SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I- ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
II- TÍNH CHẤT:
1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ
tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố
với số mũ chẵn.
3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính
phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N).
4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính
phương nào có dạng 3n + 2 ( n N ).
5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
6- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
7- Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại một số có số lượng các
ước là số lẻ thì số đó là số chính phương
Thật vậy, nếu A = 1 thì A là số chính phương có 1 ước .
Ta giả sử số A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = a x by cz… thì số
lượng ước của nó bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)…
a, Nếu A là số chính phương thì x, y, z …chẵn nên x + 1, y + 1 , z +1 …lẻ . Vậy
số lượng các ước của A là số lẽ.
b, Nếu số lượng các ước của A là số lẽ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)…lẻ do đó các thừa
số x + 1, y + 1, z + 1 ….đều lẻ, suy ra x, y, z …chẵn.
'
'
'
Đặt x = 2x’, y = 2y’, z = 2z’, …(x’, y’, z’ … N thì A (a x b y c z ) 2 nên A là số chính
phương.
8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
1
9. Nếu tích hai số nguyên liên tiếp là số chính phương thì một trong hai số đó có một số
là số 0.
III. NHẬN BIẾT MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Để chứng minh N là một số chính phương ta có thể:
- Biến đổi N thành bình phương của một số tự nhiên (hoặc số nguyê).
- Vận dụng tính chất: nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là
một số chính phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.
2. Để chứng minh N không phải là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận
cùng.
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ.
- Xét số dư N chia cho 3 hoặc 4 hoặc 5,…
- Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
IV- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
A- Dạng 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Giải : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4
= ( x 2 5 xy 4 y 2 )( x 2 5 xy 6 y 2 ) y 4
Đặt x 2 5 xy 5 y 2 t
(t Z ) thì
A = ( t y 2 )(t y 2 ) y 4 t 2 y 4 y 4 t 2 ( x 2 5 xy 5 y 2 ) 2
Vì x, y, z Z nên x 2 Z , 5 xy Z , 5 y 2 Z x 2 5 xy 5 y 2 Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Giải : Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n N). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= ( n2 3n)(n 2 3n 2) 1 (*)
Đặt n 2 3n t (t N ) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.
2
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Giải : Ta có: k(k + 1)(k + 2) =
=
1
1
k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). (k 3) (k 1)
4
4
1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
4
4
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 4: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2014 chữ số 1
2015 chữ số 0
Chứng minh ab 1 là số tự nhiên.
Giải:
b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2015 chữ số 0
2016 chữ số 0
2016 chữ số 9
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
ab 1 (3a 1) 2 3a 1 N
Bài 5: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, C là số gồm n chữ số 6
(n N và n 1). Chứng minh: a + b + c + 8 là số chính phương
Giải
Ta có a + b + c + 8 = 11 . . . 1 + 11. . . 1 + 66 . . . 6 + 8
2n số 1
n + 1 số 1
n số 6
=
102 n 1 10n 1 1 6(10n 1)
8
9
9
9
=
102 n 1 10.10n 1 6.10n 6 72
9
102 n 16.10n 64 10n 8
=
9
3
2
(10n + 8) 3, nên a + b + c + 8 là số chính phương
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì
A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1 Là số chính phương
Giải. Đặt B = 10n+1 ta có
3
10n 1 1
B 1
A
10 n 1 5 1
B 5 1
10 1
9
2
B2 4B 4 B 2
2
A
3.3.3...34
2
9
3
Vậy A là một số chính phương nhưng
B- Dạng 2: CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là
một số chính phương.
Giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2 + 2 không thể chia hết cho 5
=> 5. (n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương.
Giải
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và
p + 1 không thể là các số chính phương.
Giải
Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p2 và p không thể chia hết cho 4 (1)
* Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m2 ( m N).
Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m2 lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k + 1 (k N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1
=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) 4 mâu thuẫn với (1).
=> p + 1 không phải là số chính phương.
4
* p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p - 1 có dạng 3k + 2.
=> p - 1 không là số chính phương.
Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số
chính phương.
Bài 4: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011
Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là
số chính phương.
* 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1
Có 2N 3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k N)
=> 2N - 1 không là số chính phương.
* 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.
Mà N lẻ => N không chia hết cho 2 và 2N 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3 => 2N không là số chính phương.
* 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1
2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.
2N + 1 không là số chính phương.
C. DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12
b) n(n + 3)
c) 13n + 3
d) n2 + n + 1589
Giải:
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n - 1) = 11
Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể
viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 k + n + 1 = 11
k=6
k-n–1=1
n=4
b) ĐS: n= 1
c) Vậy n = 13k2 8k + 1 (với k N) thì 13n + 3 là số chính phương
d) n = 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài 2 : Tìm số tự nhiên n 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính
phương.
5
Giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 33 là số chính phương
Với n 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận
cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số
chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 3: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính
phương.
Giải
Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 1 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta
được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Giải
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q N ; p + q = n và p > q
a + 48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3
a – 48 = 2q
q = 5 và p – q = 2 p = 7
n = 5 + 7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
Bài 5:Tìm một số có hai chữ số biết rằng hiệu bình phương của nó và số viết theo
thứ tự ngược lại là một số chính phương
Giải. Giả sử ab là số có hai chử số sao cho ab 2 ba 2 là số chính phương.
2
2
2
2
2
2
Ta có : ab ba 10a b 10b a 99 a b 11
Vì ab 2 ba 2 là số chính phương nên ab 2 ba 2 121 suy ra
a 2 b 2 a b a b 11 a b 11 ( vì 0 a b 8 ) Mà 0 a b 18 nên a + b = 11(*)
6
2
2
Từ (*) suy ra ab ba 9.11.11 a b là số chính phương nên a – b = 1 hoặc a – b = 4
+ Nếu a – b = 1 thì từ (*) ta có hệ
a b 11 a 6
Thử lại 652 – 562 = 332
a b 1
b 5
+
a b 11
a b 4
Nếu a – b =4 thì từ (*) ta có hệ
15
a
2
(loại) Vậy số cần tìm là 65
Bài 6:Tìm một số chính phương có 4 chữ số sao cho khi viết 4 chữ số đó theo thứ
tự ngược lại ta cũng được một số chính phương và số chính phương này là bội số
của số chính phương cần tìm.
Giải. Đặt số phải tìm là abcd M 2 thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50
Ta lại có dcba N 2 . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta được
abcd dcba 1001 a d 110 b c 11
abcd dcba 999 d a 90 c b
Vì dcba là bội của abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức
là bội số của 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có:
abcd 332 1089, dcba 9801 992
Bài 7:Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước dương của p 4 là một số chính
phương.
Giải. Các ước dương của p4 là 1, p, p2, p3, p4
Giảsử: 1 + p + p2 + p3 + p4 = n2 n N Ta có : 4n2 = 4p4 + 4p3 + 4p2 + 4p + 4
Suy ra : 4p4 + 4p3 + p2 < 4n2 < 4p4 + p2 + 4 + 4p3 + 4p + 8p2
Hay: (2p2 + p)2 < (2n)2 < (2p2 + p + 1)2Suy ra:
suy ra:
4 p 4 4 p 3 4 p 2 4 p 4 2 p 2 p 1
(2n)2 = (2p2 + 2p + 1)2
2
p 2 2 p 3 0 p 3
Với p = 3, ta có : 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 112 Vậy số nguyên tố cần tìm là p = 3.
Bài 8:Tìm số nguyên tố x để x2 + x + 1991 là số chính phương.
Giải: Từ x2 + x + 1991 = y2 ta có: 4y2 = 4x2 + 4x + 7964
2
Hay
2
4 y 2 2 x 1 7963 4 y 2 2 x 1 7963
2 y 2 x 1 2 y 2 x 1 7963
7
Có thể thử lại để thấy rằng 7963 là một số nguyên tố (không chia hết cho bất kì số
nguyên tố nào từ 0 đến 90) từ đó sút ra
2 y 2 x 1 7963
2 y 2 x 1 1
2 y 2 x 1 7963
2 y 2 x 1 1
Hoặc
Hoặc
Hoặc
2 y 2 x 1 1
2 y 2 x 1 7963
2 y 2 x 1 1
2 y 2 x 1 7963
Tính ra ta được x = 1990 hoặc x = -1991.
Bài 9:Tìm số hữu tỉ x sao cho x2 + x + 6 là số chính phương.
Giải: Giả sử x
p
p2 p
6 n 2 với n N
với
(p,q)
=
1
và
q
>
0
sao
cho
2
q
q
q
2
2
Suy ra : p q p 6q n q q q 1 Vậy:
x pZ .
Khi đó:
p 2 p 6 n2
4 p 2 4 p 24 4n 2
2
2
2n 2 p 1 23
2n 2 p 1 2n 2 p 1 23
Phân tích: 23 = 1.23 = (-1).(-23) = 23.1 = (-23).(-1).
Giải ra ta được : p = 5, n = 6.
Các bài tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
2n chữ số 1
n chữ số 4
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n chữ số 1 n+1 chữ số 1
n chữ số 6
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n chữ số 4
n+1 chữ số 2
n chữ số 8
D = 11. . . 1 55. . . 5 6
E = 44 . . . 4 88 . . . 8 9
n số 4
(n-1) số 8
F 224999...91000...09
n 2 so 9
n so 0
8
HD
2
2
10n 2
A=
;
3
10n 8
B
;
3
2.10n 7
C
3
2
10n 2
D = 11. . .1 .10 + 5.11 . . . 1 + 1 = ... =
3
2
n
n số 1
n số 1
n
2.10 1
3
2
E=
F = (15.10n – 3)2
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k thì số:
A = 1 + 92k + 772k + 19972k không phải là số chính phương.
HD: Chứng minh A = 3t + 2 (t N)
Bài 3: Số A = 1 + 92m + 80m + 19802m có là số chính phương không?
HD: Chứng minh A = 4q + 2 (q N)
Bài 4: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp, hai số chẵn liên tiếp, hai số lẻ liên tiếp có là số
chính phương không?
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương
1. abab
2. abcabc
3. ababab
Bài 6:Các tổng sau có là số chính phương hay không
1.
A = 3 + 32 + 33 + …+ 320
2.
B = 11 + 112 + 113
3.
1010 + 8
4.
100! + 7
5.
1010 + 5
6.
10100 + 1050 +1
Bài 7
Tìm a để các số sau là những số chính phương
a)
a2 + a + 43
b)
a2 + 81
c)
a2 + 31a + 1984
9
Kết quả:
a)
2; 42; 13
b)
0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 8: Chứng minh rằng
a) Tổng của ba số chính phương liên tiếp không phải là một số chính phương.
b) Tổng S = 12 + 22 + 32 +...+ 302 không là một số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính
phương.
Bài 10: Tìm số chính phương có 4 chữ số mà hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số
cuối giống nhau
KQ: 7744.
Bài 11:Tìm số chính phương abcd biết rằng ab cd 1
KQ: 8281
Bài 12: Cho N là tổng của hai số chính phương. Chứng minh
a) 2N cũng là tổng của hai số chính phương
b) N2 cũng là tổng của hai số chính phương
(A+B)(C+D) là tổng của hai số chính phương
Bài 13: Cho ba số nguyên x, y, z sao cho x = y + z. Chứng minh:
2(xy + xz – yz) là tổng của ba số chính phương
Bài 14: Cho an = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ n
a) Tính an+1
b) Chứng minh: an + an+1 là một số chính phương
Bài 15: Tìm tất cả các số tự nhiên n để n2 + 1234 là số chính phương
Bài 16: Tìm các số tự nhiên k để 2k + 24 + 27 là số chính phương
Bài 17: Tìm các số tự nhiên x để x2 + 2x + 200 là số chính phương
Bài 18:
Cho số nguyên x. Chứng minh
A = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + 9 là số chính phương.
Bài 19. Cho x; y; z là các số tự nhiên. Chứng minh
B = 4x(x+ y)(x + y + z)(x +z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 20: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng
minh rằng A – B là một số chính phương.
Bài 21:Chứng minh rằng nếu tích hai số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì
mỗi số sẽ là số chính phương .
Bài 22 Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n2.
10
Chứng minh rằng n2 + d không là số chính phương.
Bài 23: Có hay không số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phương.
Bài 24: Biết x N và x > 2.
Tìm x sao cho x( x 1).x( x 1) ( x 2) xx( x 1)
Bài 25:Tìm các chữ số a, b, c > 0 sao cho mọi số tự nhiên n > 0 thì
a.a.a...
a
b
.
b
.
b
...
b
1
c
.
c
.
c
...
c
1
n so a
n so b
n so c
2
11
- Xem thêm -
.DOC 
11 
2 
96 
