Tài liệu Chuyên đề phương pháp giải bài tập cực trị của môn vật lý cấp thcs

PHẦN I: MỞ ĐẦU Toán học và Vật Lý có mối quan hệ mật thiết với nhau. Vật Lý đặt ra các bài toán đòi hỏi phải sử dụng công cụ Toán học để giải quyết. Và sau đó, đáp số của những bài toán này lại được các nhà Vật Lý kiểm nghiệm qua thực tế, qua các thí nghiệm. Nhiều khi Toán học cống hiến cho Vật Lý những kết quả bất ngờ, mở ra hướng nghiên cứu cho các nhà Vật Lý. Nhận thức được vai trò, tầm quan trọng của Toán học trong Vật Lý, việc sử dụng linh hoạt và có hiệu quả các công cụ toán học vào giải quyết các bài toán Vật Lý càng được chú trọng, đăc biệt là đối với học sinh cấp THCS khi mới được tiếp cận với bôn môn Vật Lý. Tuy nhiên việc giải quyết các bài toán Vật Lý đặt ra nhiều thách thức với những nguyên nhân khách quan và chủ quan. Các bài toán Vật Lý khó ở cấp THCS đòi hỏi kiến thức toán nhiều, hiểu biết sâu sắc và vận dụng linh hoạt các kiến thức toán học. Như vậy, làm thế nào để học sinh hiểu phương pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dung linh hoạt vào bài toán lạ?. Xuất phát từ những khó khăn đó, tôi quyết định chọn chuyên đề: “Phương pháp giải bài tập cực trị của môn Vật lý cấp THCS ” với hi vọng nó sẽ giúp cho các em học sinh có được cái nhìn tổng quan về phương pháp giải bài tập “cực trị của môn vật lý” biết vận dụng các kiến thức toán học, phương pháp thích hợp để giải bài tập dạng này, thông qua việc tìm hiểu các bài tập. Bên cạnh đó, tôi cũng hy vọng đây cũng là một tài liệu tham khảo có ích cho các bậc phụ huynh và các thầy cô giáo quan tâm đến lĩnh vực này. PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT VẬT LÍ VẬN DỤNG TOÁN HỌC Tóm tắt kiến thức (những công thức vật lý cơ bản): 1. Cơ học: S - Công thức tính vận tốc: v = t Trong đó: v là vận tốc. Đơn vị: m/s hoặc km/h s là quãng đường đi được. Đơn vị: m hoặc km t là thời gian để đi hết quãng đường đó. Đơn vị: s (giây); h (giờ). - Công thức tính vận tốc trung bình trong chuyển động không đều: s s 1+ s 2+ …+s n Vtb = t = t +t +…+t 1 2 n - Tính tương đối của chuyển động: + Đối với các vật được chọn làm mốc khác nhau vận tốc của một vật là khác nhau. v 13=⃗ v 12+ ⃗ v 23 + Phương trình véc tơ: ⃗ * Hệ quả: + Nếu hai chuyển động này cùng chiều: v13 =v 12+ v 23 + Nếu hai chuyển động này ngược chiều: v13 = ⃓ v 12−v 23 ⃓ + Nếu 2 chuyển động có phương vuông góc: v132 =v 212+ v 223 Trong đó: v12 là vận tốc vật 1 so với vật 2 v 23 là vận tốc vật 2 so với vật 3 v13 là vận tốc vật 1 so với vật 3 - Chuyển động tròn đều, chuyển động theo quy luật: + Quãng đường đi được trong khoảng thời gian t: s = v.t + Gọi L là chiều dài đường kín  số vòng đi là n = s1 L + Sau thời gian t, chất điểm 1 đi được n vòng, chất điểm 2 đi được m vòng thì: t = n.T1 = m.T2 (T1 và T2 là thời gian đi hết 1 vòng của mỗi chất điểm). F - Công thức tính áp suất: p = S Trong đó: F là áp lực – là lực tác dụng vuông góc với mặt bị ép (N) S là diện tích bị ép 9 (m2) p là áp suất (N/m2 hoặc Pa) - Áp suất do cột chất lỏng gây ra tại một điểm cách mặt chất lỏng đoạn h: F P P.h P p = S = S = S . h = h . V = d.h = 10D.h Trong đó: h là khoảng cách từ điểm tính từ áp suất đến mặt chất lỏng (m) d là trọng lượng riêng (N/m3) D là khối lượng riêng (kg/m3) của chất lỏng p là áp suất do cột chất lỏng gây ra (N/m2) - Áp suất tại một điểm trong chất lỏng: p = p0 + d.h Trong đó: p0 là áp suất khí quyển (N/m2) d.h là áp suất do cột chất lỏng gây ra p là áp suất tại điểm cần tính. - Công thức tính độ lớn lực đẩy Ác-si-mét: FA = d.V - Công thức tính công cơ học: A = F.s Trong đó: A: Công cơ học (J) F: Lực tác dụng (N) s: Quãng đường vật dịch chuyển (m) A - Công thức tính công suất: P = t Trong đó: A: Công cơ học (J) P: Công suất (W) t: thời gian thực hiện công (s) - Đòn bẩy: Đòn bẩy cân bằng khi các lực tác dụng l1 F tỷ lệ nghịch với cánh tay đòn: P = l 2 Trong đó: l1, l2 là cánh tay đòn của P và F. 2. Điện học: U - Định luật ôm cho đoạn mạch: I = R Trong đó: I là cường độ dòng điện (A) U là hiệu điện thế (V) R là điện trở () l - Công thức tính điện trở của dây dẫn: R =  S Trong đó:  là điện trở suất (.m) L là chiều dài dây dẫn (m) S là tiết diện ngang của dây dẫn (m2) - U2 Công thức tính công suất điện: P = U.I = I .R = R - U Điện năng – Công của dòng điện: A= P.t = U.I.t = t R 2 2 CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÍ THUYẾT TOÁN HỌC Phương pháp giải bài tập cực trị: Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình Vật lí THCS sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Côsi, tam thức bậc hai, công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm sin trong tam giác. Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất. 1. Đại số: a. Hàm số bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) với a,b,c là hằng số. b ❑ - Nếu a > 0 thì y có giá trị nhỏ nhất (ymin) là - 4 a khi x = - 2 a b ❑ - Nếu a < 0 thì y có giá trị lớn nhất (ymax) là - 4 a khi x = - 2 a , với  = b2 – 4ac - Cho phương trình bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c (a # 0) + Nếu  < 0  phương trình vô nghiệm. b + Nếu  = 0 ⇔ phương trình có nghiệm kép x = - 2 a + Nếu  > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = −b+ √ ❑ −b−√ ❑ ; x . 2= 2a 2a * Phương pháp: Phương pháp sử dụng phương trình bậc hai được dùng khá phổ biến trong cả chương trình nên học sinh không quá khó khăn khi tiếp cận phương pháp này. Đặc điểm của phương pháp là yêu cầu tính cẩn thận và các bước làm rõ ràng: Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị về hàm bậc 2 của biến x. Bước 2: Dùng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm khi tồn tại cực trị (hoặc dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai như a > 0 hoặc a < 0 để suy ra cực trị). Bước 3: Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị. * Phạm vi áp dụng: Thường dùng cho các bài tập về chuyển động cơ học; bài tập về quang học. b. Sử dụng bất đẳng thức Côsi * Bất đẳng thức Côsi - Nếu a1, a2, …., an là các số không âm thì ta có: a1 +a2 +…+ an n  √ a1 . a2 … an n Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 …. = an a+b - Áp dụng cho 2 số a, b không âm, ta có: 2  √ a . b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. * Phương pháp: Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Côsi hay không. Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1, a2,..., an  0 và tích của chúng là không đổi a1.a2......an = const Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại, cực tiểu của bài toán. Bước 4: Tìm điều kiện để dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra. * Phạm vi áp dụng: - Thường áp dụng cho các bài tập phần điện (đặc biệt là bài toán công suất đạt cực đại) và các bài toán về cơ học. c. Hệ thức lượng trong tam giác: - Xét ABC vuông tại A. + Tỉ số lượng giác của góc nhọn: Cho góc nhọn α, ta có: AB AC sinα = BC ; cosα = BC AB AC tgα = AC ; cotgα = AB + Định lý Pitago: BC2 = AB2 + AC2 - Định lý hàm sin trong tam giác: + Với mọi tam giác ABC, ta có: a b c = = sinA sinB sinC Trong đó: BC = a, AC = b, AB = c. - Bất đẳng thức tam giác: “Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại’’. * Phương pháp: - Phương pháp vận dụng công thức tính vận tốc, quãng đường, thời gian kết hợp các công thức lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán chuyển động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường. Phương pháp này có nét đặc trưng chính hình thành các bước giải cụ thể như sau : Bước 1 : Tính quãng đường mà vật đi được trong cùng thời gian t Bước 2 : Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị dựa vào định lý hàm số sin Bước 3. Tìm cực trị của một đại lượng vật lý thông qua hàm số sin Chú ý rằng: -1≤ sinα ≤ 1 nên (sinα)max = 1 ⇔ α = 900. * Phạm vi áp dụng: Thường sử dụng cho các bài toán cơ học. Những kiến thức toán học trên là công cụ chủ yếu để giải các bài toán cực trị trong vật lý THCS. 1. Một số lưu ý trong quá trình tư duy tìm lời giải: Bài toán: Cho một đại lượng vật lý x nào đó biến đổi. Tìm giá trị cụ thể của x để đại lượng vật lý y ( x và y có mối liên hệ với nhau) đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất ? Hướng chung để giải Bước 1: Xác định (lựa chọn) một đại lượng vật lý nào đó có mặt trong bài toán làm ẩn nếu đề bài chưa nói rõ. Với bài toán ta đặt ra ở đây ta chọn x làm ẩn. Bước 2: Dựa vào đề bài tìm mối quan hệ giữa x và y dưới dạng: y = f(x) Trong đó x là ẩn, y là hàm của x. Bước 3: Dựa vào kiến thức toán (bất đẳng thức Côsi, điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ...) để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của y. Một số bài toán điển hình và cách giải: A. CÁC BÀI TOÁN CƠ. Bài 1: Trong hệ tọa độ xOy (hình bên), có hai y vật nhỏ A và B chuyển động thẳng đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A ở O và cách vật B một đoạn 100m. Biết vận tốc của vật A là v A = 6m/s O A vA theo hướng Ox, vận tốc của vật B là v B = 2m/s theo hướng Oy. Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật A và B. vB B Giải Quãng đường A đi được trong t giây: s1 = AA1 = vAt = 6t (m) Quãng đường B đi được trong t giây: s1 = BB1 = vBt = 2t (m) Khoảng cách giữa A và B sau t giây: d2 = (AB1)2 + (AA1)2 ⇔ d2 = (100 – 2t)2 + 36t2 x ⇔ 40t2 – 400t +1002 = d2 (*) Cách 1: Đưa về dạng bình phương cộng một số để đánh giá: ⇔ 40t2 – 2.(2√ 10t).(10√ 10) + 102.10 + 9000 = d2 ⇔ (2√ 10t - 10√ 10)2 + 9000 = d2 ⇔ dmin = 30√ 10 (m) Cách 2: Ta thấy (*) là hàm bậc hai của t. Ta áp dụng tính chất của hàm số bậc 2: f(t) = 40t2 – 400t +1002 b −400 Nhận thấy hệ số a = 40 > 0  f(t) có 1 cực tiểu tại t = - 2 a = - 2. 40 = 5 (s) Khi đó f(t)min = 40.52 – 400.5 +1002 = 9000 Suy ra, dmin = √ 9000 = 30√ 10 (m) Cách 3: Từ (*) ta có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm dmin như sau: Đặt x = d2 = 40t2 – 400t +1002 ⇔ 40t2 – 400t +1002 – x = 0 (**) Để (**) có nghiệm ta cần có ’  0 ⇔ 2002 – 40.(1002 – x)  0 ⇔ -360000 + 40.x  0 ⇔ x  9000 ⇔ xmin  9000 Vậy dmin = √ 9000 = 30√ 10 (m) Nhận xét: Để giải được bài toán này học sinh cần phải hiểu được hiện tượng khoảng cách của hai vật bị thay đổi theo thời gian. Vậy ta có thể gọi d là khoảng cách của 2 vật là d với (d = f(t)). Từ đó lập biểu thức khoảng cách của 2 vật bị phụ thuộc vào thời gian sau đó áp dụng kỹ năng tìm cực trị trong toán học để giải. Bài 2: Một người đứng ở A cách đoạn đường quốc lộ BC một đoạn h = 100m nhìn thấy 1 xe ô tô vừa đến B cách mình d = 500m đang chạy trên đường với vận tốc v1 = 50km/h (hình vẽ). Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC với vận tốc v2. a) Biết v2 = 20 (km/h), tính α √3 b) Góc α bằng bao nhiêu thì v 2 có giá trị cực tiểu?. Tính vận tốc cực tiểu đó. Giải BC=50 t a) Gọi t là thời gian để người và xe đến C, ta có: AC = 20 t √3 { 50sinβ Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác ABC ta có: sinα 50t 20t  sinα=2,5 √ 3 sinβ ⇔ sinα 3sinβ ⇔ Lại có: sinβ= 3 AH 100 1 sinα=¿ 2 ⇔¿ AB = 500 = 5 ⇔ 50t v  2 b) Từ câu a, ta có: sinα 3sinβ 50sinβ H 1 100 1 10  v2 = sinα = 50. d . sinα  v2 = 50. 500 . sinα = sinα Nhận thấy v2 min khi và chỉ khi sinα=1  α =¿ 900  v2 = 10 km/h Nhận xét: Ở bài toán này học sinh phải lập được biểu thức tính vận tốc của người chạy để đón ô tô theo ẩn sinα . Sau đó dựa vào biểu thức để tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc. Bài 3: Một ô tô xuất phát từ điểm A trên cánh đồng để đến điểm B trên sân vận động. Cánh đồng và sân vận động được ngăn cách nhau bởi con đường thẳng D, khoảng cách từ A đến đường D là a = 400m, khoảng cách từ B đến D là b = 300m, khoảng cách AB = 2,8km. 5v Biết tốc độ của ô tô trên cánh đồng là v = 3km/h, trên đường D là 3 , trên sân vận 4v động là 3 . Hỏi ô tô phải đi đến điểm M trên đường cách A’ một khoảng x và rời đường tại N cách B’ một khoảng y bằng bao nhiêu để thời gian chuyển động là nhỏ nhất?. Xác định khoảng thời gian nhỏ nhất đó?. Giải a Xét hai tam giác vuông AOA’  BOB’  b AO a+b AO +OB BO b =  = BO 0,7 2,8  0,3 = OB  OB = 1,2km, OA = 1,6km A'O = 1,62 - 0,42 = 0,4 15  2 2 Ta có:  B'O = 1,2 - 0,3 = 0,3 15 √ 15  A’B’ = 0,7 (km) Giả sử người phải đi theo đường AMNB. Đặt A’M = x, B’N = y, A’B’ = c  Điều kiện 0 ≤ x,y và (x + y) ≤ c. Thời gian đi theo đường AMNB là: x 2 +a 2 3 3 + y 2 +b 2 + (c-x-y) 4v 5v T= v , (với v = 3km/h) Đặt P(x) = x 2 +a 2 - 3x 1 2 2 y y +b 5 (1), Q(y) = 4 5 Px 3Q x 3C  T = v + v + 5v (2) (3) Từ (3) ta thấy Tmin thì P(x)min và Q(y)min 3x = x 2 +a 2 Từ (1)  P(x) + 5 (P  0; x  0)  16x2 – 30Px + 25(a2 – P2)  0 (4) 16 4 hay P2  25 a2  Pmin = 5 a 30 P 3a Giá trị Pmin ứng với nghiệm kép của (4): x = 32 = 4 3b 4b Tương tự ta có: Qmin = 20  y = 3 Thay (5) và (6) vào (3) ta được: 49 9b 3c Tmin = 50 + 20 v + 5 v  Tmin = (16 a+ 9 b+12 c) 20 v Thay số ta có: 3a 4b x = 4 = 0,3km = 300m, y = 3 = 0,4km = 400m  Tmin = 0,6939h = 41 phút 38 giây. Bài 4: I. 1. 2. 3. 4. HÌNH HỌC Định lý Pi-ta-go, định lý talet trong tam giác. Định lý hàm số sin, cosin Các tính chất của tam giác, đường tròn Thể tích các khối: lập phương, khối hộp chữ nhật, trụ, cầu, nón… Cộng vecto CHƯƠNG III: VẬN DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP VẬT LÍ Trong việc tư duy toán học, vật lí nói chung hay vận dụng giải các bài tập Vật lí dựa trên nền tảng toán học thì tư duy logic đóng vai trò vô cùng quan trọng và là cơ sở để giải các bài tập khó. Trong chương này, tôi xin trình bày những phương pháp, cách thức tư duy ấy để giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn, tránh được những trường hợp học sinh vận dụng giải bài tập như một cái máy. Cái hay của toán học trong bộ môn Vật Lí không phải nằm ở những phép tính toán chính xác mà là một cách tư duy mạch lạc, rõ ràng, có căn cứ, có điểm xuất phát. Từ đó, đối với các bài tập khó, cần cách giải dài hơi, học sinh không bị rối mà vẫn có thể tìm ra cách giải chính xác. PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO