Chuyeân ñeà: HÌNH HOÏC OXY
MỤC LỤC
PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
Bài toán 1. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau
Bài toán 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Bài toán 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía với một đường thẳng
Bài toán 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
Bài toán 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam giác
Bài toán 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác
Bài toán 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác
PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY
Bài toán 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng cho
trước (IM=R không đổi)
Bài toán 2. Tìm M thuộc đường thẳng d và cách đường thẳng d’ một khoảng không đổi
Bài toán 3. Tìm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB là tam giác đăc biệt (vuông, cân,
hai cạnh có mối quan hệ về độ dài, ….)
Bài toán 4. Tìm M thuộc đường thẳng d và thoả điều kiện cho trước (mở rộng của bài toán 1, 2, 3)
Bài toán 5. Tìm M dựa vào hệ thức vectơ
Bài toán 5.1 Tìm toạ độ M lien hệ với hai (ba) điểm cho trước qua một hệ thức vectơ MA k MB
Bài toán 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng d1 , d 2 và lien hệ với điểm thứ
ba cho trước qua hệ thức vectơ
Bài toán 6. Viết phương trình đường thẳng
TRƯỜNG HỢP 1. Bài toán không cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương)
Bài toán 6.1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, cách một điểm cho trước một khoảng
không đổi
Bài toán 6.2 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 1 điểm, tạo với đường thẳng cho trước một
góc không đổi
TRƯỜNG HỢP 2. Bài toán cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương)
Bài toán 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và d cách điểm cho
trước một khoảng không đổi
Bài toán 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và thoả mãn điều kiện
cho trước
Bài toán 7. Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực trong tam giác.
Bài toán 8. Tìm điểm dựa vào phân giác trong (ngoài) của tam giác
Bài toán 9. Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình chính tắc của (E)
Bài toán 10. Cho hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết phương trình
đường thẳng AB
PHẦN 4: SÁNG TẠO VÀ SỰ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN
TUÝ
PHẦN 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP
PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. HỆ TOẠ ĐỘ
1. Hệ trục toạ độ - toạ độ vectơ – toạ độ điểm
Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là i , j . O
là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u ( x; y ) u x.i y. j .
Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M ( x; y) OM x .i y . j .
Tính chất: Cho a ( x; y), b ( x ; y ), k R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) :
x x
+ ab
+ a b ( x x ; y y )
+ ka ( kx; ky)
y y
+ b cùng phương với a 0 k R: x kx vaø y ky .
+ AB ( xB x A ; yB y A ) .
x y
(nếu x 0, y 0).
x
y
x A xB
y yB
; yI A
.
2
2
x xB xC
y y y
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: xG A
; yG A B C .
3
3
x kxB
y kyB
+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k 1: x M A
; yM A
.
1
k
1
k
( M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB ).
2. Góc giữa hai vectơ
a
b
Cho a , b 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a , OB b .
A
a
0
0
Khi đó a, b AOB với 0 AOB 180 .
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: xI
O
Chú ý:
+ a , b = 900 a b
+ a , b = 00 a , b cùng hướng
+ a , b = 1800 a , b ngược hướng
+ a, b b , a
3. Tích vô hướng của hai vectơ
a .b a . b .cos a , b .
Định nghĩa:
2
Đặc biệt:
a.a a 2 a .
Tính chất:
Với a , b , c bất kì và kR, ta có:
+ a.b b .a ;
a b c a.b a.c ;
ka .b k a.b a. kb ;
a 2 0; a 2 0 a 0 .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
b
B
1
2
a b 2 a 2 2a.b b 2 ;
+ a b a 2 2a.b b 2 ;
a 2 b 2 a b a b .
+ a.b > 0 a, b nhoïn
+ a.b < 0 a , b tuø
a.b = 0 a, b vuoâng.
4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
a.b a1b1 a2 b2 .
Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó:
a a12 a22 ;
cos(a , b )
a1b1 a2 b2
a12 a22 . b12 b22
Cho A( x A ; y A ), B( x B ; y B ) . Khi đó:
a b a1b1 a2 b2 0
;
AB ( x B x A )2 ( yB y A )2 .
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRÒN
A. TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
A
BC 2 AB 2 AC 2 (định lí Pi–ta–go)
AB 2 BC.BH ,
AH 2 BH .CH ,
AC 2 BC.CH
1
1
1
2
2
AH
AB
AC 2
B
H
C
AH .BC AB. AC
b a.sin B a. cos C c tan B c cot C ; c a.sin C a. cos B b tan C b cot C
B. TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
PM/(O) = MA.MB MC.MD MO 2 R 2
Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
T
B
A
R
O
M
C
PM/(O) = MT 2 MO 2 R 2
D
C. TRONG TAM GIÁC BẤT KÌ
Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a 2 b2 c 2 2 bc. cos A ;
b 2 c2 a 2 2ca. cos B ;
2. Định lí sin
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến
c2 a2 b 2 2 ab. cos C
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
2
2( b2 c2 ) a2
2( a2 c2 ) b2
;
mb2
;
4
4
4. Diện tích tam giác
1
1
1
S = aha bhb chc
2
2
2
1
1
1
= bc sin A ca sin B ab sin C
2
2
2
abc
=
4R
= pr
ma2
=
mc2
2( a2 b2 ) c2
4
p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u 0 đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với .
Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của thì ku (k 0) cũng là một VTCP của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n 0 đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc với .
Nhận xét: – Nếu n là một VTPT của thì kn (k 0) cũng là một VTPT của .
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của thì u n .
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (u1; u2 ) .
Phương trình tham số của :
x x0 tu1
y y tu
0
2
(1)
( t là tham số).
x x0 tu1
Nhận xét: – M(x; y) t R:
.
y y0 tu2
– Gọi k là hệ số góc của thì:
+ k = tan , với =
xAv , 90 0 .
+k=
u2
,
u1
với u1 0 .
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (u1; u2 ) .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
3
x x0
y y0
(2) (u1 0, u2 0).
u1
u2
Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
5. Phương trình tham số của đường thẳng
Phương trình chính tắc của :
PT ax by c 0 với a 2 b2 0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu có phương trình ax by c 0 thì có:
VTPT là n (a; b) và VTCP u ( b; a ) hoặc u (b; a ) .
– Nếu đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n (a; b) thì phương trình của là:
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phương trình đường thẳng
c=0
ax by 0
a=0
by c 0
b=0
ax c 0
Tính chất đường thẳng
đi qua gốc toạ độ O
// Ox hoặc Ox
// Oy hoặc Oy
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b 0): Phương trình của :
x y
1.
a b
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k: Phương trình của : y y0 k ( x x0 )
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 .
Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
a1 x b1 y c1 0
a x b y c 0 (1)
2
2
2
1 cắt 2
hệ (1) có một nghiệm
1 // 2
hệ (1) vô nghiệm
1 2
hệ (1) có vô số nghiệm
a1
a2
a1
a2
a1
a2
b1
(nếu a2 , b2 , c2 0 )
b2
b1
b2
b1
b2
c1
c2
c1
c2
(nếu a2 , b2 , c2 0 )
(nếu a2 , b2 , c2 0 )
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 0 (có VTPT n1 ( a1; b1 ) )
và 2: a2 x b2 y c2 0 (có VTPT n2 ( a2 ; b2 ) ).
( n , n )
khi ( n1 , n2 ) 90 0
1
2
(1 , 2 ) 0
0
180 ( n1 , n2 ) khi ( n1 , n2 ) 90
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
4
n1.n2
cos(1 , 2 ) cos(n1 , n2 )
n1 . n2
Chú ý:
a1b1 a2 b2
a12 b12 . a22 b22
1 2 a1a2 b1b2 0 .
Cho 1: y k1 x m1 , 2: y k2 x m2 thì:
+ 1 // 2 k1 = k2
+ 1 2 k1. k2 = –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) .
d ( M0 , )
ax0 by0 c
a2 b 2
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) .
– M, N nằm cùng phía đối với (ax M byM c)( ax N byN c) 0 .
– M, N nằm khác phía đối với (ax M byM c)( ax N byN c) 0 .
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1: a1 x b1 y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a1 x b1 y c1
a x b2 y c2
2
a12 b12
a22 b22
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x a)2 ( y b)2 R 2 .
Nhận xét: Phương trình x 2 y 2 2ax 2by c 0 , với a 2 b 2 c 0 , là phương trình đường
tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c .
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
tiếp xúc với (C) d ( I , ) R
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0).
M ( E ) MF1 MF2 2a (a > c)
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự.
2. Phương trình chính tắc của elip
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
5
x2
2
y2
2
1
(a b 0, b2 a2 c 2 )
a
b
Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( c; 0), F2 (c; 0) .
Với M(x; y) (E), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
MF1 a
c
c
x, MF2 a x
a
a
3. Hình dạng của elip
(E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Toạ độ các đỉnh:
A1 ( a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b)
trục lớn: A1 A2 2 a , trục nhỏ: B1B2 2b
Độ dài các trục:
c
(0 < e < 1)
a
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a, y b (ngoại tiếp elip).
4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
a
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x 0
e
MF1
MF2
e
Với M (E) ta có:
(e < 1)
d ( M , 1 ) d ( M , 2 )
e
Tâm sai của (E):
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL
1. Định nghĩa
Cho F1, F2 cố định với F1F2 2c (c > 0).
M ( H ) MF1 MF2 2 a
(a < c)
F1, F2: các tiêu điểm, F1F2 2c : tiêu cự.
2. Phương trình chính tắc của hypebol
x2
2
y2
2
1
(a, b 0, b2 c2 a2 )
a
b
Toạ độ các tiêu điểm: F1 ( c; 0), F2 (c; 0) .
Với M(x; y) (H), MF1 , MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
MF1 a
c
c
x , MF2 a x
a
a
3. Hình dạng của hypebol
(H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Toạ độ các đỉnh:
A1 ( a; 0), A2 (a; 0)
Độ dài các trục:
Tâm sai của (H):
trục thực: 2a, trục ảo: 2b
c
(e > 1)
e
a
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
6
Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng x a, y b .
b
y x.
a
Phương trình các đường tiệm cận:
4. Đường chuẩn của hypebol
Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x
Với M (H) ta có:
MF1
d ( M , 1 )
MF2
d ( M , 2 )
e
a
0
e
(e < 1)
VII. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL
1. Định nghĩa
Cho điểm F và đường thẳng không đi qua F.
M ( P ) MF d ( M , )
F: tiêu điểm,
: đường chuẩn,
p d ( F , ) : tham số tiêu.
2. Phương trình chính tắc của parabol
y 2 2 px
Toạ độ tiêu điểm:
(p > 0)
p
F ;0 .
2
Phương trình đường chuẩn:
: x
p
0.
2
Với M(x; y) (P), bán kính qua tiêu điểm của M là MF x
p
.
2
3. Hình dạng của parabol
(P) nằm về phía bên phải của trục tung.
(P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
Toạ độ đỉnh:
O(0; 0)
Tâm sai:
e = 1.
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
7
PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN
A. Một số bài toán mở đầu
Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u :
a) M(–2; 3) , u (5; 1)
b) M(–1; 2), u (2;3)
c) M(3; –1), u (2; 5)
Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n :
a) M(–2; 3) , n (5; 1)
b) M(–1; 2), n (2;3)
c) M(3; –1), n (2; 5)
Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hsg k:
a) M(–3; 1), k = –2
b) M(–3; 4), k = 3
c) M(5; 2), k = 1
Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0)
b) A(5; 3), B(–2; –7)
c) A(3; 5), B(3; 8)
Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với
đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x 10 y 1 0
b) M(–1; 2), d Ox
c) M(4; 3), d Oy
x 1 y 4
x 1 2t
d) M(2; –3), d:
e) M(0; 3), d:
3
2
y 3 4t
Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với
đường thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4 x 10 y 1 0
b) M(–1; 2), d Ox
c) M(4; 3), d Oy
x 1 y 4
x 1 2t
d) M(2; –3), d:
e) M(0; 3), d:
3
2
y 3 4t
Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của
tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1)
b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1)
d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường
cao của tam giác, với: AB : 2 x 3 y 1 0, BC : x 3 y 7 0, CA : 5 x 2 y 1 0
Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
3 5
5 7
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1)
b) M ; , N ; , P(2; 4)
2 2
2 2
Baøi 10. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường
thẳng d với: a) M(2; 1), d : 2 x y 3 0 b) M(3; – 1), d : 2 x 5 y 30 0
Baøi 11. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , với:
a) d : 2 x y 1 0, : 3 x 4 y 2 0
b) d : x 2 y 4 0, : 2 x y 2 0
Baøi 12. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a) d : 2 x y 1 0, I (2;1)
b) d : x 2 y 4 0, I (3; 0)
Baøi 13. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
a) M (4; 5), d : 3 x 4 y 8 0
b) M (3;5), d : x y 1 0
x 2t
c) M (4; 5), d :
y 2 3t
d) M (3;5), d :
x 2 y 1
2
3
Baøi 14.
a) Cho đường thẳng : 2 x y 3 0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với .
b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2 x 3y 5 0, 3 x 2 y 7 0 và đỉnh
A(2; –3). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3 x 4 y 6 0
và d2 : 6 x 8 y 13 0 .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
8
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với:
a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3)
b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4)
Baøi 16. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng một khoảng k, với:
x 3t
a) : 2 x y 3 0, k 5
b) :
, k 3
y 2 4t
c) : y 3 0, k 5
d) : x 2 0, k 4
Baøi 17. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng và cách điểm A một khoảng
bằng k, với:
a) : 3 x 4 y 12 0, A(2;3), k 2
b) : x 4 y 2 0, A(2;3), k 3
c) : y 3 0, A(3; 5), k 5
d) : x 2 0, A(3;1), k 4
Baøi 18. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với:
a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3
b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5
c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5
d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.
Baøi 19. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) x 2 y 1 0, x 3 y 11 0
b) 2 x y 5 0, 3 x y 6 0
c) 3 x 7 y 26 0, 2 x 5y 13 0
d) 3 x 4 y 5 0, 4 x 3 y 11 0
Baøi 20. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với:
a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)
b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3)
c) AB : 2 x 3 y 21 0, BC : 2 x 3 y 9 0, CA : 3 x 2 y 6 0
d) AB : 4 x 3y 12 0, BC : 3 x 4 y 24 0, CA : 3 x 4 y 6 0
Baøi 21. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với:
a) d : 2 mx (m 3) y 4 m 1 0, : (m 1) x (m 2) y m 2 0, 450 .
b) d : (m 3) x (m 1) y m 3 0, : (m 2) x (m 1) y m 1 0, 90 0 .
Baøi 22. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng một góc , với:
a) A(6;2), : 3 x 2 y 6 0, 450
b) A(2; 0), : x 3 y 3 0, 450
c) A(2;5), : x 3y 6 0, 60 0
d) A(1;3), : x y 0, 300
Baøi 23. Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3 x y 5 0 .
a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông.
b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông.
Baøi 24. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán
kính của đường tròn đó:
a) x 2 y 2 2 x 2 y 2 0
b) x 2 y 2 6 x 4 y 12 0
c) x 2 y 2 2 x 8 y 1 0
d) x 2 y 2 6 x 5 0
e) 16 x 2 16 y 2 16 x 8 y 11
f) 7 x 2 7 y 2 4 x 6 y 1 0
g) 2 x 2 2 y2 4 x 12 y 11 0
h) 4 x 2 4 y 2 4 x 5y 10 0
Baøi 25. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn:
a) x 2 y 2 4mx 2 my 2m 3 0
b) x 2 y 2 2(m 1) x 2my 3m 2 2 0
c) x 2 y 2 2(m 3) x 4 my m2 5m 4 0
d) x 2 y 2 2 mx 2(m2 1) y m4 2 m 4 2m 2 4m 1 0
Baøi 26. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)
a) I(2; 4), A(–1; 3)
b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
9
Baøi 27. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2)
a) I (3;4), : 4 x 3 y 15 0
b) I (2;3), : 5 x 12 y 7 0
c) I (3;2), Ox
d) I (3; 5), Oy
Baøi 28. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3)
a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1)
c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Baøi 29. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với:
(dạng 4)
a) A(2;3), B(1;1), : x 3 y 11 0
b) A(0;4), B(2;6), : x 2 y 5 0
c) A(2;2), B(8;6), : 5 x 3 y 6 0
Baøi 30. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với:
(dạng 5)
a) A(1;2), B(3;4), : 3 x y 3 0
b) A(6;3), B(3;2), : x 2 y 2 0
c) A(1; 2), B(2;1), : 2 x y 2 0
d) A(2; 0), B(4;2), Oy
Baøi 31. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B, với:
(dạng 6)
a) A(2;6), : 3 x 4 y 15 0, B(1; 3)
b) A(2;1), : 3 x 2 y 6 0, B(4;3)
c) A(6; 2), Ox, B(6;0)
d) A(4; 3), : x 2 y 3 0, B(3;0)
Baøi 32. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với:
(dạng 7)
a) A(2;3), 1 : 3 x 4 y 1 0, 2 : 4 x 3 y 7 0
b) A(1;3), 1 : x 2 y 2 0, 2 : 2 x y 9 0
c) A O(0; 0), 1 : x y 4 0, 2 : x y 4 0
d) A(3; 6), 1 Ox , 2 Oy
Baøi 33. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường
thẳng d, với: (dạng 8)
a) 1 : 3 x 2 y 3 0, 2 : 2 x 3 y 15 0, d : x y 0
b) 1 : x y 4 0, 2 : 7 x y 4 0, d : 4 x 3 y 2 0
c) 1 : 4 x 3y 16 0, 2 : 3 x 4 y 3 0, d : 2 x y 3 0
d) 1 : 4 x y 2 0, 2 : x 4 y 17 0, d : x y 5 0
Baøi 34. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9)
a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1)
c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1)
d) A(–1; –7), B(–4; –3), C O(0; 0)
e) AB : x y 2 0, BC : 2 x 3 y 1 0, CA : 4 x y 17 0
f) AB : x 2 y 5 0, BC : 2 x y 7 0, CA : x y 1 0
Baøi 35. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10)
a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0)
b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
c) AB : 2 x 3 y 21 0, BC : 3 x 2 y 6 0, CA : 2 x 3y 9 0
d) AB : 7 x y 11 0, BC : x y 15, CA : 7 x 17 y 65 0
Baøi 36. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d.
i) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
a) (C ) : x 2 y2 6 x 2 y 5 0, d : 2 x y 3 0
b) (C ) : x 2 y2 4 x 6 y 0, d : 2 x 3y 1 0
Baøi 37. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
10
i) Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).
ii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
iii) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.
iv) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
a) (C ) : x 2 y2 4 x 6 y 12 0, A(7;7), d : 3 x 4 y 6 0
b) (C ) : x 2 y2 4 x 8 y 10 0, A(2;2), d : x 2 y 6 0
B. 7 bài toán cơ bản
1. BÀI TOÁN 1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M của các cặp đường thẳng cắt nhau sau:
a) x y 4 0 và 2x y 5 0
x 1 2t
x 2 3t
và
y 3t
y 1 t
x 1 t
c) x y 3 0 và
y 7 2t
x 5 y 4
d) 2 x 3 y 7 0 và
3
5
b)
2. BÀI TOÁN 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Ví dụ: Tìm điểm M ' đối xứng với điểm M 1;2 qua đường thẳng : x 3 y 5 0 .
3. BÀI TOÁN 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía của hai điểm với một đường thẳng.
Ví dụ: Cho đường thẳng : x 3 y 5 0 . Xét vị trí cùng phía, khác phía của các cặp điểm sau
với đường thẳng .
a) A 1; 2 và B 1; 3
b) C 2;3 và D 2; 1
4. BÀI TOÁN 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt
nhau.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng 1 : 3x 4 y 1 0 và 2 : 5 x 12 y 2 0 . Viết phương trình
đường phân giác của góc tạo bởi hai đường 1 và 2 .
5. BÀI TOÁN 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong tam
giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A 3;0 , B 1;1 , C 1;8 . Viết phương trình đường phân giác
trong, phân giác ngoài của góc A .
6. BÀI TOÁN 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A 1;5 , B 4;5 , C 4; 1 . Xác định tọa độ chân đường phân giác
trong và phân giác ngoài của góc A .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
11
7. BÀI TOÁN 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp
tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với A 2;6 , B 3; 4 , C 5;0 . Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường
tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
12
PHẦN 3: 10 BÀI TOÁN HÌNH HỌC OXY
Bài toán 1. Tìm M thuộc đường thẳng d đã biết phương trình và cách điểm I một khoảng
cho trước (IM=R không đổi)
C. VÍ DỤ GỐC:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I 5;2 và đường thẳng : 2 x y 3 0 . Tìm tọa độ
điểm M thuộc đường thẳng sao cho MI 5 .
1. CÁCH RA ĐỀ 1:
Ví
dụ
1
(D
–
2006):
Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
Oxy ,
cho
C : x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 và đường thẳng d : x y 3 0 . Tìm tọa độ điểm M
đường
tròn
nằm trên d
sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn C , tiếp xúc ngoài với
đường tròn C .
Ví dụ 2 (A – 2011): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x y 2 0 và đường
tròn C : x 2 y 2 4 x 2 y 0 . Gọi I là tâm của C , M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp
tuyến MA và MB đến C ( A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có
diện tích bằng 10 .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
13
1
Ví dụ 3 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phương trình đường thẳng
2
AB là x 2 y 2 0 và AB 2 AD . Tìm tọa độ các điểm A, B, C , D biết rằng A có hoành độ
âm.
Ví dụ 4 (B – 2009 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A 1;4 và các đỉnh B , C thuộc đường thẳng : x y 4 0 . Xác định tọa độ các đỉnh B và
C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng
có phương trình x y 3 0 , điểm M 1;2 thuộc đường thẳng AB , điểm N 2; 2 thuộc
đường thẳng AD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ
dương.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D , có
AB AD CD , điểm B 1;2 , đường thẳng BD có phương trình y 2 . Biết đường thẳng
: 7 x y 25 0 cắt các đoạn thẳng AD, CD lần lượt tại hai điểm M , N sao cho BM vuông
. Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành
góc với BC và tia BN là tia phân giác trong của MBC
độ dương.
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
14
Ví dụ 7. (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M
11 1
là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2 ND . Giả sử M ;
2 2
và AN có phương trình 2 x y 3 0 . Tìm tọa độ điểm A .
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,
cho hai đường thẳng 1 : 3 x y 5 0 ,
2 : x 2 y 3 0 và đường tròn C : x 2 y 2 6 x 10 y 9 0 . Gọi M là một điểm thuộc
đường tròn C và N là điểm thuộc đường thẳng 1 sao cho M và N đối xứng với nhau
qua 2 . Tìm tọa độ điểm N .
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A 1; 3 có góc
ABC 300 , đường thẳng : x y 2 0 là tiếp tuyến tại B của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC . Tìm tọa độ các điểm B và C , biết B có hoành độ là một số hữu tỉ.
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
15
Ví dụ 10. Cho hình thoi ABCD , ngoại tiếp đường tròn C : x2 y 2 2 x 2 y 18 0 . Biết
AC 2BD , điểm B có hoành độ dương và thuộc đường thẳng : 2 x y 5 0 . Viết phương
trình cạnh AB .
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có E , F lần lượt thuộc các
đoạn AB, AD sao cho EB 2EA, FA 3FD, F 2;1 và tam giác CEF vuông tại F . Biết rằng
đường thẳng x 3 y 9 0 đi qua hai điểm C , E . Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ
dương.
Ví dụ 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đáy lớn
450 . Đường thẳng AD và BD lần lượt có phương trình 3 x y 0 và
CD và BCD
x 2 y 0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 15 và điểm B
có tung độ dương.
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông
góc với nhau và AD 3BC . Đường thẳng BD có phương trình x 2 y 6 0 và tam giác
ABD có trực tâm là H 3;2 . Tìm tọa độ các đỉnh C và D .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
16
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , điểm B 1;1 . Trên
tia BC lấy điểm M sao cho BM .BC 75 . Phương trình đường thẳng AC : 4 x 3 y 32 0 .
Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAC bằng
2
5 5
.
2
2
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn T : x 1 y 2 5 và đường
thẳng : x y 2 0 . Từ điểm A thuộc kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với T tại B
và C . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC bằng 8.
2. CÁCH RA ĐỀ 2:
Ví dụ 1 (B – 2005): Cho hai điểm A 2;0 và B 6;4 . Viết phương trình đường tròn C tiếp
xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của C đến điểm B bằng 5.
Ví dụ 2 (B – 2009 – CB): Cho đường tròn
C : x 2
2
y2
4
và hai đường thẳng
5
1 : x y 0 và 2 : x 7 y 0 . Xác định tọa độ tâm K và bán kính của đường tròn C1 ; biết
đường tròn C1 tiếp xúc với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc đường tròn C .
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
17
Ví dụ 3 (B – 2012 – CB): Cho đường tròn C1 : x 2 y 2 4, C2 : x 2 y 2 12 x 18 0 và
đường thẳng d : x y 4 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc C2 , tiếp xúc với d
và cắt C1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d .
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn T
có tâm I 0;5 . Đường thẳng AI cắt đường tròn T tại điểm M 5;0 với M khác A. Đường
17 6
cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn T tại N ; với N khác C. Tìm tọa độ các đỉnh của
5 5
tam giác ABC , biết B có hoành độ dương.
Ví dụ 5: Cho đường tròn C : x 2 y 2 8 . Viết phương trình chính tắc của elip E có độ dài
trục lớn bằng 8 và E cắt C tại bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh của hình vuông
Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email:
[email protected]
18
.PDF 
145 
950 
65 
