CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG
:…………………………………………………………………
HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: ax + b = 0
ax + b = 0
(1)
Hệ số
Kết luận
(1) có nghiệm duy nhất
a≠0
b≠0
(1) vô nghiệm
b=0
(1) nghiệm đúng với mọi x
a=0
Chú ý: Khi a ≠ 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0
Biện luận
Điều kiện
Kết quả tập nghiệm
b
a
b
S = − ; +∞
a
b
a
b
x ∈ − ; +∞
a
S = −∞; −
a>0
a<0
a=0
Dấu nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b (a ≠ 0)
b≥0
b<0
x ∈ −∞; −
a.f(x) < 0
a.f(x) > 0
S=∅
S=R
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax 2 + bx + c = 0
1. Cách giải
(1)
Kết luận
∆>0
(1) có 2 nghiệm phân biệt
∆=0
(1) có nghiệm kép
∆<0
(1) vô nghiệm
Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =
c
.
a
c
– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = − .
a
b
– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b ′ = .
2
2. Định lí Vi–et
Hai số x1, x 2 là các nghiim của phương trình bcc hai ax 2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hi thức
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
b
c
và P = x 1x 2 = .
a
a
4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xét dấu tam thức bậc hai
S = x1 + x 2 = −
Giải bất phương trình bậc hai
2
f(x) = ax + bx + c (a ≠ 0)
∆<0
a.f(x) > 0, ∀x ∈ R
b
∆=0
−
a.f(x) > 0, ∀x ∈ R \
2a
∆>0
Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai để giải
a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2;
+∞)
a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2)
II. CÁC DẠNG TOÁN
1. Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình và bất phương trình
HT1.
Giải và biin lucn các phương trình sau theo tham số m:
1) (m 2 + 2)x − 2m = x − 3
2) m(x − m ) = x + m − 2
3) m(x − m + 3) = m(x − 2) + 6
4) m 2 (x − 1) + m = x (3m − 2)
5) (m 2 − m )x = 2x + m 2 − 1
6) (m + 1)2 x = (2m + 5)x + 2 + m
HT2.
Giải các bất phương trình sau:
(2x − 5)(x + 2)
1)
>0
−4x + 3
4)
3x − 4
>1
x −2
2)
x −3 x +5
>
x +1 x −2
3)
x − 3 1 − 2x
<
x +5
x −3
5)
2x − 5
≥ −1
2−x
6)
2
5
≤
x − 1 2x − 1
HT3. Giải và biin lucn các bất phương trình sau:
1) m(x − m ) ≤ x − 1
2) mx + 6 > 2x + 3m
4) mx + 1 > m 2 + x
3) (m + 1)x + m < 3m + 4
5)
m(x − 2) x − m x + 1
+
>
6
3
2
6) 3 − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2
HT4.
Giải và biin lucn các bất phương trình sau:
2x + m − 1
mx − m + 1
1)
2)
>0
<0
x +1
x −1
HT5.
3)
x − 1(x − m + 2) > 0
Giải và biin lucn các phương trình sau:
1) x 2 + 5x + 3m − 1 = 0
2) 2x 2 + 12x − 15m = 0
3) x 2 − 2(m − 1)x + m 2 = 0
4) (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0
5) (m − 1)x 2 + (2 − m )x − 1 = 0
6) mx 2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0
HT6.
Giải và biin lucn các bất phương trình sau:
1) x 2 − mx + m + 3 > 0
HT7.
2) (1 + m )x 2 − 2mx + 2m ≤ 0
3) mx 2 − 2x + 4 > 0
Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:
i) Có nghiim duy nhất
ii) Vô nghiim
iii) Nghiim đúng với mọi x ∈ R.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
2) (m 2 + 2m − 3)x = m − 1
1) (m − 2)x = n − 1
3) (mx + 2)(x + 1) = (mx + m 2 )x
4) (m 2 − m )x = 2x + m 2 − 1
HT8. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiim:
a) m 2x + 4m − 3 < x + m 2
b) m 2x + 1 ≥ m + (3m − 2)x
c) mx − m 2 > mx − 4
d) 3 − mx < 2(x − m ) − (m + 1)2
2. Dạng toán 2: Dấu của nghiệm số phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
∆ ≥ 0
• (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔
P > 0
∆ ≥ 0
∆ ≥ 0
• (1) có hai nghiệm dương ⇔ P > 0
• (1) có hai nghiệm âm ⇔ P > 0
S > 0
S < 0
Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì ∆ > 0.
• (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
Bài tập
HT9. Xác định m để phương trình:
i) có hai nghiim trái dấu
ii) có hai nghiim âm phân biit
iii) có hai nghiim dương phân biit
1) x 2 + 5x + 3m − 1 = 0
2) 2x 2 + 12x − 15m = 0
3) x 2 − 2(m − 1)x + m 2 = 0
4) (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0
5) (m − 1)x 2 + (2 − m )x − 1 = 0
6) mx 2 − 2(m + 3)x + m + 1 = 0
7) x 2 − 4x + m + 1 = 0
8) (m + 1)x 2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0
3. Dạng toán 3: Áp dụng định lý Viet
a. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
c
Ta sử dụng công thức S = x1 + x 2 = − ; P = x 1x 2 = để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x1, x2
a
a
theo S và P.
Ví dụ:
x12 + x 22 = (x1 + x 2 )2 − 2x1x 2 = S 2 − 2P
x 13 + x 23 = (x1 + x 2 ) (x1 + x 2 )2 − 3x1x 2 = S (S 2 − 3P )
b. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối vỚi tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
c
S = x1 + x 2 = − ;
P = x 1x 2 =
a
a
(S, P có chứa tham số m).
Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x1 và x2.
c. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:
x 2 − Sx + P = 0 ,
trong đó S = u + v, P = uv.
Bài tập
HT10. Gọi x1, x 2 là các nghiim của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
A = x12 + x 22 ; B = x13 + x 23 ; C = x14 + x 24 ; D = x1 − x 2 ; E = (2x1 + x 2 )(2x 2 + x1 )
1) x 2 − x − 5 = 0
2) 2x 2 − 3x − 7 = 0
3) 3x 2 + 10x + 3 = 0
4) x 2 − 2x − 15 = 0
5) 2x 2 − 5x + 2 = 0
6)
3x 2 + 5x − 2 = 0
HT11. Cho phương trình: (m + 1)x 2 − 2(m − 1)x + m − 2 = 0 (*). Xác định m để:
1) (*) có hai nghiim phân biit.
2) (*) có một nghiim bằng 2. Tính nghiim kia.
3) Tổng bình phương các nghiim bằng 2.
HT12. Cho phương trình: x 2 − 2(2m + 1)x + 3 + 4m = 0 (*).
1) Tìm m để (*) có hai nghiim x1, x2.
2) Tìm hi thức giữa x1, x2 độc lcp đối với m.
3) Tính theo m, biểu thức A = x13 + x 23 .
4) Tìm m để (*) có một nghiim gấp 3 lần nghiim kia.
5) Lcp phương trình bcc hai có các nghiim là x12 , x 22 .
HT13. Cho phương trình: x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0 (*).
1) Tìm m để (*) có nghiim x = 0. Tính nghiim còn lại.
2) Khi (*) có hai nghiim x1, x2 . Tìm hi thức giữa x1, x2 độc lcp đối với m.
3) Tìm m để (*) có hai nghiim x1, x2 thoả: x12 + x 22 = 8 .
HD: a) m = 3; m = 4 b) (x1 + x 2 )2 − 2(x1 + x 2 ) − 4x1x 2 − 8 = 0
c) m = –1; m = 2.
HT14. Cho phương trình: x 2 − (m 2 − 3m )x + m 3 = 0 .
a) Tìm m để phương trình có một nghiim bằng bình phương nghiim kia.
b) Tìm m để phương trình có một nghiim bằng 1. Tính nghiim còn lại.
HD: a) m = 0; m = 1 b) x 2 = 1; x 2 = 5 2 − 7; x 2 = −5 2 − 7 .
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa và tính chất
A
khi A ≥ 0
• A =
−
khi A < 0
A
• A.B = A . B
• A ≥ 0, ∀A
2
• A = A2
• A + B = A + B ⇔ A.B ≥ 0
• A − B = A + B ⇔ A.B ≤ 0
• A + B = A − B ⇔ A.B ≤ 0
• A − B = A − B ⇔ A.B ≥ 0
A < −B
A > B ⇔
.
A > B
Với B > 0 ta có:
A < B ⇔ −B < A < B ;
2. Cách giải
Để giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
a) Phương trình:
f (x ) ≥ 0
C 2 g(x ) ≥ 0
C 1
=
f
(
x
)
g
(
x
)
⇔ f (x ) = g(x )
• Dạng 1: f (x ) = g(x ) ⇔
f (x ) < 0
f (x ) = −g(x )
−f (x ) = g(x )
C2
C1
f (x ) = g (x )
2
2
• Dạng 2: f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) ⇔
f (x ) = −g(x )
• Dạng 3: a f (x ) + b g(x ) = h(x )
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.
b) Bất phương trình
g(x ) > 0
• Dạng1:
f (x ) < g (x ) ⇔
−
g(x ) < f (x ) < g(x )
b( x) < 0
f ( x) coù nbhóa
f ( x) > b( x) ⇔ b( x) ≥ 0
• Dạng 2:
f ( x) < −b( x)
f ( x) > b( x)
Chú ý: • A = A ⇔ A ≥ 0 ;
A = −A ⇔ A ≤ 0
• Với B > 0 ta có:
A < B ⇔ −B < A < B ;
A < −B
A > B ⇔
.
A > B
• A + B = A + B ⇔ AB ≥ 0 ; A − B = A + B ⇔ AB ≤ 0
Bài tập
HT15. Giải các phương trình sau:
x 2 + 6x + 9 = 2x − 1
1) 2x − 1 = x + 3
2)
3) x 2 − 3 x + 2 = 0
4) 4x − 17 = x 2 − 4x − 5
5) x 2 − 4x − 5 = 4x − 17
6) x − 1 − x + 2x + 3 = 2x + 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
7) 2 x + 1 − x 2 − 2x − 8 = x 2 − x − 5
HT16. Giải các phương trình sau:
1) 4x + 7 = 4x + 7
8) x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14
2) 2x − 3 = 3 − 2x
4) x 2 − 2x − 3 = x 2 + 2x + 3
3) x − 1 + 2x + 1 = 3x
5) 2x − 5 + 2x 2 − 7x + 5 = 0
6) x + 3 + 7 − x = 10
HT17. Giải các phương trình sau:
2) x 4 + 4x 2 + 2 x 2 − 2x = 4x 3 + 3
1) x 2 − 2x + x − 1 − 1 = 0
HT18. Giải các bất phương trình sau
1) x 2 − 2x − 1 < x + 1
2) 2x 2 + x − 3 ≥ 2x + 1
3) x 2 − 5x + 4 ≤ x 2 + 6x + 5
4) x 2 + x − 1 < 2x 2 + x − 2
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU CĂN THỨC
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định.
I. Biến đổi tương đương
a. Phương trình:
2
f (x ) = g (x )
Dạng 1: f (x ) = g (x ) ⇔
g(x ) ≥ 0
f (x ) = g(x )
Dạng 2: f (x ) = g(x ) ⇔
f (x ) ≥ 0 (hay g(x ) ≥ 0)
Dạng 3:
3
f (x ) = 3 g(x ) ⇔ f (x ) = g (x )
Dạng 4:
3
f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = (g(x ))
3
b. Bất phương trình
f (x ) ≥ 0
• Dạng 1: f (x ) < g (x ) ⇔ g (x ) > 0
f (x ) < g(x ) 2
g(x ) < 0
f (x ) ≥ 0
• Dạng 2: f (x ) > g(x ) ⇔
g(x ) ≥ 0
2
f (x ) > g(x )
Bài tập
HT19. Giải các phương trình sau:
1)
2x − 3 = x − 3
2)
5x + 10 = 8 − x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
3) x − 2x − 5 = 4
4)
x 2 + x − 12 = 8 − x
5)
x 2 + 2x + 4 = 2 − x
6) 3x 2 − 9x + 1 = x − 2
8)
3x 2 − 9x + 1 = x − 2
8) (x − 3) x 2 + 4 = x 2 − 9
HT20. Giải các bất phương trình sau:
1)
x 2 + x − 12 < 8 − x
2)
x 2 − x − 12 < 7 − x
3)
−x 2 − 4x + 21 < x + 3
4)
x 2 − 3x − 10 > x − 2
5)
3x 2 + 13x + 4 ≥ x − 2
6)
2x + 6x 2 + 1 > x + 1
7)
x + 3 − 7 − x > 2x − 8
8)
2 − x > 7 − x − −3 − 2x 9)
2x + 3 + x + 2 ≤ 1
HT21. Giải các phương trình:
2)
3 +x − 2−x = 1
3) x 2 + x + 1 = 1
4)
x + 9 = 5 − 2x + 4
5) 3 + x + 6 − x = 3
6)
3x + 4 − 2x + 1 = x + 3
x2 + 9 − x2 − 7 = 2
2)
3x 2 + 5x + 8 − 3x 2 + 5x + 1 = 1
3
4)
x 2 + x − 5 + x 2 + 8x − 4 = 5
1)
3x + 2 + x + 1 = 3
HT22. Giải các phương trình sau:
1)
3)
3
1+ x + 1− x = 2
6) 3 9 − x + 1 + 3 7 + x + 1 = 4
5) 3 5x + 7 − 3 5x − 13 = 1
HT23. Giải các bất phương trình sau:
1)
x 2 − 4x
≤2
3−x
3) (x + 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9
2)
−2x 2 − 15x + 17
≥0
x +3
4)
−x 2 + x + 6
−x 2 + x + 6
≥
2x + 5
x +4
HT24. Giải các bất phương trình sau:
3
1) x + 2 ≤ x 2 + 8
2)
3
3
2x 2 + 1 ≥ 3x 2 − 1
3) 3 x + 1 > x − 3
HT25. Giải các phương trình sau:
1)
x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5
2) 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
3)
x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2
4)
5)
x 2 + 2x + 2x − 1 = 3x 2 + 4x + 1
6) 1 − x = 6 − x − −5 − 2x
7) 3 12 − x + 3 14 + x = 2
x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x +3
8) 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
II. Đặt ẩn phụ
t = f (x ), t ≥ 0
Dạng 1: af (x ) + b f (x ) + c = 0 ⇔
at 2 + bt + c = 0
Dạng 2: f (x ) + g (x ) = h(x )
Dạng 3: f (x ) ± g (x ) + f (x ).g (x ) = h(x ) và f (x ) ± g (x ) = k (k = const ) Đặt t =
f (x ) ± g(x ), .
HT26. Giải các phương trình sau:
1) x 2 − 6x + 9 = 4 x 2 − 6x + 6
2)
(x − 3)(8 − x ) + 26 = −x 2 + 11x
3) (x + 4)(x + 1) − 3 x 2 + 5x + 2 = 6
4) (x + 5)(2 − x ) = 3 x 2 + 3x
5) x 2 + x 2 + 11 = 31
6) x 2 − 2x + 8 − 4 (4 − x )(x + 2) = 0
HT27. Giải các phương trình sau:
1)
x + 3 + 6 − x = 3 + (x + 3)(6 − x )
2)
2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 (2x + 3)(x + 1) − 16
3)
x − 1 + 3 − x − (x − 1)(3 − x ) = 1
4)
7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = 3
5)
x + 1 + 4 − x + (x + 1)(4 − x ) = 5
6)
3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2
7) 1 +
8)
2
x − x2 = x + 1 − x
3
x + 9 − x = −x 2 + 9x + 9
HT28. Giải các bất phương trình sau:
1)
(x − 3)(8 − x ) + 26 > −x 2 + 11x
3) (x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28
2) (x + 5)(x − 2) + 3 x (x + 3) > 0
4)
3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5x + 2 ≥ 1
HT29. Giải các phương trình sau:
1)
2x − 4 + 2 2x − 5 + 2x + 4 + 6 2x − 5 = 14
2)
x + 5 − 4 x +1 + x + 2 −2 x +1 = 1
3)
2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
Dạng 4: Đặt ẩn phụ khlng hoàn toàn: Là phương pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu về 1 phương
trình với 1 ẩn phụ nhưng các hi số vẫn chứa ẩn x ban đầu.
Bài tập:
1) x 2 − 1 = 2x x 2 − 2x
2) (4x − 1) x 3 + 1 = 2x 3 + 2x + 1
3) x 2 − 1 = 2x x 2 + 2x
4) x 2 + 4x = (x + 2) x 2 − 2x + 4
Dạng 7: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình về hệ đối xứng:
+ ax + b = c(dx + e )2 + αx + βy vỚi d = ac + α, e = bc + β
Đặt: dy + e = ax + b
+ 3 ax + b = c(dx + e)3 + αx + β vỚi d = ac + α, e = bc + β
Đặt: dy + e = 3 ax + b
Bài tập
HT30. Giải các phương trình sau:
1)
3x + 1 = −4x 2 + 13x − 5
2) x 3 + 2 = 3 3 3x − 2
3)
x + 1 = x 2 + 4x + 5
4)
4x + 9
= 7x 2 + 7x , x > 0
28
3
3
6) x 35 − x 3 x + 35 − x 3 = 30
5) x 3 + 1 = 23 2x − 1
III. Phương pháp trục căn thức
Bài tập
HT31. Giải các phương trình sau:
1) x 2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 + 1
3)
3 2
x −1 + x = x3 − 2
5) 2 (2 − x )(5 − x ) = x + (2 − x )(10 − x )
7)
3 2
9)
11)
2)
x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5
4)
2x 2 + x + 9 + 2x 2 − x + 1 = x + 4
6)
4 − 3 10 − 3x = x − 2
3 2
x + 4 = x − 1 + 2x − 3
8)
2x 2 + 16x + 18 + x 2 − 1 = 2x + 4
10)
x − 1 + 3x 3 − 2 = 3x − 2
x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8
3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3(x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4
IV. Phương pháp xét hàm số
HT32. Giải các phương trình sau:
1)
4x − 1 + 4x 2 − 1 = 1
2)
x − 1 = −x 3 − 4x + 5
3)
x −1 + x − 2 = 3
4)
2x − 1 + x 2 + 3 = 4 − x
V. Phương pháp đánh giá
1)
x 2 − 2x + 5 + x − 1 = 2
3)
2 − x2 + 2 −
2) 2 7x 3 − 11x 2 + 25x − 12 = x 2 + 6x − 1
1
= 4 − x −
x
x2
1
4)
x −2 x −1 + x + 3 − 4 x −1 = 1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
VI. Các bài toán liên quan đến tham số
HT1.
Cho phương trình
x +4 x −4 +x + x −4 = m .
a. Giải phương trình với m = 6.
b. Tìm m để phương trình có nghiim. Đ/s: x = 4; m ≥ 6
HT2.
Tìm tham số để phương trình 3x 2 + 2x + 3 = m(x + 1) x 2 + 1 có nghiim thực. Đ/s: m < −3 ∪ m ≥ 2 2
HT3.
Cho phương trình
x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x ) = m .
a. Giải phương trình khi m = 2 .
b. Tìm m để phương trình có nghiim. Đ/s: x = −1; x = 3.2 2 − 2 ≤ m ≤ 2
HT4.
Tìm tham số thực m để bất phương trình
x 2 − 4x + 5 ≥ x 2 − 4x + m có nghiim thực trong đoạn 2; 3 .
Đ/s: m ≤ −1
HT5.
Tìm m để phương trình
x − 3 − 2 x − 4 + x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng hai nghiim thực phân biit.
Đ/s:
HT6.
Tìm m để phương trình m x 2 − 2x + 2 = x + 2 có hai nghiim phân biit. Đ/s: m ∈ (1; 10)
HT7.
Tìm m để phương trình m 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 = 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 có nghiim thực. Đ/s:
3 2 − 4
m ∈ −2 5;
2
HT8.
Cho phương trình (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)
x +1
= m Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiim.
x −3
Đ/s: m ≥ −4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
ÔN TẬP
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
HT1. Giải các phương trình sau:
7 ± 29
5 ± 13
,x =
2
2
1.
x 2 − 1 = x 3 − 5x 2 − 2x + 4
Đ/s: x = −1, x =
2.
x 3 − 3x + 1 = 2x + 1
Đ/s: x = 2, x = 5
3.
x2 −1 + x = 1
Đ/s: x = 0, x = ±1
4.
x + 1 + x − 1 = 1 + 1 − x2
Đ/s: x = 0, x = ±2
5.
3 − 2x − x = 5 2 + 3x + x − 2
HT2.
(
)
Đ/s: x = −
23
3
,x =
9
23
Giải các phương trình sau:
14
5
1.
−x 2 + 4x − 3 = 2x − 5
Đ/s: x =
2.
7 − x 2 + x x + 5 = 3 − 2x − x 2
Đ/s: x = −1
3.
3x + x 3 − x + 1 = −2
4.
x 3 − 2x + 5 = 2x − 1
Đ/s: x = 2 ∪ x = 1 + 3
5.
x 3 + x 2 + 6x + 28 = x + 5
Đ/s: x = 1 ∪ x =
6.
x 4 − 4x 3 + 14x − 11 = 1 − x
Đ/s: x = −2 ∪ x = 1
7.
x 4 + 5x 3 + 12x 2 + 17x + 7 = 6(x + 1)
Đ/s: x = 3 − 2
8.
3x − 2 − x + 7 = 1
Đ/s: x = 9
9.
3x + 1 + x + 1 = 8
Đ/s: x = 8
10.
x +8− x = x +3
Đ/s: x = 1
11.
5x + 1 + 2x + 3 = 14x + 7
1
Đ/s: x = − ; x = 3
9
12.
x (x − 1) + x (x + 2) = 2 x 2
Đ/s: x = 0 ∪ x =
13.
x + 14x − 49 + x − 14x − 49 = 14
Đ/s: x =
14.
3x + 8 − 3x + 5 = 5x − 4 − 5x − 7
Đ/s: x = 6
15.
x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2
Đ/s: x = 1
16.
10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2
Đ/s: x = 3
17.
x2 + 2 + x2 + 7 = x2 + x + 3 + x2 + x + 8
Đ/s: x = −1
18.
5
5
− x2 + 1 − x2 +
− x2 − 1− x2 = x + 1
4
4
Đ/s: x =
19.
2x − 2 2x − 1 − 2 2x + 3 − 4 2x − 1 + 3 2x + 8 − 6 2x − 1 = 4
Đ/s: x = 1; x =
20.
x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x +3
Đ/s: x = 1 ± 3
Đ/s: x = −1
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
−1 ± 13
2
9
8
7
∪x = 7
2
3
5
5
2
Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng
21.
x−
0968.393.899
1
1
=
− x
x
x
Đ/s: x = 1
22. 3 2x + 1 + 3 2x + 2 + 3 2x + 3 = 0
23.
3
Đ/s: x = −1
3x − 1 + 3 2x − 1 = 3 5x + 1
Đ/s: x =
24. 3 x + 1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
HT3.
Đ/s: x = 2
Giải các phương trình sau (nhóm nhân tử chung)
1.
(x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12
2.
3
3.
x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x 2 + 8x − 7 + 1
Đ/s: x = −3
3
x + 1 + 3 x + 2 = 1 + x 2 + 3x + 2
Đ/s: x = 0; x = −1
4.
x 2 + 10x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6
5.
x 2 + 3x + 2 x + 2 = 2x + x +
Đ/s: x = 5; x = 4
Đ/s: x = 1; x = 2
6
+5
x
Đ/s: x = 1; x = 2
6.
x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x 2 − x = 0
Đ/s: x = 2
7.
2x 2 − 6x + 10 − 5(x − 2) x + 1 = 0
Đ/s: x = 3; x = 8
8.
x + 3 + 2x x + 1 = 2x + x 2 + 4x + 3
Đ/s: x = 0; x = 1
9.
x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2
Đ/s: x = 0
10.
3 2
x + 3x + 2(3 x + 1 − 3 x + 2) = 1
(
Đ/s: x = −
3
2
)
Giải các phương trình sau: A2 + B 2 = 0
HT4.
HT5.
19
30
1.
4 x + 1 = x 2 − 5x + 14
Đ/s: x = 3
2.
x 2 − x + 6 = 4 1 − 3x
Đ/s: x = −1
3.
x 4 − 2x 2 x 2 − 2x + 16 + 2x 2 − 6x + 20 = 0
Đ/s: x = 2
4.
x + 4 x + 3 + 2 3 − 2x = 11
Đ/s: x = 1
5.
13 x − 1 + 9 x + 1 = 16x
Đ/s: x =
6.
2 x + 1 + 6 9 − x 2 + 6 (x + 1)(9 − x 2 ) − x 3 − 2x 2 + 10x + 38 = 0
Đ/s: x = 0
7.
x 2 − 2(x + 1) 3x + 1 = 2 2x 2 + 5x + 2 − 8x − 5
Đ/s: x = 1
8.
4x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5x − 1 + 9 − 5x
(
5
4
)
Giải các bất phương trình sau (nhân liên hợp)
1
2
1.
x + 1 + 1 = 4x 2 + 3x
Đ/s: x =
2.
2x − 3 − x = 2x − 6
Đ/s: x = 3
3.
2
x − 2 + 4 − x = 2x − 5x − 1
Đ/s: x = 3
4.
10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2
Đ/s: x = 3
5.
(
)(
6.
3(2 + x − 2) = 2x + x + 6
1+x +1
)
1 + x + 2x − 5 = x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Đ/s: x = 2
Đ/s: x = 3; x =
11 − 3 5
2
Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng
7.
8.
9.
9
(
0968.393.899
)
Đ/s: x = 6
4x + 1 − 3x − 2 = x + 3
3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3(x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4
Đ/s: x = 2
(x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1
Đ/s: x = 1 ± 2
10. (3x + 1) x 2 + 3 = 3x 2 + 2x + 3
Đ/s: x = ±1
11. (x + 3) 2x 2 + 1 = x 2 + x + 3
Đ/s: x = 0; x = −5 + 13
12.
4
1
5
+ x − = x + 2x −
x
x
x
13.
x + 3 − x = x2 − x − 2
Đ/s: x = 2
Đ/s: x =
14. 3 x + 24 + 12 − x = 6
3± 5
2
Đ/s: x = −24; x = −88
15. 2x 2 − 11x + 21 = 3 3 4x − 4
HT6. Giải các bất phương trình sau:
Đ/s: x = 3
(
) (
)
1.
3x + 5 < x 2 + 7x
Đ/s: x ∈ −∞; −5 − 2 5 ∪ −5; −5 + 2 5 ∪ (1; +∞)
2.
x 2 + 8x − 1 < 2x + 6
Đ/s: x ∈ (−5 + 2 5;1)
3.
2x 2 − 3x − 10 ≥ 8 − x
4.
2x − 1
2
<
x − 3x − 4
5.
6.
HT7.
1 + 37
1 − 37
Đ/s: x ∈ −∞;
∪ 1 − 2;1 + 2 ∪
; +∞
2
2
7 + 57
; +∞
Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ (−1; 4) ∪
2
1
2
2x + 1
≥x +5
x −1
3
x + 3 −1
(
)
Đ/s: x ∈ −∞; −1 − 7 ∪ −3 + 15;1 ∪ (1; −1 + 7)
(
Đ/s: x ∈ [ − 5; −4) ∪ −2;2 − 3
≥ x +2
Giải các bất phương trình sau:
3 3
Đ/s: x ∈ − ; − ∪ 2; +∞)
2 4
1.
2x + 3 ≤ 4x 2 − 3x − 3
2.
x 2 − x − 12 < x
3.
−x 2 + 4x − 3 > 2x − 5
4.
5x 2 − 2x − 2 ≥ 4 − x
3
Đ/s: x ∈ (−∞; −3) ∪ ; +∞
2
3.
x + 9 + 2x + 4 > 5
Đ/s: x ∈ (0; +∞)
6.
x + 2 − 3 − x < 5 − 2x
Đ/s: x ∈ [ − 2;2)
7.
7x + 1 − 3x − 8 ≤ 2x + 7
8.
5x + 1 − 4x − 1 ≤ 3 x
Đ/s: x ∈ 9; +∞)
1
Đ/s: x ∈ ; +∞
4
9.
1
5x + 1 − 4 − x ≤ x + 6 x ∈ − ; 3
5
Đ/s: x ∈ 4; +∞)
14
Đ/s: 1;
5
Đ/s:
1
x −1
x −2
−2
≥ 3 x ∈ − ; 0
12
x
x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
−x 2 + x + 6
−x 2 + x + 6
≥
2x + 5
x +4
2x + 4
10x − 3x 2 − 3 ≥ 0
11. x −
2x − 5
Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ x = 3
10.
1 5
Đ/s: x = 3 ∪ x ∈ ;
3 2
12.
51 − 2x − x 2
<1
1−x
Đ/s: x ∈ −1 − 52; −5 ∪ 1; −1 + 52
13.
−3x 2 + x + 4
<2
x
9 4
Đ/s: x ∈ [−1; 0) ∪ ;
7 3
1
14.
2x 2 + 3x − 5
13.
>
) (
5 3
Đ/s: x ∈ −∞; − ∪ 1; ∪ (2; +∞)
2 2
1
2x − 1
3 − 2 x 2 + 3x + 2
1− 2 x2 − x + 1
13 − 1
Đ/s: x ∈
; +∞
6
>1
16.
x 2 + 3x + 2 + x 2 + 6x + 5 ≤ 2x 2 + 9x + 7
Đ/s: x = 1; x = −5
17.
x 2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
1
Đ/s: x ∈ −∞; ∪ x = 1
2
18.
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4
Đ/s: x ∈ 4; +∞) ∪ x = 1
HT8.
Giải các bất phương trình sau (nhân liên hợp)
2x 2
1.
(3 −
(1 +
1+x
2
(
Đ/s: x ∈ −1; 8)
> x −4
2
)
6x 2
3.
9 7
Đ/s: x ∈ − ; \ {0}
2 2
< x + 21
)
9 + 2x
x2
2.
2
x2
(x + 1 −
x +1
2
<
x 2 + 3x + 18
)
(
4(x + 1)2 < (2x + 10) 1 − 3 + 2x
6.
(
2
)
x + 3 − x − 1 1 + x 2 + 2x − 3 ≥ 4
)
3
Đ/s: x ∈ − ; 3 \ {1}
2
Đ/s: x ≥ 2
x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4
Đ/s: x ≥ 4 ∪ x = 1
4
Đ/s: x ∈ (0; 4
+ 2x + 1 ≥ 2x + 17
x
9.
2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x > 2 3
(
10. 9(x 2 + 1) ≤ (3x + 7) 1 − 3x + 4
11. 2 1 −
2
8
+ 2x − ≥ x
x
x
)
Đ/s: x ∈ (−1; 3) \ {0}
(x + 1)2
5.
8.
(
Đ/s: x ∈ 10 + 4 5; +∞
> 2x + x − 1 + 1
)
2x + 1 + 1
4.
7.
)
2
)
Đ/s: x ∈ (1; 4
4
Đ/s: x ∈ − ; −1
3
{
Đ/s: x ∈ −2; 0) ∈ 1 + 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
}
Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng
12.
0968.393.899
12x − 8
2x + 4 − 2 2 − x >
9x 2 + 16
13. 2
x2 + x + 1
2
+ x2 − 4 ≤
x +4
x2 + 1
14. (x − 1) x 2 − 2x + 5 − 4x x 2 + 1 ≥ 2(x + 1)
15.
3 − 2 x 2 + 3x + 2
x (x + 1 − x 2 )
x x + 1− x2 − x3
17.
HT9.
Đ/s: x ∈ − 3; 3
Đ/s: x ∈ (−∞; −1
13 − 1
; +∞
Đ/s: x ∈ (−∞; −2 ∪
6
>1
1− 2 x2 − x + 1
16.
2 4 2
;2
Đ/s: x ∈ −2; ∪
3 3
5 −1
2
Đ/s: x =
≥1
2x 2 + 11x + 15 + x 2 + 2x − 3 ≥ x + 6
7 3
Đ/s: −∞; − ∪ ; +∞
2 2
Giải các phương trình sau (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn):
1.
(x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1
Đ/s: x = 1 ± 2
2.
x 2 + (3 − x 2 + 2)x = 1 + 2 x 2 + 2
Đ/s: x = ± 14
3
(3x + 1) 2x 2 − 1 = 5x 2 + x − 3
2
3 2x 2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2x 2 + 1
Đ/s: x = ±1; x = 5
5.
2 2x + 4 + 4 2 − x = 9x 2 + 16
Đ/s: x =
6.
4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x 2
3
Đ/s: x = − ; x = 0
5
7.
2 2 1 + x 2 − 1 − x 2 − 1 − x 4 = 3x 2 + 1
Đ/s: x = 0
8.
x 2 + 2(x − 1) x 2 + x + 1 − x + 2 = 0
Đ/s: x = 0; x = −1
9.
(x + 1) x 2 − 2x + 3 = x 2 + 1
Đ/s: x = 1 ± 2
3.
4.
10. 6x 2 − 10x + 5 − (4x − 1) 6x 2 − 6x + 5 = 0
Đ/s: x = 0
4 2
3
59 − 3
10
Đ/s: x =
HT10. Giải các phương trình sau (Đặt 1 ẩn phụ):
1.
2x 2 + 4x + 1 = 1 − x 2 − 2x
Đ/s: x = −2; x = 0
2.
x + 2 + 5 − x + (x + 2)(5 − x ) = 4
Đ/s: x =
3.
2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 − 16 Đ/s: x = 3
4.
(x 2 + 1)2 = 5 − x 2x 2 + 4
5.
x 2 + 2x x −
6.
9
x
2
+
1
= 3x + 1
x
2x
−1 = 0
2
2x + 9
3±3 5
2
Đ/s: x = − 2 ∪ x =
Đ/s: x =
3 −1
1± 5
2
Đ/s: x = −
3 2
2
7.
2x 2 − 6x + 4 = 3 x 3 + 8
Đ/s: x = 3 ± 13
8.
2x 2 + 5x − 1 = 7 x 3 − 1
Đ/s: x = 4 ± 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng
9.
0968.393.899
x 2 − 4x − 3 = x + 5
Đ/s: x = −1 ∪ x =
10. 2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5
5 + 29
2
Đ/s: x = 1 − 2 ∪ x = 2 + 3
HT11. Giải các phương trình sau (đặt 2 ẩn phụ hoặc chuyển về hi):
1.
4
5 − x + 4 x −1 = 2
2.
x 3 + 1 = 23 2x − 1
3.
3x 2 + 6x − 3 =
4.
x 2 − 4x − 3 = x + 5
Đ/s: x = −1; x =
5.
2x 2 − 6x − 1 = 4x + 5
Đ/s: x = 1 − 2; x = 2 + 3
6.
4 3 (x + 2)2 − 7 3 (4 − x )2 + 3 3 (2 − x )2 = 0
7.
3
8.
(x + 3) −x 2 − 8x + 48 = x − 24
Đ/s: x = 0; x = 5
Đ/s: x = 1; x =
x +7
3
Đ/s: x =
(2 − x )2 + 3 (7 + x )2 − 3 (7 + x )(2 − x ) = 2
−1 ± 5
2
−5 + 73
−7 − 69
;x =
6
6
5 + 29
2
Đ/s: x = −6; x = 1
Đ/s: x = −2 − 2 7; x = −5 − 31
1
1
+
=2
x
2
2−x
HT12. Giải các bất phương trình sau (Đặt ẩn phụ):
9.
Đ/s: x = 1; x =
−1 − 3
2
1.
(x + 1)(x + 4) < 5 x 2 + 5x + 28
Đ/s: x ∈ (−9; 4)
2.
x (x − 4) −x 2 + 4x + (x − 2)2 < 2
Đ/s: x ∈ 2 − 3;2 + 3
(
3.
7x + 7 + 7x − 6 + 2 49x 2 + 7x − 42 < 181 − 14x
6
Đ/s: x ∈ ;6
7
4.
3 − x + x + 2 + 3 ≤ 3 −x 2 + x + 6
Đ/s: x ∈ −2; −1 ∪ 2; 3
5.
x +4 + x −4
≤ x + x 2 − 16 − 6
2
145
; +∞
Đ/s: x ∈
36
6.
3x 2 + 6x + 4 < 2 − 2x − x 2
Đ/s: x ∈ (−2; 0)
1
Đ/s: x ∈ (−∞; 0) ∪ ; +∞
2
3x − 1
x
≥
+1
x
3x − 1
7.
2
8.
(x + 1)(x − 3) −x 2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
9.
x+
x
x2 −1
10.
1
1 − x2
+1>
>
)
(
Đ/s: x ∈ 1 − 3;1 + 3
)
35
12
5 5
Đ/s: x ∈ 1; ∪ ; +∞
4 3
3x
1 2
∪ ;1
Đ/s: x ∈ −1;
2 5
1− x2
HT13. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số)
1.
6
8
+3
= 14
3−x
2−x
Đ/s: x =
2.
3x + 1 + x + 7x + 2 = 4
Đ/s: x = 1
3.
4x 3 + x − (x + 1) 2x + 1 = 0 x =
1+ 5
4
Đ/s: x =
3
2
−1 + 21
4
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
4.
x (4x 2 + 1) + (x − 3) 5 − 2x = 0
5.
(2x + 3) 4x 2 + 12x + 11 + 3x (1 + 9x 2 + 2) + 5x + 3 = 0
6.
1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2(x − 1)4 (2x 2 − 4x + 1)
Đ/s: x = −
3
5
Đ/s: x = 0; x = 2
7.
x 3 + 1 = 23 2x − 1
Đ/s: x = 1; x =
−1 ± 5
2
8.
8x 3 − 36x 2 + 53x − 25 = 3 3x − 5
Đ/s: x = 2; x =
5± 3
4
9.
x 3 − 15x 2 + 78x − 141 = 5 3 2x − 9
Đ/s: x = 4; x =
11 ± 5
2
10. 2x 3 + x 2 − 3x + 1 = 2(3x − 1) 3x − 1
Đ/s: x =
3± 5
2
HT14. Giải bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điiu của hàm số)
1.
x +1 > 3− x +4
Đ/s: x ∈ (0; +∞)
2.
5x − 1 + x + 3 ≥ 4
Đ/s: x ∈ 1; +∞)
(
3
)
3.
2(x − 2)
4.
(x + 2) x + 1 > 27x 3 − 27x 2 + 12x − 2
5.
3 3 − 2x +
4x − 4 + 2x + 2 ≥ 3x − 1
5
2x − 1
− 2x ≤ 6
Đ/s: x ≥ 3
7
Đ/s: x ∈ −1;
9
3
Đ/s: x ∈ 1;
2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM
HT15. Giải bất phương trình:
1) (B – 2012) x + 1 + x 2 − 4x + 1 ≥ 3 x
2) (A – 2010)
x− x
1 − 2(x 2 − x + 1)
3) (A – 2005)
4) (A – 2004)
≥1
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4
2(x 2 − 16)
7 −x
+ x −3 >
x −3
x −3
5) (D – 2002) (x 2 − 3x ) 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0
1
Đ/s: 1) 0; ∪ [4; +∞)
4
2) x =
3− 5
2
3) 2 < x < 10
1
5) x < − ∪ x = 2 ∪ x ≥ 3
2
HT16. Giải các phương trình sau:
4) x > 10 − 34
1) (B – 2011) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x
2) (B – 2010) 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0
3) (A – 2009) 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0
4)(D – 2006)
2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0
5) (D – 2005) 2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4
Đ/s: 1) x =
6
5
2) x = 5
3) x = −2
4) x = 2 − 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
5) x = 3
Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng
0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải và biện luận:
a x + b y = c
1
1
1
(a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0)
a2x + b2y = c2
a b
– Tính các định thức: D = 1 1 ,
a2 b2
c b
Dx = 1 1 ,
c2 b2
a c
Dy = 1 1 .
a2 c2
Xét D
Kết quả
D≠0
D=0
Hệ có nghiệm duy nhất
Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0
Dx = Dy = 0
Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương
pháp cộng đại số.
2. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
• Từ phương trình bcc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
• Thế vào phương trình bcc hai để đưa về phương trình bcc hai một ẩn.
• Số nghiim của hi tuỳ theo số nghiim của phương trình bcc hai này.
3. Hệ đối xứng loại 1
f (x , y ) = 0
Hi có dạng:
(I)
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
g (x , y ) = 0
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
• Đặt S = x + y, P = xy.
• Đưa hi phương trình (I) về hi (II) với các ẩn là S và P.
• Giải hi (II) ta tìm được S và P.
• Tìm nghiim (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 − SX + P = 0 .
4. Hệ đối xứng loại 2
f (x , y ) = 0
(1)
Hi có dạng:
(I)
f (y, x ) = 0
(2)
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
f (x, y ) − f (y, x ) = 0
(I) ⇔
f (x, y ) = 0
• Biến đổi (3) về phương trình tích:
• Như vcy,
(3)
(1)
x = y
(3) ⇔ (x − y ).g(x , y ) = 0 ⇔
.
g(x, y ) = 0
f (x , y ) = 0
x = y
(I) ⇔
.
f (x , y ) = 0
g(x, y ) = 0
• Giải các hi trên ta tìm được nghiim của hi (I).
5. Hệ đẳng cấp bậc hai
2
2
a x + b1xy + c1y = d1
Hi có dạng:
(I) 1
.
a x 2 + b xy + c y 2 = d
2
2
2
2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN
Page 19
- Xem thêm -
.PDF 
24 
245 
70 
