t x 0 + h = x^, y ( x t) + h ) = = y ( x (1) = y 1. N ế u đ i ể m ( x 1, y 1) l à đ i ể m tr o n g củ a m ie n G thỉ t ổ n t ạ i h ì n h c h ữ n h ậ t Q 1 với t â m t ạ i (x^, y^) s a o c h o Q j c G. T h e o lỹ l u ậ n t r ê n , t ổ n t ạ i n g h i ệ m y j ( x ) c ủ a p h ư ơ n g t r ỉ n h (2 .1 ) x á c đ ị n h t r ê n đ o ạ n [x^ — h p tín h duy nhất n gh iệm ta suy + h j] s a o c h o y j( x ^ ) = y^. D o ra rằng yj(x) = y(x) trên phần g i a o c ủ a h a i đ o ạ n [xQ - h, x ơ + h] v à [x^ — h p Xq + hj]. K h o ả n g ( x (l , X 1 + h J] k h ô n g thuộc đ o ạ n [x Q - h, XQ + Do h]. vậy nghiệm y j ( x ) t r ê n k h o ả n g n à y đ ư ợ c gọi l à p h ấ n k é o d à i ( t h á c t r i ể n ) c ủ a nghiệm y(x). Tương tự nếu đ iểm (x^, y£) = X(ị + h p với y 2 = y j ( x 2) l à đ i ể m t r o n g c ủ a m i ề n G t h ì t a c ó t h ể k é o d à i t i ế p nghiệm y(x) lên khoảng (x^, + h 2] t h e o cách trên . Cđ th ể c h ứ n g m i n h r ằ n g q u á t r ì n h k é o d à i n h ư t r ê n có t h ể t i ế p t ụ c đ ế n t ậ n b i ê n c ủ a m i ề n G. T h ậ t v ậ y , g i ả s ừ G j l à m i ề n đ ó n g g i ớ i n ộ i b ấ t kì c h ứ a t r o n g G c ù n g với b i ê n c ủ a nó. Tầ c h ứ n g m i n h r ằ n g , tiến hành quá trìn h kéo dài ng h iệm như trên cố t h ể kéo dài n g h i ệ m đ ế n b i ê n c ủ a m i ề n G j . D o G j l à t ậ p đ đ n g v à k h ô n g có đ i ể m c h ư n g với b i ê n c ủ a m i ề n G ( c ủ n g là t ậ p đ ó n g ) n ê n k h o ả n g cách giữa hai tậ p đ ó n g n à y là d > * m iề n Gj ta kẻ h ìn h tr ò n b á n k ín h — 16 0. Tại m ỗ i đ i ể m d tâm tại đ iểm c ủ a biên đđ Hợp c ủ a Gj và t ấ t cả các h ì n h t r ò n đ ổ n g n à y lập n ê n m i ề n đ đ n g G 2 c h ứ a t r o n g G. D o c á c h x â y d ự n g G 2 n ê n m ỗ i h ì n h v u ô n g c ạ n h dV2" b ằ n g —— v à t â m toàn tạ i b ấ t kì đ i ể m t r o n g G 2- H à m n à o củ a Gj c ũ n g c h ứ a h o àn f ( x , y ) l i ê n t ụ c t r ê n m i ề n đ ố n g G 2 n ê n bị c h ặ n trên đđ : |f(x, y) I ^ B â y giờ t ạ i m ọi đ i ể m ch ứ n g m in h trên, V(x, y) G G 2 c ủ a G j t a cổ t h ể c h ọ n h ìn h c h ữ n h ậ t Q là h in h v u ô n g c ạ n h a theo M2 = dVĨ dV2 —— , b = đ ư ờ n g c o n g tích ( x Q, y o) b ấ t k ì c ủ a G j s ẽ x á c đ ị n h t r ê n h 2) t r o n g đ ổ h 2 = m i n I á ịỉ dV2" , M - phân qua M 2. K h i đ ó điểm k h o ả n g (xQ - h 2, tro n g XQ + J . Vỉ h 2 k h ô n g p h ụ t h u ộ c ( x Q, y Q) v à k h o ả n g c á c h t ừ ( x Q, y Q) đ ế n b i ê n c ủ a G { l à h ữ u h ạ n n ê n tiế n h à n h q u á trin h th á c t r i ể n n g h iệ m n h ư trê n , s a u m ộ t số h ữ u h ạ n b ư ớ c c h ú n g t a s ẽ t ớ i b i ê n c ủ a m i ề n G j . Vì G j l à m i ề n đ ổ n g b ấ t kì c h ứ a t r o n g G n ê n q u á t r ìn h t h á c t r i ể n n g h iệ m n h ư t r ê n c d t h ể t i ế n h à n h đ ế n l â n c ậ n b é t ù y ý c ủ a b i ê n m i ề n G. §3. CÁC LOẠI N G H IỆ M C Ủ A P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H Â N C Ấ P M ỘT X ét p h ư ơ n g trìn h y’ = (3.1) f(x , y ) f x á c đ i n h v à liên t u c t r ê n m i ề n G c R 2. Đ ịn h n g h ĩ a 1. Ta n đ i r ằ n g G l à m i ể n t ổ n t ạ i v à d u y n h ấ t n g h iệ m đối với p h ư ơ n g t r ì n h (3.1) n ế u q u a m ỗ i đ i ể m c ủ a m iề n G cd m ộ t v à chỉ m ộ t d ư ờ n g c o n g tíc h p h â n c ủ a (3.1) đi q u a . ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘi 2-C S P TV P A TRUNG TẦM THÒNG TIN THƯ VIỆN N o .ỳ ..-..fi Í / B l u 17 T r o n g §2 t a đ ã b i ế t đ i ể u kiện đ ủ đ ể G là m ié n t ồ n tại v à d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1). T ro n g tiế t n à y ta sẽ lu ô n giả th iế t r ằ n g G là m iề n tổ n tại và d u y n h ấ t n g h i ệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1). 1. N ghiệm tổ n g q u á t . T a n ó i r ằ n g , h à m y = p ( x , C) (3*2) l à n g h i ệ m t ổ n g q u á t c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (2.1) t r o n g m i ể n G n ế u a) Từ hệ thứ c = p (x o> C) ( 3 -3) c = rp(xa, yQ) (3.4) t a cđ t h ể giải r a được v ớ i m ỗ i ( x D, y Q) G G. b) H ệ t h ứ c (3.2) là n g h i ệ m c ủ a (3 .1 ) với m ỗ i h ằ n g s ố c đ ư ợ c x á c đ ị n h t ừ (3.4). T ừ định nghĩa trê n ta suy ra cách tìm nghiệm c ủ a bài to á n C ô s i t ừ n g h i ệ m t ổ n g q u á t (3.2). C h ú ý . N h ư v ậ y k h i t a n ò i m ộ t h ệ t h ứ c y = (p(x , C ) l à n g h i ệ m t ổ n g q u á t c ủ a (3.1) là n g ầ m h i ể u b i ể u t h ứ c đ đ là n g h i ệ m t ổ n g q u á t t r o n g m i ề n G n à o đó. v í dụ. X é t p h ư ơ n g tr ìn h £ dx = y- <* * X 0) T a c h ứ n g m i n h r ằ n g , h ệ t h ứ c y = C x (x ^ 0) l à n g h i ệ m t ổ n g q u á t của phư ơng trìn h trê n tro n g m iền G = 18 0 < X < +00 — 00 < y < + co 2 -C S P T V P B