Chuyªn ®Ò
: Ph¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè
Bµi to¸n 1 :
Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai cã chøa tham sè .
Ph¬ng ph¸p : XÐt c¸c trêng hîp cña hÖ sè a :
- NÕu a = 0 th× t×m nghiÖm ph¬ng tr×nh bËc nhÊt .
- NÕu a 0 th× tiÕn hµnh c¸c bíc sau:
+ TÝnh biÖt sè ( ' ) .
+ XÐt c¸c trêng hîp cña ( ' ) ( NÕu ( ' ) chøa tham sè ).
+ T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh theo tham sè.
Bµi 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ( m lµ tham sè ) sau :
a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - 8 = 0
b) x2 - 3mx + 2m2 - m - 1 = 0
c) 3x2 - mx + m2 = 0
d) x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
HDÉn :
a/ ' = 9 ; x 1 = 3m + 2 , x 2 = 3m - 4
b/ = (m + 2)2 : + m -2 : x 1 = 2m + 1 , x 2 = m - 1
+ m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp)
c/ = -11m2 : + m = 0 : x = 0 ( nghiÖm kÐp)
+ m 0 : PT v« nghiÖm.
3
7
d/ ' = m2 - 3m + 4 = (m - )2 + > 0 :
2
4
2
x1 = m - 1 +
3
7
m
2
4
2
x2 = m - 1 -
;
3
7
m
2
4
Bµi 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0
HDÉn :
3
2
* m =1
: x=
* m 1
+m>2
+m=2
: ' = 2 - m
: V« nghiÖm.
: x = 2 (nghiÖm kÐp )
+m<2
:
x1
m 2 m
m 1
;
x2
m
2 m
m 1
Bµi 3 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
(m - 1)x2 + 3mx + 2m + 1 = 0
HDÉn :
+m=1
: x =-1
+ m 1
:x 1 =-1
;x2 =
c 2m 1
a
1 m
Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
x2 - 2(m + 1)x + 2(m + 5) = 0
HDÉn : ' =m2 - 9
NÕu : -30
m 4
m 9
5
m 4
m 9 , m 0
5
2
3)
c/ + m = 0
: Cã nghiÖm.
: ' 0
+ m 0
Bµi 11 :
9
m4
5
a) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña k ®Ó ph¬ng tr×nh :
x2 - 4x + k = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
( k = 1; 2; 3 )
b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn ©m cña m ®Ó ph¬ng tr×nh :
2x2 - 6x + m + 7 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. ( m = -3; - 4; - 5; ......)
Bµi 12 : Cho ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè) :
(2m - 7)x2 + 2(2m + 5)x - 14m + 1 = 0
X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp.TÝnh nghiÖm kÐp ®ã.
HDÉn :
m 2
m 1
2
2m 7 0
2
' 2 m 5m 2
+ Víi m = 2
+ Víi m =
:x=3
1
2
:x=1
Bµi 13 : Cho ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè) : (m + 3)x2 + 3(m - 1)x + (m - 1) (m + 4) = 0
T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
HDÉn :
m 3 0
19 2 551
m 3
4 m 1 m 8 64 0 m 1
Bµi to¸n 3 :
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 nhËn mét sè k (k R) cho
tríc lµm nghiÖm .
Ph¬ng ph¸p :
- Thay gi¸ trÞ x = k vµo ph¬ng tr×nh t×m tham sè.
- Thay gi¸ trÞ cña tham sè võa t×m ®îc vµo x1 x2 hoÆc x1.x2 ®Ó t×m
nghiÖm cßn l¹i
(nÕu cÇn).
Bµi 14 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh :
a) (3m + 4)x2 - (5m - 1)x + m - 3 = 0 nhËn 3 lµm nghiÖm.
(m=-
b) (m2 + 1)x2 + (3m - 4)x + m - 11 = 0 nhËn - 2 lµm nghiÖm.
m 1
m 1
4
36
)
13
(
)
Bµi 15 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh :
a) mx2 - 3x - 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng -1.
b) x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3.
(m=2)
(m=2)
Bµi 16 : T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng 1.T×m nghiÖm cßn l¹i :
1
2
a) 2x2 - 3x + m = 0
( m = 1 , x2 )
b) 3x2 + 7x + m = 0
( m = -10 , x2
10
)
3
Bµi 17 : Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh :
a) 2x2 + kx - 10 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 5.T×m nghiÖm cßn l¹i .
b) k 2x2 - 15x - 7 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 7.T×m nghiÖm cßn l¹i .
c) (k - 4)x2 - 2kx + k - 2 = 0 cã mét nghiÖm b»ng 3 .T×m nghiÖm cßn l¹i .
HDÉn :
a/ k = 8 , x 2 = - 1
b/ k =
4 7
7
,
3
x 2
7
16
c/ k = 7 2
3
, x 2 14 9
3
47
Bµi 18 : Cho ph¬ng tr×nh (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0 (1)
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b»ng m.
HDÉn :+
2 m 1 0
'
2
0
( 2 m 2)
1
m
2
( 2m 2) 2 0
ta cã : x1 2 ; x 2
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng m th×
+m=
m 2
2
m
2m 1
2
2m 1
m 2
m 1 17
4
1
1
1
ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm x = 2 m kh«ng tho¶
2
2
2
m·n.
Bµi 19 : Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn m ®Ó
ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn.
HDÉn : * m = 1 : -2x + 2 = 0 x 1
* m 1 :
m - 1 + (-2m) +m +1 = 0 x1 1 ; x 2
m 1
2
1
m 1
m 1
m 1 1;2 m 1;0;2;3
Bµi 20 : Cho ph¬ng tr×nh x2 + (2m - 5)x - 3n = 0 . X¸c ®Þnh m vµ n ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2
nghiÖm lµ 3 vµ -2.
HDÉn :
6 m 3n 6
4 m 3n 14
m 2
n 2
Bµi 21 : T×m m, n ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt lµ
1
:
2
mx2 + (mn + 1)x + n = 0
HDÉn :
m 0
0
m
1
mn 1.
4
2
n
0
m 2
1
n
2
Bµi 22 : X¸c ®Þnh c¸c sè m, n cña ph¬ng tr×nh: x2 + mx + n = 0 sao cho c¸c nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh còng lµ m vµ n.
HDÉn : * = m2 - 4n ≥ 0 m 4n
*
m 0
PT : x 2 0
x1 x 2 m n m
n 0
m 1
x1 . x 2 m.n n
PT : x 2 x 2 0
n 2
Bµi to¸n 4 :
Chøng minh ph¬ng tr×nh bËc 2 cã nghiÖm .
Ph¬ng ph¸p :
- C¸ch 1 : Chøng minh ' 0
- C¸ch 2 : Chøng minh ac < 0
( Chó ý : C¶ 2 c¸ch ®Òu ph¶i xÐt c¸c trêng hîp a = 0 vµ a 0 nÕu a chøa tham sè )
Bµi 23 : CMR c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m :
a) x2 + (m + 1)x + m = 0
d) x2 + 4x - m2 + 4m - 9 = 0
2
b) x - mx + m - 4 = 0
e) (m + 1)x2 + x - m = 0
2
c) -3x + 2(m - 2)x + 2m + 5 = 0
f) x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0
( dïng ac < 0 )
Bµi 24 : CMR ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) cã nghiÖm, biÕt r»ng 5a + 2c = b .
HDÉn : = b2 - 4ac = (5a + 2c)2 - 4ac = ( 4a + 2c)2 + 9a2 0
Bµi 25 : Cho ph¬ng tr×nh mx2 - (2m - 1)x + m = 0 (1) .Gäi x1 , x 2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng
4
tr×nh (1) . Chøng minh r»ng nÕu x 21 x 2 2 2 th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
kÐp.
1
HDÉn :+ x 21 x 2 2 2 ( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 2 m
2
+
m 0
'
1 2 m 0
m
1
2
kÕt luËn ?
Bµi 26 : CMR ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b, c :
a) x.(x - a) + x.(x - b) + (x - a).(x - b) = 0
b) (x - a).(x - b) + (x - b).(x - c) + (x - c).(x - a) = 0
c) a.(x - b).(x - c) + b.(x - c).(x - a) + c.(x- a).(x - b) = 0 (Víi a + b + c 0)
a/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab = 0
HDÉn :
=(a -
b 2 3b 2
)+
0
2
4
b/ 3x2- 2.(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
1
a b 2 b c 2 c a 2 0
2
c/ (a + b + c)x2 - 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0
= a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2bc - ab2c - abc2
=
1
a b c 2 b c a 2 c a b 2 0
2
Bµi 27 : Cho ph¬ng tr×nh (a, b lµ tham sè ) : ax2 + (ab + 1)x + b = 0
a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
b) T×m gi¸ trÞ cña a, b ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp lµ
HDÉn :
a) a = 0 : x = b
a 0 : = (ab-1)2 0
b)
ab 1 0
ab 1
1
2a
2
a
b
1
.
2
2
1
2
Bµi 28 : CMR : NÕu ph¬ng tr×nh cx2 + bx + a = 0 (1) cã nghiÖm
th× ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (2) còng cã nghiÖm .
HDÉn : 2 = b2- 4ac = 1 0
Bµi 29 : CMR ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b :
x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = 0
HDÉn : = (3a + b)2+ 8b 2 0
Bµi to¸n 5 :
Chøng minh Ýt nhÊt 1 trong 2 ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm .
Ph¬ng ph¸p :
- TÝnh c¸c biÖt sè 1 ; 2 .
- Chøng minh 1 2 0 hoÆc 1 . 2 0 ®Ó suy ra mét biÖt sè kh«ng ©m
(Chó ý kÕt hîp gi¶ thiÕt nÕu cã)
Bµi 30 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 3x + 2m + 6 = 0 (1) vµ x2 + x - 2m - 10 = 0 (2)
CMR : Víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
HDÉn : 1 2 26 > 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 31 : Cho hai ph¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 (1) vµ ax2 + bx - c = 0 (2)
5
CMR víi mäi a, b, c Ýt nhÊt 1 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .
HDÉn : 1 2 2 b 2 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 32 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + (m - 1)x + m2 = 0 (1) vµ x2 + 2mx - m = 0 (2)
CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
HDÉn : 1 2 (m + 1)2 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 33 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 3x - a - 2 = 0 (1) vµ x2 + ax + 1 = 0 (2)
CMR víi mäi a trong 2 ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã Ýt nhÊt 1 ph¬ng tr×nh cã
hai nghiÖm ph©n biÖt.
HDÉn : 1 2 (a +2)2+ 9 > 0 cã 1 biÖt sè lín h¬n 0 .
Bµi 34 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + (m - 2)x +
m
=0
4
(1)
vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = 0 (2)
CMR víi mäi m, Ýt nhÊt 1 trong 2 ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm .
HDÉn : 1 (m 1)(m 4) ; 2 16(1 m)(m 4)
1 . 2 16(m 1) 2 (m 4) 2 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 35 : Cho b, c lµ c¸c sè tho¶ m·n :
¬ng
1 1
2 . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai phb c
tr×nh sau cã nghiÖm : x2 + 2bx + c = 0 vµ x2 + 2cx + b = 0 .
HDÉn : '1 ' 2 b 2 (b c) c 2 (b c) 2 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 36 : Cho hai ph¬ng tr×nh bËc hai : x2 + ax + b = 0 (1) vµ x2 + cx + d = 0 (2)
BiÕt b + d =
1
ac . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã
2
nghiÖm .
HDÉn : 1 2 (a - c)2 0 cã 1 biÖt sè kh«ng ©m .
Bµi 37: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc hai : x2 + a1 x b1 0 vµ x2 + a 2 x b2 0 cã c¸c hÖ sè
tho¶
m·n ®iÒu kiÖn : a1 a 2 2(b1 b2 ) . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh
trªn cã
nghiÖm .
HDÉn : Gi¶ sö 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm :
2
2
1 2 a a 2 2 4(b b ) < 0 a a 2 2 4(b b )
1
1
2
1
1
2
(a1 a 2 ) 2 4(b1 b2 ) 2a1 a 2
0 (a1 a 2 ) 2 4(b1 b2 ) 2a1 a 2
a1a 2 2(b1 b2 ) ( m©u thuÉn víi
gi¶ thiÕt)
bµi to¸n 6:
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó 2 ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
Ph¬ng ph¸p :
* C¸ch 1 :
- Gi¶ sö x0 lµ nghiÖm chung, lËp hÖ 2 ph¬ng tr×nh ( Èn x vµ tham sè )
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t×m x 0 , t×m tham sè .
- Thö l¹i : Thay c¸c gi¸ trÞ cña tham sè vµo tõng ph¬ng tr×nh, gi¶i c¸cph¬ng tr×nh, t×m nghiÖm
chung.
- Rót kÕt luËn .
6
* C¸ch 2 : - Rót tham sè tõ 1 ph¬ng tr×nh ®· cho
- ThÕ gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh cßn l¹i t×m x .
- Thay gi¸ trÞ cña x t×m m .
- Rót kÕt luËn .
Bµi 38 : Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung :
x2 - (k + 4)x + k + 5 = 0
x2 - (k + 2)x + k +1 = 0
HDÉn : x 0 = 2 ; k = 1
Bµi 39 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
x2 + 2x + m = 0
x2 + mx + 2 = 0
HDÉn : (m -2)x 0 = m - 2 :
+ m =2 : hai ph¬ng tr×nh cã d¹ng : x2 + 2x +2 = 0 ( v« nghiÖm)
+ m 2 : x 0 = 1 ; m = -3
Bµi 40 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
x2 + (m - 2)x + 3 = 0
2x2 + mx + (m + 2) = 0
HDÉn : (m - 4)x 0 = m - 4
nghiÖm)
: + m = 4 : hai ph¬ng tr×nh cã d¹ng : x2 + 2x +3 = 0 ( v«
+ m 4 : x 0 = 1 ; m = -2
Bµi 41 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 (1)
6x2 + (7m - 15)x - 19 = 0 (2)
HDÉn :
* C¸ch 1 : m x 0 = 4 : + m = 0 : hai ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm chung.
+ m 0 : x 0 =
4
8
; m = 4 hoÆc m =
m
3
2
* C¸ch 2 : (1) m = 9 2 x 5 x (x 0) thay vµo (2) :
3x
4x2 - 10x + 6 = 0 ta cã x 1 = 1 ; x 2 =
. x1 = 1
.x2 =
3
2
3
2
m = 4 ( nghiÖm chung lµ 1)
m=
8
3
( nghiÖm chung lµ
3
2
)
Bµi 42 : Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× 2 ph¬ng tr×nh sau ®©y cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0 (1)
4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2)
2
HDÉn : (1) m = 2 x 2 x 12 (x 0) thay vµo (2) :
3x
x2 - 4x = 0 ta cã x 1 = 0 (lo¹i) ; x 2 = 4
. x = 4 m = 3 ( nghiÖm chung lµ 4)
Bµi 43 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 2 ph¬ng tr×nh :
x2 + x + m - 2 = 0 (1)
2
x + (m - 2)x + 8 = 0 (2) cã nghiÖm chung.
2
HDÉn : (2) m = 2 x x 8 (x 0) thay vµo (1) :
x
x3 - 8 = 0 x = 2 m = - 4 (nghiÖm chung lµ 2)
7
Bµi 44: T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó 2 ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm chung.
2x2 + (3a - 1)x - 3 = 0 (1)
6x2 - (2a - 3)x - 1 = 0 (2)
HDÉn : (11a - 6)x 0 = 8 :
6
c¶ hai ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
11
6
8
+a
khi ®ã :
x0
11
11a 6
+a=
(1) 99a 2 164a 68 0 ta cã : a 1 2 ; a 2
34
99
(lo¹i)
. a = 2 nghiÖm chung lµ
1
2
Bµi to¸n 7 :
Khi ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm , h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a 2
nghiÖm x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Ph¬ng ph¸p :
-
a 0
'
0
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm :
TÝnh tæng S, tÝch P cña hai nghiÖm x 1 vµ x 2 .
TÝnh m theo S, P.
Khö m t×m hÖ thøc chØ cßn S, P . Thay S = x 1 + x 2 , P = x 1 . x 2
Bµi 45: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 3)x + 2m - 5 =
0
mµ hÖ thøc nµy kh«ng phô thuéc vµo m.
HDÉn : . = (m -1)2+ 28 0
P 5
. m = S - 3 vµ m =
ta cã hÖ thøc : 2(x 1 x 2 ) x1 x 2 11
2
Bµi 46: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y t×m 1
biÓu thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.
HDÉn : . = (m -
1 2 19
) +
0
2
4
*10*
.m=
Chuyªn ®Ò PTB2 chøa tham sè
S 2
vµ m = P + 4 ta cã hÖ thøc : x 1 x 2 2 x1 x 2 10 0
2
Bµi 47 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 . Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y
t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo m.
'
HDÉn : .
m 2
m 2 2 0
m 2
.m=
S 2
P 3
vµ m =
ta cã hÖ thøc : x1 x 2 ( x1 x 2 ) 1 0
2
2
Bµi 48 : Cho ph¬ng tr×nh : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 . Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm,
h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo m.
HDÉn : . ' m 2 10m 0 0 m 10 vµ m 2
.m=
2P 2
2S 4
vµ m =
p 2
S 2
ta cã hÖ thøc : 4 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 6 0
Bµi 49 : Cho ph¬ng tr×nh : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0 . Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm,
8
h·y t×m 1 hÖ thøc gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
HDÉn :
.
' 9 m 2 9 m 18 0
2m 1 0
.m=
1
1 m
1
m
2
2
S 8
p2
vµ m =
ta cã hÖ thøc : ( x
2S 2
2P 5
x 2 ) 2 x1 x 2 4 0
Bµi 50 : Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau, gi¶ sö chóng cã nghiÖm x 1 vµ x 2 . H·y t×m mét hÖ thøc
liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo tham sè k.
a) (k - 1)x2 - 2kx + k - 4 = 0
(k 1)
b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + 7 = 0 (k -3)
c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = 0
(k 0)
HDÉn :
a/ . ' 5k 4 0 k
4
5
. k=
1
vµ k =
P 4
P 1
ta cã hÖ thøc : 3 ( x
x 2 ) 2 x1 x 2 8 0
b/ .
30
3 k
13k 56k 60 0
13
k
2
2
.k=
1
S
S 2
12 3S
S 3
vµ k =
7 3P
P 1
ta cã hÖ thøc : 10 (x
x 2 ) 3x1 x 2 33 0
c/ . ' 6k 1 0 0 k
.k=
2
4
vµ k =
S 2
1 P
1
6
ta cã hÖ thøc : x1 x2 2( x1 x 2 ) 5 0
Bµi 51 : Cho ph¬ng tr×nh : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + 2 = 0 . Khi ph¬ng tr×nh cã hai
nghiÖm x1 , x 2 h·y tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia.
HDÉn :
+
m 1
m 1 0
1
m
0
24
+ 5 x1 x 2 x1 x 2 7 0 x 2
Bµi 52 : Cho ph¬ng tr×nh :
7 x1
5 x1 1
(hoÆc ngîc l¹i)
1
1
= m . Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
x 1 x 3
h·y biÓu diÔn nghiÖm nµy theo nghiÖm kia.
HDÉn :
mx2- (4m + 2)x + 3m + 4 = 0
+
(x 1 ; x 3 )
m 0
2
4 m 4 0
+ 2 x1 2 x 2 x1 x 2 5 0 x 2
5 2 x1
2 x1
Bµi to¸n 8 :
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm x1 , x 2 tho¶ m·n
mét ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a 2 nghiÖm.
Ph¬ng ph¸p :
-
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm :
TÝnh tæng S, tÝch P cña hai nghiÖm x 1 vµ x 2 .
KÕt hîp ®¼ng thøc cña gi¶ thiÕt lËp hÖ ph¬ng tr×nh gåm 3 ph¬ng tr×nh.
9
a 0
'
0
-
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t×m tham sè.
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn, thö l¹i, rót kÕt luËn.
Bµi 53 : Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 4x + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã c¸c
nghiÖm x1 , x 2 tho¶ m·n : x1 3x 2
HDÉn :
* ' 4 3m 0 m
4
3
*m = 1 (t/m)
Bµi 54 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña tham sè k sao cho hai nghiÖm x1 , x 2 cña ph¬ng
tr×nh
x2 - 6x + k = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3x1 2 x 2 20
HDÉn :
* ' 9 k 0 k 9
*k = -16 (t/m)
Bµi 55 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm x1 , x 2
ta
cã hÖ thøc : 2 x1 3 x 2 13
HDÉn :
* m
2
m 7 4 3
14m 1 0
m 7 4 3
*
m 0
m 1
(t/m)
Bµi 56 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2x + 3k = 0 . Gäi x1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh,
kh«ng
gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ cña k ®Ó : x1 x 2 14
HDÉn :
* ' 1 3k 0 k
1
3
*k = -16 (t/m)
Bµi 57 : Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - mx + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm x1 , x 2 ta
cã
hÖ thøc : 3 x1 .x 2 2 x1 2
HDÉn :
*
m 2 6
m 2 24 0
m 2 6
* m = 7 (t/m)
Bµi 58 : Cho ph¬ng tr×nh : (m + 3)x2 - 3mx + 2m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm
x1 , x 2 ta cã hÖ thøc : 2 x1 x 2 3
HDÉn :
*
m 3
m 3 0
m 0
2
m 24m 0
m 24
* m = -1 (t/m)
Bµi 59 : Gäi x1 vµ x 2 lµ nh÷ng nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = 0
(1)
T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n :
3 x1 5 x 2 6
HDÉn :
4
* (3k 4) 0 k
3
2
k 0
*
32
k
15
(t/m)
Bµi 60 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai
nghiÖm
x1 , x 2 ta cã hÖ thøc : 3x1 x 2 5( x1 x 2 ) 7 0
HDÉn :
* 4 m 7 0 m
m 2
4
m
3
7
4
*
lo¹i m =
4
3
Bµi 61 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + (2 - 3m)x + m2 = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh
10
cã c¸c nghiÖm x1 , x 2 tho¶ m·n : x1 x 2 x1 x 2
HDÉn :
*
2
m
5m 2 12m 4 0
5
m 2
m 1
* m 2
lo¹i m = 1
Bµi 62 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - 3 = 0. X¸c ®Þnh k ®Ó
gi÷a
hai nghiÖm x1 , x 2 ta cã hÖ thøc : (4 x1 1).(4 x 2 1) 18
HDÉn :
7
6
* ' 6 k 7 0 k
* k = 7 (t/m)
Bµi 63 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x + m = 0. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
x1 x 2
10
x 2 x1
3
ph©n biÖt x1 , x 2 tho¶ m·n :
4 2m
10
* 1 m 0 m 1 *
(m 0 ) m 3 (t/m)
m
3
Bµi 64 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m- 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã
HDÉn :
hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x 2 tho¶ m·n :
HDÉn :
* ' 7 6 m 0 m
7
6
1 1 x1 x 2
x1 x 2
5
m 2
* m 4
lo¹i m = 2
Bµi 65 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh : x2 - 3mx + m2 = 0 cã c¸c nghiÖm x1 , x 2 tho¶
m·n : x 21 x 2 2 1,75
HDÉn :
1
2
* m
* 5m 2 0
(t/m)
Bµi 66 : X¸c ®Þnh m ®Ó hai nghiÖm x1 , x 2 cña ph¬ng tr×nh : x2 + 3x + m = 0 tho¶
m·n
®iÒu kiÖn : x 21 x 2 2 34
HDÉn :
* 9 4m 0 m
9
4
*m=
25
2
(t/m)
Bµi 67 : T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh : x2 - 5x + 3m - 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 , x 2 tho¶ m·n
®iÒu
kiÖn : x 21 x 2 2 17
29
5
*m=
(t/m)
12
3
Bµi 68 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1 , x 2 cña ph¬ng tr×nh : mx2 - 2(m - 2)x + m - 3
HDÉn :
* 29 12m 0 m
=0
tho¶ m·n : x 21 x 2 2 1
HDÉn :
*
m 2
m 0
0 m 4
' 4 m 0
* m 8
lo¹i m = 8
Bµi 69 : X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh : mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 cã tæng b×nh ph¬ng
c¸c nghiÖm lµ 13.
HDÉn :
*
m 0
2
41m 136m 144 0m
m 4
* m 1,8
11
(t/m)
Bµi 70 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x2 - 2(k - 2)x - 2k - 5 = 0 ( k lµ tham sè). Gäi x1 , x 2
lµ
hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh, t×m gi¸ trÞ cña k sao cho : x 21 x 2 2 18
k 1
2
* ' (k 1) 2 8 0
HDÉn :
*k
(t/m)
Bµi 71 : X¸c ®Þnh m sao cho ph¬ng tr×nh : 3x2 + mx - 2 = 0 cã c¸c nghiÖm x1 , x 2 tho¶
13
9
m·n : x 21 x 2 2
* m 2 24 0
HDÉn :
* m = 1
(t/m)
Bµi 72 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : (2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó
gi÷a hai nghiÖm x1 , x 2 ta cã hÖ thøc : x 21 x 2 2 4
HDÉn :
*
1
m
2 m 1 0
2
2
21
1 21
' 5m m 1 0
1
m
10
10
m 0
m 7
12
*
lo¹i m =
7
12
Bµi 73 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2x + 3k = 0 . Gäi x1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh,
kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ cña k ®Ó :
a) x 21 x 2 2 10
b) x 21 x 2 2 20
* ' 1 3k 0 k
HDÉn :
1
3
* a/ k = -16 (t/m)
* b/ k = - 8
(t/m)
Bµi 74 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + (m - 3)x - 2m + 1 = 0. X¸c ®Þnh m ®Ó gi÷a hai nghiÖm
x1 , x 2 ta cã hÖ thøc : x 21 x 2 2 6 x1 x 2 0
* (m 1) 2 4 0
HDÉn :
* m2 - 14m + 13 = 0
m 1
m 13
(t/m)
Bµi 75 : T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh : x2 - 2mx + 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 , x 2 tho¶
m·n : x 31 x 3 2 2
*
m 1
' m 2 1 0
m 1
*
m 1
2
8m 3 6m 2 m 1. 2m 1 0
m 1
2
HDÉn :
lo¹i m = -
1
2
Bµi 76 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 4x + m = 0. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó gi÷a hai nghiÖm
x1 , x 2
tho¶ m·n : x 31 x 3 2 26
* ' 4 m 0 m 4
HDÉn :
*m=6
1
( lo¹i)
3
Bµi 77 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + mx + n - 3 = 0 (1)
T×m m vµ n ®Ó hai nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n hÖ thøc
HDÉn : * = m2 – 4n + 12 0
x x
1
4
x
*
3 thay vµo (1) :
x
7
x
x
1
2
4 m n 13
m 7
3m n 6
n 15
1
2
1
2
2
x1 x 2 1
2
2
x2
7
x1
2
12
( t/m)
Bµi 78 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + mx + n = 0 . T×m m, n biÕt ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1,
x
x
1
x2 tho¶ m·n
x
7
x
1
2
3
3
1
HDÉn :
2
x1
* = m2 – 4n 0
*
x
3
1
m n 1
x2
x2
1
3
7
m 3
x1
x2
x1
x2
1
1
2
2
2
1
+ Tõ (1): 2m n n 2 (t / m) ; + Tõ (2):
Bµi 79 : X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè p vµ q ®Ó hai nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh: x2 +px + q = 0
x x
5
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
x
35
x
2 m n 4
m 3
(t / m)
m n 1
n 2
1
2
3
3
1
2
* = p2 – 4q 0
HDÉn :
*
p 2 4 q 25
15q 90
p
q
p
q
1
(t / m )
6
1
(t / m )
6
Bµi 80: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 2 x m 1 0 . Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x1 1 2 x2 x 2 1 2 x1 m 2
2
HDÉn :
* ' =
3
3
m 0
2
4
* x1 1 2 x 2 x 2 1 2 x1 m 2
m 0
x1 x 2 4 x1 x 2 m 2 m m 2 0
m 2
Bµi 81: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 3 x 2m 7 0 (1) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)
lµ x1, x2 . h·y t×m m ®Ó
HDÉn :
1
1
m
x1 1 x 2 1
* = m 4 2
*
0
1
1
m 2m 2 7m 2 0 m 7 33
x1 1 x 2 1
4
Bµi 82: Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 mx 6 0 . BiÕt r»ng hai nghiÖm x1 vµ x 2 tho¶ m·n hÖ thøc:
2
3
2
3
9 x1 x 2 3 x1 9 x1 x 2 3 x 2 1029 (*)
HDÉn :
m 2 6
m 2 6
* = m2 - 2 4 0
x1 x 2 m
x1 x 2 6
*
(*) 9 x1 x 2 x1 x 2 3 x1 x2 3 3x1 x2 x1 x 2 1029
3
x1 x 2 343 x1 x 2 7 m 7(t / m)
Ph¬ng tr×nh: x2 - 7x + 6 = 0 cã x1= 1; x2= 6
Bµi 83: Cho ph¬ng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = 0. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng
tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n: - 20
Do ®ã: xx 42 mm 3 2 2 m 3
* x1= m , x2= m + 1 x1 < x2
1
2
Bµi 84: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a sao cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2ax + 4 = 0 (1) cã c¸c
2
2
nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 x2 3
x2 x1
HDÉn :
* ' = a2 - 4 0
2
2
a 2
a 2
2
2
2
* x1 x2 x1 x2 2 3 x1 x2 2 x1 x2 5
x1 x2
x2 x1 x2 x1
13
4a 2 8
5
4
a 2 2
a 2
a 2
( v×
5 a 2
nªn 4a2 - 8 > 0 )
5 (t / m)
Bµi 85: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh:
2
2
x + ax + 1 = 0 tho¶ m·n x1 x 2 7
x 2 x1
2
* ' = a2 - 4 0
HDÉn :
2
a 2
a 2
2
2
2
x1 x 2 2 2 x1 x 2
x1 x 2 x1 x 2
2
* 2 7
9 a 2 2 9
x1 x 2
x 2 x1 x 2 x1
a 2
a 2
2
a 5 a 5 (t / m)
a 2 2 9 3
Bµi 86:
( v×
nªn a2 - 2 > 0 )
a) Cho hai ph¬ng tr×nh a2x2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a2 = 0 (2) (Víi
a>c>0)
Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm x1, x2; ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm
'
'
x1 , x 2
Chøng minh r»ng: x1x2 + x1 ' .x 2 ' 2
b) Cho c¸c ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) (1) vµ cx2 + dx + a = 0 ( c
0 ) (2)
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã c¸c nghiÖm lµ m vµ n, ph¬ng tr×nh (2) cã c¸c
nghiÖm lµ p vµ q. Chøng minh r»ng m2 + n2 + p2 + q2 4 .
HDÉn :
a) §iÒu kiÖn ®Ó 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: b2- 4a2c 0
c a2
.
2
a2 c
- Ta cã x1x2 + x1 ' .x 2 ' 2
b)
m 2 n 2 2 mn 2
c
a
;
p 2 q 2 2 pq 2
a
c
c
a
m 2 n 2 p 2 q 2 2 2.2 4
a c
Bµi 87: Cho ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0 (1) cã 2 nghiÖm d¬ng x1, x2
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx 2 bx a 0 (2) còng cã 2 nghiÖm d¬ng
x3 , x 4
b) Chøng minh r»ng S = x1 x 2 x3 x 4 4
HDÉn :
a)Ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm d¬ng khi vµ chØ khi:
b 2 4ac 0
b
0
x 3 x 4
c
a
x3 x 4
0
c
c 0
2
4ac 0
b
bc 0
ac 0
- V× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm d¬ng nªn:
14
(I)
b 2 4 ac 0
b
0
x1 x 2
a
c
x
x
0
1
2
a
c 0
2
4 ac 0
b
ab 0
ac 0
0
c
2
4a c
b
0
bc
ac
0
(II)
0
- Tõ (I) vµ (II) kÕt luËn ?
b) C¸ch 1: NÕu lµ nghiÖm cña (1) th× a 2 b c 0
2
1
1
1
c b. a c b a 2 0
Thay x vµo (2) ta cã:
1
lµ nghiÖm cña (2). Do ®ã nÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña (1) th×
1
1
x3 , x 4
lµ 2 nghiÖm cña (2).
x1
x2
1
1
VËy S = x1 x 2 2 2 4 ( BÊt ®¼ng thøc C«si)
x
x
1
C¸ch 2:
2
c
a
a
c
x1 x 2 x3 x4 2 x1 x 2 x3 x 4
2
=
c a
.
2.2.1 4
a c
2.2
Bµi to¸n 9 :
So s¸nh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi sè 0.
Ph¬ng ph¸p : Ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )
1)PTB2 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu P< 0 ac 0
- §Æc biÖt PTB2 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu vµ nghiÖm ©m cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín
0
h¬n nghiÖm d¬ng
hoÆc
S 0
0
2) PTB2 cã 2 nghiÖm cïng dÊu
P 0
a- PTB2 cã 2 nghiÖm cïng ©m
b- PTB2 cã 2 nghiÖm cïng d¬ng
0
3) P TB2 cã 2 nghiÖm lµ 2 sè nghÞch ®¶o cña nhau
P 1
'
P 0
S 0
'
P
S
'
0
0
0
P
S
'
0
0
0
'
4) P TB2 cã 2 nghiÖm lµ 2 sè ®èi nhau ( 2nghiÖm tr¸i dÊu vµ b»ng nhau vÒ
gi¸ trÞ tuyÖt
®èi)
'
0
S 0
hoÆc
P 0
S 0
Bµi 88: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh:
a) x2 - 2x + m = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
b) x2 - 2mx + (m - 1)2 = 0 cã 2 nghiÖm d¬ng.
c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = 0 cã 2 nghiÖm ©m.
Bµi 89: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh:
a) x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
( m < 0)
1
2
( m 1 )
m 2 1 0
m 0
m 1
kh«ng x¶y ra.
b) x2 - 2(m + 1)x + m2 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng d¬ng.
)
c) x2 - 2x + m = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ®Òu lµ sè d¬ng.
Bµi 90: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña k ®Ó ph¬ng tr×nh:
a) k 2 x 2 6kx 2 k 5 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
b) k 1 x 2 2 k 1 x k 0 cã 2 nghiÖm d¬ng.
c) k 2 x 2 2 k 3 x k 5 0 cã 2 nghiÖm ©m.
Bµi 91: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph¬ng tr×nh:
15
( m < 4)
1
2
(- m 0
( 00) cã hai
nghiÖm
x1, x2 t¬ng øng lµ ®é dµi hai c¹nh AB, AC cña ABC vu«ng ë A vµ BC = 2.
Bµi to¸n 10 :
T×m gi¸ trÞ cña c¸c tham sè ®Ó hai ph¬ng tr×nh bËc hai ®· cho t¬ng
®¬ng víi nhau. ( Trong trêng hîp mçi ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt)
Ph¬ng ph¸p : - ChØ ra mét ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
x x
x
x
- LËp hÖ ph¬ng tr×nh
x x
x x
- Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t×m gi¸ trÞ cña c¸c tham sè.
- Thö l¹i, rót kÕt luËn.
1
1
2
2
3
3
4
4
Bµi 100: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai x 2 m n x m 2 n 2 0 (1)
T×m m vµ n ®Ó ph¬ng tr×nh (1) t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh x 2 x 5 0 (2)
*Ph¬ng tr×nh (2) cã ac = - 5<0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
*
* Thö l¹i, rót kÕt luËn.
m n 1
m2 n2
5
m n 1
mn 2
m 2
n 1
m 1
n 2
Bµi 101: Cho hai ph¬ng tr×nh x 2 2m n x 3m 0 (1) vµ x 2 m 3n x 6 0 (2)
T×m m vµ n ®Ó c¸c ph¬ng tr×nh (1) vµ (2) t¬ng ®¬ng.
*Ph¬ng tr×nh (2) cã ac = - 6<0 (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
*
* Thö l¹i, rót kÕt luËn.
Bµi 102: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó hai ph¬ng tr×nh sau t¬ng ®¬ng :
x 2 4m 3n x 9 0 (1) vµ x 2 3m 4n x 3n 0 (2)
2m n m 3n
m 2
3m 6
n 1
*Ph¬ng tr×nh (1) cã ac = - 9<0 (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
* 9 4m3n3n 3m 4n m n 3
* Thö l¹i, rót kÕt luËn.
Bµi to¸n 11 :
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai theo
tham sè.
Ph¬ng ph¸p : - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm
- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.
- BiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho xuÊt hiÖn S, P.
- Thay gi¸ trÞ S, P tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo tham sè.
a 0
' 0
Bµi 103: Cho ph¬ng tr×nh 2m 1 x 2 2 m 4 x 5m 2 0 . Trong trêng hîp ph¬ng
tr×nh cã nghiÖm, tÝnh theo m tæng S vµ tÝch P cña c¸c nghiÖm.
*
1
2 m 1 0
m
2
'
0
1 m 2
*S =
2 m 4
2m 1
;P=
5m 2
2m 1
Bµi 104: Cho ph¬ng tr×nh x 2 mx m 7 0 . Kh«ng tÝnh nghiÖm x1, x2 theo m h·y tÝnh:
a) A = x1 2 x 2 2
b) B = x13 x 2 3
17
* m
2
m 2 4 2
2m 14 0
m 2 4 2
*
x1 x 2 m
x1 x 2 m 7
* A = m 2 2m 14 ; B = m 3 3m 2 21m
Bµi 105: Cho ph¬ng tr×nh x 2 (2m 1) x m 0 . TÝnh A = x1 2 x2 2 6 x1 x 2 theo m.
(x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh)
* A = 2m 1 2
* 4m 2 1
Bµi 106: Cho ph¬ng tr×nh m 4 x 2 2mx m 2 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®Ó t×m x1, x2
H·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo m.
a) A = x1 2 x 2 2
c) C =
b) B = x13 x 2 3
d) D =
*
1
1
x1 x 2
1
x1
2
1
x2
2
m 4
m 4
4
m
6m 8 0
3
2m 2 12m 16
* a) A =
b) B =
m 4
c) C =
2
2m m 2 18m 19
d) D =
m 4 3
2m
m 2
2m 2 12m 16
m 2 2
Bµi 107: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 1 x m 4 0
Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh t×m x1 , x 2 h·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau
theo m:
a) x1 x 2
c) x 31 x 3 2
b) x 21 x 2 2
2
*
1
19
' m
0
2
4
* a) x1 x2 2 x1 x 2 2 4 x1 x2 4 m 2 m 5 x1 x2 2 m 2 m 5
b) x 21 x 2 2 = ( x1 x 2 )( x1 x2 ) 4 m 1 m 2 m 5
c) x 31 x 3 2 = ( x1 x 2 )( x 21 x1 x 2 x 2 2 ) = ( x1 x 2 ) x1 x 2 2 x1 x 2
=
2 m 2 m 5 4m 2 7 m 8
Bµi 108: Cho ph¬ng tr×nh ax 2 bx c 0 ( a 0) cã hai nghiÖm x1 , x 2 . TÝnh theo
a, b, c c¸c biÓu thøc sau:
a) M = 5 x1 3x2 5 x2 3 x1
b) N =
x1
x2
x2 3 x1 x1 3 x2
* §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ac <0
* a) M = 64 x1 x2 15 x1 x2 2 64ac 2 15b
2
a
b) N =
x1 x2
2
2
8 x1 x2
b 8ac
2
16ac 3b 2
16 x1 x2 3 x1 x2
Bµi to¸n 12 :
T×m gi¸ trÞ cña tham sè ®Ó mét biÓu thøc cña x1 , x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ
nhá nhÊt.
18
( x1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai chøa tham sè)
Ph¬ng ph¸p : - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm
- TÝnh tæng S, tÝch P theo tham sè.
- BiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho xuÊt hiÖn S, P.
- Thay gi¸ trÞ S, P tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc theo tham sè.
- §¸nh gi¸ x¸c ®Þnh GTLN hoÆc GTNN dùa vµo a 2 0 vµ kÕt
hîp tÝnh
chÊt cña bÊt ®¼ng thøc t×m gi¸ trÞ cña tham sè.
- §èi chiÕu ®iÒu kiÖn rót kÕt luËn.
a 0
' 0
Bµi 109: Gäi x1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 2 m 1 x 2m 10 0 . T×m gi¸
trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 10 x1 x 2 x 21 x 2 2
* '
m 3
m 2 9 0
m 3
* A = 4 m 3 2 48 Amin 48 m 3 (t/m)
Bµi 110: X¸c ®Þnh a ®Ó tæng b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 2 ax a 2 0
lµ bÐ nhÊt.
* a 2 2 4 0
* x 21 x 2 2 a 1 2 3 3 x 21 x 2 2
min
3 a 1
Bµi 111: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2m 1 x m 0 . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó A =
x 21 x 2 2 6 x1 x2
Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
* 4m 2 1 0
* A = 2m 1 2 0 Amin 0 m
1
2
Bµi 112: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2 m 1 x m 3 0 . T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó P =
Cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
x 21 x 2 2
2
* '
3
7
m 0
2
4
2
*P=
5
15 15
15
5
Pmin m
2m
2
4
4
4
4
Bµi 113: Cho ph¬ng tr×nh x 2 mx m 1 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =
x 21 x 2 2 6 x1 x 2
vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña m.
* m 2 2 0
* A = m 4 2 8 8 Amin 8 m 4
Bµi 114:
1) Cho ph¬ng tr×nh x 2 mx m 1 0 . Gäi x1 , x 2 lµ c¸c nghiÖm, t×m gi¸ trÞ
nhá nhÊt
cña A = x 21 x 2 2 .
2) Cho ph¬ng tr×nh 2 x 2 2(m 3) x m 1 0 . X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó
x 21 x 2 2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
19
1) a b c 1 m m 1 0 ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
A = 1 m 1 2 1 Amin 1 m 1
2) ' m 2 2 3 0
2
2
2
x 21 x 2 2 = m 2 3 3 x 1 x 2 min 3 m 2
Bµi 115: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2mx 2m 1 0 . T×m m sao cho A = 2( x 21 x 2 2 ) 5 x1 x 2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
* '
2
m 1 0
2
9
9
9
9
9
Amin m
4
8
8
8
8
* A 8m 2 18m 9 2 2m
Bµi 116: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2(m 2) x 6m 0 (1). Gäi x1 , x 2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh (1) . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 21 x 2 2 .
* ' m 1 2 3 0
1
* x 21 x 2 2 = 2m 1 2 15 15 x 21 x 2 2 min 15 m
2
Bµi 117: Cho ph¬ng tr×nh x 2 2(m 2 1) x 5m 1 0 . T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ c¸c nghiÖm
x1 , x 2 cña ph¬ng tr×nh sao cho tæng x 21 x 2 2 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt.
* Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ta cã:
2
x1 x 2 2m 2 2 ( x1 x2 ) min 2
m 0
*m=0:
x 2 2 x 1 0 x1, 2 1 2
Bµi 118: Cho ph¬ng tr×nh ax 2 b a 1 x m 2 1 (1)
a) Víi a 1; b 2 . Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm
x1 , x 2 víi
mäi gi¸ trÞ cña m.
b) T×m m ®Ó cho x 21 x 2 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh nghiÖm trong trêng hîp
nµy.
a) x 2 2 x m 2 1 0 cã ' m 2 2 0m R
b) * x 21 x 2 2 = 2m 2 6 6 x 21 x 2 2 min 6 m 0
*
m 0 : x 2 2 x 1 0 x1, 2 1 2
Bµi 119: Cho ph¬ng tr×nh 2 x 2 (2m 1) x m 1 0 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A = x 21 x 2 2 x1 x2
* 2 m 3 2
0
2
*
5
2m
3
3
3
5
2
A
Amin m
4
16 16
16
4
Bµi 120: Gäi x1 , x 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau, t×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x 21 x 2 2 cã gi¸ trÞ
nhá nhÊt.
1) x 2 2m 1 x m 2 0
2) x 2 2 m 1 x m 1 0
1)
2
4 m 1 5 0
20
- Xem thêm -
.DOC 
25 
3 
52 
