GÓC NỘI TIẾP
A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
có đỉnh A nằm trên đường tròn và hai cạnh AB, AC là hai dây cung được gọi là góc nội tiếp
Góc BAC
Cung BC nằm bên trong được gọi là cung bị chắn.
sd BAC
1
sd BC (số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn).
2
Tính chất: Trong một đường tròn:
* Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau.
* Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
* Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
* Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng
NAB
CAN
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
ADC
MC AB, MD / /AB . Chứng minh rằng DMB
OAC
.
Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có đường cao AH . Chứng minh rằng BAH
Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn O . Biết AB / /DE, BC / EF. chứng minh rằng
DAF
.
ADC
Bài 5: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung
CAM
. Chứng minh rằng
.
BC không chứa A sao cho BAD
ADB CDM
45 . Tính số đo của góc CBD
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O đường kính BD. Biết BAC
60 . Vẽ đườn tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC
tính số đo góc ODE
A
.
Bài 8: Cho ABC nội tiếp O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho xBA
Tính sô đo góc OBx
90 , trong dó I là tâm đường tròn nội
Bài 9: Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK
tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa
90 . Biết CD CE a . Tính DE theo a.
đường tròn sao cho
ACD BCE
45o , C
15o . Tính dộ dài AC , BC , AB
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , B
và diện tích tam giác ABC .
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích :
a)Tam giác MAB;
b)Tam giác MIK.
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn K tiếp xúc với đường tròn O tại C. Các dây
CA, CB cắt đường tròn K lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng E, K, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho đường tròn O đường kính AB . Điểm M chuyển động trên O , M A, M B . Kẻ MH AB .
Kẻ đường tròn O1 đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng C, D, O thẳng
hàng.
45 nội tiếp đường tròn O . Các đường cao BH, CK cắt đường tròn O
Bài 4: Cho ABC nhọn có BAC
lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng .
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
AKH 90.
Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M
(khác A). Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn M ; MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn O’ . Dây AC của O cắt
O’ ở D, dây OE
của O’ cắt O ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD ⊥ BC
cắt đường tròn O tại D. đường tròn D, DB cắt
Bài 5: Cho ABC nội tiếp O . Tia phân giác góc BAC
đường thẳng AB tại Q (khác B), cắt đường thẳng AC tại P (khác C). Chứng minh rằng AO PQ
Bài 6: Trong đường tròn O có dây AC và BD vuông góc với nhau tại E . Gọi M là trung điểm BC . Chứng
minh rằng IM AD .
Bài 7: Cho đường tròn O , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoiaf đường tròn. SA và SB lần lượt
cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH AB .
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K
là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC
ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn
tiếp xúc với (O) tại A, tiếp xúc với (O’) tại B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P cắt (O’) tại điểm thứ
hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R. Chứng minh rằng:
QBR
;
a) QAR
b) Tam giác BPR cân;
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bài 3. Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến MCD. Gọi I là giao
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
IC MC
.
ID MD
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE và CF là các đường cao. Các tiếp
tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại S, các đường thằng BC và OS cắt nhau tại M.
a) Chứng minh rằng:
AB BS
.
AE ME
b) Chứng minh rằng: AEM ∽ ABS .
c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh rằng NP vuông góc
với BC.
Bài 5. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp HAC . Gọi D là điểm đối
xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ACE.
b) HO //EC .
Bài 6. Cho hình vuông ABCD; M là điểm tùy ý thuộc cạnh CD. Hai đường tròn đường kính CD và AM
cắt nhau tại N (khác D). Gọi K là giao điểm của DN và BC. Chứng minh AC vuông góc KM.
Bài 7. Gọi CA, CB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) với A, B là các tiếp điểm. Vẽ đường
tròn tâm I qua C và tiếp xúc với AB tại B. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh rằng
đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Bài 8. Cho (O; R) và một tiếp tuyến xy tại A của (O; R). Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A). Gọi B là
trung điểm của AC. Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) tại E, M (theo thứ tự C, E, M). Tia BE cắt (O) tại F
và tia CF cắt (O) tại N. Chứng minh: MN //AC .
Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dựng CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
sao cho C thuộc (O), D thuộc (O’) và B nằm trong tam giác CDA. Đường thẳng CB cắt (O’) tại M.
Chứng minh tia AD là phân giác của góc CAM.
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90o . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng
minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại điểm P.
Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại tại Q.
cắt KQ tại I.
Phân giác góc KBQ
;
a) Chứng minh rằng CI là tia phân giác KCQ
b) Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ //BC .
Bài 12. Chứng minh rằng từ 2015 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn luôn chọn được ít nhất
1008 điểm mà 3 điểm bất kỳ trong đó là các đỉnh của một tam giác tù.
Bài 13. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N, P thuộc BC, CD sao cho
MN //AP . Chứng minh rằng:
45o .
1. Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và NOP
2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3. Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy.
Bài 14. Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a. Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho AC = 4AB. Tia Cx vuông
góc với AC tại điểm C, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc tia Cx (D không trùng với C). Từ điểm B kẻ
đường thẳng vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K, E.
a) Tính giá trị DC, CE theo a.
b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một dây
cung cố định.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Tính số đo góc.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O đường kính AB và dây AC . N là điểm chính giữa cung CB. Chứng minh rằng
NAB
CAN
Lời giải: ( h 1.1).
1 NB
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
NAB
2
N
C
1 CN
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có CAN
2
A
B
O
NB
.
Lại có CN
NAB
.
CAN
hình 1.1
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
ADC
.
MC AB, MD / /AB . Chứng minh rằng DMB
Lời giải: ( h 1.2)
AC
( đường kính vuông góc
Ta có AB MC MA
M
D
với một dây).
DB
( hai cung chắn giữa hai
Ta lại có: MD / /AB MA
A
O
dây song song).
DB
MA
ADC
DMB
( góc nội tiếp chắn
AC
hai cung bằng nhau).
C
hình 1.2
B
OAC
.
Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O có đường cao AH . Chứng minh rằng BAH
Lời giải: ( h 1.3)
A
Dựng đường kính AD
CBD
1 DC
. ( góc nội tiếp cùng chắn một
Ta có CAD
2
cung ).
O
DBC
( hai góc có các cạnh tương ứng vuông
Lại có BAH
góc ).
H
C
B
DAC
BAH
OAC
.
BAH
D
hình 1.3
Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các đỉnh thuộc đường tròn
O . Biết
DAF
.
AB / /DE, BC / EF. chứng minh rằng ADC
E
Lời giải: ( h 1.4)
D
FAB
EAC
BDF
Do BC / /EF EDC
BCD
BFD
ACE
AB / /ED AEF
Do đó BFD ECA g.g
O
F
C
AEC
DEF
ABC
ABC
DAF
Suy ra DBF
A
Bài 5: Cho tam giác ABC AB AC nội tiếp đường
B
hình 1.4
CAM
. Chứng minh
tròn (O), đường trung tuyến AM. Lấy điểm D trên cung BC không chứa A sao cho BAD
.
ADB CDM
rằng
Lời giải
A
1 2
O
B
M
1
C
D
, lại có
A1
A2 B
AM DAC
ABM
ADC (góc nội tiếp) nên ABM ADC (g.g)
BA BM MC
.
AD DC CD
suy ra BAD MCD (c.g.c)
.
Kết hợp với
A1 C
ADB CDM
1
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O đường
45 . Tính số đo của góc CBD
kính BD . Biết BAC
C
D
Lời giải: (h 1.5)
45
CAB
1 CB
CDB
Ta có: CDB
2
O
90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Lại có DCB
B
A
180 CDB
DCB
45
CBD
hình 1.5
60 . Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC
tính số đo góc ODE
C
Lời giải: ( h1.6)
E
90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường
Ta có BDC
O
tròn).
90 ADC vuông tại D suy ra
ADC
30 EOD
60 ( do EOD
2ECD
ED
ACD
Mà ta lại có EOD cân tại O
60
Suy ra EOD đều EDO
A
B
D
hình 1.6
Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp O . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho
A
. Tính sô đo góc OBx
xBC
B
x
Lời giải: ( h 1.7)
90
Dựng đường kính BD khi đó DCB
CDB
90
DBC
O
CAB
1 CB
Mà BDC
2
A
C
CBx
DBC
CBx
90 DBx
90
Lại có BAC
D
hình 1.7
90 , trong dó I là tâm đường tròn nội
Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK
tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A.
Lời giải
A
N
I
O
B
C
D
K
Gọi D là giao điểm của đoạn IK và đường tròn (O).
; BID
BID
BDI cân tại D DB DI
1 sđ DN
1 sđ BD
1 sđ
AN DBI
DBI
2
2
2
IBK vuông tại B có DB DI nên DI DK và DB
IOK vuông tại O có DI DK nên OD
1
IK .
2
1
IK . (1)
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BD OD OB .
60 BAC
60 .
BOD đều BOD
Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích.
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Clà trung điểm của OB. Gọi D, E là các điểm thuộc nửa
90 . Biết CD CE a . Tính DE theo a.
ACD BCE
đường tròn sao cho
Lời giải
Trên CDlấy Ksao cho CK CE thì DK CD CK CD CE a .
Kéo dài DCcắt đường tròn (O) ở I.
D
. (1)
C
C
E đối xứng với Iqua AB EOB
1 sđ EI
Ta có C
2
l
3
2
o
180 C4 C
DKE
OCE
(bù với hai góc trên). (2)
ECK cân K
1
2
2
Từ (1) và (2) suy ra DKE OCE (g.g)
DE OE OB
2 . Vậy DE 2 DK 2a .
DK OC OC
45o , C
15o . Tính dộ dài AC , BC , AB
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , B
và diện tích tam giác ABC .
Lời giải
A
B
M
45°
H
O
15°
1
C
2
1dm
45o
B
AOC 90o AC OC 2 2 dm .
Kẻ OM BC .
C
C
45o 15o 30o
Ta có C
2
1
MC OC.cos 30o
3
BC 3 dm .
2
Kẻ AH BC . Đặt HC x, HB y thì x y 3
Ta có HC 2 HB 2 HC 2 HA2 AC 2 2 nên x 2 y 2 2
Từ (1) và (2) suy ra 2 xy x y x 2 y 2 3 2 1
2
(1)
(2)
(3)
Từ (2) và (3) suy ra x y x 2 y 2 2 xy 2 1 1 x y 1
2
Từ (1) và (4) suy ra y
S ABC
(4)
3 1
6 2
dm . Do đó AB y 2
dm .
2
2
1
1
3 1
3 3
BC. AH . 3.
dm 2
2
2
2
4
Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi K là trung điểm của OC. Gọi
M là giao điểm thứ hai của BK với đường tròn (O), I là giao điểm của MD và AB. Tính diện tích :
a) Tam giác MAB;
b) Tam giác MIK.
Lời giải
C
M
K
A
I
B
O
D
90 nên MA tan B OK 1 .
AMB 90, BOK
a)
MB
OB 2
MB 2MA
2R
4R
4R2
MA
,
MB
,
S
dễ
dàng
tính
được
. (1)
Từ 2
MAB
2
2
5
5
5
MA MB 4 R
b) MI là đường phân giác của MAB
S KIB
AI
1
1 4R R R2
IB.KO . .
.
2
2 3 2
3
IA MA 1
4R
.
. Lại có IA IB 2 R nên dễ dàng tính được IB
IB MB 2
3
(2)
1
1
1 4R2 4R2
.
AB S MAI S MAB .
3
3
3 5
15
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
S MIK S MAB S KIB SMAI
4R2 R2 4R2 R2
.
5
3
15
5
Dạng 3: Bài toán dựa hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1: Cho đường tròn O đường kính AB và một cung AM có số đo nhỏ hơn 90 . Vẽ các dây
MC AB, MD / /AB . Chứng minh rằng ba điểm C, O, D thẳng hàng.
Lời giải ( h 1.8)
M
D
90
Ta có MD / /AB mà AB MC nên MC MD DMC
là góc nội tiếp mà bằng 90 nên phải chắn nửa đường tròn,
CMD
A
O
suy ra CD là đường kính, do đó ba điểm C, O, D thẳng hàng.
C
hình 1.8
B
Bài 2: Cho đường tròn O đường kính AB . Vẽ đường tròn K
tiếp xúc với đường tròn O tại C. Các dây CA, CB cắt đường tròn K lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng
E, K, F thẳng hàng.
Lời giải (h 1.9)
C
E
90 nên ECF
90
Xét O có ACB
A
90 nên EF là đường kính
Xét đường tròn K vì ECF
K
F
D
B
O
Suy ra ba điểm E, K, C thẳng hàng
hình 1.9
45 nội tiếp đường tròn O . Các đường cao BH, CK cắt đường tròn O
Bài 3: Cho ABC nhọn có BAC
lần lượt tại E và D. Chứng minh rằng D, O, E thẳng hàng
Lời giải ( h 1.10).
Ta có: BH AC ABH vuông tại H
D
B
45 ABH
45 hay EBA
45 (1)
Mà BAH
K
Mặt khác có CK AB suy ra ACK vuông tại K
O
45 KCA
45
Mà KAC
H
A
DCA
( cùng chắn cung AD )
Ta lại có DBA
E
45 (2)
Nên ABD
C
hình 1.10
DBA
ABE
90 nên DE là đường kính của O hay D, O, E thẳng hàng
Từ (1)(2) EBD
90 . Lấy điểm C thuộc O ' và ở
Bài 4: Cho hai đường tròn O và O ' cắt nhau tại A và B sao cho OAO'
bên ngoài đường tròn O . Kẻ các tia CA, CB cắt đường tròn O tại D, E . Chứng minh rằng D, O, E thẳng
hàng.
Lời giải ( h 1.11)
D
A
1 AOB
(1)
Xét O có AEB
2
1 AO
Xét O ' có ACB
'B (2)
2
C
O'
O
Từ (1); (2) ta có
ACB
1 AOB
AO
AEB
' B 90
2
90 DAE
90 nên DE là đường kính của O
Nên EAC
B
E
hình 1.11
Vậy D, O, E thẳng hàng.
Dạng 4: Bài toán dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC AB AC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là
giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ởI. Chứng
minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Lời giải
A
1
2
1
B
I
H
O
C
21
K
H
H
(1)
Dễ chứng minh Hđối xứng với Kqua BC, suy ra K
2
1
2
phụ H
(2)
A1 nên K
Ta lại có K
1
1
2
phụ K
. Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Từ (1) và (2) suy ra K
2
1
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC AB AC , trực tâm H. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của BC.
Tia phân giác của góc BAC cắt IM ở K. Chứng minh rằng
AKH 90.
Lời giải
A
21
I
1
K
O
H
B
C
M
N
D
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ABC . Vẽ bán kính OD đi qua M thì D là điểm chính giữa của cung BC nên
A, K , D thẳng hàng.
Vẽ đường kính AN. Dễ chứng minh đươch BHCN là hình bình hành H , M , N thẳng hàng và
OM
1
AH AI . Tứ giác AOMI có AI // OM , AI OM nên là hình bình hành OA // MI
A1 K
1
2
Kết hợp với
A1 D
A2 nên K
A2 IK IA IH . Vậy
AKH 90o .
1
Bài 3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc Acắt BCởD và cắt đường tròn (O) ở M (khác A).
Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn M ; MB ,K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
Lời giải
A
1
K
B
2
O
D
1
C
M
(góc nội tiếp)nên
.
A1
A2 mà
A2 B
A1 B
1
1
MBD MAB (g.g)
MD MB
MD MK
.
MB MA
MK MA
Kết hợp với DMK KMA ta có
DMK KMA (c.g.c)
MKA
90 . Vậy DK AM .
MDK
Bài 4: Cho đường tròn O , đường kính AB . S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt
cắt đường tròn tại M , N . Gọi H giao điểm của BM và AN . Chứng minh rằng SH AB .
Lời giải (h 1.12)
S
ANB
90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Ta có: AMB
N
M
Xét SAB có AN, BM là hai đường cao. Mà H là giao điểm của
H
AN và BM suy ra H là trọng tâm SAB .
SH là đường cao trong SAB SH AB .
A
O
hình 1.12
B
cắt đường tròn O tại D . đường tròn D, DB cắt
Bài 5: Cho ABC nội tiếp O . Tia phân giác góc BAC
đường thẳng AB tại Q (khác B ), cắt đường thẳng AC tại P (khác C ). Chứng minh rằng AO PQ
Lời giải (h 1.13)
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AO với O , PQ .
QBC
APQ
ABC
Ta có CPQ
D
P
K
AKC
Mà ABC
AKC
.(1)
APQ
CAK
90 (2)
Lại có AKC
C
O
I
A
B
Q
PAK
90
Từ (1)(2) suy ra APQ
hình 1.13
API
90 AIP
90
Xét API có PAI
Hay AO PQ
Bài 6: Trong đường tròn O có dây AC và BD vuông góc với nhau tại I . Gọi M là trung điểm BC . Chứng
minh rằng IM AD .
Lời giải (h 1.14).
B
Gọi E IM AD .
AC BD tại I nên BCI vuông tại I.
Mà MB MC MI MB ( tính chất đường trung tuyến
trong tam giác vuông) nên MBI cân.
M
I
A
C
E
O
BIM
đối đỉnh do đó
MBI
mà NID
do đó MIB
NID
.
MBI
BCA
( góc nội tiếp chắn AB
).
Ta có BDA
MBI
90 ( BCI vuông tại I.)
Mà BCA
BDA
90 AEI
90 hay MI AD .
Suy ra NID
D
hình 1.14
Bài 7: Cho hai đường tròn O và O’ cắt nhau ở A và B , O nằm trên đường tròn O’ . Dây AC của O cắt
O’ ở
D , dây OE của O’ cắt O ở F như trên hình. Chứng minh rằng: OD BC
Lời giải(h 1.15)
Dựng hai bán kính OB, OC của O .
BOD
1 BD
Xét đường tròn O ' ta có BAD
2
A
E
F
O
O'
D
1 BC
BOD
1 BC
.(1)
Mà BAC
2
2
B
BC
(2)
Xét đường tròn O ta có BOC
hình 1.15
C
1 BOC
BOD
DOC
hay OD là tia phân giác BOC
Từ (1),(2) ta được: BOD
2
Ta lại có BOC cân tại O suy ra OD vừa là tia phân giác vừa là đường cao trong BOC
Hay OD BC
Dạng 5:Nâng cao phát triển tư duy
Bài 1.
Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC
H
H
. (1)
Suy ra K
2
1
2
K
Ta lại có: A
1
1
phụ với H
(2)
nên K
1
2
phụ với K
Từ (1) và (2) suy ra K
2
1
Vậy IK là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 2.
DPQ
(Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung cùng chắn một cung cung chắn
a) Ta có QAP
QBP
(góc nội tiếp cùng chắn một cung).
một cung) và DPQ
QBR
.
Từ đó suy ra QAP
PAB
ABP (tình chất góc ngoài của tam giác)
b) Ta có BPR
BQA
PAB
ABP.
Mặt khác, BRP
Suy ra hay tam giác BPR cân đỉnh B.
c) Ta có BQP
ABP (1)
(góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với dây cung
cùng chắn một cung)
ABP
BAR
(2)
(góc nội tiếp cùng chắn một cung)
PAB
ABP
(3)
BPR
PQB
BQR
(4)
PQR
BPR
BRP
Từ (1); (2); (3) (4) suy ra PQR
Do đó: Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc PB và RB (định lí bổ sung).
Bài 3.Ta có MAC ~ MDA
Suy ra: MA2 MC.MD và
MB BC
MD BD
MBC ~ MDB suy ra:
Xét
MA AC
MD AD
MC MC.MD MA2 MA MB AC BC
(1)
.
.
MD
MD 2
MD 2 MD MD AD BD
Mặt khác IAC ~ IDB
Suy ra:
IC AC
; IBC ~ IDA
IB BD
Suy ra:
IB BC
;
ID AD
Do đó:
AC BC AC BC IC IB IC
(2)
.
.
.
AD BD BD AD IB ID ID
Từ (1) và (2) suy ra:
IC MC
.
ID MD
Bài 4.
SBM
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) và
90 nên
AEB BMS
a) Do BAE
AEB ~ BMS , suy ra:
Mà BM ME nên
AB BS
.
AE BM
AB BS
. (1)
AE ME
MBE
.
b) BME cân tại M nên MEB
ABE
BAE
ABE
90
Lại có SBM
AEB
AEM
(2)
SBA
Từ (1) và (2) suy ra: AEM ~ ABS .
EAN
.
c) Từ câu b, suy ra: BAP
)
ABP
AEN (cùng bù với CEF
Mà
nên AEN ~ ABP , suy ra:
AN NE
.
AP PB
(3)
Vì AEM ~ ABS (câu b) và tương tự ta có:
,
MAF ~ SAC nên
AME ASB
AMF ASC
BSC
SBP
MEN
(do hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau)
EMF
Suy ra: EMN ~ BSP
Từ (3) và (4) suy ra:
NE NM
(4).
PB PS
AN NM
NP // MS , mà MS BC nên NP BC.
AP PS
Bài 5.
a) Ta có: ABD cân nên: A
A2 (1)
1
C
(cùng phụ với góc B)
Mặt khác: A
1
2
C
A2 (cùng chắn chung HE).
1
C
Suy ra: C
1
2
sñ AH
2.C
ACE
HO // EC .
b) Ta có: O
1
2
Bài 6.
Gọi I là giao điểm của đường tròn (O) đường kính AM và CD
AIM 90.
Tứ giác DAIM là hình chữ nhật (vì
AIM IAD
ADM 90 )
90 DI là đường kính của (O)
IMD
90
IND
N thuộc đường tròn đường kính DC
90
DNC
DNC
90 90
Ta có: IND
180 I, N, C thẳng hàng.
INC
Xét CDK và MIC có:
IMC
90 .DC MI AD
DCK
CIM
(Cặp góc nhọn có cạnh tương ứng với góc).
KDC
(vì ABCD là hình
Do đó: CDK MIC CK MC CMK cân tại C. CA là tia phân giác MCK
vuông) AC KM .
Bài 7.
Gọi K là giao điểm của AM và BC.
chung; KBM
KAB
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp
Xét KBM và KAB có: K
của O )
chắn chung BM
Do đó: KBM ∽ KAB
KB KM
KB 2 KM .KA (1)
KA KB
MBA
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây
MCK
của
cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM
(1)).
MBA
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung
KAC
AM của O ).
và góc nội tiếp cùng chắn cung
KAC
.
Do đó: MCK
chung, MCK
KAC
.
Xét KCM và KAC có K
Do đó KCM ∽ KAC
KC KM
KC 2 KM .KA (2).
KA KC
Từ (1) và (2) ta có: KC 2 KB 2 KC KB.
Vậy AM đi qua trung điểm K của BC.
Bài 8.
chung, BAE
BFA
1 sñ
AE
Xét BAE và BFA có ABE
2
Do đó: BAE ∽ BFA
BA BE
BC BE
(vì BC BA )
BF BA
BF BC
Xét BCE và BFC có:
(chung), BC BE .
CBE
BF BC
BFC
Do đó BCE ∽ BFC BCE
BFC
(hai góc nội tiếp cùng chắn chung EN)
Mà EMN
EMN
MN // AC.
Do đó BCE
Bài 9.
BCD
BDC
DBM
là góc ngoài của BDC )
( DBM
BCD
1 sñ BC
,
BAC
2
BDC
1 sñ BD
BAD
2
BAC
BAD
BCD
BDC
DBM
Do đó: CAD
DBM
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM)
Mà DAM
DAM
AD là tia phân giác của CAM
.
Nên CAD
Bài 10.
Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình
hành.
IA IC IE .IA IE .IC
IBE ∽ ICD g.g IE.IC IB.ID
Từ đó suy ra: IE.IA IE.IC IB.ID IB 2
IB IA
.
IE IB
Ta có IBE và IAB có
IB IA
chung
và BIA
IE IB
IAB
.
Suy ra IBE ∽ IAB c.g.c nên IBE
Từ đó suy ra BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB (định lí bổ sung)
Bài 11.
PQB
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
a) Ta có PBK
PBK ∽ PQB g.g
PB BK
(1).
PQ QB
Tương tự ta có: PCK ∽ PQC g.g
PC CK
(2)
PQ QC
Từ (1) và (2) kết hợp với PB PC ta có:
BK CK
(3).
QB QC
nên IK BK (4)
Ta có BI là phân giác KBQ
IQ QB
Suy ra CI là tia phân giác KCQ
b) Ta có MKC ∽ MBA g.g
MKB ∽ MCA g.g
MC MA
(5)
KC BA
MB MA
(6)
KB CA
Từ (5) và (6) vế chia theo vế
KB CA
(7) (vì
KC BA
MB MC )
Mặt khác theo kết quả câu a, ta có:
Từ (7) và (8)
BK KC
BK QB
(8).
QB QC
KC QC
AC QB
ABC ∽ QCB c.g.c
AB QC
QBC
ACB
QAC
AQ // BC.
ACB
Bài 12.
Xét đường kính của đường tròn không đi qua điểm nào trong 2015 điểm đã cho (luôn tồn tại)
Chọn nửa đường tròn chứa số điểm nhiều hơn
Nửa đó chứa ít nhất 1008 điểm.
Xét 3 điểm bất kỳ trong số các điểm thuộc nửa đường tròn đã chọn ta có 3 điểm đó là các đỉnh của một
tam giác tù (vì có một góc nội tiếp chắn cung lớn hơn nửa đường tròn).
Bài 13.
- Xem thêm -
.PDF 
51 
1 
140 
