Tài liệu Chuyên đề rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.

PHÒNG GD & ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS ĐẠO ĐỨC CHUYÊN ĐỀ RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8. Người viết chuyên đề: 1. Nguyễn Thi Vân Anh 2. Nguyễn Thị Tuyết Thanh Tổ: Khoa học tự nhiên Đạo Đức, tháng 5 năm 2020 Tên chuyên đề: 1 RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8. A. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ: Một trong những mục tiêu cơ bản của giáo dục hiện nay là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu của thời đại. Là một giáo viên cấp trung học cơ sở, tôi luôn ý thức được trách nhiệm của bản thân cũng như tầm quan trọng của môn học mình đảm nhiệm. Qua những năm giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy đây là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp học sinh trở thành con người mới chủ nghĩa xã hội. Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho học sinh học tốt các môn học khác. Vì vậy, dưới góc độ là một giáo viên dạy Toán tôi thấy việc hướng dẫn các em nắm vững đối với từng dạng toán là rất cần thiết. Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, … vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,... Qua thực tế giảng dạy của bản thân cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tíchđa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”. 2 Nội dung trong đề tài cung cấp một số công thức cơ bản và kĩ thuật áp dụng các công thức đó vào các bài tập ví dụ minh họa. B. THỰC TRẠNG. Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do học sinh còn lười trong học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. Nhận xét: -Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài toán, các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày bài giải còn lúng túng. Nguyên nhân: - Do tư duy của học sinh còn hạn chế nên khả năng tiếp thu bài còn chậm, lúng túng từ đó không nắm chắc các kiến thức, kĩ năng cơ bản, do đó mà khó giải được bài tập về phân tich đa thức thành nhân tử . - Khả năng vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử còn kém - Kĩ năng giải toán của học sinh chưa được tốt. Một số nhược điểm của học sinh trong quá trình giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử : - Đọc đề hấp tấp, qua loa, khả năng phân tích đề, tổng hợp đề còn yếu, lượng thông tin cần thiết để giẩi toán còn hạn chế. - Kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh còn kém, quy tắc dấu ngoặc sử dụng còn lúng túng - Chưa có thói quen định hướng cách giải một cách khoa học trước những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Giải pháp đã sử dụng trước đây: Dựa vào đặc điểm của địa phương, tình hình chung của nhà trường và chất lượng học tập của học sinh trong những năm qua. Tôi đã tiến hành các giải pháp sau: - Sử dụng phương pháp vấn đáp gợi mở,đặt và giải quyết vấn đề kết hợp với việc sử dụng các thiết bị dạy học . - Chấm điểm theo quy chế chuyên môn - Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm để giải quyết vấn đề và cử đại diện nhóm lên trình bày (đại diện thường là học sinh khá, giỏi ). Nguyên nhân 3 - Ý thức học tập của học sinh chưa cao - Giáo viên chưa biết cách phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh - Giáo viên chưa kịp thời bổ sung kiến thức cơ bản cho các em học sinh bị mất kiến thức cơ bản. - Học về nhà thiếu sự kèm cặp của phụ huynh do đó các em thường làm bài tập theo kiểu chống đối. Trong tất cả các nguyên nhân ở trên nguyên nhân chủ yếu dẫn đến kết quả môn Toán còn hạn chế là giáo viên chưa phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học toán. C. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: 1. Các biện pháp thực hiện Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau: - Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản. - Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. - Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng hằng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử - Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) +Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. +Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành. +Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. - Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu bốn phương pháp) + Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác. + Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử. + Phương pháp đặt ẩn phụ Biện pháp : Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau: Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc đổidấu và quy tắc dấu ngoặc ở các lớp 6, 7. Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức. 4 Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần chúý: -Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến) -Nhận dạng bài toán: Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào?Áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp) -Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với bài toán * Lưu ý: Kinh nghiệm khi phân tích một bài toán thành nhân tử Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức * Chú ý: - Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền - Phương pháp nhóm không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền -Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền - Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử - Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp. Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. 2. Nội dung. 2.1:Các phương pháp cơ bản: 5 2.1.1:Phương pháp đặt nhân tử chung Để học sinh áp dụng tốt phương pháp nay giáo viên cần cho học sinh ôn tâp,vận dụng linh hoạt các kiến thức : nhân đa thức với đơn thưc, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức .Đặc biệt giáo viên cần nhắc lại cho học sinh các kiến thức từ lớp 6 như: ước chung, bội chung, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhât… Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 -12xy thành nhân tử. Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung của các hê số 3, -21,27, -12 trong các hạng tử trên ? - Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2 , x2 y2 ,xy ? - Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?(nếu học sinh trả lời sai giáo viên gợi ý nhân tử chung là 3xy ) -Hãy đặt nhân tử chung đó:Áp dụng A.B + A.C + A.D + A.E =A ( B +C +D +E) Giải: 3x2 y – 21xy2 + 27x2 y2 - 12xy = 3xy.x – 3xy.7y + 3xy.9xy -3xy.4 = 3xy.(x – 7y + 9xy - 4) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x(x – y) – 5y(y – x) thành nhân tử. Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung của các hệ số 15 và -5 ? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ? - Hãy thực hiện đổi dấu tích 15x(x – y) hoặc tích – 5y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 5y(y – x) = 5y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 15x(x – y) = –15x(y – x) Giải: Cách 1 : 15x(x – y) – 5y(y – x) = 15x(x – y) + 5y(x – y) = 5(x – y).3x + 5(x – y).y = 5(x – y)(3x + y) Cách 2: : 15x(x – y) – 5y(y – x) = –15x(y – x) – 5y(y – x) = –5 (y – x ).3x – 5( y– x).y = –5 (y – x )(3x + y) = 5(x – y)(3x + y) Qua ví dụ này giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa (x –y ) và ( y – x ) đó là hai biểu thức đối nhau,biến đổi chúng để xuất hiện nhân tử chung. Tổng quát: A = - (- A ) 6 Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử. Giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy : A2 = ( -A)2 (Với A và –A là hai biểu thức đối nhau) Vậy -10( y – x )2 = -10 ( x – y )2 Giải : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: -Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). -Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x) b/ 10x – 5y = 5(2x – y) c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y) d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5) Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử chung của hai hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng. Tuy nhiên ở ví dụ b, một số học sinh khẳng định là không có nhân tử chung nào (vì x  y) do chỉ chú trọng quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh gặp khá khó khăn khi không hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa thức (x – 1). Riêng đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm khi chọn nhân tử chung là (x – 3). Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu ý những trường hợp thường mắc sai sót này. Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A = -(-A). Bài tập áp dụng:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a/( x + 2)2 – (x – 2)(x + 2) b/2x2 + 5x2 +x2 y 2.1.2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 7 2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)33 6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2 Giáo viên cần cho học sinh vận dụng linh hoat 7 hằng đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều.Trong mỗi lần vận dung cần chỉ ra được biểu thức A, B trong hằng đẳng thức đó. Ví dụ 5: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? (HS: có dạng A2 – B2 ) Giáo viên yêu cầu học sinh viết hằng đẳng thức và chỉ ra các biểu thức A và B A = ( x + y ); B = ( x – y ) Giải: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu (ví dụ học sinh có thể sai lầm như sau): (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai) Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh quy tắc dấu ngoăc: đặt dấu ngoặc chính xác trong mọi trường hợp, quy tắc phá ngoặc (đặc biệt khi phá dấu ngoặc đằng trước có dấu trừ) - Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. (Cần cho học sinh chỉ rõ đâu là biểu thức A,B trong hằng đẳng thức đó) Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. - Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử - Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán Phân tích a6 – b6 thành nhân tử a 6  b 6 (a 3 )2  (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) Ví dụ 6: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử Chú ý: vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt. 8 Giải: a 6  b 6 (a 3 )2  (b3 )2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2) Qua các ví dụ trên ta thấy các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2 b/ x2 – 5 = (x + 5 )(x - 5 ) c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2) d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2= = (x – y – x – y)2 = (-2y)2 = 4y2 Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Thế như, nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, học sinh sẽ gặp khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (5) chưa có dạng bình phương, để có dạng hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5 )2), ở ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn khi viết 27x3 = (3x)3. Riêng đối với ví dụ d, học sinh sẽ khó nhận dạng được hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh chưa hình dung nhận diện được. Ví dụ 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b) = 4(a + b) [x(a – b) + 2] = 4(a + b) (ax – bx + 2) b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z2 = (x – y – z)(x – y + z) Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử. Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp cũng góp phần thuận lợi cho chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử. Bài tập áp dụng: 1/ Chứng minh rằng ( 2n + 5 )2 – 25 chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n 2/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ ( x + y )3 + ( x – y )3 9 b/ 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 2.1.3 .Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Để có thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử ta cần phải lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ :Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: - Mỗi nhóm đều phân tích được. - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách nhóm để xuất hiện nhân tử chung (khi nhóm chú ý đặc biệt đến quy tắc dấu ngoặc) Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) và – (xy + y ) Giải Cách 1: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 2 2 Cách 2: x – xy + x – y = (x + x) – (xy + y ) = x( x + 1 ) – y( x + 1 ) = (x – y)(x + 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức : 2xy + 3z + 6y + xz thành nhân tử Giải : Ta có thể nhóm một cách thích hợp các hạng tử như sau : 2xy + 3z + 6y + xz = ( 2xy + 6y ) + ( 3z + xz ) =2y ( x + 3 ) + z ( x + 3 ) = ( x + 3 )( 2y + z) Trong phần này học sinh thường hay lúng túng để có thể nhóm các hạng tử thích hơp.Giáo viên cần chỉ cho học sinh cách nhóm để có thể xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức: Ví dụ 11: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 10 Giáo viên có thể gợi ý những hạng tử nào nhóm được với nhau thì xuất hiện hằng đẳng thức (Đối với học sinh yếu kém cần chỉ rõ x 2 – 2x +1 có dạng hằng đẳng thức nào? ) Giải: 2 x – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) Ví dụ 12: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức đặc biệt là ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc ) Giải: 2 x – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 ) = ( x – y )2 – ( z – t )2 = ( x – y + z – t )( x – y – z + t ) Bước 2 giáo viên chỉ cho học sinh thấy sử dụng hằng đẳng thức: 2 A – B2(học sinh cần chỉ ra được biểu thức A =( x – y ); B = ( z – t )) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 13: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Giải : x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Ví dụ này học sinh rất dễ nhầm quy tắc dấu ngoặc,giáo viên cần nhắc lại quy tắc dấu ngoặc cho học sinh và hướng dẫn học sinh nhóm hạng tử.Tương tự đối với ví dụ sau : Ví dụ 14: Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử. Giải : 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 ) = 2( x – y ) – ( x – y )2 = ( x – y )( 2 – x + y ) Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. 11 Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại. Bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 b/ x2 + 4x – y2 + 4 2.2:Phát triển tư duy:Giới thiệu các phương pháp phân tích khác: (Nâng cao) 2.2.1.Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 15: Phân tích đa thức : 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử. Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Cách 1 (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2= (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)= (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử 3x2 xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. Cách 2 (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x ) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4= 3x(x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử – 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2 . Cách 3 (tách hạng tử : 4 = – 12 + 16) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2) Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tư thành nhiều hạng tử nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. Khai thác cách giải:Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét:Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là: 6 4  3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau 3  2 hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8 Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4 Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b (ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + cthành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac 12 Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac. Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách . Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2:ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3:b = 7 = 4 + 3 Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 4x – 3 Ta có: a = 4 ; b = - 4 ; c = – 3 Bước 1: ac = 4.(–3) = - 12 Bước 2:ac = 6.(–2) = 4.(–3) =12.(–1) = (- 6).2 = (-4).3 = (-12).1 Bước 3:b = -4 = 2 + (-6) Giải: Tách hạng tử thứ hai: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x – 6x – 3 = 2x( 2x + 1 ) – 3( 2x + 1 ) = ( 2x + 1 )( 2x – 3 ) Ví dụ 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : g( x ) = x3 – x2 – 4 Giải: Lần lượt kiểm tra với x = 1, x = -1, x = 2, x = -2, x = 4, x = -4 ta thấy g ( 2 ) = 23 – 22 – 4 = 0. Đa thức có nghiệm x = 2, do đó chứa nhân tử x – 2. Ta tách hạng tử như sau: Cách 1: x3 – x2 – 4 = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – 4 = x2 (x – 2) + x (x – 2) + 2( x – 2) = ( x – 2)( x2 + x +2 ). Cách 2: x3 – x2 – 4 = x3 – 8 – x2 + 4 = ( x – 2)( x2 + 2x +4 ) – (x – 2)(x + 2) = ( x – 2)( x2 + 2x + 4 – x – 2) = ( x – 2)( x2 + x +2 ). Ví dụ 18: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử. Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 13 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) Bài tập áp dung: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 – 4x – 3 b/ 3x3 – 7x2 + 17x – 5 2.2.2.Phương pháp thêm bớt một hạng tử Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức. Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử. Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. Cách 1:Thêm x3 và bớt x3(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 ) Cách 2:Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 ) 14 Chú ý:Các đa thức có dạngx4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1. Ví dụ 21: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. Gợi ý: Thêm 2x2 và bớt 2x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Giải: 4 x + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) Khai thác bài toán: - Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4 Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) 2.2.3Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp này thường áp dụng đối với những đa thức có dạng A(x).B(x) + C. Trong đó A(x), B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 22: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + 1 = y ; x2 + x + 2 = y + 1 Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 3 + 1) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 ta được : (y – 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 5) = (x2 – 1 + x – 1)(x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) Ở ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại tiếp tục phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử. b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Với đa thức đã cho nếu chúng ta để nguyên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm : 15 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m Ta có : 4m(m + yz) + y2 z2= 4m2 + 4myz + y2 z2= (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta được : (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Bài tập áp dụng:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ A = x ( x + 4)( x + 6 )( x + 10 ) +128 b/ B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1. D. TRIỂN KHAI BÀI GIẢNG CỤ THỂ: Tiết 13: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ I/ MỤC TIÊU 1. Kiến thức:+HS biết phân tích các đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử +HS biết nhận xét các hạng tử trong đa thức để nhóm các hạng tử thích hợp phân tích được đa thức thành nhân tử trong mỗi nhóm để làm xuất hiện các nhân tử chung của các nhóm. 2. Kỹ năng:+Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử +Biến đổi chủ yếu với các đa thức có 4 hạng tử không qua 2 biến. 3.Thái độ: Giáo dục tính linh hoạt tư duy lôgic. 4.Định hướng phát triển năng lực. +Năng lực tư duy. +Năng lực tính toán. +Năng lực hợp tác. +Năng lực giải quyết vấn đề. II. CHUẨN BỊ. GV: Soạn giáo án HS: Làm BTVN III.PHƯƠNG PHÁP. -Đặt và giải quyết vấn đề -Vấn đáp gợi mở. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 1.Ổn định tổ chức lớp. 2.Kiểm tra bài cũ - HS1: Chữa bài 44c /20 SGK. c) (a+b)3 + (a-b)3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + (a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3) = 2a3 + 6 ab2 = 2a ( a2 + 3b2) -Đã dùng hằng đẳng thức nào để làm bài tập trên?Còn cách nào khác không? 16 -HS2 chữa bài 29b /6 SBT. 872 + 732 - 272 - 132 = ( 872- 272) + (732- 132) = (87 - 27)(87 + 27) + (73- 13)(73 + 13) = 60.114 + 60.86 = 60.(144+ 96) = 60.200 = 12 000. - Yêu cầu các HS khác nhận xét bài của bạn. - GV nhận xét cho điểm HS và ĐVĐ vào bài mới. 3.Bài mới. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Hoạt động 1: Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung 2 GV nêu ví dụ: Phân tích đa thức x2 – Ví dụ 1: Phân tích đa thức x – xy + x – y thành nhân tử. xy + x – y thành nhân tử. Giải Cách 1: +Em có nhận xét gì về các hạng tử của đa thức này. x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – GV: Giáo viên hướng dẫn học sinh y) cách nhóm để xuất hiện nhân tử chung = x(x – y) + 1.(x – y) (khi nhóm chú ý đặc biệt đến quy tắc = (x – y)(x + 1) dấu ngoặc) Cách 2: Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y ) 2 Cách 2: nhóm (x + x) và – (xy + = x( x + 1 ) – y( x + 1 ) y) = (x – y)(x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức : Ví dụ 2: Phân tích đa thức : 2xy + 3z + 2xy + 3z + 6y + xz thành nhân tử 6y + xz thành nhân tử HS lên bảng trình bày GV yêu cầu HS hoạt động nhóm để giải 2xy + 3z + 6y + xz bài toán. = ( 2xy + 6y ) + ( 3z + xz ) =2y ( x + 3 ) + z ( x + 3 ) = ( x + 3 )( 2y + z) GV lưu ý: đối với một đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử. GV: Cách làm trên được gọi PTĐTTNT bằng P2 nhóm các hạng tử. - GV lưu ý HS : + Khi nhóm các hạng tử mà đặt dấu “ – ” trước ngoặc thì phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc. + Khi nhóm các hạng tử phải nhóm 17 thích hợp, cụ thể là: * Mỗi nhóm đều có thể phân tích được. * Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được. Hoạt động 2: Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức: GV đưa ra ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. GV: Những hạng tử nào nhóm được với nhau thì xuất hiện hằng đẳng thức (Đối với học sinh yếu kém cần chỉ rõ x2 – 2x +1 có dạng hằng đẳng thức nào? ) GV đưa ra ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử. GVHD : Chú ý nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức đặc biệt là ba hạng tử cuối (chú ý quy tắc dấu ngoặc ) Chú ý sử dụng HĐT : A2 – B2 Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 thành nhân tử. x2 – 2xy + y2 –z2 + 2zt – t2 = ( x2 – 2xy + y2) – ( z2 - 2zt + t2 ) = ( x – y )2 – ( z – t )2 = ( x – y + z – t )( x – y – z + t ) . Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có thừa số chung thì nên đặt thừa số trước rồi mới nhóm. Khi nhóm, chú ý tới các hạng tử hợp thành hằng đẳng thức Phân tích đa thúc thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành 1 tích của các đa thức (có bậc khác 0). Trong tích đó không thể phân tích tiếp thành nhân tử được nữa Hoạt động 3: Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: GV đưa ra ví dụ : Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. GV nhắc lại quy tắc dấu ngoặc cho học sinh và hướng dẫn học sinh nhóm hạng Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) 18 tử. = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Ví dụ 6: Phân tích đa thức 2x – 2y – 2 2 GV đưa ra ví dụ: Phân tích đa thức 2x – x + 2xy – y thành nhân tử. 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử. 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 GV yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để =( 2x – 2y ) – (x2 - 2xy + y2 ) trình bày = 2( x – y ) – ( x – y )2 = ( x – y )( 2 – x + y ) GV lưu ý cho học sinh: Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. -Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại. 4. Củng cố. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) xz + yz - 5(x+ y) b/ x2– 2xy + y2– z2 a) xz + yz - 5(x+ y) = (xz + yz) - 5(x + y) = z(x + y) - 5(x + y) = (x + y) (z - 5) b/ x2– 2xy + y2– z2 = (x2– 2xy + y2) – z2 = (x – y)2 – z = (x – y – z)(x – y + z) 5. Hướng dẫn về nhà. -Nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học - Xem lại các ví dụ đã chữa trong giờ - Làm các bài tập 48, 49,50 (SGK-Tr 22;23) - BT :nếu n là số tự nhiên lẻ thì A=n3+3n2-n-3 chia hết cho 8. - BT 31, 32 ,33/6 SBT. * Làm bài tập nâng cao. 19 Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử a) xa + xb + ya + yb - za - zb b) a2+ 2ab + b2- c2+ 2cd - d2 c) xy(m2+n2) - mn(x2+y2) * Đáp án: a) (a+b)(x+y-z) b) (a+b+c-d)(a+b-c+d) c)(mx-ny)(my-nx) Bài 2 : Tìm y biết : a) y + y2- y3- y4= 0  y(y+1) - y3(y+1) = 0  (y+1)(y-y3) = 0  y(y+1)2(1-y) = 0  y = 0, y = 1, y = -1 b) y(2y-7)- 4y + 14 = 0 y(2y - 7) - 2(2y - 7) = 0  (2y - 7) (y - 2) = 0  2y - 7 = 0 hoặc y - 2 = 0  y = 7/2 hoặc y = 2 E. KẾT LUẬN. -Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK. - Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự sy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. -Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em. 20