Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ** BÀI 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ. I.GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH. 1.CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC. Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mp (ABCD), (SAB) một góc lần lượt là 45°, 30°. Biết độ dài AB=a, tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a√2. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc giữa SE và AF. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, ASC = 90°, góc tạo bởi SA và đáy bằng α. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài chạnh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính cosin góc tạo bở AA’ và B’C’. Bài 5. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A tới mp (SBC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích hình chóp là nhỏ nhất. 2.CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH. Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a. 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính khoảng cách từ A tới mp (SCD). 3) Tính góc giữa SB và mp (SCD). Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, BAD  60o , SO  3 a và SO  (ABCD). 4 1) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC). Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 1 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian 2) Tính khoảng cách giữa AD và SB. Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có ABC  BAD  90o , AB = BC = a, và AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = a√2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. 1) Chứng minh tam giác SCD vuông. 2) Tính khoảng cách từ điểm H tới mp (SCD). Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. Bài 10. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Tính khoảng cách giữa B’M và CN. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC, SBC là các tam giác đều cạnh a và góc tạo bới hai mp (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính khoảng cách từ B tới mp (SAC). Bài 12. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA = AB = 2a, BC = a√3 và SA  (ABC). Gọi M trên đường thẳng AB sao cho AM  2MB . Tính khoảng cách từ B tới (SCM). Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và SA vuông góc với (ABC). Biết SA = a√3, gói giữa mặt bên (SBC) và (ABC) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ I tới mp (SBC) theo a. Bài 14. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của A’ trên mp (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng AC’ và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a thể tích của khốn lăng trụ và khoảng cách từ B tới mặt (ACC’A’). 3 2 Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD  a , hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới (SBD). Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 450 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 2 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAD là tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a. Bài 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. 1) Chứng minh MN  BD. 2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC  30 o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C tới (SAB). Bài 20. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a√2. Gọi MN là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa AM và B’C. Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH = a√3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa DM với SC theo a. Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hính chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa SA với BC theo a. Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mp (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và tính khoảng cách giữa AB vớ SN theo a. II. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP. 1. TÍNH THỂ TÍCH TRỰC TIẾP. Bài 24. Cho hình chóp S.ABC có mắt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết BAC  120o , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 3 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  90o , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. 1) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. Bài 26. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’có AB = a và đường thẳng A’B tạo với mặt đáy một góc 60o . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’và độ dài đoạn thẳng MN. Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, góc SBC = 60o , (SAC( vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC. Bài 28. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 2a, AB = a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. 1) Chứng minh SC vuông góc với mp (ABH). 2) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a. Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD  120o , M là trung điểm của BC, SMA  45o . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D tới (SBC). Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách tứ điểm A tới mp (SCD). Bài 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH  AC . Gọi 4 CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, hai mặt bên (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Cho SA = a√3, trên SA lấy I sao cho SI  2a 3 . Gọi K là giao điểm của SD với (BCI). Tính thể tích khối chóp S.BCKI. 3 Bài 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B trong đó BC là đáy nhỏ. Biết rằng SAB là tam giác đều có cạnh bằng 2a. và nằm trong mặt Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 4 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian phẳng vuông góc với đáy, SC = a√5 và khoảng ca1h từ D tới (SHC) bằng 2a√2 ( H là trung điểm của AB). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Bài 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi; hai đường chéo AC = 2a√3 và BD = 2a cắt nhau tại O; hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). Biết khoảng cách từ O tới (SAB)  a 3 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 4 Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AD = a√2 và CD = 2a. SA vuông góc với (ABCD) và SA = 3√2a. gọi K là trung điểm của AB. 1) Chứng minh (SAC) vuông góc với (SDK). 2) Tính thể tích hình chóp S.CDK theo a. Bài 36. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC cân tại A, SB lần lượt tạo với mp đáy, mặt trung trực của đoạn BC các góc bằng 30 o , 45o . Biết khoảng cách từ S tới BC bằng a. tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  60o , (SAC) vuông góc với đáy. Biết ASC  90o và khoảng cách từ A tới (SBD) bằng a. tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài 38. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, ABC = 60o , đường thẳng ∆ vuông góc với (ABC) tại A và S là một điểm thay đổi trên ∆. Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. 1) Chứng minh rằng trực tâm của tam giác SBC luôn nằm trên một đường tròn cố định. 2) Cho SA = x , tính thể tích của khối tứ diện H.ABC theo a và x. Bài 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AC = a, AB = 2a và SA vuông góc với đáy. Góc giữa mp (SAB) và (SBC) bằng 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Chứng minh AK  HK và tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính thể tích của khối chóp S.AICJ theo a. Bài 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và nằm trong mp vuông góc với (ABCD). Gọi H, M lần lượt là Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 5 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian trung điểm của AB, AD. Tính thể tích của khối tứ diện SHCM, biết rằng góc giữa hai mp (SCM) và (ABCD) bằng 60o . Bài 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, có AB = AD = 2a; CD = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A với AB = AC = 5a, BC = 6a. biết các mặt bên tạo với mp đáy một góc bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 44. Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả ác cạnh còn lại có độ dài bằng a. chứng minh rằng đường thẳng BD vuông góc với mp (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD = a3 2 . 6 Bài 45. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A tới (SBC) bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất. 2. DÙNG CÔNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH. Bài 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  60o , SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC, mp (P) đi qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. Bài 47. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Biết SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Bài 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc (ABCD), SC tạo với mắt đáy góc 45o .Gọi H là trọng tâm tam giác SAB, mp (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp S.PQCD theo a. Bài 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, 2AD = 2a, SA vuông góc (ABCD), SC tạo với mặt đáy góc 60o . Trên cạnh SA lấy M sao cho AM  a 3 . Mặt phẳng (BCM) cắt DS tại N. tính thể tích khối chóp SBCMN. 3 Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 6 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian Bài 50. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 o . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mp (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. tính tỉ số thể tích của hai phần đó. III.CÁC BÀI TOÁN VỀ LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP. Bài 51. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a√2. Gọi M là trung điểm của BC. 1) Tính khoảng cách giữa AM và B’C’. 2) Tính khoảng cách từ M tới mp (AB’C). Bài 52. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có độ dài bằng a. biết khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a , hãy tính thể tích của 2 khối lăng trụ. Bài 53. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là chóp tam giác đều cạnh đáy AB bằng a. Biết độ dài đoạn vuông góc chung của AA’ và BC là a 3 , hãy tính thể tích 4 của khối chóp A’.BB’C’C. Bài 54. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh a. Biết khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (A’BC) bằng a , hãy tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a. 6 Bài 55. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều có độ dài bằng a. hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính theo a thể tích của khối trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là a 3 . 4 Bài 56. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là chóp tam giác đều. mặt phẳng (A’BC) vuông góc với (C’B’BC) và AB = a. tính theo a thể tích khối chóp A’.BCC’B’. Bài 57.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a và A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, I là trung điểm của AM. Tính thể tích của chóp IABC theo a và khoảng cách từ A tới (IBC). Bài 58. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp (ABCD) trùng với giao điểm của Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 7 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian AC và BD. Góc giữa hai mp (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B; đến mp (A’BD). BÀI 2. HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ - MẶT CẦU Bài 59. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ điểm A tới mp (SBC) bằng a 15 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp 5 hình chóp S.ABC. Bài 60. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = SB = SC = AB = a√2. Góc giữa SA và mp (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. Bài 61. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD  60o và SA = SB = SD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD  90o . Bài 62. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  60o và SD = a, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mp vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a thể tích của chóp S.ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD. Bài 63. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a, một mặt cầu tâm O đi qua A và tiếp xúc với các cạnh bên SB, SD tại trung điểm mỗi đường. 1) Xác định tâm O và bán kính mặt cầu. 2) Tính thể tích hình chóp SBOD theo a. Bài 64. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và cạnh đáy bằng 2√6. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó. Bài 65. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a. trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mp (Q) lấy điểm D sao cho AC và BD cùng vuông góc với ∆ và Ac= BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo a. Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 8 Luyện Thi THPT Quốc Gia 2016 Hình Học Không Gian Bài 66. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, AB = 2a, AD = 2a√3, các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a. Gọi M là trung điểm của OC. Tính thể tích của khối chóp SABMD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD. Bài 67. Cho tứ diện ABCD có mặt bên (BCD) vuông góc với (ABC), AB = AC = DB = a. tính các cạnh còn lại của tứ diện ABCD biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là a. Bài 68. Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = a, ADB  120o , BDC  90o , CDA  60o . 1) Chứng minh: (ABC) vuông góc với (ABD). Kéo dài CD lấy E sao cho DE = a√2, tính thể tích khối tứ diện ABDE theo a. 2) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 69. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mp (A’BC) và (ABC) bằng 60o . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. Bài 70. Cho hình trụ có cá đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. tính thể tích tứ diện OO’AB theo A Bài 71. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ A đến mp (BCD’) theo a. Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 9