Tài liệu Chuyên đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

CHUYÊN ĐỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM a1 x  b1 y  c1 1. Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:  a2 x  b2 y  c2 1 I   2  Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung  x0 ; y0  thì  x0 ; y0  được gọi là một nghiệm của hệ  I  .  Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó. 2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  a  c  Phương trình a1 x  b1 y  c1 1 có thể được viết lại như sau: y    1  x  1 có đồ thị là b1  b1   a  đường thẳng  d1  với hệ số góc là   1  .  b1   a  c  Phương trình a2 x  b2 y  c2  2  có thể được viết lại như sau: y    2  x  2 có đồ thị là b2  b2   a  đường thẳng  d 2  với hệ số góc là   2  .  b2  Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình  I  được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng  d1  : a1 x  b1 y  c1 và  d 2  : a2 x  b2 y  c2  Nếu  d1  cắt  d 2  thì hệ  I  có một nghiệm duy nhất.  Nếu  d1  //  d 2  thì hệ  I  vô nghiệm.  Nếu  d1    d 2  thì hệ  I  có vô số nghiệm. * Tính nhanh số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: a b c  Hệ vô nghiệm  1  1  1 a2 b2 c2  Hệ có một nghiệm duy nhất   Hệ có vô số nghiệm  a1 b1  a2 b2 a1 b1 c1   a2 b2 c2 3. Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      SƠ ĐỒ Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng với Phương trình (1) có đồ thị là đường thẳng với HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Số nghiệm của hệ là số giao điểm của hai đường thẳng và Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) Nếu là nghiệm Nhìn nhanh số nghiệm của hệ: * Vô nghiệm của hệ * Một nghiệm duy nhất * Vô số nghiệm 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình Bài 1. Nối mỗi hệ phương trình với một cặp số tương ứng mà nó nhận làm nghiệm 1)  3;1 7 1  2 x  2 y  2   2x  y  19  2 a) 2)  x  y  3  -2x- 2 y  6 b)  1  5;   2 3) 2x  y  3  3x  2 y  4,5 c)  4)  x 2  y 3  5   x 3  y 2  0 d) 1,5;0  2; 3  Bài 2. Cặp số  3;1 có là nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3x  y  8 a)  7x  2 y  19 x  2 y  5 b)   x  2 y 1  2 1 x  3 y  3 2  d)  x  2  1 y  4  3x  2 y  6 e)  2x  y  7     3 y  x  0 c)  x  5 y   2 Bài 3. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao. ìï y = 3 - 2 x ; a) ïí ïïî y = 3x - 1 ìï ïï y = 1 x + 3 2 ; b) ïí ïï 1 ïï y = - x + 1 2 ïî ìï2 y = -3x c) ïí ; ïïî3 y = 2 x ìï3 x - y = 3 ï d) ïí . ïïx - 1 y = 1 ïî 3 Bài 4. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao. ìïx + y = 2 ; a) ïí ïïî3x + 3 y = 2 ìï3x - 2 y = 1 ; b) ïí ïïî-6 x + 4 y = 0 ìï4 x - 4 y = 2 ; c) ïí ïïî-2 x + 2 y = -1 ìï 1 ïï x - y = 2 d) í 3 3. ïï ïîx - 3 y = 2 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Bài 5. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không? a) (-4 ; 5) , ìï7 x - 5 y = -53 ïí ; ïïî-2 x + 9 y = 53 c) (1, 5 ; 2), (3 ; 7 ) , ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1 ïí ; ïïî3, 2 x - y = 20,6 b) (3 ; - 11) , ìï10 x - 3 y = 9 ïí ; ïïî-5x + 1, 5 y = -4, 5 d) (1 ; 8) , ìï5x + 2 y = 9 ïí . ïïîx - 14 y = 5 Bài 6. Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao (không vẽ đồ thị). ìï4 x - 9 y = 3 a) ïí ; ïïî-5x - 3 y = 1 ìï2, 3x + 0,8 y = 5 b) ïí ; ïïî2 y = 6 ìï3 x = -5 c) ïí ; ïïîx + 5 y = -4 ìï3x - y = 1 d) ïí . ïïî6 x - 2 y = 5 Bài 7. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: ìï2 x + y = 3 a) ï ; í ïïî3x - y = 1 ìï3x + 2 y = 0 b) ï ; í ïïî2 x - 3 y = 0 ìï3x + 0 y = 6 c) ï ; í ïïî2 x + y = 1 ìïx - y = 4 d) ï ; í ïïî0 x - y = 2 ìïx + 2 y = 3 e) ï ; í ïïî2 x + 4 y = 1 ìïx + y = 1 ï f) ïí x y 1 . ïï + = ïî 2 2 2 ìï3x - y = 1 Bài 8. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï í ïïîax + 2 y = 3 a) Có nghiệm duy nhất với a = - 2 ; b) Vô nghiệm với a = - 6 ìï3x - 2 y = a Bài 9. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï í ïïî15x + 10 y = 5 a) Có vô số nghiệm với a = 1 ; b) Vô nghiệm với a = 1 . Bài 10. Cho các hệ phương trình sau: ìïx = 2 ìïx + 3 y = 2 ïí ïí ïïî2 x - y = 3 ïî2 y = 4 a) ; b) ï . Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình. Bài 11. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối lien hệ giữa các hằng số ìïax + by = c a , b , c và các hằng số a ʹ; bʹ; cʹ để hệ phương trình ï í ïïîa ʹ x + b ʹ y = c ʹ a) Có nghiệm duy nhất; 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      b) Vô nghiệm; c) Có vô số nghiệm. Áp dụng: a) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất. b) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm. c) Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học Bài 12. Cho hai phương trình: 3x  y 1 và 5x  2 y  3 a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên. b) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình. Bài 13. Bằng cách vẽ đồ thị, hãy giải các hệ phương trình: x  y  1 a)  x  3 y  9 x  2 y  4 b)   2x  4 y  10 1,5y  x  0,5 c)   2x  3 y   1 2x  y  2 Bài 14. Cho hệ phương trình  x  2 y  6 a) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị b) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 3x  2 y  8 hay không? c) Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 4,5x  7,5 y  25 hay không? Bài 15. Cho hai đường thẳng:  d1  : 2x  3 y  8 và  d 2  : 7x  5 y   5 a) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình. b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y  ax đi qua giao điểm của  d1  và  d 2  Dạng 2: Hai hệ phương trình tương đương Bài 16. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai? a) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm là hai hệ phương trình tương đương với nhau. b) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vô số nghiệm là hai hệ phương trình tương đương. c) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có một nghiệm là hai hệ phương trình tương đương. Bài 17. Trong các trường hợp sau, hai hệ phương trình nào tương đương với nhau? Không tương đương với nhau? x  2 y  2 x  2 y  3 a)  và  3x  6 y  7 -4x  8 y  4 2x  3 y  1 3x  y  8 c)  và  -x 1,5 y   0,5 y 2 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com       x  y  4 x  4 b)  và  3x  3 y   12 3x  4 y  2 Bài 18. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương. ïìïx - y = 1 ïìax - 2 y = 2 vaø ïí í ïîï2 x + y = 2 ïîïx + ay = 1 Bài 19. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương. ìï2 x - 3 y = 5 ìï2 x - 3 y = 5 ïí vaø ïí ïîï4 x + y = 3 ïïî12 x + 3 y = a Bài 20. Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương. ïìïx - y = 2 ïì2ax - 2 y = 1 vaø ïí í ïîï3x + y = 1 ïîïx + ay = 2 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      HƯỚNG DẪN Dạng 1: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình Bài 1. Nối mỗi hệ phương trình với một cặp số tương ứng mà nó nhận làm nghiệm: 1 – b; 2 – a;3 – d ; 4 – c; Bài 2. Cặp số  3;1 có là nghiệm của hệ phương trình:    2 1 x  3 y  3 2 3x  y  8  a)  và d)  7x  2 y  19 x  2  1 y  4  2    Bài 3. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao. a) Xét (d) : y = 3 - 2 x có a = -2; b = 3 ; (d’) : y = 3 x – 1 có a ’ = 3; b’ = -1 ; Có a ¹ a ’  (d) caét (d ʹ) ; ìï y = 3 - 2 x ; có nghiệm duy nhất.  Hệ ï í ïïî y = 3x - 1 1 1 b) Xét (d) : y = - x + 3 coù a = - ; b = 3 ; 2 2 (d ’) : 1 1 y = - x + 1 có a ’ = ; b ’ = 1 ; 2 2 Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ; ìï ïï y = 1 x + 3 ï 2  Hệ í vô nghiệm. ïï 1 ïï y = - x + 1 2 ïî ìï 3 ï ìï2 y = -3 x ï y = - 2 x  ïí c) Ta có ïí ïîï3 y = 2 x ïï 2 ïï y = x 3 ïî 3 3 Xét (d) : y = - x coù a = - ; b = 0; 2 2 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      (d ’) : y= 2 2 x có a ’ = ; b’ = 0 ; 3 3 Có a ¹ a’  (d) caét (d ʹ) ; ìï2 y = -3x có nghiệm duy nhất.  Hệ ï í ïïî3 y = 2 x ìï3 x - y = 3 ï ïì y = 3 x - 3 d) Ta có ïí  ïí 1 ïïx - y = 1 îïï y = 3 x - 3 ïî 3 Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau ìï3 x - y = 3 ï có vô số nghiệm.  Hệ ïí ïïx - 1 y = 1 ïî 3 Bài 4. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao. ìï y = -x + 2 ï ïìïx + y = 2 ïìï y = -x + 2 a) Ta có: í ; í  íï ïîï3 x + 3 y = 2 ïîï3 y = -3 x + 2 ïï y = -x + 2 ïî 3 Xét (d) : y = -x + 2 coù a = -1; b = 2 ; (d ’) : y = -x + 2 2 có a ’ = -1; b’ = ; 3 3 Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ; ìïx + y = 2 vô nghiệm.  Hệ ï í ïïî3x + 3 y = 2 ìï 3 1 ï ïìï3 x - 2 y = 1 ïìï2 y = 3 x - 1 ïï y = 2 x - 2 b) Ta có: í í í ; ïïî-6 x + 4 y = 0 ïïî4 y = 6 x ïï 3 ïï y = x 2 ïî Xét (d) : y = (d ’) : y= 3 1 3 1 x - coù a = ; b = - ; 2 2 2 2 3 3 x coù a = ; b = 0 ; 2 2 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Có a = a ’; b ¹ b’  (d) // (d ’) ; ìï3x - 2 y = 1 vô nghiệm.  Hệ ï í ïïî-6 x + 4 y = 0 ìï 1 ï ïìï4 x - 4 y = 2 ïìï4 y = 4 x - 2 ïï y = x - 2 í í ; c) Ta có: í ïîï-2 x + 2 y = -1 ïîï2 y = 2 x - 1 ïï 1 ïï y = x 2 ïî Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau; ìï4 x - 4 y = 2  Hệ ï có vô số nghiệm. í ïïî-2 x + 2 y = -1 ìï 1 2 ìï 1 ì ï ïï x - y = 2 ïïï y = 1 x - 2 ïïï y = 3 x - 3 d) Ta có: í 3 ; 3 í 3 3 í ïï ïï ïï 1 2 ïï y = x îïx - 3 y = 2 îï3 y = x - 2 3 3 ïî Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau; ìï 1 ï x- y = 2  Hệ ïí 3 3 có vô số nghiệm. ïï ïîx - 3 y = 2 Bài 5. Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình tương ứng hay không. ìï7 x - 5 y = -53 a) Thay x = -4 ; y = 5 vào từng phương trình của hệ ï ta được: í ïïî-2 x + 9 y = 53 ìï7.(-4) - 5.5 = -53 ìï-28 - 25 = 53 ï  ïí í ïï-2.(-4) + 9.5 = 53 ïïî8 + 45 = 53 îï ìï7 x - 5 y = -53 Vậy cặp (-4 ; 5) là nghiệm của hệ phương trình ï . í ïïî-2 x + 9 y = 53 ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1 b) Thay x = 3 ; y = -11 vào từng phương trình của hệ ï ta được: í ïïî3, 2 x - y = 20,6 ìï0,6 – 18,7 = -18,1 ïìï0, 2.3 + 1,7 (-11) = -18,1  ïí í ï îïï9,6 + 11 = 20,6 îï3, 2.3 + 11 = 20,6 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ìï0, 2 x + 1,7 y = -18,1 . Vậy cặp (3 ; - 11) là nghiệm của hệ phương trình ï í ïïî3, 2 x - y = 20,6 ìï10 x - 3 y = 9 c) Thay x = 1, 5 ; y = 2 vào từng phương trình của hệ ï ta được: í ïïî-5x + 1, 5 y = -4, 5 ïìï10.1, 5 – 3.2 = 9 ïì15 – 6 = 9  ïí . í ïîï-5.1, 5 + 1, 5.2 = -4, 5 ïîï-7, 5 + 3 = -4, 5 ìï10 x - 3 y = 9 Vậy cặp (1,5 ; 2) là nghiệm của hệ phương trình ï . í ïïî-5x + 1, 5 y = -4, 5 ìï10 x - 3 y = 9 ta được: Thay x = 3 ; y = 7 vào từng phương trình của hệ ï í ïïî-5x + 1, 5 y = -4, 5 ìï30 - 21 = 9 ïïì10.3 – 3.7 = 9  ïí í ï ï îï-5.3 + 1, 5.7 = -4, 5 ïî-15 + 10, 5 = - 4, 5 ìï10 x - 3 y = 9 . Vậy cặp (3 ; 7 ) là nghiệm của hệ phương trình ï í ïïî-5x + 1, 5 y = -4, 5 ìï5x + 2 y = 9 , ta được: d) Thay x = 1 ; y = 8 vào từng phương trình của hệ ï í ïïîx - 14 y = 5 ïìï5.1 + 2.8 = 21 ìïï5 + 16 = 21 í í ïïî1 - 14.8 = 5 ïï1 - 14.8 = 5 (voâ lyù) î ìï5x + 2 y = 9 . Vậy cặp (1 ; 8) không phải là nghiệm của hệ phương trình ï í ïïîx - 14 y = 5 Bài 6. ìï ïï y = 4 x - 1 ìï4 x - 9 y = 3 ìï9 y = 4 x - 3 ï 9 3 a) Ta có: ïí  ïí í ïîï-5 x - 3 y = 1 ïîï3 y = -5 x - 1 ïï 5 1 ïï y = - x 3 3 ïî 4 5 ¹3 nên hai đường thẳng cắt nhau. Vì 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. ìï 23 25 ïìï2, 3x + 0,8 y = 5 ïìï0,8 y = -2, 3x + 5 ïïy = - x + í í b) Ta có: í 8 4 ; ïîï2 y = 6 ïïïy = 3 îïï y = 3 î 23 25 y =- x+ 8 4 cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = 3 song song với trục hoành nên 2 Đường thẳng đường thẳng trên cắt nhau. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ìï ïïx = - 5 5 ïìï ìï3 x = -5 x = ï 3  ïí  ïí ; c) Ta có: ïí 3 ïîïx + 5 y = -4 ïï ïï 1 4 ïî5 y = -x - 4 ïï y = - x 5 5 ïî 5 1 4 x=y = - x3 song song với trục tung mà đường thẳng 5 5 cắt hai trục tọa độ nên 2 Đường thẳng đường thẳng đó cắt nhau; Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. ìï y = 3 x - 1 ìï3 x - y = 1 ìï y = 3 x - 1 ï ï ï d) Ta có: í í  ïí ïîï6 x - 2 y = 5 ïîï2 y = 6 x - 5 ïï y = 3 x - 5 2 îï Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng 3, có tung độ gốc khác nhau: song song với nhau. Nên hệ vô nghiệm; Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 7. Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao: -1 ¹ - 5 2 nên chúng ïì2 x + y = 3 ìïïy = -2 x + 3 í a) Ta có: ï ; í ïïî3x - y = 1 ïïîy = 3x - 1 Vì - 2 ¹ 3 nên hai đường thẳng cắt nhau. ìï2 x + y = 3 có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình ï í ïïî3x - y = 1 ìï 3 ï ïìï3 x + 2 y = 0 ïìï2 y = -3 x ïï y = - 2 x í í ; b) Ta có: í ïîï2 x - 3 y = 0 ïîï3 y = 2 x ïï 2 y = x ïï 3 ïî 3 2 - ¹ Vì 2 3 nên hai đường thẳng cắt nhau. ìï3x + 2 y = 0 có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình ï í ïïî2 x - 3 y = 0 ìï3x + 0 y = 6 ìï3x = 6 ìïx = 2  ïí  ïí c) Ta có: ï ; í ïîï2 x + y = 1 ïîï y = -2 x + 1 ïîï y = -2 x + 1 y = -2 x + 1 Đường thẳng x = 2 song song với trục tung mà đường thẳng cắt hai trục tọa độ nên 2 đường thẳng đó cắt nhau; ìï3x + 0 y = 6 Vậy hệ phương trình ï có nghiệm duy nhất. í ïïî2 x + y = 1 ïìx - y = 4 ïìy = x - 4  ïí d) Ta có: ï ; í ïîï0 x - y = 2 ïîïy = -2 y = x-4 Đường thẳng cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = -2 song song với trục hoành nên 2 đường thẳng trên cắt nhau. 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ìïx - y = 4 có nghiệm duy nhất. Vậy hệ phương trình ï í ïïî0 x - y = 2 ìï ïï y = - 1 x + 3 ìï2 y = -x + 3 ïìïx + 2 y = 3 2 2;  ïí  ïí e) Ta có: í ïïî2 x + 4 y = 1 ïïî4 y = -2 x + 1 ïï 1 1 ïï y = - x + 2 4 ïî 1 3 ¹ 1 Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau vì cùng bằng - , có tung độ gốc khác nhau: 4 2 nên chúng 2 song song với nhau. Nên hệ vô nghiệm; ìïx + 2 y = 3 Vậy hệ phương trình ï vô nghiệm. í ïïî2 x + 4 y = 1 ìïx + y = 1 ìï y = -x + 1 ìï y = -x + 1 ï f) Ta có: íï x y 1  ïí ;  ïí ïï + = ïîïx + y = 1 ïîï y = -x + 1 ïî 2 2 2 Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau; ìïx + y = 1 ï Vậy hệ ïí x y 1 có vô số nghiệm. ïï + = ïî 2 2 2 Bài 8. ìï3x - y = 1 ìï3x - y = 1 a) Thay a = - 2 vào hệ phương trình ï , ta được: ï í í ïïîax + 2 y = 3 ïïî-2 x + 2 y = 3 Do 3x - y = 1  y = 3x - 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng (d1 ) : y = 3x - 1 ; Do -2 x + 2 y = 3  2 y = 2 x + 3  y = x + 3 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn 2 3 bởi đường thẳng (d2 ) : y = x + ; 2 Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có hệ số góc khác nhau ( 1 ¹ 3 ) nên chúng cắt nhau. Do đó hệ ìï3x - y = 1 ïí có nghiệm duy nhất; ïïî-2 x + 2 y = 3 ìï3x - y = 1 Vậy với a = - 2 thì hệ phương trình ï có nghiệm duy nhất. í ïïîax + 2 y = 3 ìï3x - y = 1 ïì3x - y = 1 b) Thay a = - 6 vào hệ phương trình ï , ta được: ï í í ïïîax + 2 y = 3 ïïî-6 x + 2 y = 3 Do 3x - y = 1  y = 3x - 1 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng (d1 ) : y = 3x - 1 ; 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Do -6 x + 2 y = 3  2 y = 6 x + 3  y = 3 x + 3 nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu 2 3 diễn bởi đường thẳng (d3 ) : y = 3 x + ; 2 Hai đường thẳng (d1 ) và (d3 ) có tung độ góc khác nhau ( -1 ¹ ìï3x - y = 1 vô nghiệm; song với nhau. Do đó, hệ ï í ïïî-6 x + 2 y = 3 ìï3x - y = 1 Vậy với a = - 6 thì hệ phương trình ï vô nghiệm. í ïïîax + 2 y = 3 3 ) và có cùng hệ số góc là 3 nên song 2 ìï3x - 2 y = a Bài 9. Chứng tỏ rằng hệ phương trình: ï ; í ïïî15x + 10 y = 5 a) Có vô số nghiệm với a = 1 ; b) Vô nghiệm với a = 1 ìï3x - 2 y = a ìï3x - 2 y = 1 a) Thay a = 1 vào hệ phương trình ï , ta được: ï ; í í ïïî15x + 10 y = 5 ïïî15x + 10 y = 5 3 1 Do 3 x - 2 y = 1  2 y = 3 x - 1  y = x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn 2 2 3 1 bởi đường thẳng (d1 ) : y = x - ; 2 2 3 1 Do 15 x - 10 y = 5  10 y = 15 x - 5  y = x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu 2 2 3 1 diễn bởi đường thẳng (d2 ) : y = x - ; 2 2 - 1 -1 3 Hai đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có tung độ góc bằng nhau ( ) và có cùng hệ số góc là nên hai ¹ 2 2 2 ìï3x - 2 y = 1 có vô số nghiệm; đường thẳng (d1 ) và (d2 ) trùng nhau. Do đó, hệ ï í ïïî15x + 10 y = 5 ìï3x - 2 y = 1 Vậy với a = 1 thì hệ phương trình ï có vô số nghiệm. í ïïî15x + 10 y = 5 ìï3x - 2 y = a b) Xét hệ phương trình ï ; í ïïî15x + 10 y = 5 Do 3 x - 2 y = a  2 y = 3 x - a  y = bởi đường thẳng (d) : y = 3 a x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu diễn 2 2 3 a x- ; 2 2 Do 15 x - 10 y = 5  10 y = 15 x - 5  y = diễn bởi đường thẳng (d2 ) : y = 3 1 x - nên tập nghiệm của phương trình thứ nhất được biểu 2 2 3 1 x- ; 2 2 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Hai đường thẳng (d) và (d3 ) có tung độ góc khác nhau ( -1 a ¹ vì a ¹ 1 (baøi cho) ) và có cùng hệ số góc 2 2 ìï3x - 2 y = a ïí vô nghiệm với mọi a ¹ 1 ; ïïî15x + 10 y = 5 ìï3x - y = 1 Vậy với a = - 6 thì hệ phương trình ï vô nghiệm. í ïïîax + 2 y = 3 ïì3x - y = 1 Vậy với a ¹ 1 thì hệ phương trình ï vô nghiệm. í ïïîax + 2 y = 3 Bài 10. Cho các hệ phương trình sau: là 3 nên song song với nhau. Do đó, hệ 2 a) Ta có: ïìïx = 2 ïìx = 2  ïí í ïîï2 x - y = 3 ïîï y = 2 x - 3 ; y = 2 x - 3 cắt hai trục tọa độ nên 2 đường Đường thẳng x = 2 song song với trục tung mà đường thẳng thẳng đó cắt nhau; ìïx = 2 ïí ïî2 x - y = 3 Vậy hệ phương trình ï có nghiệm duy nhất. ì ìïx + 3 y = 2 ïì3 y = -x + 2 ïïï y = - 1 x + 2 ïí ï í í 3 3 ïîï2 y = 4 ïîï y = 2 ïï ïî y = 2 b) Ta có ; 1 2 y =- x+ 3 3 cắt hai trục tọa độ mà đường thẳng y = 2 song song với trục hoành nên 2 Đường thẳng đường thẳng trên cắt nhau. ìïx + 3 y = 2 ïí ïî2 y = 4 Vậy hệ phương trình ï có nghiệm duy nhất. 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Bài 11. Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối lien hệ giữa các hằng số ìïax + by = c a , b , c và các hằng số a ʹ; bʹ; cʹ để hệ phương trình ï í ïïîa ʹ x + b ʹ y = c ʹ *Trường hợp 1: a; b; a ʹ; b ʹ ¹ 0 ìï ïï y = - a x + c ìïax + by = c ìïby = -ax + c ï b b Ta có: ïí  ïí  ïí ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïîïb ʹ y = -a ʹ x + c ʹ ïï aʹ cʹ ïï y = - x + bʹ bʹ ïî a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có a aʹ a b hệ số góc khác nhau: ¹  ¹ b bʹ aʹ bʹ b) Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau: ìï a a ʹ ïï = a aʹ c a ʹ bʹ c ʹ ïb bʹ  = ¹ = ¹ neáu c ʹ ¹ 0) hoaëc ( (neáu c ¹ 0) í ïï c c ʹ b bʹ c ʹ a b c ïï ¹ ïî b b ʹ c) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc bằng nhau: ìï a a ʹ ïï = a aʹ c a ʹ bʹ c ʹ ïï b b ʹ  = = = = neáu c ʹ ¹ 0) hoaëc ( (neáu c ¹ 0) í ïï c c ʹ b bʹ c ʹ a b c ïï = ïî b b ʹ * Trường hợp 2: a = 0; a ʹ ¹ 0 ìï ïï y = c ìïax + by = c ï b  ïí Ta có: ïí (vôùi b' ¹ 0) ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï aʹ cʹ ïï y = - x + bʹ bʹ ïî 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ìï ïï y = c ìïax + by = c ï b vôùi b ʹ = 0  ïí hoặc ïí ( ) ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï cʹ ïïx = aʹ ïî aʹ cʹ cʹ c luôn luôn cắt trục hoành còn đường thẳng y = song song Vì hai đường thẳng y = - x + vaø x = bʹ bʹ aʹ b hoặc trùng với trục hoành nên chúng luôn luôn cắt nhau. Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. * Trường hợp 3: a = a ʹ = 0 ìï ïï y = c ìïax + by = c ï b Ta có: ïí  ïí ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï cʹ ïï y = bʹ ïî c cʹ b c =  = b bʹ bʹ cʹ c cʹ b c Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là: ¹  ¹ b bʹ bʹ cʹ * Trường hợp 4: b = 0; b ʹ ¹ 0 Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là: ìï ïïx = c ìïax + by = c ï a (với a ʹ ¹ 0 ) Ta có: ïí  ïí ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï aʹ cʹ ïï y = - x + bʹ bʹ ïî ìï ïïx = c ìïax + by = c ï a (với a ¹ 0 ) hoặc ïí  ïí ïîïa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï cʹ ïï y = bʹ îï aʹ cʹ cʹ c Vì hai đường thẳng y = - x + vaø y = luôn luôn cắt trục tung còn đường thẳng x = song song bʹ bʹ bʹ a hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn luôn cắt nhau. Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. * Trường hợp 5: b = b ʹ = 0 ìï ïïx = c ìïax + by = c ï a (với a ʹ ¹ 0 ) Ta có: ïí  ïí ïïîa ʹ x + b ʹ y = c ʹ ïï cʹ ïïx = aʹ ïî c cʹ a c =  = a aʹ a ʹ cʹ c cʹ a c Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song, nghĩa là: ¹  ¹ a aʹ a ʹ cʹ Áp dụng: a) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất: ìï2 x + 3 y = 8 ïí ïïîx + y = 4 Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là: b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm: 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      ìï2 x + 3 y = 8 ïí ïïî4 x + 6 y = 4 c) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm: ìï2 x + y = 5 ïí ïïî4 x + 2 y = 10 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp hình học Bài 12. Cho hai phương trình: 3x  y 1 và -5x  2 y  3 a) Nghiệm tổng quát của mỗi phương trình 3x  y 1 là :  x;  3x  1 3  5 Nghiệm tổng quát của mỗi phương trình -5x  2 y  3 là :  x; x   2  2 b) Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ rồi xác định nghiệm chung của hai phương trình. 5 3 3x  y 1  y  3x  1 và 5x  2 y  3  y   x  2 2 6 A 4 2 10 5 5 2 4 y = -5/2x+3/2 y = -3x+1 6 8 10 12 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  1; 4  Bài 13. Bằng cách vẽ đồ thị, hãy giải các hệ phương trình:  y  x 1 x  y  1   a)  1 x3 x  3 y  9  y  3  18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      8 y = 1/3x+3 6 4 2 10 5 5 10 5 10 2 y = x-1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  3; 2   y x  2 y  4   b)  2x  4 y  10 y   1 x2 2 1 5 x 2 2 10 8 y = -1/2x+2 6 4 2 y = -1/2x-5 10 5 2 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 2 1  y x 1,5y  x  0,5  3 3  c)      2x 3 y 1 2 1  y  x  3 3 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com      10 y = -2/3x-1/3 8 6 y = -2/3x-1/3 4 2 10 5 5 2 Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.  y  2x  2 2x  y  2   Bài 14. Cho hệ phương trình  1 x  2 y  6  y  2 x  3 a) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị 10 8 y = -1/2x+3 6 y = 2x-2 4 2 10 A 5 5 10 2 4 6 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  2; 2  b) Nghiệm của hệ phương trình đã cho không là nghiệm của phương trình 3x  2 y  8 c) Nghiệm của hệ phương trình đã cho không là nghiệm của phương trình 4,5x  7,5 y  25 . Bài 15. Cho hai đường thẳng:  d1  : 2x  3 y  8 và  d 2  : 7x  5 y   5 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com