Mô tả:
CHUYÊN ĐỀ TP1: TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ TỈ
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
CHUYÊN ĐỀ TP1:
TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
Vấn đề 1: Tách phân thức
b
1.Dạng 1:
P(x)
ax + b .dx
a
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng một thì dùng phép chia đa thức.
b
b
dx
1
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn một thì
ln a.x+b
ax b a
a
a
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
3x 1
2x 2
3 dx
x
1
dx
1)
2)
x 1
x2
0
0
3
4)
2
x2
dx
x 1
1
5)
0
2x x 2
1dx
7)
x 1
0
3 3
x 2
dx
10)
x 1
2
1
b
0
x2 x 1
2 x 1dx
6)
x 1
1
x 2 2x 3
dx
x3
x3 x 2
x dx
8)
x 1
0
x2 2
9)
dx
x 1
2
1
2
2.Dạng 2:
x2
3)
2 x 1dx
2x 1
1
0
3
P(x)
ax 2 + bx + c dx
a
a.Loại 1: ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
TH1: Nếu P(x) bậc không thì
b
dx
a
ax bx c
I
Đặt x
2
b
dx
b
a
2a
4a
2
2
b
a x
2 a
tan t dx
2
b
TH2: Nếu P(x) bậc một thì I
a
b
Tích phân I1
a
A(2ax b)
ax 2 bx c
GV: Nguyễn Thành Hưng
1
a
2
2
2
4a
1 tan t dt
nx m
2
ax bx c
2
b
dx
dx A ln ax 2 bx c
a
A(2ax b)
2
ax bx c
b
dx
a
B
2
ax bx c
dx (Thêm , bớt)
b
a
Page 1
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
b
b
dx
Tích phân I = 2
=
2 a ax + bx + c a
b
Đặt: x +
-Δ
=
2a
2
4a
tant dx =
dx
2
b
a x +
+
2a
1
-Δ
2 a
1
dx
0
x + x +1
Ví dụ 1: Tính tích phân:
2
2
2
4a
-Δ
1 + tan t dt
2
.
2
Lời gải:
1
dx
0
x + x +1
Do
2
Đặt x
1
dx
1
=
2
2
1 3
x + +
2 4
3
tan t , t
6 ; 3 dx
2
0
1 tan t dt
2
3
2
3
2
1 tan t dt 2 3 3
1
3
dx
2 3
Vậy 2
2
t
dt
3
0 x x 1
3
3
2
(1 tan t )
6
6
4
1
(2x + 2)dx
0
x + x +1
Ví dụ 2:Tính tích phân: I =
2
3
3
9
6
.
Lời giải:
1 (2 x 2) dx
1 (2 x 1) dx
1
dx
I 2
2
2
0 x x 1
0 x x 1
0 x x 1
1
2
ln x x 1 I1
0
ln 3 I1
1
1
dx
Mà I = 2
=
1 0 x + x +1 0
Đặt x
1
2
3
2
tan t ,
dx
1
2
3
x + +
2 4
t
6 ; 3 dx
GV: Nguyễn Thành Hưng
2
1 tan t dt
2
3
Page 2
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
3
dx
I 2
1 0 x x 1
1 tan t dt
2
3
2
3
6
2 3
3
3
2
(1 tan t )
dt
2 3
t
3
6
4
4
(2x 1).dx
2)I = 2
0 x x2
1
2 3
2
10)I=
0
3)I =
x
2
6)I=
2
1
4x 13
1
5x
.dx
2
0 x 1
dx
8)I=
2
x 2 x 2.dx
0
1
3x 4
.dx
2
0 x 1
0
5x 4
1
5)I=
dx
23 3
7)I=
9
1
x
1 x
3
6
9
Bài tập: Tính các tích phân sau:
1
dx
1)I = 2
0 x x2
4)I =
3
Vậy: I ln 3
1
3
9)I=
0
1 4x
.dx
x 4x 5
2
x 1
dx
x2 1
1
dx
4 x2
b.Loại 2: ax 2 + bx + c = 0 có một nghiệm.
dx
b
TH1: Nếu P(x) bậc không thì I
a
a x
2a
b
2 tính được
mx n
A(2ax b)
B
dx 2
dx
dx tính được
TH 2: Nếu P(x) bậc một thì I 2
2
ax bx c
ax bx c
b
a
a
a
a x
2a
b
b
1
dx
0
x + 2x + 1
Ví dụ 1: Tính tích phân:
b
.
2
Lời giải:
1
dx
0
x + 2x + 1
I
2
1
0
dx
(x + 1)
1
Ví dụ 2: Tính tích phân:
0
2
1 1
1
x 1 0 2
x+3
dx .
2
x + 2x + 1
Lời giải:
1
1 x +1
1
1
2
1
dx
dx
2
dx
ln(
x
1)
2
0 x 1 ln 2 1
2
2
0 x + 2x + 1
0
0
0
(x + 1)
(x + 1)
1
I
x+3
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 3
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1)I= 2 dx
x
1
0
2
0
x
4)I= 2
dx
x
2
x
1
1
2
7)I=
1
2
1
dx
2
x
2
x
1
1
2)I=
5)I=
1
2
1
dx
2
x 4x 4
8)I=
1
1
3)I=
1
0
2x 3
dx
x
2
x
1
1
dx
6)I=
x4
dx
2
x 6x 9
9)I=
x2 x
1
4
1
dx
x 2x 1
2
2
1
2
1
dx
x 6x 9
2
12 x 1
10)I= 2
dx
x
6
x
9
1
2
c.Loại 3: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cần chú ý: Các biểu thức đồng nhất
P( x)
( x a )( x b )
A
xa
B
xb
..
1
4 x 11
0
x 5x 6
Ví dụ 1: Tính tích phân: I
dx .
2
Cách 1.
Cần chú ý: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
A 2x 5
4 x 11
B
, x
2
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
2 Ax 5 A B
4 x 11
, x
2
2
x 5x 6
x 5x 6
2 A 4
5 A B 11
Vậy
A 2
B 1
\ 3; 2
\ 3; 2
2 2x 5
4 x 11
1
, x
2
2
2
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
\ 3; 2 .
Lời giải:
1
Ta có:
0
4 x 11
2
x 5x 6
2
2 ln x 5 x 6
0
1
0
Cách 2.
Cần chú ý: Vì
2x 5
1
dx 2
2
x 5x 6
ln
x2 1
x3 0
dx
1
dx
0
ln
2
x 5x 6
9
.
2
x2 5x 6 x 2 x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
Tìm A, B sao cho:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 4
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
4 x 11
2
x 5x 6
4 x 11
2
x 5x 6
A
x2
B
x3
, x
A B x 3A B ,
\ 3; 2
x
2
x 5x 6
A B 4
3
A
2
B
11
Vậy
\ 3; 2
A 3
B 1
4 x 11
2
x 5x 6
3
x2
1
x3
, x
\ 3; 2 .
Lời giải:
4 x 11
1
Ta có:
0
2
x 5x 6
1
dx
0
x2
dx 3
1
dx
0
x3
3ln x 2
1
ln x 3
9
ln .
2
0
1
0
Bài tập: Tính các tích phân sau:
2
1
1)
dx
( x 1)( x 2)
1
2
2)
1
4
4)
dx
1 x(1 x)
5)
0
7)
1
1 ( x 1)( x 2) dx
8)
1
dx
10)
x(x 1)
2
0
13)
16)
3
11)
2
1
x 2 3x 2
3
4
( x 2 2)2
dx
3
14)
2
b
P(x)
a
ax + bx + cx + d
3.Dạng 3: I =
3
2
1
3x 3x 3
x 2 3x 2
2 (x
x4
2
2
1)
dx
2
dx
x x6
2
1
12)
5x 6
2
3
17)
2
3
x
2
dx
2
9)
4 x 11dx
0
2x 6x 9x 9
x
dx
x x2
1
6)
dx
2 x 2 x 2
4
1
dx
(
x
2)(
x
3)
3
0
dx
0 x 2 5x 6
3
dx
2 x x 2
2
3)
x
0
dx
4
15)
2
dx
x6
x3
2
3 x x 2
1
18)
dx
1
2
0 ( x 2)
( x 3)2
dx
dx .
2
a.Loại 1: ax + bx + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt.
b
b
n
n
dx
=
dx
TH1: Bậc P(x) bằng không. I = 3
2
a ax + bx + cx + d
a a(x - x )(x - x )(x - x )
1
2
3
Cần chú ý:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 5
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
n
( x a )( x b )( x c )
A
xa
B
xb
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
C
xc
1
dx
x 2 x 5x 6
1
A
B
C
Nhận xét: 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
1
A 6
A B C 0
1
A B 4C 0 B
10
6 A 2 B 3C 1
C 1
15
Lời giải:
4
5
3
2
5
5
1
1
1
1
1
1
1
I 3
dx
dx ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
6( x 1) 10( x 3) 15( x 2)
10
15
6
4
4 x 2 x 5x 6
4
1 3 1
1 7
ln ln 2 ln
6 4 10
15 6
1 3 1
1 7
Vậy: I ln ln 2 ln
6 4 10
15 6
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:
P( x)
( x a )( x b )( x c )
A
xa
B
xb
5
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
C
xc
x 1
dx
x 2 x 2 5x 6
1
A
B
C
Nhận xét: 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
1
A 3
A B C 0
2
A B 4C 1 B
5
6 A 2 B 3C 1
C 1
15
4
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
Page 6
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
5
5
5
x 1
1
2
1
2
1
1
I 3
dx
dx
ln
x
1
ln
x
3
ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
5
15
3
4
4 x 2 x 5x 6
4
1 3 2
1 6
ln ln 2 ln
3 4 5
15 7
1 3 2
1 6
Vậy: I ln ln 2 ln
3 4 5
15 7
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C
( x a )( x b )( x c ) x a x b x c
5
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I
3x 2 1
3
2
4 x 2 x 5x 6
3x 2 1
Nhận xét:
3
2
dx
A
B
C
x 1 x 3 x 2
x 2 x 5x 6
3x 1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
2
A 3
A B C 3
14
A B 4C 0 B
5
6 A 2 B 3C 1
C 13
15
Lời giải:
2
5
3x 2 1
5
5
2
14
13
14
13
2
I 3
dx
dx ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
5
15
3
4
4 x 2 x 5x 6
4
2 4 13 7 14
ln ln ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I ln ln ln 2
3 3 15 6 5
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
P( x)
A
B
C
( x a )( x b )( x c ) x a x b x c
5
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I
4
x 3 x 2 5x 7
x3 2 x 2 5x 6
dx
Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 7
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
+
x 3 x 2 5x 7
x 3 2 x 2 5x 6
3x 2 1
3x 2 1
1
x 3 2 x 2 5x 6
A
B
C
+ 3
2
x 2 x 5x 6 x 1 x 3 x 2
3x 2 1
( A B C ) x 2 ( A B 4C ) x 6 A 2B 3C
3
( x 2)( x 3)( x 2)
x 2 x 2 5x 6
2
A 3
A B C 3
14
A B 4C 0 B
5
6 A 2 B 3C 1
13
C
15
Lời giải:
5
x 3 x 2 5x 7
5
5
2
14
13
2
14
13
I 3
dx 1
dx x ln x 1 ln x 3 ln x 2
2
3( x 1) 5( x 3) 15( x 2)
3
5
15
4
4 x 2 x 5x 6
4
2 4 13 7 14
1 ln ln ln 2
3 3 15 6 5
2 4 13 7 14
Vậy: I 1 ln ln ln 2
3 3 15 6 5
3
2
b.Loại 2: ax + bx + cx + d = 0 có hai nghiệm.
b
b
A
A
TH1: Bậc P(x) bằng không. I = 3
dx
=
dx
2
2
a ax + bx + cx + d
a
a(x - x )(x - x )
1
2
Cần chú ý:
n
A
B
C
2
x a x b x b 2
( x a )( x b )
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
1
2
4x x
1
A B
C
Nhận xét: 3
2
2
x x
x 1
x x
1
( A C ) x 2 ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 0
A 1
A B 0 B 1
B 1
C 1
Lời giải:
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
dx
Page 8
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5
5
5
1
1
1
24 1
1 1
I 3
dx 2
dx ln x ln x 1 ln
2
x x
x 1
x
25 20
4
4x x
4
24 1
Vậy: I ln
25 20
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Cần chú ý:
nx m
A
B
C
2
x a x b x b 2
( x a)( x b)
5
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
x2
2
4x x
x2
A B
C
Nhận xét: 3
2
2
x x
x 1
x x
2
x2
( A C ) x ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 0
A 1
A B 1 B 2
B 2
C 1
Lời giải:
5
3
dx
5
5
x2
1
2
24 1
1 2
I 3
dx
dx
ln
x
ln
x
1
ln
2
2
x
x
1
x
25
10
x
x
x
4
4
4
24 1
Vậy: I ln
25 20
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
nx 2 mx q
2
( x a)( x b)
A
B
C
x a x b ( x b)2
5
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I
4
2
Nhận xét:
x x2
3
2
x2 x 2
x3 x2
dx
A B
C
2
x x
x 1
x x
x2
( A C ) x 2 ( A B) x B
3
x x2
x3 x2
A C 1 A 1
A B 1 B 2
B 2
C 2
Lời giải:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 9
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
5
5
5
x2 x 2
2
2
1 2
I 3
dx 2
dx ln x 2 ln x 1
2
x x
x 1
x
4
4 x x
4
4
6 1
Vậy: I ln 2 ln
5
5 10
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Chia đa thức.
- Áp dụng các dạng trên.
5
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I
x3 2 x2 x 2
x3 x2
4
dx
Nhận xét:
x3 2 x2 x 2
x2 x 2
1
+
x3 x2
x3 x2
x2 x 2 A B
C
2
+ 3
2
x x
x 1
x x
( A C ) x 2 ( A B) x B
x2
x3 x2
x3 x2
A C 1 A 1
A B 1 B 2
B 2
C 2
Lời giải:
5
x3 2 x2 x 2
5
5
2
2
1 2
I
dx 1 2
dx x ln x 2 ln x 1
3
2
x x
x 1
x
x x
4
4
4
4
6 11
Vậy: I ln 2 ln
5
5 10
3
2
c.Loại 3: ax + bx + cx + d = 0 có một nghiệm.
TH1: Bậc P(x) bằng không.
Cần chú ý: Áp dụng công thức nguyên hàm.
1 dx
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
0
( x 1)3
Lời giải:
1
1
3
I ( x 1) dx
2
0
2( x 1) 0 8
TH2: Bậc P(x) bằng một.
Chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1
3
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 10
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
xdx
0
( x 1)3
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
Nhận xét:
x
x 11
1
1
3
3
2
( x 1)
( x 1)
( x 1) ( x 1)3
Lời giải:
1
1
1
1
I
dx
2
3
2
0
( x 1) ( x 1)
x 1 2( x 1) 0 8
TH3: Bậc P(x) bằng hai.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
2
1 x dx
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
0
( x 1)3
Nhận xét:
x2
x2 1 1
x 1
1
1
2
1
3
3
2
3
2
x 1 ( x 1) ( x 1)3
( x 1)
( x 1)
( x 1) ( x 1)
Lời giải:
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
I
dx ln x 1
ln 2
2
3
2
0 x 1
x 1 2( x 1)
4
( x 1) ( x 1)
0
1
TH4: Bậc P(x) lớn hơn bằng ba.
Cần chú ý:
- Thêm, bớt.
- Áp dụng công thức nguyên hàm.
1
x 2 dx
0
( x 1)3
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
Nhận xét:
x 3 4 x 2 3x 1
( x 1)3
Lời giải:
1
x2 1 1
( x 1)3
1
x 1
( x 1)2
1
( x 1)3
1
1
2
1
x 1 ( x 1)2 ( x 1)3
1
1
2
1
2
1
3
I 1
dx
x
ln
x
1
ln
2
2
3
0
x 1 2( x 1)2
4
x 1 ( x 1) ( x 1)
0
1
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1
1
dx
1) I= 3
x 8
0
1 2x
2) I= 3 dx
x 8
0
1 2x 4
dx
4) I = 3
x 8
0
3x 2 x 5
.dx
5) I = 2
0 x 5x 6
1
GV: Nguyễn Thành Hưng
1
1 2x 2
x 3 8 dx
0
1
3) I=
1
1
6) I=
(x
0
2
dx
3x 2) 2
Page 11
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
2
7)I=
8)I=
(2x 2 4x 1)dx
11)I=
2
0 (x 2)(x x 1)
2
1
dx
10)I= 3
1 x 1
( x 1)dx
5 x 1)( x 2 4 x 1)
2
13)I=
(x
(2x 1).dx
x(x 1)2
1
2
dx
x(x 1)2
1
1
2
2
1
14)I=
3
20)I=
4.Dạng 4:
2
b
2
dx
0
2
2.dx
16)I= 3
2
1 x 3x 2x
x
dx
x(x 2 3)
1
3
12)I=
1
dx
x x
3
2
2
4 x
3
9)I=
(3 x).dx
3
x 4x 2 3x
dx
(2 x 1)(4 x 2 4 x 5)
1
15)I=
(3x 2 7x).dx
(x 1)(x 2)(x 3)
0
1
21)I=
P(x)
an x n + an-1 x n-1 + ...+ a1 x + a0 dx với n 4
a
Cần chú ý: Áp dụng các cách đã học.
2
Ví dụ 4: I
1
Nhận xét:
dx
x5 x3
1
1 1
x
x x3 x 2 1
x 3 ( x 2 1)
Lời giải:
2
x
1
1
3
1
3
1 1
2
I 3 2 dx ln x 2 ln( x 2 1) ln 2 ln 5
x x
2
2
2
8
x 1
2x
1
1
Vấn đề 2: Đổi biến số
Dạng 1: Đổi biến bởi một hàm dưới dấu tích phân.
Các bước thực hiện giải như sau:
B1: Đặt t f ( x ) dt
1
dx
f '( x )
B2: Đổi cận:
x
a
b
t
f(a)
f(b)
B3: Thế vào tích phân ban đầu và tính tích phân.
B4: Kết luận.
Cần chú ý: Chúng ta có thể sử dụng nguyên hàm trực tiếp không cần đổi biến.
1
Ví dụ 1: I
7 x 199
101
0 2 x 1
dx
Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
-
(7 x 1)99
(2 x 1)101
99
1
7x 1
.
2 x 1 (2 x 1)2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 12
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
'
9
7x 1
-
2 x 1 (2 x 1)2
Lời giải:
7x 1
9
Đặt: t
dt
dx
2x 1
(2 x 1)2
x
t
Đổi cận:
0
-1
1
2
t100
1 2 99
Khi đó: I t dt
900
9 1
Vậy: I
100
2
2
1
2100 1
900
1
900
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
99
(7 x 1)99
1
7x 1
.
101 2 x 1
(2 x 1)
(2 x 1)2
1
1 7x 1
d
2
9 2x 1
(2 x 1)
Lời giải:
-
1
7x 1
I
2x 1
0
99
1
5x
Ví dụ 2: I
2
2
0 ( x 4)
Cách 1:
Nhận xét:
99
100
7x 1 1 1 7x 1
1 1 7x 1
d
2
2 x 1 9 0 2 x 1 2 x 1 9 100 2 x 1
dx
1 100
1
2 1
0 900
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 4 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 4 dt 2 xdx
Đổi cận:
x
t
0
4
1
5
5
55 1
1
5
Khi đó: I 2 dt
24t
2t 4 8
2100 1
Vậy: I
900
Cách 2:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 13
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: xdx
1
d ( x 2 4)
2
Lời giải:
1
1
51
1
5
1
I 2
dx
d x2 4
4
2
2
2
2 0 ( x 4)
8
2( x 4)
0 ( x 4)
5x
0
1
x7
Ví dụ 3: I
2 5
0 (1 x )
Cách 1:
Nhận xét:
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 1 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 1 dt 2 xdx
x
t
Đổi cận:
0
1
1
2
1 2 (t 1)3
12 1 3 3 1
1 1
Khi đó: I 5 dt 2 3 4 5 dx . 5
21 t
2 1 t
4 2
t
t
t
1 1
Vậy: I . 5
4 2
Cách 2:
Nhận xét:
1
x7
x 6 .x
xdx d ( x 2 1)
Quan sát ta thấy:
5
5
2
1 x2
1 x2
Lời giải:
1
I
x
0 (1
1
7
2 5
x )
dx
1
x2
3
1
x2 1 1
3
1
1
d ( x 2 1)
d ( x 2 1)
2
5
2 0 (1 x )
2 0 (1 x 2 )5
1
1
3
3
1
1 1
2
d ( x 1) . 5
2
2
2
3
2
4
2
5
2 0 (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x )
4 2
1
Ví dụ 4: I x 5 (1 x 3 )6dx
0
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: 1 x3 3x 2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 14
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
Đặt: t 1 x 3 dt 3x 2 dx dx
3x 2
Đổi cận:
x
t
Khi đó: I
11 6
1 t 7 t8
1
t
(1
t
)
dt
30
3 7 8 168
Vậy: I
0
1
dt
1
0
1
168
Cách 2:
Nhận xét:
1
Quan sát ta thấy: x 2 dx d (1 x 3 )
3
Lời giải:
1
I x 5 (1 x 3 )6 dx
0
11 3
11
3 6
3
x
(1
x
)
d
(1
x
)
(1 x 3 1)(1 x 3 )6 d (1 x 3 )
3 0
3 0
1
11
1 (1 x 3 )8 (1 x 3 )7
1
(1 x 3 )7 (1 x 3 )6 d (1 x 3 )
30
3
8
7
168
0
4
Ví dụ 5: I
3
1
x ( x 4 1)
1
Cách 1:
Nhận xét:
dx
'
Quan sát ta thấy: x 2 2 x
Lời giải:
Đặt: t x 2 dt 2 xdx
x
Đổi cận:
t
Khi đó: I
Vậy: I
1
2
4
1
1
3
1
3
0
t
1
3
t t 2 1 dt 4 ln 2
1
1 3
ln
4 2
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: xdx
1
d(x2 )
2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 15
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Lời giải:
4
I
3
1
4
1
1
dx
2
x( x 4 1)
2
Ví dụ 5: I
1
3
1
1
1
dx
2
x 2 ( x 4 1)
2
4
3
1
x 2
1
x2 2 1 3
dx ln
4 2
x 4 1
dx
10
1)2
x.( x
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: x 5 5x 4
Lời giải:
1
Đặt: t x 5 dt 5 x 4 dx x 4 dx dt
5
Đổi cận:
x
t
Khi đó: I
1 32
dt
1 32
dt 2
1
5 1 t(t 2 1)2 10 1 t 2 (t 2 1)2 168
Vậy: I
1
1
2
32
1
168
Cách 2:
Nhận xét:
1
Quan sát ta thấy: x 5 (1 x 3 )6 x 3 (1 x 3 )6 x 2 x 2 dx d (1 x 3 )
3
Lời giải:
2
2
dx 5
1
168
Đặt: t x 7 dt 7 x 6 dx x 6 dx
1
dt
7
I
1
dx
x.( x10 1)2
2
1
x 5 .( x10 1)2
1 x7
Ví dụ 6: I
dx
7
x
(1
x
)
1
Cách 1:
Nhận xét:
'
Quan sát ta thấy: x 7 7 x 6
Lời giải:
Đổi cận:
x
t
1
1
GV: Nguyễn Thành Hưng
2
128
Page 16
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1 128 1 t
Khi đó: I
dt
7 1 t(1 t)
Vậy:
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy: x 6 dx
1
d(x7 )
7
Lời giải:
2
2
(1 x 7 )
dx
dx 7
7
7
7
7
1 x .(1 x )
1 x .(1 x )
I
(1 x 7 ).x 6
2
x 2001
Ví dụ 7: I
x 2 )1002
1 (1
2
Cách 1: I
1
.dx
2
x 2004
3
2 1002
x (1 x )
Cách 2: Ta có: I
.dx
1
1
1002
1
x 3 2 1
x
1000
2
1 x2
4
1 1 x
1
x
2
1 dt
2
x3
dx .
11
x 2000 .2 xdx
. Đặt t 1 x 2 dt 2 xdx
2 0 (1 x 2 )2000 (1 x 2 )2
1 2 (t 1)1000
1 2 1
I 1000 2 dt 1
21 t
2 1 t
t
Ví dụ 8: I
.dx . Đặt t
1
1
d 1
t 2002.21001
dx
Cách 1:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
1 x
2
1 x4
1
1
'
x2 , x 1 1 1
1
x
x2
x2 2
x
Lời giải:
Đặt: t x
1
1
dt 1 dx
x
x2
Đổi cận:
x
t
3
2
Khi đó: I
1
0
1
dt
t2 2
1
0
1
3
2
1
2 2 1t 2
GV: Nguyễn Thành Hưng
3
2 1
1
t 2
1
.ln
ln
dt
2
t 2
2 2
t 2 1 2 2 2 1
1
Page 17
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
Vậy: I
2 1
ln
2 2 2 1
1
Cách 2:
Nhận xét:
Quan sát ta thấy:
1 x
2
1 x
4
1
1
x2
1
x2 2
x
1
1
1 2 dx d x x
x
Lời giải:
dt
1
1
1
dt
I
1
2
1
2
2
1
1
1
x x 2 x x 2
x 2
x
1
x 2
2 1
2
1
1
x
.ln
ln
1
1 2 2 2 1
2 2
x
2
x
1
2
2
2 2 1
1 x
1
4
dx
Ví dụ 9: I
Ta có: I x
dx . Đặt t x I ln
3
1
x
5
1
1xx
x
x
Cách 1:
Nhận xét:
2
2
'
1
1
Quan sát ta thấy: x 1 2
x
x
Lời giải:
1
1
1
Đặt: t x dt 1 2 dx dt 2 1 dx
x
x
x
Đổi cận:
x
t
1
2
5
21
2
5
2
5
2
2
5
4
Khi đó: I dt ln t ln ln 2 ln
t
2
5
2
Vậy: I ln
4
5
Cách 2:
Nhận xét:
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 18
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
1
1
Quan sát ta thấy: 2 1 dx d x
x
x
Lời giải:
1
1
2 2 1
2
1
1
4
1
x
I
dx
d +x ln x ln
1
1
x
x
5
1
1
1 x
x
x
x
Dạng 2: Đổi biến bởi một hàm bên ngoài
1
x4 1
Ví dụ 1: I
x6 1
0
Nhận xét: Ta có:
dx
x4 1
x6 1
( x 4 x 2 1) x 2
x6 1
x4 x2 1
( x 2 1)( x 4 x 2 1)
x2
x6 1
1
x2 1
x2
x6 1
Lời giải:
1
1 1 d(x3 )
1
I 2
dx 3 2
dx I1 I 2 .
3 0 (x ) 1
4 3 4 3
0 x 1
1
I1
0
1
1
2
x 1
dx
Đặt: t t anx dt= tan2 x 1 dx dx
x
t
Đổi cận:
0
4
4
Khi đó: I1 dt t 04
Vậy: I1
1
I2
0
tan x 1
1
0
4
4
3
d(x )
3 2
0 (x ) 1
dx
Đặt: t t anx 3 dt= tan2 x 3 1 dx dx 3
Đổi cận:
dt
2
x
t
0
0
GV: Nguyễn Thành Hưng
dt
tan2 x3 1
1
4
Page 19
Trường THPT Nguyễn Hồng Đạo
4
Khi đó: I1 dt t 04
Vậy: I 2
0
4
4
1
xdx
Ví dụ 2: I
4
2
0 x x 1
.
Lời giải:
Đặt t x 2 dt 2 xdx
1 1 dt
11
2 0 t 2 t 1 2 0
Khi đó: I
Ví dụ 3: I
3
3
0
x2
x4 1
dt
2
1 3
t
2 2
2
6 3
dx
Lời giải:
I
3
3
0
x
2
2
2
( x 1)( x 1)
2
Ví dụ 4: I
1 x2
4
1 1 x
dx
1
2
3
3
0
1
1
1
2
dx ln(2 3)
2
4
12
x 1 x 1
dx
1
1
2
x
Nhận xét: Ta có:
.
1 x4 x2 1
x2
Lời giải:
5
1
1
Đặt t x dt 1 dx ; x 1 t 2; x 2 t
2
2
x
x
1 x
5
2
Khi đó: I
dt
2
2 t 2
2
.
Đặt t 2 tan u dt 2
Khi đó: I
2
2
u2
du
u1
du
2
cos u
; tan u 2 u1 arctan 2; tan u
5
5
u2 arctan
2
2
2
2
5
(u2 u1)
arctan arctan 2
2
2
2
GV: Nguyễn Thành Hưng
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
185 
91 
