chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc
vµ bÈy h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc:
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);
b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
1 2
x y(2x3 2
1
2
e) xy( x2 2
3
c)
2 2
xy - 1);
5
3
4
xy + y2);
4
5
g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;
i)
d)
2
x(1,4x - 3,5y);
7
f)(1 + 2x - x2)5x;
h)
3 4
x (2,1y2 - 0,7x + 35);
7
2 2
x y(15x - 0,9y + 6);
3
Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.
3
.
2
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)
víi a =
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2
víi x = 2,1.
víi a = -0,2.
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)
víi b =
1
2
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);
b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
1
2
c) (- x)3 - x(1 - 2x -
1 2
x );
8
d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15
víi x = 79.
14
13
12
11
2
b) Q(x) = x - 10x + 10x - 10x + …+ 10x - 10x + 10 víi x = 9.
c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1
víi x = 31.
d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x
víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :
a) 356 - 355 chia hÕt cho 34
b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.
Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
a) nÕu 2a + b M13 vµ 5a - 4b M13 th× a - 6b M13;
b) nÕu 100a + b M7 th× a + 4b M7;
c) nÕu 3a + 4b M11 th× a + 5b M11;
II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc.
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);
b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
1
c)
1 2 2
x y (2x + y)(2x - y);
2
e) (x - 7)(x - 5);
1
2
d) ( x - 1) (2x - 3);
f) (x -
1
1
)(x + )(4x - 1);
2
2
g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bµi 2.Chøng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;
b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bµi 6. T×m x, biÕt:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :
M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ?
HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0 hoÆc
2. ThËt vËy nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng
chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d 2
( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1 nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn
tiÕp.
Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng AM100
HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)
Th�
a s�th�nh�
t 2 + 211 2050 �
100
�� AM4100 � AM
Th�
a s�th�hai ch�
n
�
III) C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. TÝnh
2
a) (x + 2y)2;
b) (x - 3y)(x + 3y);
c) (5 - x)2.
d) (x - 1)2;
e) (3 - y)2
f) (x -
Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng:
a) x2 + 6x + 9;
b) x2 + x +
1
;
4
1 2
).
2
c) 2xy2 + x2y4 + 1.
Bµi 3. Rót gän biÓu thøc:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bµi 4. øng dômg c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau;
a) (y - 3)(y + 3);
b) (m + n)(m2 - mn + n2);
c) (2 - a)(4 + 2a + a2);
d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
3
3
e) (a - x - y) - (a + x - y) ;
f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)
b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
2
2
c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b);
d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) x2 - y2 t¹i x = 87
víi y = 13;
b) x3 - 3x2 + 3x - 1
Víi x = 101;
c) x3 + 9x2 + 27x + 27
víi x = 97;
d) 25x2 - 30x + 9
víi x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49
víi x = 4.
Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)
víi x = - 5, y = -3;
b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)
víi a = -4, b = 4.
Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bµi 9. T×m x, biÕt:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
2
2
c) 3(x + 2) + (2x - 1) - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bµi 10.TÝnh nhÈm theo c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c sè sau:
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
2
2
2
2
2
2
c) 29 - 8 ; 56 - 46 ; 67 - 56 ;
Bµi 11. Chøng mih c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;
b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
6
6
2
2
2
2
2
2
2
c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ];
d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 12. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2
(2)
TÝnh a4 + b4 + c4.
Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
3
c) a + b + c =
4
4
4
a
2
b2 c2
2
;
2
Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña
biÕn.
a) 9x2 - 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3.
Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b.
TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b:
a) x2 + y2;
b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5;
3
3
Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x + y + 3xy.
b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 28. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:
a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng:
ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng
c¸ch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc :
16, 1156, 111556, …
Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1),
b = 11…14(n ch÷ sè 1).
Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh
r»ng a + b + c + 8 lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng:
{ 22...2
{
{ 44...4
{ 1
a) A = 11...1
b) B = 11...1
2n
n
2n
n
Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ?
{ 00...0
{ 25 ;
{
{
a) A = 99...9
b) B = 99...9800...01
;
n
n
{ {
c) C = 44...488...89
;
n
n1
n
n
{ {
d) D = 11...122...25
.
n
4
n1
chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
5
*) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) 3x - 3y
B�
i 3: Ph�
n t�
ch �
a th�
c th�
nh nh�
n t�
b) 2x 5x x y
a) 4x2 6x;
c)14x 2 21xy 2 28x 2 y 2
b)21x2 y 12xy2 ;
d)4x 3 14x 2
c)x3 x2 2x;
e)5y10 15y 6
d)3x x 1 7 x2 x 1 ;
f)9x 2 y 2 15x 2 y 21xy
g)x(y 1) y(y 1)
h)10x(x y) 8y(y x)
e)x2 y2 z xy2 z2 x2 yz;
2
3
2
f )2x x 1 2 x 1 ;
g)4x x 2y 8y 2y x
i)3x (x 1) 2(x 1)
j)a(b c) 3b 3c
k)a(c d) c d
l)b(a c) 5a 5c
m)b(a c) 5a 5c
n)a(m n) m n
o)mx my 5x 5y
p)ma mb a b
q)1 xa x a
2
B�
i 4: T�
nh gi�tr ��
c a bi�
u th�
c
a) 15.91,5+ 150.0,85
b) 5x5 (x 2z) 5x5 (2z x)t �
i x= 1999; y= 2000
B�
i 4: T�
m x, bi�
t
a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1 2
c) x(2x-1)+ x 0
3 3
d)x(x 4) (x 4) 2 0
r)(a b)2 (b a)(a b)
e)x2 5x 0;
f )3x(x 2) 2(2 x) 0;
g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) 0.
t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )
B�
i 2: Ph�
n t�
ch c�
c�
a th�
c sau th�
nh nh�
n t�
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
2
2
e)(x 5)2 3(x 5)
B�
i 5:Ch�
ng minh r �
ng
a) B�
nh ph�
�
ng c�
a m�
t s��
l chia cho 4
th��
d 1
b) B�
nh ph�
�
ng c�
a m�
t s��
l chia cho 8
th��
d 1
f)2x(x 3) (x 3)2
B�
i 6: ch�
ng minh r �
ng:
c) y 2 (x 2 y) zx 2 zy
d)3x(x 7)2 11x 2 (x 7) 9( x 7)
n 2 n 1 2n n 1
g)x(x 7) (7 x)2
lu�
n chia h�
t cho 6 v�
i m�
i s�nguy�
n n.
h)3x(x 9)2 (9 x)3
i)5x(x 2) (2 x)
j)4x(x 1) 8x 2 (x 1)
k)p m 2 .q p m 1 .q 3 p 2 .q n 1 p.q n 3
o)5x5 (x 2z) 5x 5 (2z x)
p)10x(x y) 8y(y x)
q)21x 2 12xy 2
r)2x(x 1) 2(x 1)
t)4x(x 2y) 8y(2y x)
II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc:
1) Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi c¸c ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
6
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bµi tËp:
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 - 9;
b) 4x2 - 25;
6
6
c) x - y
d) 9x2 + 6xy + y2;
2
e) 6x - 9 - x ;
f) x2 + 4y2 + 4xy
2
g) 25a + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2
i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy +
1 2
y
36
k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
n) x3 + y3 + z3 - 3xyz.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 8;
b) 27x3 -0,001
6
3
c) x - y ;
d)125x3 - 1
3
2
e) x -3x + 3x -1; f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
� 4 �
�
b) M = �
4
abcd
a
b
c
d
cd
a
b
ab
c
d
�
� �
�
Bµi 4 TÝnh nhanh:
a) 252 - 152;
b) 872 + 732 - 272 - 132
2
2
c) 73 -27 ;
d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bµi 5 T×m x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0;
d) x2 - 2x = -1
3
2
e) x + 3x = -3x - 1
Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bµi 7 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bµi 8 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m c¸ch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp sao
cho khi ph©n tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - xy + x - y;
b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
d) x2 + 4x - y2 + 4;
e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;
2
2
2
f) x -2xy + y - z + 2zt - t2;
g) x2 - x - y2 - y;
h) x2 - 2xy + y2 - z2;
i) 5x - 5y + ax - ay;
3
2
j) a - a x - ax + xy;
k) 7a2 -7ax - 9a + 9x;
l) xa - xb + 3a - 3b;
Bµi 2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;
b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy;
d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;
b) a4 + ab3 - a3b - b4;
7
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;
Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;
c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b;
Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x +
1
;
3
c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;
d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
Bµi 6 T×m x, biÕt:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;
b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
c) x2 - 6x + 8 = 0;
d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;
f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau;
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5
Bµi 8. TÝnh nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;
b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
- §Æt nh©n tö chung.
- Dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) 2xy - x2 - y2 + 16;
4
3
3
2
3
2
d) a + a + a b + a b
e) a + 3a + 4a + 12;
f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;
h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
2
2
3
2
i) 4a - 4b - 4a + 1;
j) a + 6a + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.
Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);
b) (x + y)3 - x3 - y3;
2
2
c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ;
d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;
h) x5 - 5x3 + 4x;
3
2
4
2
2
4
i) x - 11x + 30x;
j) 4x - 21x y + y ;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;
l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24;
m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
2
2
o) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) - 6.
Bµi 2: T×m x, biÕt.
a) 5x(x - 1) = x - 1;
b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;
d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0
Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) x2 +
1
1
x+
t¹i x = 49,75;
2
16
e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.
c) x3 -
1
x = 0;
4
b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6.
To¸n khã më réng:
Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng?
b) BiÕn ®æi thµnh tÝch c¸c biÓu thøc:
A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2].
Bµi 5. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1
Víi x2 + y2 = 1
4
2
2
4
2
2
2) x + x y + y = a - b
víi x2 + y2 = a, xy = b
3
3
3
3
3
6
6
3) (a + b - a b ) + 27a b = 0
víi ab = a + b.
2
2
2
2
2
4) p + (p - a) + (p - b) + (p - c) = a + b2 + c2
víi a + b + c = 2p.
8
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1.
b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1
víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
b) Më réng: B = 3(22 1)(22 1)(22 1)(22 1)...(22 1)
Bµi 8. Chøng minh:
2
3
a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) =
4
n
1 3
(a + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0
2
Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)
víi a + b + c = 0.
Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng
A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3
V) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c.
1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c.
- Bíc 1: T×m tÝch ac.
- Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
- Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b.
C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 4x2 - 4x - 3;
b) x2 - 4x + 3;
c) x2 + 5x + 4;
2
2
d) x - x - 6;
e) x + 8x + 7;
f) x2 - 13 x + 36;
g) x2 +3x - 18;
h) x2 - 5x - 24;
i) 3x2 - 16x + 5;
2
2
j) 8x + 30x + 7;
k) 2x - 5x - 12;
l) 6x2 - 7x - 20.
1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a.
Trong ®ã a lµ íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an.
b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4.
LÇn lît kiÓm tra víi x = �1, �2, �4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
§a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2.
Ta t¸ch nh sau:
C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2 + x + 2).
3
2
C¸ch 2: x - x - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn
phô nh»m “ gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch.
2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.
b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®îc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24
víi y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®îc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc
hiÖu hai b×nh ph¬ng.
*) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2]
9
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x)
*) Bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) f(x) = x4 + 324
b) f(x) = x8 + 1024;
c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 +
1
4
�4 1 �
�4 1 � � 4 1 �
1 �
2 �
... �
19 �
�
�
4�
4��
4�
�
�
b) ¸p dông: Rót gän S =
�4 1 �
�4 1 � � 4 1 �
2 �
4 �
... �
20 �
�
�
4�
� 4�
� 4� �
4) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña c¸c thõa sè chøa biÕn
cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Gi¶i:
Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y
nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y),
(y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z,
Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®îc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) � 2 = -2k � k = -1
vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn.
Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè
a) 6x2 - 11x + 3;
b) 2x2 + 3x - 27;
c) 2x2 - 5xy + 3y2;
d) 2x2 -5xy - 3y2.
Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè:
a) x3 + 2x - 3;
b) x3 - 7x + 6;
3
2
c) x + 5x + 8x + 4;
d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
3
2
e) x - x - 4;
f) x3 - x2 - x - 2;
g) x3 + x2 - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch).
x3 - 7x - 6.
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;
b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
2
2
c) (x + x + 1)(x + x + 2) - 12;
d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô)
a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
HD: §Æt x = a + b, y = a - b.
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
4
e) 4x + 1;
f) 64x4 + y4;
4
g) x + 324;
h) x8 + x + 1;
7
5
i) x + x + 1;
j) x8 + x4 + 1;
6
4
2
2
4
6
k) a + a + a b + b - b ;
l) x3 + 3xy + y3 - 1.
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
4
3
2
c) x - 7x + 14x - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
x8 + 98x2 + 1.
Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng).
a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c
10
chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøc
I) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (trêng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B).
1) Ph¬ng ph¸p:
- Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B.
- Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã trong B.
- Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®îc víi nhau.
1) VÝ dô vµ bµi tËp:
Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:
a) 10015 : 10012;
b) (-79)33 : (- 79)32;
16
14
21
1 � �1 �
c) �
� � :� �;
18
3� � 3�
d) �
� :�
�.
�
5
5
�2 � �2 �
� � � �
Bµi 2. Chia c¸c ®¬n thøc:
1 3 4 5
3
a b c ) : a2bc5;
2
2
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;
b) (
c) x2yz : xyz;
e) 18x2y2z : 6xyz;
g) 27x4y2z : 9x4y;
d) x3y4 : x3y;
f) 5a3b : (-2a2b);
h) 9x2y3 : (-3xy2);
i) (
j) 5x4y3z2 : 3xyz2;
3 2 4
1
m n ) : m2n2;
4
2
3
1
(a - b)5 : (b - a)2;
2
2
k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);
l)
n) (x + y)2 : (x + y);
m)(x - y)5 : (y - x)4;
o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;
¬) 0,5ambnc3 : (
p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
(-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x =
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:
2 2
a bc);
3
1
vµ y = -1.
2
4 2 3 6 3 2
1
x y + x y ) : 2xy;
b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x);
3
5
3
3
6
9
3
c) ( a3b6c2 + a4b3c - a5b2c3) : a3bc;
4
5
10
5
a) (xy2 -
d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn
t×m ®îc h·y thùc hiÖn phÐp chia ®ã .
a)x2n : xn + 3;
b) 3xny2 : 4x2y;
3
5
n
2
c) 6x y : 5x y ;
d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc.
1) Ph¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;
b) (163 - 642) : 83;
Bµi 2. Lµm tÝnh chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;
b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
c) (x3y3 -
1 2 3
1
x y - x3y2) : x2y2;
2
3
d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 +
2 4
a );
3
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;
h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
3
2
2
3
i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
11
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 +
15 2mn n-1 p+2
a b c x) : (-3a3-mb5c4);
4
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).
Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
3
3
c) (x - 8y ) : (x + 2y);
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2.
A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp:
1) Ph¬ng ph¸p chung:
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc
h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa
t×m ®îc, ta ®îc d thø nhÊt.
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thø hai cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö thø hai cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø hai.
- LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi:
+) nÕu d cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt.
+) nÕu d cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th×
phÐp chia ®ã ®îc gäi lµ phÐp chia cã d.
2) Ký hiÖu:
A(x) lµ ®a thøc bÞ chia;
B(x) lµ ®a thøc chia;
Q(x) lµ ®a thøc th¬ng;
R(x) lµ ®a thøc d;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt.
- NÕu R(x) �0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ
phÐp chia cã d.
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);
b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
4
3
2
2
c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3);
Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn:
a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);
c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng
vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt;
a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
HD:
a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt:
x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
Trong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®îc:
12
r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
vËy d trong phÐp chia lµ 9.
b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a thøc d thø
nhÊt lµ 2x - 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp
chia ®îc n÷a. Do ®ã phÐp chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1.
Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng
vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt.
a) (8x2 - 6x + 5) : (x -
1
);
2
b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
d) (64a3 -
1 3
4
1
b ) : (16a2 + ab + b2).
27
3
9
4) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th¬ng vµ ®a thøc d:
4.1) Ph¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia:
VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
Thùc hiÖn phÐp chia
x3
+ ax
+ b
x2 + x - 2
x3 + x2 - 2x
-x2 + (a +2)x
+ b
x-1
-x2 x + 2
(a + 3)x + (b -2)
§Ó chia hÕt, ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn :
a 3
�a 3 0
�
��
�
b2 0
b2
�
�
vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.
4.2) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
- NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai
®a thøc h»ng ®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) �g(x).
- Hai ®a thøc (®· viÕt díi d¹ng thu gän) ®îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi
c¸c hÖ sè cña c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
§a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt,
h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x.
Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã:
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn :
c 1 0
c 1
�
�
�
�
c2 a � �
a 3
�
�2c b
�
b2
�
�
VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1.
4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn lît cho x = 1, x = -2 ta ®îc :
13
1 a b 0
a b 1
a 3
�
�
�
��
��
�
8 2a b 0
2a b 8
b2
�
�
�
Víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1.
4.4) Ph¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du
a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a
thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)).
b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0
C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn.
Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè.
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - x - 2.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4.
Bµi 3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;
b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.
HD: ta cã kÕt qu¶
a) a = 1; b = 1;
b) a = 3; b = -1.
Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1;
b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2.
HD
a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3
Suy ra -3 M(x + 1) � x �{0; -2; 2; -4}.
b) x � {3; 1; 5; -1}.
Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia
hÕt cho x + 1.
HD
*) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®îc th¬ng lµ
2
2
a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6
- §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ
-a2 + a + 6 = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc a = -2; a = 3.
*) C¸ch 2. (Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh).
+) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a
+) BiÓu diÔn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ®Ó
t×m ra a = -2; a = 3 vµ kÕt luËn.
*) C¸ch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng).
Bµi 6. X¸c ®Þnh h»ng sè a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1.
Bµi 7. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b.
Bµi 8. T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th×
d - 5.
Chuyªn ®Ò ph©n thøc ®¹i sè
I) Ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét biÓu thøc cã
d¹ng
A
, trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0
B
A lµ tö thøc (tö).
B lµ mÉu thøc
Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1.
b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau:
14
Víi hai ph©n thøc
A
C
A
C
vµ , ta nãi =
nÕu A.D = B.C
B
D
B
D
2) Bµi tËp:
Bµi 1. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
x2 x 2
x
;
x2
x 2 y 3 7 x3 y 4
a)
;
5
35 xy
b)
2
c) 3 x x 6 x2 9 ;
3
2
d) x 4 x x 2 x ;
3 x
9 x
5 y 20 xy
e)
;
7
8x
x 2 x 1
g) x 2
;
x 1
x2 1
3
i) 2 x 8 x 2 .
x 2x 4
x x 2
2
10 5 x
3x x 5
5
3x
f)
;
2 x 5
2
2
2
h) x x 2 x 3x 2 ;
x 1
x 1
Bài 2. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau, h·y t×m ®a thøc A trong mçi ®¼ng thøc
sau.
A
6 x 2 3x
;
2 x 1 4x2 1
2
c) 4 x 2 7 x 3 2 A
;
x 1
x 2x 1
2
b) 4 x 3x 7 4 x 7 ;
2
a) 5 x 3 5 x 213x 6 ;
b) x 1
a)
A
2x 3
2
d) x2 2 x x 2 x .
2 x 3x 2
A
2
Bµi 3. B¹n Lan viÕt c¸c ®¼ng thøc sau vµ ®è c¸c b¹n trong nhãm häc tËp t×m ra chç sai.
Em h·y söa sai cho ®óng.
x2
x 4
2
c) x 2 2 x 2 ;
x 1 x 1
Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x2 3
;
x 3 x2 6 x 9
2
2
d) 2 x2 5 x 3 22x x 3 .
x 3x 4 x 5x 4
x2 x 2 x 2 x2 4
.
;
;
x2 1 x 1 x2 x 2
Bµi 6. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c ph©n thøc sau:
x2 3
;
x2 6 x 9
2x 1
d) 2
.
x 3x 2
3
;
5x 2
x
c) 2
;
x 3x
a)
b)
Bµi 7. t×m c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó c¸c biÓu thøc sau b»ng 0.
3x 1
;
x2 5
2
c) x 23x 2 ;
x 1
4
3
e) 4 x 3 x 2x 1 ;
x x 2x x 1
2
b) x x ;
a)
2x 1
2
d) 2x 2 x ;
x 4x 4
4
2
f) x4 5 x 2 4 .
x 10 x 9
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó c¸c ph©n thøc sau nhËn gi¸ trÞ nguyªn:
a)
3
;
x x 1
2
b)
2 x 1
c) 3 ;
6
;
x 3
II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
a) TÝnh chÊt:
A
B
A
- TÝnh chÊt 2:
B
- TÝnh chÊt 1:
A.M
(M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0).
B.M
A: M
(M lµ nh©n tö chung kh¸c 0).
B:M
15
x 1
b) Quy t¾c ®æi dÊu:
A A
.
B B
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng
trong c¸c ®¼ng thøc sau:
2
a) x 2 x x ;
2
3
b) x 8 3x 24 x ;
3
2
e) x 2 x ... ;
f)
5 x 5 ...
...
3 x 2 3xy
c)
;
x y 3 y x 2
x 1
2x 1
...
2
x 2 xy y 2
...
d)
;
2
x y
y x2
x 1
5x 5 y 5x2 5 y2
.
...
2 y 2x
Bµi 2. BiÕn ®æi mçi ph©n thøc sau thµnh mét ph©n thøc b»ng nã vµ cã tö thøc lµ ®a thøc A
cho tríc.
8 x 2 8x 2
, A 1 2x ;
b)
4 x 2 15x 1
4x 3
a) 2 , A= 12x 2 +9x ;
x 5
Bµi 3. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét
cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng tö thøc.
a)
3
x 1
vµ
;
x2
5x
b)
2
x5
vµ x 25 ;
4x
2x 3
Bµi 4. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc hoÆc quy t¾c ®æi dÊu ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp
ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc:
3x
7x 2
vµ
;
x 5
5 x
2
x4
c) 2
vµ
;
x 8 x 16
2x 8
a)
4x
3x
vµ
;
x 1
x 1
2x
x3
d)
vµ
;
x 1 x 3
x 1 x 2
b)
Bµi 5. C¸c ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x3 y3
x2
vµ
;
xy 3
y
1 x
x 1
c)
vµ
;
( x 1)(3 x )
( x 1)( x 3)
a)
x2
x2
vµ
;
x y2
x2 y 2
3( x 1)
3( x 1)
d)
vµ
;
2
(1 x)
( x 1) 2
b)
Bµi 6. H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3;
2
a) 3x ;
b)
x 1
x
;
x 1
c)
x 1
.
x x 1
2
Bµi 7. ¸p dông quy t¾c ®æi dÊu ®Ó viÕt c¸c ph¬ng tr×nh b»ng c¸c ph©n thøc sau:
2
a) xy ;
2x x
y 2 x2
c)
;
x y
2
b) 1 x ;
x 1
2 x 1
d)
.
x 2
Bµi 8. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc:
a) x 2 vµ
c)
x
;
x 1
2x y
x
;
3
3 vµ
x y
x y
x
y
vµ ;
2y
x
x 1
1 x
d) 5 4 vµ 4 5 .
x y
x y
b)
Bµi 9. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc:
1
x2
vµ
;
x
x3
x2 y 2
x y
c) 2
vµ
;
2 x xy
x
a)
x
y
vµ ;
y
x
3 2
x y
x2 y3
d)
vµ
;
x y
x y
b)
III) Rót gän ph©n thøc
1) Ph¬ng ph¸p:
- Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung.
16
- Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
14 xy 5 (2 x 3 y)
;
21x 2 y (2 x 3 y ) 2
20 x 2 45
c)
;
(2 x 3) 2
80 x 3 125 x
e)
;
3( x 3) ( x 3)(8 4 x )
2
3
g) 32 x 38 x 2 x ;
x 64
2
i) x2 5 x 6 .
x 4x 4
x 2 xy x y
k) 2
;
x xy x y
2
n) 7 x 214 x 7 ;
3x 3x
2
x xy
o) 2 2 ;
y x
2 2a
p) 3 ;
a 1
4
3
v) x 4 2 x3 ;
2x x
2
2
) ( x 2) ( x 2) ;
16 x
3
2
y) a 3a2 2a 6 ;
a 2
8 xy (3x 1)3
;
12 x3 (1 3 x)
5 x 2 10 xy
d)
;
2(2 y x)3
a)
Bµi 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a)
b)
2
f) 9 2 ( x 5) ;
x 4x 4
3
h) 5 x 4 5 x ;
x 1
10 xy 2 ( x y )
J)
;
15 xy ( x y )3
2
l) 3x 412 x 12 ;
x 8x
2a 2 2ab
m)
;
ac ad bc bd
2x 2 y
¬) 2
;
x 2 xy y 2
2
q) x2 6 x 9 ;
x 8 x 15
7
4
u) x 6 x ;
x 1
2
24,5 x 0,5 y 2
x)
;
3,5 x 2 0,5 xy
(a b)(c d )
z) 2 2 2 2 .
(b a )(d c )
x 2 y 2 xy 2 y 3 xy y 2
;
2 x 2 xy y 2
2x y
b)
45 x(3 x)
;
15 x( x 3)3
b)
x 2 3xy 2 y 2
1
.
3
2
2
3
x 2 x y xy 2 y
x y
Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc:
a)
Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
4
1
a4 x
a) ax
víi a = 3, x = ;
2
2
3
a ax x
3
1
c) x 3 3x5 víi x = ;
2
3x x
2
1
1
e) 10ab2 5a víi a = , b = ;
6
7
16b 8ab
2x 4 y
g)
víi x + 2y = 5;
0, 2 x 2 0,8 y 2
y 2 x2
.
x 3 3 x 2 y 3xy 2 y 3
3
2
b) x 3 x 6 x víi x = 98
x 4x
3
1
d) x 2 2 x3 víi x = ;
2
2x x
7
f) a15 18 víi a = 0,1;
a a
x2 9 y2
h)
víi 3x - 9y = 1.
1,5 x 4,5 y
a b
Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P =
.
ab
4
Bµi 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
a)
x2 y 2
;
( x y )(ay ax)
b)
Bµi tËp n©ng cao.
Bµi 7. Rót gän c¸c biÓu thøc.
17
2ax 2 x 3 y 3ay
;
4ax 6 x 6 y 6ay
a)
c)
e)
g)
i)
k)
n)
o)
p)
u)
m4 m
;
2m 2 2m 2
xy 1 x y
;
y z 1 yz
a 2 b 2 c 2 2ab
;
a 2 b 2 c 2 2ac
a3 1
;
2a 2 4a 2
x 2 (a b) x ab
;
x 2 (a b) x ab
3x3 2 x 2 4 x 5
;
6 x 2 3x 9
a 2 x b2 x
;
ax bx
33 x 33 y
;
3x 3 y
a 2 (b c) b2 (c a) c 2 (a b)
;
ab 2 ac 2 b3 bc 2
x 3 y 3 z 3 3 xyz
;
( x y ) 2 ( y z )2 ( z x )2
2
3
2
b) ab 3 a 4a b ;
a bb
ax ay bx by
d)
;
ax ay bx by
2
2
f) 2 a b 2 ;
a a b b
a 3 (b 2 c 2 ) b3 (c 2 a 2 ) c 3 (a 2 b 2 )
h)
;
a 2 (b c) b 2 (c a) c 2 ( a b)
2
2
2
2
j) x 2 a2 b 2 2bc 2ax c 2 ;
l)
x b a 2bx 2ac c
x x2
.
x2 5x 6
2
m) 1 (2a 3b) ;
2a 3b 1
4m
4n
¬) 22 n 22 m ;
2 2
3
2
q) 2 x3 7 x 2 12 x 45 ;
3 x 19 x 33x 9
x 3 y 3 z 3 3 xyz
)
.
( x y )2 ( y z ) 2 ( z x) 2
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c ph©n thøc sau b»ng 0.
a)
x 4 x3 x 1
;
x 4 x3 2 x 2 x 1
4
2
b) x4 5 x 2 4 .
x 10 x 9
Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhau
x2 y 2 z 2
biÕt r»ng x + y + z = 0.
( y z ) 2 ( z x) 2 ( x y ) 2
3x 2 y
Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A =
, biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0.
3x 2 y
Bµi 10. Rót gän
HD
9 x 2 4 y 2 12 xy 20 xy 12 xy 8 xy 1
9 x 2 4 y 2 12 xy 20 xy 12 xy 32 xy 4
Ta cã A2 =
1
2
4
4
4
4
(1 4)(5 4)(9 4)...(21 4)
Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = 4
.
(3 4)(7 4 4)(114 4)...(234 4)
Do 2y < 3x < 0 � 3x 2 y 0,3x 2 y 0 � A 0 . vËy A = .
HD
XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
(1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2)
(19.21 2)(21.23 2)
1.1 2
1
�
�
.... �
(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2)
(21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577
1
Bµi 13. Cho ph©n sè A =
(mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè
1, 00...01
Do ®ã P =
thËp ph©n.
HD
100
Ta cã A = 10
. Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc:
100
10
1
18
}100 }100
1) 99...9 00...0
A= 10 (10
0,99...9
{ 00...0
{
200
10 1
99...9
100
100
{
100
100
200
(Theo quy t¾c ®æi sè thËp ph©n tuÇn hoµn ®¬n ra ph©n sè).
Bµi 14. Cho ph©n thøc: M =
(a 2 b 2 c 2 )( a b c) 2 ( ab bc ca) 2
(a b c)2 (ab bc ca)
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a, b, c ®Ó ph©n thøc cã nghÜa.
b) Rót gän biÓu thøc M.
HD:
a) §iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ mÉu thøc k¸c 0.
XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 � a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
� 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
� (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
� a+b=b+c=c+a
� a = b = c.
vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0,
tøc lµ a2 + b2 c2 � 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dÆt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y.
x( x 2 y ) y 2 x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
x y a 2 b 2 c 2 ab bc ca
x 2y y
x y
x y
(§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 � 0)
Ta cã M =
IV) Quy ®ång mÉu thøc.
1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc:
- Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn).
- LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷:
+) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu.
+) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt.
2) Bµi tËp ¸p dông
C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao.
Bµi 1. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau:
25
14
,
;
2
14 x y 21xy 5
3x 1 y 2
,
c)
;
12 xy 4 9 x 2 y 3
3 2x
5
2
, 2 2,
e)
;
4
10 x y 8 x y 3 xy 5
2x
x2
,
g)
;
3
( x 2) 2 x( x 2) 2
a)
Bµi 2. Quy ®«ng mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
a)
c)
e)
g)
i)
j)
11
3
,
;
4
102 x y 34 xy 3
1
x 1 x 1
d) 3 2 , 2 4 , 3 ;
6 x y 9 x y 4 xy
4x 4
x3
,
;
f)
2 x( x 3) 3 x( x 1)
5
3
,
h) 3
.
3 x 12 x (2 x 4)( x 3)
b)
7 x 1 5 3x
x 1
x2
;
b)
;
, 2
,
2
2
2x 6x x 9
x x 2 4x 2x2
7
4
x y
4 x 2 3x 5
2x
6
,
,
;
d)
;
,
,
5x x 2 y 8 y2 2x2
x3 1
x2 x 1 x 1
x
x 1
x 1
5x2
4x
3
;
f) 3 , 2 , 2
;
, 2
,
3
2
x 1 x x x x 1
x 6 x 12 x 8 x 4 x 4 2 x 4
ax
ax
ad
ad
;
h) 2
;
, 2
, 2
2
2
2
6 x ax 2a 3 x 4ax 4a
a ab ad bd a ab ad bd
x
y
z
, 2
, 2
;
2
2
2
2
2
x 2 xy y z x y 2 yz z x 2 xz y 2 z 2
1
3
2
x
x2 y 2
;
k)
,
,
,
,x y;
x3 1 2 x 2 x 2 x 1
x y x 2 2 xy y 2
19
l)
x2
2x 1
x 1
.
, 2
, 2
2
6 x 7 x 3 2 x 7 x 6 3x 5 x 2
Bµi 3. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc:
a x b x ba
;
,
,
axb3 a 2 xb 2 axb 2
ax
ax
c) 2
;
, 2
2
6 x ax 2a 3 x 4ax 4a 2
x
x2
x 1
e) 3
;
, 2
, 2
x 27 x 6 x 9 x 3x 9
2x 1
x 2a
;
, 2
2
x 4ax 4a x 2ax
ab
a c
d) 2
;
, 2
a bc ac ab a bc ac b 2
x2
x
2x 1
f) 2
.
,
,
2
x 3 x 2 2 x 5 x 3 2 x 2 7 x 6
a)
b)
2
Bµi 4. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc (cã thÓ ®æi dÊu ®Ó t×m MTC cho thuËn tiÖn).
x 1 x 1
1
2x 1
ax
2x2 1
;
b)
;
,
,
,
,
2x 2 2x 2 1 x2
x a x 2 ax a 2 x3 a 3
24
4x
18
x 1
x
2x 1
c) 3 ,
;
d) 2 4 , 4
;
, 2
, 7
2
2
4x x x 2x 2x x
2 x x x 2 x 4 x 8x
2x
y
4 xy
,
, 2
e) 2
.
2
2
2
x 3xy 2 y 3 x 4 xy y 3 x 7 xy 2 y 2
a)
Bµi 5. Rót gän råi quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
2
2
a) x 25 x 6 , 2 x 2 7 x 5 ;
3
2
b) x3 2 2x x 2 ,
x3 5 x 4
;
x x 4 x 4 x 3 2 x 2 3x 4
x 4
x 4x 3
2
3
2
c) x3 2 x2 5 x 26 , x 3 4 x2 10 x 12 ;
x 5 x 17 x 13 x x 2 x 16
x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 zx
x3 y 3 z 3 3xyz
d)
.
,
x 2 y 2 z 2 2 yz
( x y )2 ( y z )2 ( z x)2
3
Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc
x
x2
, 2
2 x 7 x 15 x 3 x 10
2
a) Chia ®a thøc B lÇn lît cho c¸c mÉu cña hai ph©n thøc ®· cho.
b) Quy ®ång mÉu thøc cña hai ph©n thøc ®· cho.
Bµi 7. Cho hai ph©n thøc:
1
2
. Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc
, 2
x 4 x 5 x 2x 3
2
x3 - 7x2 + 7x + 15 lµm mÉu thøc cung ®Ó quy ®ång mÉu thøc hai ph©n thøc ®· cho. H·y
quy ®ång mÉu thøc.
V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè.
1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu
2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:
- Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc.
- Céng hai ph©n thøc cïng mÉu (sau khi ®· quy ®ång).
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc:
a)
1 2x 3 2 y 2x 4
;
6 x3 y 6 x 3 y
6x3 y
c)
3x 1
x2 6 x
;
x 2 3x 1 x 2 3x 1
x2 2
2 x
;
2
x( x 1)
x( x 1) 2
2
2
d) x 2 38 x 4 3x2 4 x 2 .
2 x 17 x 1 2 x 17 x 1
b)
Bµi 2. Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc:
4x 2 5 y 3 x 1
;
15 x 3 y 9 x 2 y 5 xy 3
3
d) x 3 2 x 2 2 x 1 ;
x 1 x x 1 x 1
1
3
x 14
2
2
f)
;
x 2 x 4 ( x 4 x 4)( x 2)
1
1
1
h)
;
x 3 ( x 3)( x 2) ( x 2)(4 x 7)
5
7
11
;
2
2
6 x y 12 xy 18 xy
3 3x 3
3x 2
c)
;
2x 2x 1 2 x 4 x2
y
4x
2
e) 2
;
2 x xy y 2 xy
1
1
g)
;
x 2 ( x 2)(4 x 7)
a)
b)
Bµi 3. Dïng quy t¾c ®æi dÊu ®Ó t×m mÉu thøc chung råi thùc hiÖn phÐp céng.
20
- Xem thêm -
.DOC 
26 
325 
99 
