Tài liệu Chuyên đề nâng cao số tự nhiên, số nguyên toán lớp 6

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO 6 SỐ TỰ NHIÊN, SỐ NGUYÊN Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Chương I . ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN §1. Tập hợp. Tập hợp con Kiến thức cơ bản 1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Để viết một tập hợp, thường có hai cách: - Liệt kê các phần tử của tập hợp. - Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó 2. Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có thể không có phần tử nào, gọi là tập rỗng, ký hiệu là ∅ . 3. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B. Ký hiệu A ⊂ B . Nâng cao : 1. Mọi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó. 2. Quy ước ∅ ⊂ A với mọi A. 3. Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì A = B Thí dụ 1: Cho hai tập hợp : A = {6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10} B = {x ; 9 ; 7 ; l0 ; y} a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. b) Điền kí hiệu ∈ ; ∉ vào các ô trống để có cách viết đúng : 9 A ; x A ; y B c) Tìm x và y để có A = B . Giải : a) A= {x ∈  |5 < x < 11} b) 9∈ A ; x ∉ A ; y ∈ B x 8= ;y 6 c) A = B ⇔ x = 6 ; y = 8 hoặc= Nhận xét : Vì thứ tự liệt kê các phần tử không quan trọng nên ở câu c ta có 2 đáp số. Thí dụ 2 : Cho A ⊂ M ; M ⊂ N . Chứng tỏ rằng A ⊂ N Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -1- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Giải : A ⊂ M nên với mọi x ∈ A thì x ∈ N (1) M ⊂ N nên với mọi x ∈ M thì x ∈ N (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x ∈ A thì x ∈ N , do đó A ⊂ N Nhận xét : Quan hệ ⊂ giữa hai tập hợp có tính chất bắc cầu. BÀI TẬP 1. Các tập hợp A và B được cho bởi sơ đồ ở hình bên. a) Viết các tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của nó. b) Điền chữ A hoặc B vào ô trống để có cách viết đúng. 4∈ ; 4∉ ; m∈ c) Viết tập hợp H những phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó. 2. Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; ... a) Nêu quy luật của dãy số trên. b) Viết các tập hợp B các phần tử là 8 số hạng đầu tiên của dãy đó. 3. a) Viết tập hợp M các chữ cái của chữ “GANG” b) Với tất cả các phần tử của tập hợp M hãy viết thành một chữ thuộc loại danh từ. 4. Cho tập hợp D = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 20} a) Viết tập hợp D bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. b) Tập hợp D có bao nhiêu phần tử. c) Viết tập hợp E các phần tử là số chẵn của D (số chẵn là số chia hết cho 2). Tập hợp E có bao nhiêu phần tử ? d) Viết tập hợp F các phần tử là số lẻ của tập hợp D (số lẻ là số không chia hết cho 2). Tập hợp F có bao nhiêu phần tử ? B = {1 ; 2 ; 3} . Viết tập hợp có ba phần tử trong đó có một phần tử 5. Cho A = {a , b} ; thuộc tập hợp A ; hai phần tử thuộc tập hợp B. 6. Cho H là tập hợp 3 số lẻ đầu tiên ; K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) Chứng tỏ rằng H ⊂ K . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -2- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com c) Tập hợp M sao cho H ⊂ M ; M ⊂ K . - Hỏi tập M có ít nhất mấy phần tử ? Có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? - Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mãn các điều kiện trên ? 7. Dùng dấu ⊂ ; =để thể hiện mối quan hệ giữa các tập sau P là tập hợp các số tự nhiên x mà x + 3 ≤ 10 . Q là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 = 5 . R là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 = 0 . S là tập hợp các số tự nhiên x mà x .3 < 24 . 8. Cho tập hợp K = {5 ; 6 ; 7 ; 8} . Viết các tập hợp con của K sao cho các phần tử của nó phải có ít nhất một số lẻ, một số chẵn. 9. Tập hợp M có 4 tập hợp con có 1 phần tử. Hỏi tập M có mấy tập hợp con có 3 phần tử ? §2. Tập hợp các số tự nhiên. Ghi số tự nhiên Kiến thức cơ bản : 1. Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là   ={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...} 2. Tập hợp các số tự nhiên khác 0 kí hiệu *  ={1 ; 2 ; 3 ; ...} 3. Để ghi số tự nhiên trong hệ thập phân, ta dùng 10 kí hiệu (gọi là 10 chữ số) là : 0 ;1; 2 ; 3; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 Trong hệ La mã dùng 7 kí hiệu là : I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Nâng cao : Số Ký hiệu Các biểu diễn thập phân Có 2 chữ số ab = 10 . a + b Có 3 chữ số abc = 100 . a + 10 . b + c Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -3- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Có 4 chữ số abcd = Website: tailieumontoan.com 1000 . a + 100 . b + 10 . c + d (chữ số ( a ≠ 0 ) Thí dụ 3: Phố Hàng Ngang là một trong những phố cổ của Hà Nội. Các nhà được đánh số liên tục, dãy lẻ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 61 ; dãy chẵn 2 ; 4 ; 6 ; ... tới 64. a) Bên só nhà chẵn, trong một phòng gác nhỏ, chủ tịch Hồ Chí Minh đã khởi thảo bản quyền tuyên ngôn độc lập khai sinh ra nước Việt Nam dân chủ cộng hòa. Ngôi nhà có căn phòng đó là nhà thứ 24 kể từ đầu phố (số 2). Hỏi ngôi nhà này có số nào ? b) Bên số nhà lẻ, chữ số nào chưa được dùng ? chữ số nào được dùng nhiều nhất ? c) Phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để viết số nhà của phố này ? Giải: a) Ngôi nhà đó có số 2 . 24 = 48 b) Bên số nhà lẻ, chữ số 0 không dùng ở hàng đơn vị cũng như hàng chục. Chữ số 8 không dùng ở hàng đơn vị, còn ở hàng chục thì chưa dùng tới. Vậy chữ số 0 và chữ số 8 chưa được dùng đến. Chữ số 1 dùng tới 7 lần ở hàng đơn vị (nhiều nhất so với các chữ số khác), dùng tới 5 lần ở hàng chục (không kém so với các chữ số khác). Vậy chữ số 1 được dùng nhiều nhất (12 lần). c) Tạm chưa tính nhà 64 thì dãy phố này có 62 nhà từ 1 ; 3 ; 5 ; ... tới 62 . Trong dãy số này 53 số có hai chữ số. có 9 số có một chữ số và 62 − 9 = Số chữ số cần dùng là : 9.1 + 53.2 = 9.106 = 115 . Nhận xét : Công thức tính số chữ số cần dùng để ghi chép các số tự nhiên liên tiếp : Gọi số các số có 1 chữ số là a1 . Gọi số các số có 2 chữ số là a2 . ……. Số các số có n chữ số là an , thì số chữ số cần dùng S là: S= a1 . 1 + a2 . 2 + ... + an . n BÀI TẬP 10. Viết tập hợp 4 chữ số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 94 nhưng không quá 100. 11. Viết tập hợp các chữ số tự nhiên có 2 chữ số sao cho trong mỗi số: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -4- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com a) Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục b) Chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng chục là 4. c) Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. 12. a) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 20 ? b) Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn n ? ( n ∈  ) c) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n ? ( n ∈  ) 13.a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều giống nhau ? b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ? c) Có bao nhiêu số có n chữ số ( n ∈ * ) 14. Bảng hiện số của đồng hồ điện tử có 3 nhóm số chỉ giờ, phút, giây (mỗi nhóm có 2 chữ số). Nếu chỉ nhìn vào phần hiện số của nhóm chỉ giây thì trong một phút có : a) Bao nhiêu lần thay đổi các số ? b) Bao nhiêu lần thay đổi các chữ số ? 15. Hãy chia các số trên bề mặt đồng hồ làm 2 nhóm : Nhóm I gồm các số tự nhiên liên tiếp và nhóm II gồm các số còn lại sao cho : a) Tổng các số của nhóm I bằng tổng các số của nhóm II. b) Tổng các chữ số của nhóm I bằng tổng các chữ số của nhóm II. c) Tổng các chữ số của nhóm I bằng một nữa tổng các chữ số của nhóm II. 16. Cho một số có 3 chữ số là abc ( a , b , c khác nhau và khác 0). Nếu đổi chỗ các chữ số cho nhau thì ta được một số mới. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số như vậy ? (Kể cả số ban đầu). 17. Cho 4 chữ số a , b , c và số 0 ( a , b , c khác nhau và khác 0) với cùng cả 4 chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ? 18. Cho 5 chữ số khác nhau. Với cùng cả 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số ? 19. Quyển sách giáo khoa Toán lớp 6 có 132 trang. Hai trang đầu không đánh số. Hỏi phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số các trang của quyển sách này ? 20. Dùng từ 1 đến 4 que diêm có thể ghi được bao nhiêu số trong hệ La Mã ? 21. Với 9 que diêm hãy sắp xếp thành một số La Mã : Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -5- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com a) Có giá trị lớn nhất. b) Có giá trị nhỏ nhất. 22. Có 13 que diêm sắp xếp như sau : XII – V = VII a) Đẳng thức trên đúng hay sai ? b) Hãy đổi chỗ chỉ một que diêm để được 1 đằng thức khác. §3. Phép cộng và phép nhân Kiến thức cơ bản : 1. Tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân : a + b=b + a ; a .b=b . a 2. Tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân : ( a + b ) + c =a + ( b + c ) ( a . b ) . c =a . ( b . c ) ; 3. Cộng với số 0 ; a+0 =0+a = a Nhân với số 1 : a= . 1 1= .a a 4. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng : a . ( b + c )= a . b + a . c Nâng cao : 1. Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ : ( a − b ) . c =a . b − a . c ( a ≥ b ) 2. Kí hiệu n ! (đọc là giai thừa) = n ! 1 . 2 . 3 ... n (n ∈  ) * 41 . Tìm a, b . Thí dụ 4 : Cho a, b ∈  . Biết a . b = 0 và a + 4b = Giải: Vì a . b = 0 nên a = 0 hoặc b = 0 . Nếu a = 0 thì 4 . b = 41 , không có số tự nhiên b nào như thế, vậy a ≠ 0 và b = 0 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -6- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Suy ra a = 41 . Thí dụ 5 : Một học sinh khi nhân một số với 31 đã đặt các tích riêng thẳng hành như trong phép cộng nên tích đã giảm đi 540 đơn vị so với tích đúng. Tìm tích đúng. Giải : Gọi số bị nhân là a, tích đúng sẽ là : a . 31= a . ( 30 + 1)= 30a + a (1) Nếu đặt các tích riêng thẳng hàng như trong phép cộng thì tích sẽ là a . ( 3 + 1) = 3a + a ( 2) So sánh (1) và (2) ta thấy tích giảm đi : 30a − 3a = 27 a = 540 ; a = 20 Vậy tích đúng là 30 . 31 = 620 27a là ta đã vận dụng tính chất phân phối của phép nhân Nhận xét : a) Khi viết 30a − 3a = đối với phép trừ. Thực vậy, 30a − 3a = ( 30 − 3) . a = 27a b) Tích 1 . a được viết gọn thành a . BÀI TẬP 23. Tìm hai số biết tổng của chúng là 176 ; mỗi số đều có hai chữ số khác nhau và số này là số kia viết theo thứ tự ngược lại. 9 . Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba là một số có 3 chữ số. 24. Cho a + c = 25. Từ 10 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3... ; 9 hãy gép lại thành 5 số có 2 chữ số rồi cộng chúng lại. a) Tìm giá trị lớn nhất của tổng. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng. 26. Cho 4 chữ số khác nhau và khác 0. a) Chứng tỏ rằng có thể lập được 4! số có 4 chữ số khác nhau. b) Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau trong 4 chữ số đã cho. 27. Có 5 sô tự nhiên nào mà tích của chúng bằng 2003 và tổng có tận cùng bằng 8 không ? 28. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -7- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com a) 38 + 41 + 117 + 159 + 62 b) 73 + 86 + 968 + 914 + 3032 c) 341.67 + 341.16 + 659.83 d) 42.53 + 47.156 − 47.114 29. Tính giá trị biểu thức : a) A = (100 − 1) . (100 − 2 ) . (100 − 3) ... (100 − n ) với n ∈ * và tích trên có đúng 100 thừa số. 100 b) B = 13a + 19b + 4a − 2b với a + b = 30. Không tính giá trị cụ thể, hãy so sánh hai biểu thức : a) A = 199 . 201 và B = 200 . 200 b) C 35 . 53 − 18 và D = = 36 + 53 . 34 31. Hãy viết các số sau dưới dạng một tích của hai số tự nhiên liên tiếp. a) 12 ; b) 1122 ; c) 111222 32*.Tìm các chữ số biết a . bcd = abcabc 33*.Cho a, b ∈ * ; a > 2 ; b > 2 . Chứng tỏ rằng a + b < a . b §4. Phép trừ và phép chia Kiến thức cơ bản : 1. Điều kiện để phép trừ a − b thực hiện được là a ≥ b . 2. Điều kiện để phép chia a : b không có dư (hay a chia hết cho b, kí hiệu a  b ) là a = b . q (với a, b, q ∈  ; b ≠ 0 ). 3. Trong phép chia có dư : Số bị chia = Số chia * Thương + Số dư = a b . q + r (b ≠ 0 ; 0 < r < b) Nâng cao : 1. Vì số dư r phải nhỏ hơn số chia b nên số dư chỉ có thể lấy một trong b giá trị khác nhau là 0 ; 1 ; 2 ; ... ; ( b − 1) 2. Hiệu giữa số bị chia và số dư r bao giờ cũng chia hết cho số chia b. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -8- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 3. Biểu diễn một số tự nhiên. a) Biểu diễn qua phép chia một số cho 2. a là số chẵn ⇔= a 2q ( q ∈  ) a là số lẻ ⇔ a = 2q + 1 ( q ∈  ) b) Biểu diễn qua phép chia một số cho 3. a chia hết cho 3 ⇔= a 3q ( q ∈  ) a chia cho 3 dư 1 ⇔ a = 3q + 1 ( q ∈  ) a chia cho 3 dư 2 ⇔ a = 3q + 2 ( q ∈  ) c) Biểu diễn qua phép chia một số cho 4 a chia hết cho 4 ⇔= a 4q ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 1 ⇔ a = 4q + 1 ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 2 ⇔ a = 4q + 2 ( q ∈  ) a chia cho 4 dư 3 ⇔ a = 4q + 3 ( q ∈  ) Kí hiệu ⇔ là kí hiệu “tương đương”, đọc là “khi và chỉ khi” có nghĩa là mệnh đề trước suy ra được mệnh đề sau và ngược lại, mệnh đề sau suy ra được mệnh đề trước. 4. Nếu phép chia không còn dư thì phép chia cũng có tính chất phân phối đối với phép cộng và phép trừ 5. Quan hệ chia hết có tính chất bắc cầu nghĩa là a  b ; b  c ⇒ a  c Thí dụ 6 : Một số cs 3 chữ số là 3 số tự nhiên liên tiếp. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số cũ bao nhiêu ? Giải : 2 . Số Gọi số có 3 chữ số đó là abc trong đó a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp. Vậy c − a = viết theo thứ tự ngược lại là cba . Ta có : cba − abc = (100c + 100b + a ) − (100a + 100b + c ) = 100c + 10b + a − 100a − 10b − c = 99c − 99a= 99 ( c − a )= 99.2= 198 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -9- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Thí dụ 7 : Hai số không chia hết cho 3, khi chia cho 3 được những số dư khác nhau. Chứng tỏ rằng tổng của hai số đó chia hết cho 3. Giải : Gọi hai số là a và b Giả sử a chia cho 3 dư 1 ; b chia cho 3 dư 2. Thế thì a =3q1 + 1 ; b =3q2 + 2 . Lúc đó a + b = 3q1 + 1 + 3q2 + 2 = 3q1 + 3q2 + 3 = 3. ( q1 + q2 + 1)  3 Nhận xét : Trong cách giải trên ta đã vận dụng hai kiến thức cơ bản sau về phép chia hết và phép chia có dư : - Số dư trong phép chia cho 3 phải nhỏ hơn 3. - 3 . q (ở đây q = q1 + q2 + 1 ) Để chứng tỏ a + b  3 ta biến đổi a + b = BÀI TẬP 34. Chứng tỏ rằng trong một phép trừ, tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bao giờ cũng chia hết cho 2. 35. Cho M = {1,13, 21, 29,52} . Tìm x, y biết 30 < x − y < 40 36. Tìm x, biết : a) ( x + 74 ) − 318 = 200 b) 3636 : (12 x − 91) = 36 c) ( x : 23 + 45 ) .67 = 8911 37. Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý nhất : a) ( 44 . 2 . 60 ) : (11 . 13. 15 ) b) 123 . 456456 − 456 . 123123 c) ( 98 . 7676 . 9898 . 76 ) : ( 2001 . 2002 . 2003 ... 2010 ) 38. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =− 2003 1003 : ( 999 − x ) với x ∈  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -10- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 39. Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a ≥ b . Chứng tỏ rằng ( a − b )  m 40. Trong một phép chia có số bị chia là 155 ; số dư là 12. Tìm số chia và thương. 41. Viết tập hợp C các số tự nhiên x biết rằng lấy x chia cho 12 ta được thương bằng số dư. 42. Chia 129 cho một số ta được số dư là 10. Chia 61 cho số đó ta cũng được số dư là 10. Tìm số chia. 43. Để đánh số các trang của một quyển sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang. 44*. Người ta viết liền nhau dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 : 1, 2, 3, 4, 5 ... Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ? 45. Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100 a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng ? b) Tìm số hạng thứ 22. c) Tính S. 46. Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho 7 dư 3 : A =∈ {x  | x = 7 . q + 3 ; q ∈  ; x ≤ 150} a) Hãy liệt kê các phần tử của A thành một dãy số từ nhỏ đến lớn. b) Tính tổng các phần tử của A. §5. Lũy thừa với số mũ tự nhiên Kiến thức cơ bản : = 1. Định nghĩa a n (n ∈  ) * a . a ... a (n thừa số ) a n là một lũy thừa ; a là cơ số ; n là số mũ. Quy ước:= a1 a ; = a0 1 ( a ≠ 0) 2. Nhân chia hai lũy thừa cùng cơ số : = a m . a n a m+n = a m : a n a m−n ( m, n ∈  ) * ( m, n ∈  ; m ≥ n ; a ≠ 0 ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 * -11- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Nâng cao : 1. Lũy thừa của một tích (a . b) 2. Lũy thừa của một lũy thừa n = a n . bn (a ) m n = a m.n m 3. Lũy thừa tầng a m = a ( ) n n 8 Chẳng hạn 22= 2= 256 3 1 51= 5= 5 7 Như vậy trong một lũy thừa tầng ta thực hiện phép nâng lên lũy thừa từ trên xuống dưới. 4. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Chẳng hạn 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ... Thí dụ 8 : Tìm x, biết 2.3x = 162 Giải : 2 . 3x = 162 ⇒ 3x = 162 : 2 = 3x 81 = ; 3x 34 Vậy x = 4 Nhận xét : Trong cách giải trên ta đã dùng tính chất : Trong hai lũy thừa bằng nhau, nếu cơ số bằng nhau thì số mũ bằng nhau ; ngược lại nếu số mũ bằng nhau thì cơ số bằng nhau. BÀI TẬP 47. Tìm một số chính phương có 2 chữ số sao cho mỗi chữ số đều là một số chính phương. 48. Trong các số sau, những số nào bằng nhau ? Số nào nhỏ nhất ? Số nào lớn nhất ? 24 ; 34 ; 42 ; 43 ; 990 ; 099 ; 1n (n ∈  ) * 49. Kiểm tra xem đẳng thức sau đúng hay sai ? Nếu sai hãy di chuyển 1 chữ số đến vị trí khác để được đẳng thức đúng. 152 − 52 = 102 50. Chứng tỏ rằng mỗi tổng hoặc hiệu sau đây là một số chính phương : a) 32 + 42 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -12- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com b) 132 − 52 c) 13 + 23 + 33 + 43 51. Viết các tổng hoặc hiệu sau đây dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 . a) 17 2 − 152 b) 43 − 23 + 52 52. Viết số 729 dưới dạng một lũy thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn 1 . 53. Viết các tích hoặc thương sau dưới dạng lũy thừa của một số. a) 25 . 84 31 b) 256 . 1253 23 34 12 54. Tính : 6 ; 3 ; 7 c) 6255 : 257 d) 123 . 33 10 20 ; 2003 55. Tìm x ∈  biết : b) ( 7 x − 11) = 25 . 52 + 200 3 a) 2 x − 15 = 17 56*. Tìm x ∈  , biết : a) x10 = 1x c) ( 2 x − 15 ) =( 2 x − 15 ) 5 b) x10 = x 3 57. Tính giá trị của biểu thức : A= 11 . 322 . 37 − 915 (2 . 3 ) 14 2 §6. Chuyên đề 1 : So sánh hai lũy thừa 1. Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa về so sánh hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu m > n thì a m > a n ( a > 1) - Nếu hai lũy thừa có cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu a > b thì a n > b n Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ( n > 0) -13- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai lũy thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân ( a < b thì a.c < b.c với c > 0 ) Thí dụ 9 : So sánh số 1619 và 825 , số nào lớn hơn ? Giải : Ta thấy các cơ số 16 và 8 tuy khác nhau nhưng đều là lũy thừa của 2 nên ta tìm cách đưa 16 và 825 về lũy thừa cùng cơ số 2. 19 = 1619 = 825 2 ) (= 4 19 2 ) (= 3 25 276 275 Vì 276 > 275 nên 1619 > 825 . BÀI TẬP 58. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32 n và 23n (n ∈  ) * 59. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498 60. So sánh các số sau, số nào lớn hơn ? a) 19920 và 200315 b) 399 và 1121 61. So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn ? 7245 − 7244 và 7244 − 7243 62. Tìm x ∈  biết : a) 16 x < 1284 b) 5x.5x +1.5x + 2 ≤ 100........0 : 218 (18 chữ số 0) 63. Cho S =1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 . Hãy so sánh S với 5.28 64. Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -14- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Hãy so sánh m với 10.98 65*. Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1 , 2 , 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần. §7. Chuyên đề 2. Chữ số tận cùng của một tích, một lũy thừa 1. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2, 4, 8 hoặ chia hết cho 5, 15, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận cùng của số đó (xem Bài 10). 2. Tìm chữ số tận cùng của tích - Tích các số lẻ là một số lẻ Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5. - Tích của một số chẵn với với bất kì số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ số tận cùng là 0. 3. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa. - Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó. - Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3,7,9 khi nâng lân luỹ thừ 4n đều có chữ số tận cùng là 1. … 34 n 1;= = ...7 4 n 1;= ...94 n 1. Các chữ số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠ 0) đều có tận cùng là 6. = 24 n 6;= ...44 n 6;= ...84 n 6. (Riêng đối với các chữ số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1). 4. Một số chính phương thì không có tận cùng là 2, 3, 7, 8 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -15- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com Thí dụ 10: Cho A = 51n + 47102 ( n ∈  ) Chứng tỏ rằng A  10. Giải: 51n = ...1 2 2 47102 = 47100.47= 47 4.25.47= ...1× ...9 Vậy A = ...1 + ...9 = ...0; A  10. Thí dụ 11: Ta đã biết ngoài Dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ đếm CAN CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của năm. Có 10 CAN là: Hàng can Giáp Ất Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý Mã số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10(0) Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu kết quả với bảng trên: Hàng CAN = Chữ số tận cùng của năm dương lịch - 3 (*) (Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10). Bây giờ bạn hãy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lịch sử giành độc lập của nhân dân ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CVN ra đời và nằm 1945 chiến thắng Điện Biên Phủ. Giải: 10 - 3 = 7 ⇒ CANH; 4 – 3 = 1 ⇒ GIÁP; 1930 là năm CANH NGỌ. 1945 là năm GIÁP NGỌ. BÀI TẬP 66. Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là một năm Dậu. Hãy tìm hàng CAN của năm Dậu đó. 67. Em tuổi gì? Tìm hàng CAN của tuổi đó. 68. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 69. 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n ( n > 1) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -16- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 70. Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10. a) A = 98.96.94.92 − 91.93.95.97 ; b) B = 405n + 2405 + m 2 ( m, n ∈ ; n ≠ 0 ) 71. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 67 a) 2345 b) 5796 ; 75 72. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số? 73. Tích A = 2.22.23...210 × 52.54.56...514 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? 74*. Cho S = 1 + 31 + 32 + 33 + ... + 330. Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương. §8. Thứ tự thực hiện các phép tính Kiến thức cơ bản 1. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức không có dấu ngoặc: Luỹ thừa → Nhân chia → Cộng trừ 2. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có các loại dấu ngoặc: ( ) → [ ] → { } Nâng cao: Nếu trong biểu thức có n! thì phải coi như có phép nhân 1.2.3…n, ta thực hiện các phép tính theo quy ước. Thí dụ 12: Dùng một chữ số 1 và dấu ngoặc của các phép tính kể cả dấu ngoặc để viết thành một biểu thức có giá trị bằng 100 sao cho dùng ít chữ số 1 nhất. Giải: 111 − 11 = 100 (11 − 1) 1+1 100 = BÀI TẬP 75. Tính giá trị của biểu thức: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -17- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com a) (102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 ) b) 9! − 8! − 7!.82 ( 3.4.2 ) 16 2 c) 11.213.411 − 169 76. Với 6 chữ số 3 và dấu của các phép tính kể cả dấu ngoặc hãy viết thành một biểu thức có giá trị là 1 000 000. 77. Tìm x biết a) (19x + 2.52 ) :14 = (13 − 8 ) − 42 2 2.3x 10.312 + 8.27 4 b) = 78. Một xà lan chở hàng từ bến A đến bến B cách nhau 60km rồi lại trở về bến cũ với vận tốc riêng không đổi là 25km/h. Vận tốc dòng nước là 5km/h. Tính vận tốc trung bình cảu xà lan trong cả thời gian đi và về. 79. Hiện nay tổng số tuổi của bố mẹ và con là 66. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của hai mẹ con hơn tuổi của bố là 8 và tuổi mẹ băng ba lần tuổi con. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay. 80. Có một bình 4 lít và một bình 5 lít. Làm thế nào để lấy được đúng 3 lít nước từ một bể nước. 81. Một thùng có 16 lít nước. hãy dùng một bình 7 lít và một bình 3 lít để chia 16 lít làm hai phần bằng nhau. 82. Người bán hàng chiều khách. Ba người vào cửa hàng sách, tình cờ mua một quyển sách giá là 7.900 đồng. Mỗi người đều đưa một tờ 100 nghìn đồng và yêu cầu được trả lại tiền thừa như sau: Người thứ nhất: Có số tờ trả lại ít nhất. Người thứ hai: Có số tờ trả lại ít nhất nhưng có đủ các loại tiền nhỏ hơn. Người thứ ba: có số tờ trả lại là trung bình cộng số tờ của hai người kia nhưng không có các loại tờ 100 đồng, 1000 đồng, 10.000 đồng. Người bán hàng đã trả lại tiền thừa đúng yêu cầu của mỗi người. Hỏi người bán đã trả như thế nào? Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -18- BÀI TẬP NÂNG CAO & MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com §9. Tính chất chia hết của một tổng Kiến thức cơ bản: 1. Tính chất 1 a  m ; b m ⇒ a + b m ; a − b m (a ≥ b) 2. Tính chất 2 a / m ; b  m ⇒ a + b / m ; a − b / m (a ≥ b) 3. Tính chất 3 a  m ⇒ k .a  m ( k ∈  ) 4. Tính chất 4 a  m ; b  n ⇒ ab  mn Đặc biệt: a  b ⇒ a n  b n . Nâng cao: 1. Các tính chất 1 và 2 cũng đúng nếu tổng số có nhiều số hạng. 2. a  m ; b m ⇒ k1a + k2b m (Thí dụ 13) 3. a  m ; b m ; a + b + c  m ⇒ c  m a  m ; b  m ; a + b + c / m ⇒ c / m (Thí dụ 14). Thí dụ 13: Cho a  m ; b m , hãy chứng minh rằng k1a + k2b m . Giải: a  m ⇒ k1a  m (tính chất 3) b  m ⇒ k2b  m (tính chất 3) Vậy k1a + k2b m (tính chất 1) Thí dụ 14: Chứng minh rằng: a) Nếu a  m ; b m và a + b + c  m thì c  m . b) Nếu a  m ; b m và a + b + c / m thì c / m Giải. a) Giải sử c / m . ta có a  m ; b m nên a + b + c / m (tính chất 2). Điều này trái với đề bài a + b + c  m . Vậy điều giải sử là sai, suy ra c  m . Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -19-