CHUYÊN ĐỀ
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Với A 0, B 0 thì:
A.B A. B và ngược lại
A
Đặc biệt, khi A 0 , ta có:
A
B
II. Với A 0, B 0 thì
2
A. B A.B
A2 A .
A
và ngược lại
B
A
B
A
B
III. Bổ sung
Với A1 , A2 ,..., An 0 thì:
Với a 0; b 0 thì:
Với a b 0 thì:
A1 . A2 ... An A1. A2 ... An
a b a b (dấu “=” xảy ra a 0 hoặc b 0 ).
a b a b (dấu “=” xảy ra a b hoặc b 0 ).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Ví dụ minh họa 1. Tính:
a)
b)
810.40
c)
24. 12. 0,5
125
35.43
d)
180 : 5
200 : 8
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
810.40 81.100.4 81. 100. 4
92 . 102 . 22 9.10.2 180 . Vậy biểu thức có giá trị là: 180
b) Ta có:
24. 12. 0,5 24.12.0,5 144 122 12 .
c) Ta có:
125
35.43
3.4
5
35.43
35.45
42 4
35.43
Vậy biểu thức có giá trị là: 4
d) Ta có
180 : 5
180 : 5
36 6
1, 2
200 : 8
200 : 8
25 5
Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2
Ví dụ minh họa 2.
b) Với a 0 ; b 0 . Chứng minh
a) So sánh: 16 4 và 16 4
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
ab a b
16 4 4 2 6 36
1
16 4 20 36
2
Từ 1 và 2 suy ra: 16 4 16 4
b) Với a 0 ; b 0 , giả sử a b a 2 b 2
a b với
Để so sánh
ta so sánh
Ta có:
ab
ab
2
a b
2
với
a b
a b
2
ab
2
a b 2 ab
Vì 2 ab nên suy ra
ab
2
a b
2
ab a b
Do đó
Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính
a) A
18 32 50 . 2
b) B 50 – 18 200 162
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của
các số không âm, ta có:
A
18 32 50 . 2
18. 2 32. 2 50. 2
18.2 32.2 50.2
36 64 100
6 8 10
4
b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có:
B 50 – 18 200 162
25.2 9.2 100.2 81.2
25. 2 9. 2 100. 2 81. 2
2.
25 9 100 81
2. 5 3 10 9
3 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính:
a)
49.36.100
b)
0, 45.0, 3.6
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
c) 147.75
d)
4, 9.1200.0, 3
5. 45
a)
b) 13. 52
c) 12, 5. 0, 2. 0,1
b) 13 : 468
c)
d)
48, 4. 5. 0, 5
d)
288
8
:
169
225
Bài 3: Tính:
a)
45 : 80
3
36
:
15 45
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
c)
72
: 8
9
a)
1
16
d)
7 : 7
7
7
125 245 5 : 5
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
a) 12 27 3
b)
252 700 1008 448
c)
b) 7 48 3 27 2 12 : 3
d)
12 2 75
3
3
12 27 3
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
c)
3 5 3 5
2
d) 15 216 33 12 6
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức:
49.36.100 49. 36. 100
7 2 . 62 . 102 7.6.10 420
b) Biến đổi biểu thức:
0, 45.0,3.6 0,81 0,92 0,9
c) Biến đổi biểu thức: 147.75 49.3.3.25
49.9.25 49. 9. 25 7.3.5 105
d) Biến đổi biểu thức:
4,9.1200.0, 3 49.0,1.12.100.3.0,1
49.36 49. 36 7.6 42
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
a)
5. 45 5.45 225 152 15
b) 13. 52 13.52 676 26
c) 12, 5. 0, 2. 0,1 12, 5.0, 2.0,1 0, 25 0, 5
d)
48, 4. 5. 0, 5 48, 4.5.0,5 122 11
Bài 3: Tính:
a)
45 : 80
b) 13 : 468
b) 1 3 2 1 3 2
2 3 2 3
a)
45
45
9 3
80
16 4
80
13
13
1 1
468
36 6
468
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
c)
3
36
3 36
3 45
1 1
:
:
.
15 45
15 45
15 36
4 2
d)
288
8
288 8
288 225
:
:
.
169
225
169 225
169 8
36.225
36. 225 6.15 90
169
13 13
169
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
72
72
72 1
: 8
:8
. 1 1
9
9
9 8
a) Biến đổi biểu thức:
Vậy biểu thức có giá trị là: 1
b) Biến đổi biểu thức: 7 48 3 27 2 12 : 3
28 3 9 3 4 3 : 3 33 3 : 3 33
Vậy biểu thức có giá trị là: 33
c) Biến đổi biểu thức:
125 245 5 : 5 5 5 7 5 5 : 5 11 5 : 5 11
Vậy biểu thức có giá trị là: 11
1
7 4 7
16
4 7
4
d) Biến đổi biểu thức:
: 7
7 : 7
7 : 7
7
7
7
7
7
7
4
7
Bài 5: Thực hiện các phép tính sau:
Vậy biểu thức có giá trị là:
a) Ta có: 12 27 3
2 3 3 3 3 3 2 3 1 0
b) Ta có:
12 2 75
3 12. 3 2 75. 3
36 2 225 6 2.15 24
c) Ta có:
252 700 1008 448
6 7 10 7 12 7
6 10 12 7 8 7
d) Biến đổi biểu thức
3 2 3 3 3 3
3
12 27 3
3.4 3 3.4 12
Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) Biến đổi biểu thức
2 3 2 3
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
42 3
42 3
2
2
3 1
2
2
3 1
2
2
3 1
2
3 1
3 1
3 1 3 1
2
2
2
2
2
2
Vậy biểu thức có giá trị là:
2
3 1
2
2
3 1
2
3 1
2
b) Biến đổi biểu thức 1 3 2 1 3 2
1 3
2 1 2
2
2
2
3 3 2
42 3 2 22 3
Vậy biểu thức có giá trị là: 2 2 3
c) Biến đổi biểu thức
3 5
2
3 5 3 5
2 3 5. 3 5
3 5 2
2
3 5
2
3 5 .3 5 3 5
2
3 5 2 32 5 3 5
6 2 9 5 6 4 10
Vậy biểu thức có giá trị là: 10
d) Biến đổi biểu thức 15 216 33 12 6
15 6 6 33 12 6
15 6 6 3 2 6 3
3 6 3 2 6
6 2 6 3
2
6
Vậy biểu thức có giá trị là:
6.
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức
Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 25a 2 25a với a 0
b)
49a 2 3a với a 0
c) 16a 4 6a 2 với a bất kì
d) 3 9a 6 6a 3 với a bất kì.
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức 5 25a 2 25a 5. 5a 25a vì a 0 nên 5a 0 , do đó 5a 5a .
Vậy 5 25a 2 25a 5. 5a 25a 25a 25a 50a.
b) Biểu thức
49a 2 3a 7a 3a.
Với a 0 nên 7a 0 , do đó 7a 7a .
Vậy
49a 2 3a 7a 3a 10a.
c) Biểu thức 16a 4 6a 2 4a 2 6a 2
Với mọi a ta đều có 4a 2 0 nên 4a 2 4a 2
Vậy 16a 4 6a 2 4a 2 6a 2 10a 2
d) Biểu thức 3 9a 6 6a 3 3. 3a 3 6a 3
Nếu a 0 thì 3a 3 0 nên 3a 2 3a 2 , ta có: 3 9a 6 6a 3 3.3a 3 6a 3 3a 2
Nếu a 0 thì 3a 3 0 nên 3a 2 3a 2 , ta có: 3 9a 6 6a 3 3. 3a 3 6a 3 15a 2 .
Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 4 x x 2 4 x 4 với x 2
b) 3x 9 6 x x 2 với x 3
x 0
x6 x 9
với
c)
x 9
x 9
d)
x2 4x 4
với x 2
x2
Hướng dẫn giải:
a) Biểu thức 4 x x 2 4 x 4 4 x
x 2
2
4x x 2
2
3x 3 x
Vì x 2 nên x 2 0 , do đó x 2 x 2 .
Vậy 4 x x 2 4 x 4 4 x x 2 3x 2
b) Biểu thức 3x 9 6 x x 2 3x
3 x
Vì x 3 nên 3 x 0 , do đó 3 x 3 x
Vậy 3x 9 6 x x 2 3x 3 x 2 x 3
c) Biểu thức
x6 x 9
x 9
x 3
x 3
2
x 3
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x 3
x 3
x 2
x2 4x 4
x2
d) Biểu thức
x2
2
x2
x2
Với x 2 thì x 2 0 nên x 2 x 2 .
Vậy
x2 4x 4 x 2
1
x2
x2
Với x 2 thì x 2 0 nên x 2 x 2 .
Vậy
x2 4x 4 x 2
1
x2
x2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
c)
15 6
35 14
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
b)
10 15
8 12
d)
2 3 6 8 16
2 3 4
b)
a 0; b 0
a a b b b a
với
ab 1
ab 1
d)
x 2 x 1
x 2 x 1
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
c)
x xy
y xy
với x 0; y 0
x xy y
x y
x 1
e)
y 1
y2
x y
y 1
x 1
2
x 0
2
4
x 1, y 1, y 0
Bài 3: Rút gọn và tính:
a)
a 1
:
b 1
b 1
với a 7, 25; b 3, 25
a 1
c) 10a 2 4a 10 4 với a
2
5
5
2
b) 15a 2 8a 15 16 với a
d)
a 2 2 a 2 1 a 2 2 a 2 1 với a 5
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:
a) Biểu thức:
3
15 6
35 14
7
Biểu thức rút gọn là:
b) Biểu thức:
2
5 2
5
3
3
7
7
3
7
5 2 3
10 15
5
2
8 12
2 2 3
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3
5
5
3
5
2
Biểu thức rút gọn là:
c) Biểu thức:
2 3 2 5 3 2 3 3 2
2 5 1 2 3 1 2
2 5 3 1 2
2 5 3 3 2
2 5 3 1 2
2 5
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
3 2 3
3 2
1 2
3 2
1 2
Biểu thức rút gọn là:
2 3 6 8 16
2 3 4
d) Biểu thức:
2 3 6 84
2 3 22 6 8
2 3 4
2 3 4
2 32
2 6 8
2 3 4
2 3 4
2 3 4
4 6 8
2 3 4
2 3 4
2
1
2 3 4
2 3 4
1
2
Biểu thức rút gọn là: 1 2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức:
a) Với x 0; y 0 thì
a 0; b 0
b) Với
thì
ab 1
y xy
y
x
x
x y
y
x
y
Biểu thức rút gọn là:
x xy
a a b b b a
ab 1
1 ab
ab 1 ab 1
ab 1
a 1 ab b 1 ab
ab 1
a b
a b
ab 1
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
x
y
a b
ab 1
Biểu thức rút gọn là:
x xy y
c) Biểu thức
3
x y
3
x y
x 2 xy y
x y
x y
x
x y
xy y
x y
2
x 2
xy y
x xy y x 2 xy y
xy
xy
Biểu thức rút gọn là:
x 2 x 1
x 2 x 1
d) Với x 0 nên
x 1
y 1
x 1
y 1
y 1
x 1
4
2
y2
y 1
x 1
2
x 1
x 1
2
x 1, y 1, y 0
4
y 1
x 1
.
2
y 1 x 1
y 1
y 1 ,
y 1
x 1
x 1 y 1
1
.
.
2
2
x 1
y 1 x 1
y 1 x 1
Nếu y 1 y 1 0
Thì
2
x 1
Nếu 0 y 1 y 1 0
Thì
x 1
x 1
x 1
Biểu thức rút gọn là:
e) Biểu thức
y 1
y 1 ,
y 1
y 1
x 1
x 1
1
.
.
2
2
x 1
y 1 x 1
y 1 x 1
Bài 3: Rút gọn và tính:
a) Ta có
a 1
.
b 1
a 1
:
b 1
a 1
b 1
b 1
a 1
b 1
a 1
b 1
a 1
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a 1
b 1
x 1
x 1
Với a 7, 25; b 3, 25 thay vào ta được
Vậy biểu thức có giá trị
7, 25 1
6, 25
25 5
6, 25 1
2, 25
9 3
5
.
3
b) Ta có 15a 2 8a 15 16
15a 4
2
15a 4
3
5
thay vào ta được
5
3
Với a
3
5
15a 4 15
4
3
5
3
5
15. 4 3 5 4 4
5
3
15.
a
c) Ta có 10a 2 4a 10 4
Với a
2
a 10 2
2
2
5
5
thay vào ta được a 10 2
10 2
5
2
5
2
a2 2 a2 1 a2 2 a2 1
a
2
a2 1 1
a2 1 1
1 2 a 2 1 1
a
2
2
5 1 1
4 1
1 2 a 2 1 1
2
a2 1 1
2
a2 1 1
Với a 5 thay vào ta được
2
5
. 10
. 10 2 2 5 2 5
5
2
d) Ta có
10 2
a2 1 1
2
5 1 1
a2 1 1
5 1 1 5 1 1
4 1 2 1 2 1
3 1 2
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3. Giải phương trình
Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau:
a)
2.x 5 5
c) 10 x 3 20
x7 3 0
b)
d)
Hướng dẫn giải:
5
a) Điều kiện xác định là 2 x 5 0 x
2
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
2 x 5 25 2 x 20 x 10 thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 10 .
b) Điều kiện xác định là x 7 .
x 7 3 0 x 7 3
với mọi x 7 ta có
x 7 0 và 3 0 . Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện xác định là x 3
Khi đó, phương trình được đưa về dạng:
10 x 3 20 x 3 2 x 5 .
Vậy x 5 là nghiệm của phương trình.
d) Với x 2 0 x 2 thì
3x 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2 4 x 4
2
2 x2 2 x 2 0 x2 2 x 2 0
x 1 3 0 x 1 3 x 1 3 0
2
x 1 3 0
x 1 3
(thỏa mãn điều kiện)
x 1 3 0
x 1 3
Vậy nghiệm của phương trình là x 1 3; x 1 3 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3 x 1 10
c)
b) 16 7 x 11
x 2 6 x 9 3x 6
d)
x2 4 x 4 2 x 5 0
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) Điều kiện có nghĩa: 3 x 1 0 x
Khi đó, phương trình
1
3
3 x 1 10 3 x 1 10 x 3 (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x 3 .
b) 16 7 x 11
Điều kiện có nghĩa: 16 7 x 0 x
16
7
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3x 2 x 2
Khi đó, phương trình 16 7 x 11 16 7 x 11 x
5
7
Vậy nghiệm của phương trình là: x
c)
x 2 6 x 9 3x 6
x 3
2
5
(thỏa điều kiện)
7
3x 6 x 3 3x 6
x 2
3 x 6 0
x 9 TM
x 3 3x 6
2
x 3 3 x 6
3
x L
4
Vậy nghiệm của phương trình là: x
d)
x2 4 x 4 2 x 5 0
9
2
x 2
2
2x 5 x 2 2x 5
5
x 2
2 x 5 0
x 3 2 x 5 x 8 TM
x 3 2 x 5
x 2 L
3
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy
Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau: P 2 2 2 . 4 8 . 2 2 2 .
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính.
a b và
a b nên ta
Trình bày lời giải
P 2 2 2 . 4 8. 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 . 4 8
P 4 2 2. 4 2 2
2 2 .
2 2. 2
P 4 2. 2 2 .
Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức: A 2 3 4 2 3 21 12 3
Giải
Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa
các căn ở phía trong về dạng
A2 A và giải như các ví dụ
a 2 b sau đó dùng hằng đẳng thức
trên.
Trình bày lời giải
Ta có A 2 3 4 2 3 21 12 3
2 3 42 3
2
3 3
2
2 3 42 3 2 3 3
2 3 44 3 3 2 3
2 3
2
2 32 3 4 .
Suy ra A 2 .
Ví dụ minh họa 3: Rút gọn: C 2 2 5 2 2 2 5 2
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng
a2 b
x y
2
.
Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C x y x y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu của C,
từ đó tìm được C.
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải
C2 4 2 4 2 5 2 4 2
C2 6 2 5
5 1
2
2
Xét C 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2
42
2 5 2 2 2 5 2
5 1
2
5 1 . Vì C 0 nên C 1 5 .
Ví dụ minh họa 4: Cho x, y thỏa mãn
x 1 x 2 y 1 y 2 . Chứng minh rằng: x y .
Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x y , chúng ta cần
phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử x y .
Dễ thấy x 2 y 2 có chứa nhân tử x y , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử x y chúng ta vận
dụng
a b
a b a b từ đó suy ra:
a b
a b
. Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó
a b
chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x 1; y 1 .
- Trường hợp 1: Xét x 1; y 1 x y .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
x2 y 2 x 1 y 1 0
x y x y
x 1 y 1 0
x 1 y 1
1
x y x y
0
x 1 y 1
Vì x y
1
0 x y 0 x y.
x 1 y 1
Ví dụ minh họa 5: Cho a
1 2
. Tính giá trị biểu thức 16a8 51a
2
Giải
1 2
vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai
2
lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a 2 ; a 4 và a 8 bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn
giản và không dễ mắc sai lầm.
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải
2a 1 2 2a 1 2 4a 2 4a 1 2
4a 2 1 4a 1 2 1 2 3 2 2 16a 4 9 12 2 8 17 12 2
256a 8 289 408 2 288 577 408 2 16a 8
Xét 16a8 51a
577 408 2 51 1 2
16
2
577 408 2
16
577 408 2 408 408 2 169
16
16
Vậy 16a8 51a
169 13
.
16
4
Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị S
6 2
6 2
1
1
.
; b
7 với a
7
a b
2
2
Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn
đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các
hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: a b 6; ab 1
Ta có: a 2 b 2 a b 2ab 4 ;
2
a 3 b3 a b 3ab a b 6 6 3.1. 6 3 6
3
Xét a 2 b 2 a 3 b3 a 5 a 2b3 a 3b 2 b5 a 5 b5 a 2b 2 a b
4.3 6 a 5 b5 1 6
Từ đó tính được: a 5 b5 11 6
Xét a 2 b 2 a 5 b5 a 7 a 2b5 a 5b 2 b 7 a 7 b 7 a 2b 2 a 3 b3
Suy ra: 4.11 6 a 7 b 7 1.3 6 a 7 b 7 41 6
S
1 1
b 7 a 7 41 6 .
a 7 b7
Ví dụ minh họa 7: Cho b 0; a b . Chứng minh đẳng thức:
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a a2 b
a a2 b
2
2
a b
Giải
Đặt vế phải là: B
a a2 b
a a2 b
2
2
Ta có B 0
a 2 a2 b
Xét B
2.
2
2
B a 2.
2
a2 a2 b
4
a
a2 b
2
. a
a2 b
2
a
a2 b
2
; B2 a b
Vì B 0 nên B a b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x x 2 2
y 1
Chứng minh rằng: x3 y 3 3 xy 1
Giải
Đặt y 1 z từ giả thiết ta có: x x 2 2
2
2 x2 z z 2 2 2
2 z z2 2 2
x2 2 x
x2 2
z
2
2 z2 2
x x2 2 2 2
x 2 2 x z z 2 2 x 2 2 x 1
z 2 2 z ta được
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với
x
z 2 2 2 *
x 2 2 x ta được
Nhân hai vế với
x
z
z2 2 z
z2 2 z
x x2 2 z 2 2 z 2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
x z 0 x y 1 0 x y 1
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
y2 2 y 3 2
Xét x 3 y 3 3 xy x y x 2 xy y 2 3 xy x 2 xy y 2 3 xy
x 2 2 xy y 2 x y 1
2
Vậy x 3 y 3 3 xy 1 . Điều phải chứng minh.
BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
a) A 3 5. 3 5
10 2 ;
b) B 2
3 1
2 3 .
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P
3 10 20 3 6 12
;
5 3
b) Q
2 3 6 84
.
2 3 4
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C
b) D
62
6 3 2 62
6 3 2
2
;
96 2 6
.
3
Bài 4. Cho x 3 2 . Tính giá trị B x 5 3 x 4 3 x 3 6 x 2 20 x 2018 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A x 2 2002 x 2003 với
x
27 10 2
27 10 2 27 10 2
13 3
13 3 :
27 10 2
13 2
Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
a b 1 b2 1 a 2
Chứng minh rằng a 2 b 2 1 .
b) Chứng minh rằng số
20092 20092.20102 20102 là số nguyên dương.
Bài 7. Cho b 0; a b . Chứng minh đẳng thức:
a b a b 2 a a2 b
Bài 8. Cho x1 3 5 và x2 3 5 . Hãy tính: A x1.x2 ; B x12 x22 ; C x13 x23 ; D x15 x25
Bài 9. Rút gọn biểu thức: A
7 5 7 5
7 2 11
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 2 2 .
Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:
x 1 y y y 1 x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của
S x 3 xy 2 y 8 y 12 .
2
2
Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau:
P 4 5 3 5 48 10 7 4 3 ;
Q
3 1
6 2 2. 3
2 12 18 128 .
Bài 12. Rút gọn biểu thức:
a) A
6 2 5 13 48
b) T
3 1
2 3 3 13 48
6 2
2 10 30 2 2 6
2
:
.
2 10 2 2
3 1
Bài 13. Rút gọn biểu thức: A
Bài 14. Biết x 2 2 3 6 3 2 3 .Tính giá trị biểu thức: S x 4 16 x 2 .
Bài 15. Cho x 2019
x 2019
2
2020
y 2019
y 2019
2
2020 2020 .Tính giá trị của
A x y.
Bài 16. Rút gọn biểu thức: A
x2 5x 6 x 9 x2
3x x 2 x 2 9 x 2
: 2 1
2x
3 x
Bài 17. Cho biểu thức P a 2013 8a 2012 11a 2011 b 2013 8b 2012 11b 2011 . Tính giá trị biểu thức của P
với a 4 5 và b 4 5 .
Bài 18. Cho
3
3
x ; x 0 và
2
2
3 2 x 3 2 x a .Tính giá trị của biểu thức P
6 2 9 4 x2
x
theo a.
Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: A 2 x 3 3 x 2 4 x 2 Với
x 2
5 5
5 5
2
3 5 1.
2
2
Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4 . Hỏi có tồn tại hay không
các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) A 3 5. 3 5
b) B 2
10 2 ;
3 1
2 3 .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có A 3 5. 3 5 . 2
2
5 1 .
5 1 6 2 5.
5 1 . 3 5
5 1 . 3 5
5 1 .
5 1 . 3 5
5 2 5 1 . 3 5 2 3 5 . 3 5 2. 9 5 8 .
Vậy A là số tự nhiên.
b) Ta có B
B
3 1 . 4 2 3
3 1 .
3 1 .
3 1
2
3 1 3 1 2 .
Vậy B là số tự nhiên.
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
a) P
3 10 20 3 6 12
;
5 3
b) Q
2 3 6 84
.
2 3 4
Hướng dẫn giải – đáp số
P
10 3 2 6 3 2
a) Ta có: P
5 3
3 2 . 2
5 3
5 3
3 2
3
2 2.
2 3 4 1 2
2 3 4
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
a) C
b) D
62
5 3
2 3 22 6 8
2 3 4
b) Ta có Q
10 6
6 3 2 62
6 3 2
2
96 2 6
.
3
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
;
1
2.
Hướng dẫn giải – đáp số
a) C
1
C
C
1 2 3 2 2 2 3 2 6 1 2 3 2 2 2 3 2 6
2
2 3
2
1
2 3
2
1 2 3 1 2 3
2
2
2 2
2.
2
b) D
3. 3 2 2 6
3
3
3. 2 2 2 1 6
3
2
2 1 2
3
3
2 1 2
3
1 .
Bài 4. Cho x 3 2 . Tính giá trị B x 5 3 x 4 3 x 3 6 x 2 20 x 2018 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x 2 3 , bình phương hai vế ta được:
x 2 4 x 4 3 x 2 4 x 1 0 *
Ta có B x 3 x 2 4 x 1 x 2 x 2 4 x 1 5 x 2 4 x 1 2013
Kết hợp với (*) ta có: B 2013 .
Bài 5. Tính giá trị biểu thức A x 2 2002 x 2003 với
x
27 10 2
27 10 2 27 10 2
13 3
13 3 :
27 10 2
27 10 2
5 2
5 2
2
2
5 2 .
5 2
2
2
Tử số là: 5 2 . 5 2 5 2 . 5 2
5 2 .23 5 2 .23 46 2 .
Xét a
13 3
13 3; a 0 .
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
27 10 2
13 2
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có:
- Xem thêm -
.PDF 
37 
1 
134 
