MỤC LỤC
PHẦN
Trang
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn chuyên đề
01
2. Phạm vi
02
3. Mục đích
PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ
02
I. Cơ sở lý luận, khoa học của chuyên đề
03
II. Phương pháp nghiên cứu
05
III. Một số dạng toán cụ thể:
05
IV. Hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề
PHẦN III: KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
18
20
22
CHUYÊN ĐỀ
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
---------------------------1. Lí do chọn chuyên đề
Giáo dục bậc THCS có vai trò quan trọng trong nền GDPT ở nước ta. Nó là
cầu nối giữa các cấp học. Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh những
phẩm chất, năng lực của con người lao động mới đó là: năng động, sáng tạo, thích
ứng với sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội .Vì vậy, học sinh phải
được học và tiếp cận với tất cả các bộ môn khoa học cơ bản, trong đó môn toán
đóng vai trò then chốt.Với mục tiêu của việc dạy môn toán ở trường THCS hiện
nay các em cần được cung cấp những kiến thức, phương pháp toán học phổ thông,
cơ bản, thiết thực. Chính vì vậy các em cần được tăng cường luyện tập, rèn luyện
kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn
học khác.
Trong chương trình môn toán THCS, môn Đại số có rất nhiều ứng dụng. Các
bài toán đại số giúp các em giải được nhiều bài toán một cách thuận lợi hơn và đặc
biệt là rất nhiều bài toán liên hệ với thực tiễn cuộc sống. Trong chương trình toán
THCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan trọng đặc biệt. Nó không những giúp
cho chúng ta một phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu
thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,…
Đầu học kỳ I của lớp 8, học sinh đã được học “Bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ”. Các hằng đẳng thức này rất quan trọng đối với nội dung kiến thức môn toán
không chỉ ở lớp 8 mà còn cả ở các lớp sau này.
Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ”, đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một
số dạng bài tập như : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh hằng đẳng thức,…
Tuy nhiên, để nhìn nhận ra các hằng đẳng thức trong một số trường hợp học sinh
còn lúng túng. Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo các biểu thức có
liên quan đến hằng đẳng thức là một việc rất cần thiết, đó là các thao tác cơ bản giúp
các em không chỉ về mặt kiến thức mà còn rèn luyện tư duy toán học rất tốt.
Trong khuôn khổ chuyên đề này, chúng tôi đ ưa ra một số ví dụ minh hoạ với
các tình huống từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi biến đổi biểu
thức có vận dụng đến hằng đẳng thức.
2. Phạm vi
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
1
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
- Môn Đại số lớp 8.
- Chương I: Phép nhân và phép chia đa thức.
- Các bài toán: Rút gọn, tính toán, chứng minh,…
- Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo.
3. Mục đích
- Nâng cao chất lượng dạy và học.
- Học sinh hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập.
- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các dạng toán áp dụng
hằng đẳng thức, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.
- Học sinh có khả năng phân tích, phán đoán và làm tốt các bài toán áp dụng
hằng đẳng thức.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
- Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự
mình tìm ra kiến thức mới, không những tìm ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản,
các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn.
- Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào
thực tiễn cuộc sống.
PHẦN II : NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
2
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
--------------------------------------------------I. Cơ sở lý luận, khoa học của chuyên đề
Ngành giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ thông
bao gồm: đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy và học, đổi mới chương trình
sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý, đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới
cách kiểm tra đánh giá v.v…nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, môn Toán
đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ được phát triển tư
duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với mọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát
triển của đất nước ta hiện nay. Học tốt môn Toán sẽ giúp học sinh học tốt các môn
học khác. Xưa nay, đây là môn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc
đến, việc học toán đối với học sinh là một điều hết sức khó khăn. Hơn thế nữa,
chúng ta đang ra sức để xóa bỏ tình trạng học sinh ngồi nhầm lớp. Tất cả những lý
do trên xuất phát từ những nguyên nhân khách quan và chủ quan như: Học sinh
chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên còn ôm đồm kiến thức trong giảng
dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong việc dạy học bộ môn,…
Học toán đồng nghĩa với giải toán.Trong học tập muốn làm được bài tập ngoài
việc có một phương pháp suy luận đúng đắn đòi hỏi học sinh phải nắm được các
công thức, các quy tắc, định nghĩa, khái niệm, đinh lý,…
Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình độ
tri thức của con người phát triển rõ rệt. Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của mọi
người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu
học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển ở học sinh
“Những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề ở
từng góc độ khác nhau. Tìm tòi những cái cũ trong cái mới”. Để phát huy tính
tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình
huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới.
Để góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của con
người lao động mới môn toán có một vai trò rất quan trọng. Học sinh học toán được
hình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán, biến đổi, đo đạc, vẽ hình,... Các em rèn
luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp lôgic, khả năng quan sát dự đoán, bồi dưỡng
các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo. Bước đầu hình thành khả năng
vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác.
Do vậy việc dạy và học toán cần đạt các yêu cầu sau:
- Đảm bảo tính hệ thống, khoa học.
- Học đi đôi với hành.
- Tích cực, tự lực, say mê học tập.
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
3
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
- Rèn luyện kỹ năng tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và
vào các môn học khác.
Để áp dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập toán yêu cầu học sinh
phải nắm chắc các hằng đẳng thức sau:
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. a2 - b2 = (a + b)(a – b)
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Hoặc : (a + b)3 = a3 + b3+ 3ab(a + b)
5. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Hoặc : (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
6. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
7. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Ta cũng có các hằng đẳng thức mở rộng:
(a + b + c)2 = a2 + b2+c2 +2ab +2ac + 2bc
(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
Một số hằng đẳng thức tổng quát:
8. (a1+ a2+…..+ an)2 = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an
9. an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + ….. + abn-2 + bn )
(với mọi n nguyên dương).
n
10. a + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - ….. – abn-2 + bn ) (với mọi n lẻ).
11. (a + b)n = an +c1 an-1b +c2 an-2b2 + ….. +cn-1 abn-1 + bn
Khi khai triển (a + b)n ta được một đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu là a n,
hạng tử cuối là bn, các hạng tử khác đều chứa a và b; Bậc của mỗi hạng tử đối với
tập hợp biến a, b là n. Các hệ số c1, c2 , …. cn-1 được xác định bởi bảng tam giác
Pascal như sau:
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
4
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
Hình 1
Hình 2
Nhận xét :
- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1.
- Cộng mỗi số với số liền sau bên phải thì được số đứng hàng dưới của số
liền sau ấy, như ở hình 2.
II. Phương pháp nghiên cứu
- Xuất phát từ các bài tập trong sách giáo khoa và những kiến thức đã học để
học sinh làm được các dạng bài tập: Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức,
chứng minh đẳng thức,…
- Để hình thành kỹ năng này cho học sinh khi giảng dạy giáo viên phải tạo ra
các tình huống có vấn đề. Học sinh phải được thực hành nhiều trên cơ sở vận dụng
các kiến thức đã học vào việc giải bài tập.
- Về nguyên tắc phải đi từ cái đã biết đến cái chưa biết, từ đơn giản đến phức
tạp, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.
- Phương pháp nghiên cứu chính là:
+ Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi mới.
+ Bước đầu áp dụng thử nghiệm với học sinh lớp 8 trường THCS Trung Kiên
+ Tổng kết rút ra bài học kinh nghiệm.
III. Một số dạng toán cụ thể
Dạng toán 1: Rút gọn biểu thức
* Cách làm :
- Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng các hằng đẳng thức cơ bản đã học để
rút gọn.
- Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn:
* Các ví dụ:
Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức:
a. A = (x2 + 2)2 – (x + 2)(x – 2)(x2 + 4)
b. B = (x2- xy + y2)(x - y)(x + y)(x2 + xy + y2)
c. D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b – c - a)2 + (c - a - b )2
Giải:
a, A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4)
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
5
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
= x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4)
= x4 + 4x2+4 - x4 +16
= 4x2 + 20
= 4(x2 +5)
b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2)
= [(x+y)(x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)].
= (x3- y3)(x3+y3)
= x6 – y6
c, C = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2
= a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc
+a2 +b2+c2 - 2ab – 2bc + 2ac + a2 +b2+c2 - 2ac - 2bc + 2ab
= 4(a2 +b2+c2)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau em sẽ biết được Sự kiện ngày 1/11/2013
D = (3x + 2.104)2 – 2(3x + 2.104)(3x +104 ) + (3x + 104)2 – 107
Giải:
D = (3x + 2.104)2 – 2(3x + 2.104)(3x +104 ) + (3x + 104)2 – 107
= [(3x + 2.104) – (3x + 104)]2 – 107
= (3x + 2.104 – 3x – 104)2 – 107
= (104)2 – 107 = 108 – 107 = 90000000
D = 90000000
(Thời khắc 02h45 phút ngày 01/11/2013 đã đi vào lịch sử phát triển nhân khẩu
học cũng như lịch sử phát triển của dân tộc Việt Nam với sự ra đời của công dân
thứ 90 triệu )
Dạng toán 2: Tính giá trị của biểu thức.
* Cách làm: Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm theo hai cách:
+ Thay trực tiếp giá trị của biến vào để tính.
+ Rút gọn biểu thức rồi sau đó thay giá trị của biến vào để tính.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính nhanh:
A = 2632 + 74. 263 + 372
63 2 47 2
B=
215 2 105 2
C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +…..+12)
Giải :
A = 2632 + 2.37. 263 + 372
= (263 + 37)2
= 3002 = 90000.
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
6
Trường THCS Trung Kiên
(63 47)(63 47)
Tổ: Khoa học tự nhiên
110.16
16
1
B = (215 105)(215 105) =
320.110 320 20
C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
2C = (3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (32-1). )(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (38-1)(38+1)(316+1)(332+1)
= (316-1)(316+1)(332+1)
= (332-1)(332+1)
= 364- 1
C
364 1
2
D = (502 + 482 + 462 + … +22) – (492 + 472 + … +12)
= (502- 492) +(482-472) + … +(22 – 1)
= 50 + 49 + 47 + … +2 +1
=
(50 1).50
= 1275
2
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
7
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
Ví dụ 2:
a. Cho x = -2. Tính giá trị biểu thức:
A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1).
b. Cho x – y = 5. Tính giá trị biểu thức :
B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65
c. Cho x+y = a , x2+y2 = b. Tính x3+y3 theo a và b.
Giải :
a) A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1)
= x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x(x2-1) + 3(x3 – 1)
= x3 – 3x2 + 3x – 1 – 4x3 + 4x + 3x3 – 3
= – 3x2+7x – 4
Thay x = -2 vào biểu thức, ta được :
A = -3(-2)2 + 7.(-2) – 4 = -30.
b) B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65
= x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy +65
= (x – y)2 + 2(x- y) +65
= (x – y + 1)2 + 64
Thay x – y = 5 vào biểu thức, ta được :
B = (5+1)2 + 64 = 100.
c) Ta có :
x3+y3 = (x +y)(x2- xy +y2)
= (x +y)[( x2+y2) – xy]
= a(b – xy) (1)
Từ x+y = a , x2+y2 = b (x +y)2 = a2
x2+ 2xy + y2 = a2
2xy + b
= a2
a2 b
xy
(2)
2
a2 b
3ab a 3
)
Từ (1) và (2) ta có : x 3 y 3 a(b
2
2
Dạng toán 3 : Chứng minh các đẳng thức
* Cách làm : Để chứng minh đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi:
+ Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại.
+ Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức.
+ Xét hiệu VT – VP = 0 hoặc VP – VT = 0.
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
8
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
a. a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
b. (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2
c. 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20062
Giải:
a. a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
VP = (a+b)3 – 3ab(a+b)
= a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 – 3a2 b – 3ab2
= a3+ b3
Vậy VT = VP, đẳng thức được chứng minh.
b. (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2
VT = (a2+b2) (c2+d2) = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (1)
VP = (ac + bd)2+(ad – bc)2
= a2c2+2abcd + b2d2 + a2 d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra VT = VP, đẳng thức được chứng minh.
c. 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20072
Xét hiệu VT – VP , ta được :
(20032- 20022) +(20052 - 20042 ) - (20012- 20002 ) – (20072 – 20062)
= 4005 + 4009 – 4001 – 4013 = 0
VT - VP = 0, đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
a. Nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc
b. Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
Giải :
a. Nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc
Do a + b + c = 0 a = - (b +c)
Ta có a3+b3+c3 = [- (b+c)]3 +b3+c3
= - b3- 3b2c – 3bc2 -c3 +b3+c3
= - 3b2c – 3bc2
= -3bc(b+c)
= -3bc(-a)
= 3abc.
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a3+b3+c3 = 3abc
b. Nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
9
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
Từ a2 – b2 – c2 = 0 c2= a2 - b2
Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) 2 – (4c)2
= 25a2 – 30ab +9b2 – 16c2
= 25a2 – 30ab +9b2 – 16(a2 – b2)
= 25a2 – 30ab +9b2 – 16a2 +16b2
= 9a2 – 30ab +25b2
= (3a – 5b)2
Vậy nếu a2 – b2 – c2 = 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2
Dạng toán 4 : Tìm số chưa biết
Ví dụ 1: Tìm x, y biết
a. (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15
b. (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15
c. x2 – 2x + y2 + 4y +5 = 0
Giải :
a. (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15
x3 + 8 - x3 – 2x
= 15
2x = -7
x =
7
2
b. (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15
x3 – 6x2 + 12x – 8 - x3 + 27 + 6x2 + 12x +6 = 15
24x = -10
x=
5
12
c. x2 – 2x + y2 + 4y +5 = 0
(x2 – 2x+1) +( y2 + 4y +4) = 0
(x-1)2 +(y+2)2 = 0
Vì (x-1)2 ≥ 0 với mọi x, (y+2)2 ≥ 0 với mọi y nên để (x-1)2 +(y+2)2 = 0
( x 1) 2 0
( y 2) 2 0
x 1
y 2
Ví dụ 2 Tìm x biết : 4x2- 20x + 25 = 0
(1)
5
Lời giải: (1) (2x)2- 2.2x.5 + 52 = 0 (2x- 5)2 = 0 2x- 5 = 0 x
2
Vậy : x
5
2
Ví dụ 3 Tìm x biết : ( x2 +2x )( x2 + 2x- 6 ) + 9 = 0
(2)
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
10
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
(2) ( x2 +2x )[( x2 + 2x)- 6 ] + 9 = 0
( x2 +2x )2 – 6.( x2 +2x ) +9 = 0 (x2 +2x – 3)2 = 0
x2 +2x – 3= 0 (x-1)(x+3) = 0 x =1 hoặc x= -3
Vậy x =1 hoặc x= -3
Ví dụ 4 Tìm x biết :
2
2
x2
x2
x 2
+
- 2 x 2
x 1
x 1
4
=0
1
(3)
Lời giải: Điều kiện x 1
x 2
x 2
=y;
= z lúc đó (3) có dạng : y2 + z2 - 2yz = 0
x 1
x 1
Đặt
(y - z)2 = 0 y = z
x2
x 2
=
x 1
x 1
( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )
x2 - 3x + 2 = x2 + 3x + 2
- 6.x = 0 x= 0 ( Thỏa mãn )
Vậy x = 0
Ví dụ 5 : Tìm x biết : x4 = 40x + 96
(4)
Lời giải:
a) Thêm 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình (4) ta được:
x4 + 4x2 + 4 = 4x2 +40x + 100
( x2 + 2)2 = ( 2x +10 )2
x 2 2 2 x 10
x 2 2 x 8 0 (*)
2
2
x 2 (2 x 10)
x 2 x 12 0 (**)
(*) có hai nghiệm phân biệt : x = -2 hoặc x= 4
(**) vô nghiệm.
Vậy x = -2 hoặc x= 4
Ví dụ 6 Tìm x biết : x4 = -104x + 105
(5)
Lời giải: Thêm 16x2 + 64 vào hai vế của phương trình ( 5 ) ta được:
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
11
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
x4 + 16x2 + 64 = 16x2 + 64 -104x + 105
(x2)2 +2.8.x2 + 82 = (4x)2 – 2.4x.13 + 132
(x2+8)2=(4x-13)2
x 2 + 8 = 4x- 13
x 2 + 8 = - (4x- 13)
x 2 -4x + 21=0 (*)
x 2 + 4x- 5=0 (**)
(*) vô nghiệm
(**) Có hai nghiệm : x= 1 hoặc x= -5
Vậy x= 1 hoặc x= -5
Ví dụ 7 Tìm x, y biết : x2 + y2 + 4 = xy + 2.x + 2.y (6)
Lời giải: (5) 2x2 + 2y2 + 2.22 = 2xy+2.2x+2.2y
(x2 -2xy+ y2) +(x2 -2x.2 + 22 ) + (y2 -2y.2 + 22 ) = 0
( x- y)2 +( x- 2)2 +( y- 2)2 = 0
Vế trái là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng 0 khi và chỉ khi:
( x y ) 2 0
( x 2) 2 0
( y 2) 2 0
x y 0
x 2 0
y 2 0
x y
x 2 x y 2
y 2
Vậy x=y=2
Ví dụ 8: Tìm x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = 4x + 6y + 8z -29
(7)
Lời giải:
(7) x2 + y2 + z2 - 4x - 6y - 8z +29 = 0
(x2 – 2.2x +4 )+ (y2 – 2.3y+ 9) +( z2 - 8z +16) = 0
(x – 2)2 + (y– 3)2 +( z - 4)2 = 0
Vế trái là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng 0 khi và chỉ khi:
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
12
Trường THCS Trung Kiên
( x 2) 2 0
( y 3) 2 0
( z 4) 2 0
Tổ: Khoa học tự nhiên
x 2 0
y 3 0
z 4 0
x 2
y 3
z 4
Vậy ( x, y, z)= ( 2, 3, 4)
Dạng toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
I. Các bước giải một bài toán cực trị:
1. Để tìm GTNN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :
+ Chứng minh A(x) ≥ m với m là hằng số.
+ Chỉ ra A(x0) = m (x0 D).
+ Kết luận GTNN của A là m x = x0
2. Để tìm GTLN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :
+ Chứng minh A(x) ≤ m với m là hằng số.
+ Chỉ ra A(x0) = m (x0 D).
+ Kết luận GTLN của A là m x = x0
II. Các kiến thức cần sử dụng :
x2 ≥ 0; x2n ≥ 0 (n N*) với mọi x.
Do đó để tìm GTNN (GTLN) của các đa thức, ta thường phải sử dụng các hằng
đẳng thức bậc hai (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 để biến đổi đa
thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu.
III.Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a. A = x2 + 2x + 3
b. B = 2x2 – x +5
c. C = (x-3)2 + (x+1)2
d. D = x2 - 2x + y2 – 4y + 6
Giải :
a. A = x2 + 2x + 3
= (x+1)2 + 2
Vì (x+1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 2 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= -1.
b. B = 2x2 – x +5
1
x)+5
2
1
1
1
= 2(x2 – 2. x + ) + 5 – 2.
4
16
16
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
B = 2(x2 -
13
Trường THCS Trung Kiên
= 2(x -
Tổ: Khoa học tự nhiên
1 2
7
) +4
4
8
1 2
7
) ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 4 với mọi x.
4
8
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= .
4
Vì (x -
c. C = (x-3)2 + (x+1)2
= x2 – 6x + 9 + x2 + 2x + 1
= 2x2 – 4x + 10
= 2(x2 – 2x + 1) + 8
= 2(x-1)2 + 8
Vì (x- 1)2 ≥ 0 với mọi x nên A≥ 8 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1.
d. D = x2 - 2x + y2 – 4y + 6
= (x – 1)2 + (y- 2)2 + 1
Vì (x- 1)2 ≥ 0 với mọi x ; (y- 2)2 ≥ 0 với mọi y nên A≥ 1 với mọi x, y.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1 và y = 2.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. A = - x2 + 6x - 5
b. B = - 3x2 +2x +4
c. C= - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- 8
Giải :
a. A = - x2 + 6x – 5
= - (x2 - 6x + 9) +4
= 4 – (x – 3)2
Vì (x- 3)2 ≥ 0 với mọi x nên A ≤ 4 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=3.
b. B = - 3x2 +2x +4
1
1
1
x+ )+4+
3
9
3
13
1 2
=
- 3(x - )
3
3
1
13
Vì (x- )2 ≥ 0 với mọi x nên A ≤
với mọi x.
3
3
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = .
3
= -3(x2 – 2.
c.
C = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- 8
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
14
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
= - (x2 - 2xy + y2) – 3(y2 – 4y + 4) + 2(x – y) + 4
= - [(x- y)2 - 2(x –y) +1] – 3(y – 2)2 + 5
= 5 – [(x – y – 1)2 + 3(y – 2)2 ]
Vì (x- y - 1)2 ≥ 0 với mọi x,y ; (y- 2)2 ≥ 0 với mọi y nên A≤ 5 với mọi x, y.
x y 1 0
x 3
y 2 0
y 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Dạng toán 6 : Giải một số bài toán về chia hết.
I. Kiến thức sử dụng :
Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n :
an - bn chia hết cho a – b ( a ≠ b)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b ( a ≠ - b)
(a + b)n = BS a + bn (BS a là bội của a).
Đặc biệt :
(a + 1)n = BS a + 1.
(a - 1)2n = BS a + 1.
II. Các ví dụ :
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng:
a. 251 – 1 chia hết cho 7.
b. 1719 + 1917 chia hết cho 18.
Giải : a. Ta có 251 – 1 = (23)17 – 1 chia hết cho 23 – 1 = 7.
b. 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1)
Vì 1719 + 1 chia hết cho 17+1 =18 và 1917 – 1 chia hết cho 19 -1 = 18
nên 1719 + 1917 chia hết cho 18.
Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên n sao cho 2n – 1 chia hết cho 7.
Giải :
- Nếu n = 3k (kN) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k – 1 chia hết cho 7.
- Nếu n = 3k + 1 (kN) thì 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.( 23k – 1) + 1 = BS 7 + 1.
- Nếu n = 3k +2 (kN) thì 2n – 1 = 23k+2 – 1 = 4.(23k – 1)+3 = BS 7 +3.
Vậy 2n – 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi n = 3k (kN).
Dạng toán 7 : Chứng minh một số là số chính phương.
Ví dụ 1 : Cho M là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng M + 1 là số
chính phương.
Giải :
Đặt M = n(n+1)(n+2)(n+3) (n Z)
M +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1
15
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng 1 là số chính phương.
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương.
...1 44
...
4 1 (n N)
A = 11
2n
n
Giải :
...1 = a thì 9a + 1 = 10n
Đặt 11
n
A = a. 10n + a + 4a + 1
= a(9a+1) + 5a +1
2
...
34
= (3a+1)2 = 33
n 1
Vậy A là số chính phương.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1 : Rút gọn biểu thức:
a. x(x- a)(x + a) – (x + a)(x2 – ax + a2)
b. (a+b+c)3 + (a - b – c)3 + (b – c – a)3 + (c – a – b)3
c. (x – y – 1)3 – (x – y +1)3 + 6(x –y)2
Bài 2 :Chứng minh các hằng đẳng thức:
a. (a+b+c)3 - a3 - b3 – c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c)
b. (a2- b2)2 + (2ab)2 = (a2+b2)2.
Bài 3 : Cho a + b +c = 2p. Chứng minh rằng :
a. a2 – b2 – c2 + 2bc = 4(p - b)(p - c)
b. p2+ (p – a)2 +(p – b)2 +(p – c)2 = a2 + b2 + c2
Bài 4 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương.
...155
...
5 1 (n N)
B = 11
n
n
Bài 5 : Tìm GTLN của biểu thức:
A = - x2 + 6x +1
B = - x2 + 4x
C = - 3x2 – 2xy – 2x – y2 + 2y + 2
D = - x4 + 16x2 + 12x + 9
Bài 6 : Tìm GTNN của biểu thức :
A = x2 – 3x + 5
B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
C = x4 + x2 – 6x + 9
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
16
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
D = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 12
Bài 7 : Cho các số tự nhiên a và b . Chứng minh rằng :
a. Nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b. Nếu a2 + b2 chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.
Bài 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Bài 9: Tính
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Bài 10: Tìm x, y, z biết rằng
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Bài 11: Cho a b 0 , biết
a/
3a 2 3b 2 10ab .
Tính
b/ 2a 2 2b 2 5ab . Tính
P
Q
a b
a b
a b
a b
IV/ Hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề :
Qua quá trình giảng dạy cho cho học sinh tôi nhận thấy các em rất ham học.
Các em đã tìm tòi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức dưới sự hướng dẫn của
giáo viên. Các em đã được rèn luyện khả năng tư duy toán học và kỹ năng tính toán
tương đối thành thạo.
Từ việc nắm chắc, ghi nhớ các “Hằng đẳng thức” giúp các em đã biết vận dụng
lý thuyết vào giải bài tập và đặc biệt là biết vận dụng kiến thức đã học để giải các
bài tập có ứng dụng thực tế một cách thành thạo. Học sinh đã biết vận dụng hằng
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
17
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
đẳng thức để có lời giải ngắn gọn, khoa học hơn. Cũng từ việc nắm chắc các hằng
đẳng thức giúp các em tiếp cận với các dạng toán một cách tự tin hơn.
Bảng thống kê điểm kiểm tra khi chưa sử dụng chuyên đề ở lớp 8
năm học 2012-2013
Từ bảng 1 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp chỉ đạt 4,8 điểm. Số học
sinh đạt điểm thấp cũng nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm dưới trung bình.
Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau khi thực hiện chuyên đề ở lớp 8
năm học 2013-2014:
+ Từ bảng 2 cho thấy điểm trung bình chung của cả lớp đó đạt được 5,4 điểm. Số
học sinh đạt điểm thấp chỉ cũng ít, 5 em ( 18,6%) có điểm dưới trung bình.
- Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I của năm học: 2012-2013 và
học kì I năm học: 2013-2014 của lớp 8 trường THCS Trung Kiên
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
18
Trường THCS Trung Kiên
Tổ: Khoa học tự nhiên
- Dựa vào bảng 3 ta có thể thấy rõ hiệu quả của việc sử dụng chuyên đề :
- Loại giỏi tăng: 0.3%.
- Loại khá tăng: 1.2%.
- Loại trung bình tăng: 24.2%.
- Loại yếu giảm: 14.5%
- Loại kém giảm: 8.1%
- Đặc biệt điểm trung bình chung của cả lớp đó tăng 1.6 điểm.
CHUYÊN ĐỀ: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN
19
- Xem thêm -
.DOC 
23 
5 
99 
