CHUYÊN ĐỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
PHẦN I. TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
a1 x b1 y c1
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: I
a2 x b2 y c2
1
2
a. Phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ, ta biểu thị ẩn x theo y (hoặc y theo x).
Bước 2: Thế biểu thức tìm được của x (hoặc của y) vào phương trình còn lại để được phương
trình bậc nhất một ẩn. Giải phương trình bậc nhất vừa tìm được.
Bước 3: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm
giá trị của ẩn còn lại.
b. Phương pháp cộng đại số:
Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y).
Bước 2:
-
Xem xét hệ số của ẩn muốn khử.
-
Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
-
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ về theo vế của hệ.
Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân các vế của hai phương trình với số thích
hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc
đối nhau (đồng nhất hệ số). Rồi thực hiện các bước ở trên.
-
Ta được một phương trình mới, trong đó ẩn muốn khử có hệ số bằng 0.
Bước 3: Giải hệ phương trình gồm một phương trình mới (một ẩn) và một phương trình đã
cho.
Ta suy ra nghiệm của hệ
* Đối với một số bài toán ta có thể kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình
đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn mới.
Sau khi tìm được nghiệm của hệ phương trình mới, ta có thể tìm nghiệm của hệ phương trình ban
đầu.
* Sử dụng máy tính CASIO/VINACAL:
Nhấn Mode, chọn mục EQN, chọn số tương ứng với mục: anX+bnY=cn
a1 x b1 y c1
Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự
a2 x b2 y c2
Ta nhập số liệu tương ứng:
1
2
Hàng thứ nhất: a1 ; b1 ; c1 và hàng thứ hai: a2 ; b2 ; c2
Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.
Các em có thể sử dụng máy tính casio để tính ra nghiệm đúng.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ví dụ minh họa 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
3 x y 2 x y 9
b.
2 x y x y 1
x 2 y 1
a.
2 x 5 y 7
Hướng dẫn giải:
a. Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:
x 2 y 1 x 2 y 1
x 2 y 1
HTP:
2 2 y 1 5 y 7
2 x 5 y 7
9 y 2 7
x 2 y 1 x 2. 1 1 x 1
9 y 9
y 1
y 1
Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1; 1 .
3 x y 2 x y 9
b. Hệ phương trình
2 x y x y 1
Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các
hệ phương trình tương đương.
3 x y 2 x y 9
3 x 3 y 2 x 2 y 9
HPT:
2 x y x y 1 2 x 2 y x y 1
x 5 y 9
3 x 3 y 2 x 2 y 9
x 5y 9
2 x 2 y x y 1
3 x y 1 3 5 y 9 y 1
x 5 y 9
x 1
14 y 28 y 2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm 1; 2 .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u x y; v x y , ta có hệ phương trình:
3u 2v 9
3 x y 2 x y 9
2 x y x y 1 2u v 1
7u 7
u 1
3u 2 2u 1 9
v 2u 1
v 2u 1 v 3
u 1
Với
, ta có hệ phương trình
v 3
2 y 3 2
x y 1
2 y 4
x 1
x y 3 x y 3
x y 3 y 2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm 1; 2 .
Dạng 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ minh họa 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
3 x y 2 x y 9
b.
2 x y x y 1
x 2 y 1
a.
2 x 5 y 7
Hướng dẫn giải:
a. Biến đổi hệ phương trình đã cho thành các hệ phương trình tương đương:
x 2 y 1 2 x 4 y 2
HPT:
(pt 1 được nhân 2 vế cho 2)
2 x 5 y 7
2 x 5 y 7
Lấy pt 1 trừ pt 2 vế theo vế, và giữ lại một phương trình:
0 x 9 y 9
HPT
2 x 4 y 2
Tìm được giá trị một ẩn, ta thay vào phương trình kia để tìm nghiệm còn lại.
y 1 x 1
y 1
HPT
2 x 2
y 1
2 x 4 1 2
Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là 1; 1 .
3 x y 2 x y 9
b. Hê phương trình
2 x y x y 1
Cách 1: Thu gọn vế trái của mỗi phương trình trong hệ, biến đổi hệ phương trình đã cho thành các
hệ phương trình tương đương.
3 x y 2 x y 9
3 x 3 y 2 x 2 y 9
HPT:
2 x y x y 1 2 x 2 y x y 1
3x 3 y 2 x 2 y 9
x 5 y 9
x 5 y 9
2 x 2 y x y 1
3 x y 1 15 x 5 y 5
x 5y 9
14 x 14
x 1
15 x 5 y 5
x 5 y 9
y 2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm 1; 2 .
Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt u x y; v x y , ta có hệ phương trình:
3u 2v 9
3 x y 2 x y 9
2 x y x y 1 2u v 1
3u 2v 9
7u 0.v 7
u 1
4u 2v 2
2u v 1
v 3
u 1
, ta có hệ phương trình
Với
v 3
x y 1
2 x 2
x 1
x y 3 x y 1 y 2
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm 1; 2 .
Dạng 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ minh họa 3: Bằng cách đặt ẩn phụ, hãy giải hệ phương trình sau:
5
x 1
1
x 1
1
10
y 1
3
18
y 1
Hướng dẫn giải:
x 1 0
x 1
Điều kiện để hệ phương trình xác định là:
y 1 0
y 1
Đặt u
1
1
;v
, ta có hệ phương trình:
x 1
y 1
5
x 1
1
x 1
1
10
y 1
5u v 10
3
u 3v 18
18
y 1
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Từ phương trình 5u v 10 , ta có: v 5u 10
Thế vào phương trình u 3v 18 , ta được:
u 3v 18 u 3 5u 10 18
16u 30 18 16u 48
u 3
Thay u 3 vào phương trình v 5u 10 , ta được v 5. 3 10 5
u 3
, nên ta có hệ phương trình:
Vậy
v 5
1
x 1 3
1 3x 3
1 3 x 1
1
1 5 y 5
5 1 5 y 1
y 1
2
x
3 x 2
3
5 y 4
y 4
5
2 4
Vậy, hệ phương trình đã cho một nghiệm ; .
3 5
Dạng 4. Một số bài toán liên quan
Ví dụ minh họa 4: Xác định phương trình đường thẳng y ax b biết nó đi qua hai điểm
A 1;6 và B 2; 3 .
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng y ax b đi qua điểm A 1;6 , nên ta có 6 a 1 b a b 6
1
Đường thẳng y ax b đi qua điểm B 2; 3 , nên ta có 3 a.2 b 2a b 3
2
Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm của hệ phương
trình:
a b 6
3a 9
a 3
2a b 3 2a b 3 b 3
Vậy, phương trình đường thẳng cần tìm là: y 3 x 3 .
mx 2 y 1
Ví dụ minh họa 5: Cho hệ phương trình:
mx my m 1
Giải hệ phương trình khi:
a) m 3 ;
b) m 2 ;
c) m 0 .
Hướng dẫn giải:
mx 2 y 1
Cho hệ phương trình
mx my m 1
3 x 2 y 1
3 x 2 y 1
a. Khi m 3 , ta có hệ phương trình:
3 x 3 y 3 1 3 x 3 y 2
1
y 1
x
3
3 x 1 y 1
1
Vậy, khi m 3 , hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y ;1
3
2 x 2 y 1
b. Khi m 2 , ta có hệ phương trình:
2 x 2 y 1
Hệ phương trình
x
2 x 1 hoặc
y 2
có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
y
2 y 1
x 2
0 x 2 y 1
c. Khi m 0 , ta có hệ phương trình:
0 x 0 y 0 1
1
2
Trong hệ phương trình này, ta thấy phương trình thứ (1) có nghiệm, còn phương trình thứ (2) vô
nghiệm, nên hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy khi m 0 , hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
SƠ ĐỒ TƯ DUY PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Chọn PT dễ nhất (thường là pt có hệ số đơn giản) Rút
ẩn: biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (1) Rồi thay vào phương
trình còn lại được (2)
Giải hệ bằng
Phương pháp thế
Bước 2: Giải phương trình (2) 1 ẩn, ta thay ẩn này vào
phương trình (1) để tìm ẩn còn lại Kết luận nghiệm.
HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
Giải hệ bằng
Phương pháp cộng
đại số
Bước 1: Xác định ẩn muốn khử (x hoặc y?...)
Bước 2: Đồng nhất hệ số Xem xét hệ số đứng trước ẩn
muốn khử ở hai phương trình (không quan tâm dấu ) Nhân
2 vế của mỗi phương trình cho số thích hợp sao cho hệ số đứng
trước ẩn muốn khử bằng nhau (không quan tâm dấu).
Bước 3: Cộng vế theo vế nếu hệ số của ẩn muốn khử ở hai
phương trình trái dấu, và trừ vế theo vế nếu hệ số của ẩn
muốn khử ở hai phương trình cùng dấu.
Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn, suy ra ẩn còn lại và kết luận.
PHẦN II.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
x 2 y 6
a.
2 x y 4
x 3y 5
b.
2 x y 8
x y 10
c.
x y 8
3 x y 5
d.
5 x 2 y 14
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
1
x y 1
a. 2
3x 2 y 10
y x y 1
5 2 10
b.
y x y 1
2
5
5
x y
2 3 0
c.
4 9
y 4 x 8
x y 20
d.
x
x
x 8 y 8
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp thế:
x 2 2 y 3
a.
2 x y 1 6
x y 3 0
b.
x 3 2 y 1 3
2 x 5 y 1
c.
x 5 y 2
2 x 5 y 2
d.
x 5 y 2
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
3 5 x 3y 3 5 5
a.
4 x y 4 2 5
3 1 x y 3
b.
x 3 1 y 1
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
4 x 3 y 5 x y 1
a.
2 x 4 2 y 1 1
3 x 7 6 x y 1 0
b.
4 x 1 2 x 2 y 7 0
3 x by 5
Bài 6. Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình:
ax by 12
a. Có nghiệm 1; 2
b. Có nghiệm 2; 2
Bài 7. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1 1 1
x y 3
a.
1 1 1
x y 12
7
x 1
b.
1
x 1
5
1
y2
1
1
y 2 12
1
4
x 2y x 2y 1
c.
20 3 1
x 2 y x 2 y
5
2
x y 3 x y 1 8
d.
3
1
3
x y 3 x y 1
3 x 2 y a
Bài 8. Cho hệ phương trình:
15 x 10 y 5
a. Có vô số nghiệm với a 1
b. Vô nghiệm với a 1
Bài 9. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5 x y 10
a.
x 3 y 18
4 x 3 y 10
b.
2 x 5 y 8
6
27
1
2 x 5 y 10
c.
x 9 y 15
2
2
1
1
3 x 4 y 2
d.
2 x y 18
5
Bài 10. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5 x 3 y 19
a.
2 x 9 y 31
15 x 8 y 46
b. 3
4
x 5 y 5
3 x 4 y 10
c.
6 x 8 y 17
5 x 4 y 20
d. 1
1
4 x 5 y 1
Bài 11. Giải các phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
5 x 2 y 3 x y 99
a.
x 3 y 7 x 17
2 x 3 y 21
b.
7 x 4 3 x y 1 14
2 x 1 5 y 1 8
c.
3 x 1 2 y 1 1
4 x 1 2 3 y 1 5 0
d.
8 x 1 5 3 y 1 9
Bài 12. Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp cộng đại số:
3 1 x y 3
x 3 1 y 1
Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M và N trong mỗi
trường hợp sau:
a. M 1;3 và N 2; 2
b. M 1; 3 và N 2; 3
c. M 0;0 và N 3;3
d. M 1; 4 và N 4; 1
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
2 x my n
a. Hệ phương trình
có nghiệm là x 2; y 5 ?
mx ny 5
x y m
b. Hệ phương trình
có nghiệm là x 1; y 2 ?
3 x 2 y n 1
Bài 15. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1
10
x 1 y 2 1
a.
25 3 2
x 1 y 2
32
27
2x y x 3y 7
b.
45 48 1
2 x y x 3 y
2 x 6 3 y 1 5
c*.
5 x 6 4 y 1 1
4 x y 3 x y 8
d*.
3 x y 5 x y 6
Bài 16*. Giải các hệ phương trình sau:
3x y z 1
a. 2 x y 2 z 5
x 2 y 3z 0
x 3y 2z 8
b. 2 x y z 6
3x y z 6
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x 2 y 6
x 2 y 6
a. Biến đổi hệ phương trình
2 2 y 6 y 4
2 x y 4
14
16
x 2. 6
x
x
y
x
y
2
6
2
6
3
3
4 y 12 y 4
3 y 16
y 16
y 16
3
3
14 16
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ; .
3 3
x 3 y 5
x 3y 5
b. Biến đổi hệ phương trình
2 3 y 5 y 8
2 x y 8
29
18
x 3. 5
x
x
y
x
y
3
5
3
5
5
5
6 y 10 y 8 5 y 18
y 18
y 18
5
5
29 18
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ; .
5
5
x y 10
x y 10
c. Biến đổi hệ phương trình
y 10 y 8
x y 8
x y 10
x y 10
x 1 10
x 9
2 y 10 8 2 y 2
y 1
y 1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 9; 1 .
3 x y 5
y 3 x 5
d. Biến đổi hệ phương trình
5 x 2 y 14
5 x 2 3 x 5 14
24
24
x
x
y 3x 5
y 3x 5
11
11
5 x 6 x 10 14
11x 24
y 3. 24 5 y 17
11
11
24 17
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ; .
11 11
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
1
y x 1
1
2
x y 1
a. Biến đổi hệ phương trình 2
3 x 2 y 10
3 x 2 1 x 1 10
2
1
1
x 4
x 4
y x 1
y x 1
2
2
1
3x x 2 10
2 x 8
y 2 .4 1 y 1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 4; 1
y x y 1
5 2 10
2 y 5 x y 1
b. Biến đổi hệ phương trình
y x y 1
5 y 2 x y 2
2
5
5
5
1
y x
2 y 5 x 5 y 1
5 x 7 y 1
7
7
5 y 2 x 2 y 2
2 x 3 y 2
2 x 3 5 x 1 2
7
7
5
1
5
1
y 7 x 7
y 7 x 7
x 11
y 8
2 x 15 x 3 2
1 x 11
7
7
7
7
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 11;8 .
c. Hệ phương trình đã cho có điều kiện là: x 8; y 4
x y
2 3 0
3 x 2 y 0
Khi đó, biến đổi hệ phương trình
4 x 8 9 y 4
4 9
y 4 x 8
2
3x 2 y 0
3 x 2 y 0
x y
3
4 x 32 9 y 36
4 x 8 9 y 4
4 x 9 y 4
2
8
x y
2
x
3
x y
19
3
4 x 9 y 4
4. 2 y 9 y 4
y 12
3
19
8 12
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là ; .
19 19
x y 20
x y 20
d. Biến đổi hệ phương trình
x
x
8 x x 8 y x
x 8 y 8
x y 20
x y 20
x y 20
8 x x 8 y x
6 x 8 y 0
6 y 20 8 y 0
x y 20
x 80
2 y 120
y 60
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 80;60 .
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x 2 2 y 3
x 2 2 y 3
a. Biến đổi hệ phương trình
2 2 2 y 3 y 1 6
2 x y 1 6
1 2 6
x 2 2.
3
x 2 2 y 3
x 2 2 y 3
5
4 y 6 y 1 6
5 y 1 2 6
1 2 6
y
5
1 2 6
2 2 4 12 5 3
x 2 2.
3
x
5
5
1 2 6
1 2 6
y
y
5
5
2 2 3 3
x
5
y 1 2 6
5
2 2 3 3 1 2 6
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
;
.
5
5
x 3 y 0
x 3y
b. Biến đổi hệ phương trình
3 3 y 2 y 1 3
3 x 2 y 1 3
1 3
3 3
x 3.
x
5
x 3 y
5
3 y 3 y 1 3
y 1 3
1 3
y
5
5
3 3 1 3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
;
.
5
5
2 x 5 y 1 x 5 y 2
c. Biến đổi hệ phương trình
x 5 y 2
2 x 5 y 1
x 5 y 2
x 5y 2
2 5 y 2 5 y 1
2 x 5 y 1
x 5y 2
x 5y 2
2 5 y 2 5 y 1 5 2 1 y 1
1
x 5
5 2 1
1
y
5 2 1
x 1
2 1
y
5
2 1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1;
.
5
2 x 5 y 2
2 5y 2 5y 2
d. Biến đổi hệ phương trình
x 5 y 2
x 5 y 2
2
2
y 5
5 1 2 y 2 1 2
y
5
2
x 5
x 0
2
x 5 y 2
5
2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 0;
.
5
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
3 5 x 3y 3 5 5
a. Biến đổi hệ phương trình
4 x y 4 2 5
3 5 x 3 4 x 4 2 5 3 5 5
y 4 x 4 2 5
15 5 x 15 5
x 1
y 2 5
y 4 x 4 2 5
y
3 1 x y 3
b. Biến đổi hệ phương trình
x 3 1 y 1
x
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1; 2 5 .
y
x
3 1
3 1 x 3
y 3 1
4 3
x
3
3 1 x
4 3 3
3 1
3
3 1
3 1 x 3
y 3 1 x 3
3 1 3 x 4 3
4 3 43 3
3
y
3
x 4 3
3
1
y 3
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là
x 4 3
3
4 3 1
; .
3
3
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
4 x 3 y 5 x y 1
a. Biến đổi hệ phương trình
2 x 4 2 y 1 1
4 x 3 y 5 x y 1 4 x 3 y 5 x 5 y 1
2 x 8 y 4 1
2 x 4 2 y 1 1
3
9 x 8 y 1 9 4 y 8 y 1
x
y
9
8
1
2
3
2 x 8 y 3 x 4 y
x 4 y 3
2
2
29
27
27
y 56
36 y 2 8 y 1 28 y 1 2
x 4 y 3
x 4 y 3
x 4. 29 3
2
2
56 2
29
y 56
4 29
. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: ;
7 56
x 4
7
3 x 7 6 x y 1 0
b. Biến đổi hệ phương trình
4 x 1 2 x 2 y 7 0
3 1 x 3 1
3 x 21 6 x 6 y 6 0
3 x 6 y 27
4 x 4 2 x 4 y 14 0
6 x 4 y 10
x 2 y 9
x 2 y 9
x 2 y 9
6 2 y 9 4 y 10
6 x 4 y 10
8 y 44
x 2
11 . Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
y
2
11
2; .
2
3 x by 5
Bài 6. Hệ phương trình:
ax by 12
3.1 b.2 5
3 2b 5
a. Có nghiệm 1; 2
a.1 b.2 12
a b 12
3 2b 5
2b 2
b 1
b 1
a b 12
a b 12
a 1 12
a 11
Vậy, hệ số a 11; b 1 .
3. 2 b.2 5
6 2b 5
b. Có nghiệm 2; 2
2a 2b 12
a. 2 b.2 12
11
11
b
b 2
2
b
11
2
a b 6
a 11 6
a 1
2
2
1
11
Vậy, hệ số a ; b .
2
2
Bài 7.
a. Điều kiện x 0; y 0 . Đặt ẩn phụ:
1
1
a; b
x
y
1 1 1
1
1
1
b b
ab
x y 3
12
3
3
Khi đó, hệ phương trình
1 1 1
a b 1
a b 1
x y 12
12
12
1
1 1
1
1
b 8
2b 3 12
b 8
2b 4
a b 1
a b 1
a 1 1
a 5
12
8 12
12
24
1 1
1
24
b 8
y 8
x
Với
5
a 5
1 5
y 8
24
x 24
24
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: ;8 .
5
b. Điều kiện: x 1; y 2 . Đặt ẩn phụ:
7
x 1
khi đó, hệ phương trình
1
x 1
1
1
a;
b
x 1
y2
5
1
7 a 5b 1
y2
1
1
1
a b
12
y 2 12
1
5
5
b
7a 5b 1 7 b 5b 1 12b
12
144
12
1
a b
a b 1
a b 1
a 17
12
12
144
12
5
1
144
144
5
y 2 144
y 2 5
y 5 2
b 144
Với
a 17
1 17
x 1 144
x 144 1
144
17
17
x 1 144
134
y 5
(thỏa điều kiện)
x 161
17
161 134
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
;
.
17 5
c. Điều kiện: x 2 y . Đặt ẩn phụ:
1
1
a;
b
x 2y
x 2y
1
4
x 2 y x 2 y 1 4a b 1
khi đó, hệ phương trình
20 3 1 20a 3b 1
x 2 y x 2 y
1
a
b 4a 1
b 4a 1
8
a
a
20
3
4
1
1
a
32
4
b 1
2
1
1
1
a
x 3
x 2 y 8
x 2y 8
8
Với
5 (thỏa điều kiện)
1
1
x
2
y
2
1
y
b
2
x 2 y
2
2
x 3
Kết luận, vậy hệ phương trình có nghiệm là
5
y 2
x y 3
1
1
a;
b
d. Điều kiện:
. Đặt ẩn phụ:
x y 3
x y 1
x y 1
5
2
14
a
x y 3 x y 1 8
5
a
2
b
8
11
Khi đó, hệ phương trình
3
1
3a b 3
b 9
3
x y 3 x y 1
11
14
1
11
53
14
x y 3
x y
a
x
y
3
11
14
14
11
Với
11
9
1
9
b
x y 1
x y 19
x y 1
9
9
11
11
211
x 252
y 743
252
211
x 252
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
y 743
252
3 x 2 y a
Bài 8. Cho hệ phương trình:
15 x 10 y 5
3 x 2 y 1
3 x 2 y 1
a. Với a 1 , ta có:
15 x 10 y 5 3 x 2 y 1
Hệ phương trình với a 1 là hệ gồm hai phương trình giống nhau (hai đường thẳng trùng nhau) nên
chúng có vô số nghiệm.
x
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
3
1
y 2 x 2
Cách 2: Ta có thể nhìn nhanh số nghiệm của hệ phương trình khi lập tỉ số các hệ số của hai đường
thẳng:
Vì:
3
2 1
nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
15 10 5
3 x 2 y a
b. Với a 1 . Ta có hệ phương trình:
15 x 10 y 5
Vì a 1 nên
3
2 a
. Do đó, hệ phương trình vô nghiệm.
15 10 5
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5 x y 10
15 x 3 y 30
a. Biến đổi hệ phương trình
x 3 y 18 x 3 y 18
16 x 48
x 3
x 3 y 18 y 5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 3; 5 .
4 x 3 y 10
4 x 3 y 10
b. Biến đổi hệ phương trình
2 x 5 y 8
4 x 10 y 16
13 y 26
y 2
2 x 5 y 8 x 1
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 1; 2 .
6
27
1
2 x 5 y 10
5 x 12 y 27
c. Biến đổi hệ phương trình
2 x 9 y 15
x 9 y 15
2
2
5 x 12 y 27
10 x 24 y 54
2 x 9 y 15
10 x 45 y 75
21 y 21
y 1
2 x 9 y 15
x 3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 3;1 .
1
1
4
3 x 4 y 2
3 x y 8
d. Biến đổi hệ phương trình
2 x y 18
2 x y 18
5
5
26
x 26
x 15
x 15
15
2
2 x y 18 5 .15 y 18 y 12
5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 15;12 .
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5 x 3 y 19
10 x 6 y 38
a. Biến đổi hệ phương trình:
2 x 9 y 31 10 x 45 y 155
39 y 117
y 3
x 2
5 x 3 y 19
5 x 9 19
y 3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2;3 .
15 x 8 y 46
15 x 8 y 46
b. Biến đổi hệ phương trình: 3
4
5 x 3 y 4
x 5 y 5
15 x 8 y 46
17 y 34
y 2
x 2
15 x 9 y 12
5 x 3 y 4
5 x 6 4
y 2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là 2; 2 .
3 x 4 y 10
3 4 10
a b c
c. Hệ phương trình
có tỉ lệ giữa các hệ số là:
dạng
6 8 17
a b c
6 x 8 y 17
nên hệ phương trình vô nghiệm.
5 x 4 y 20
5
4
20
a b c
có tỉ lệ giữa các hệ số là:
dạng
d. Hệ phương trình 1
1
1 1 1
a b c
4 x 5 y 1
4 5
nên hệ phương trình có vô số nghiệm.
x
y
Với nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:
hoặc
5
4
x 5 y 4
y 4 x 5
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
5 x 2 y 3 x y 99
a. Biến đổi hệ phương trình
x 3 y 7 x 17
5 x 10 y 3 x 3 y 99
2 x 13 y 99
6 x 3 y 17
6 x 3 y 17
70
19
y
x
6 x 39 y 297
36 y 280
9
18
6 x 3 y 17
6 x 3 y 17
6 x 3 70 17
y 70
9
9
19 70
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: ;
18 9
2 x 3 y 21
b. Biến đổi hệ phương trình
7 x 4 3 x y 1 14
2 x 3 y 21
2 x 3 y 21
7 x 28 3 x 3 y 3 14
10 x 3 y 45
8 x 24
x 3
x 3
3 y 21 2 x
3 y 21 6
y 5
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 3;5
2 x 1 5 y 1 8
c. Biến đổi hệ phương trình
3 x 1 2 y 1 1
2 x 2 5 y 5 8 2 x 5 y 11
3x 3 2 y 2 1
3 x 2 y 0
6 x 15 y 33 11 y 33
6 x 4 y 0
3 x 2 y 0
y 3
x 2
3x 2 y
y 3
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: 2; 3
* (Những bài toán khá đơn giản như thế này chúng ta không nên đặt ẩn phụ, bởi sẽ tạo ra nhiều
bước thực hiện để hoàn thành bài toán. Cách tốt nhất là khai triển, rồi làm gọn hệ phương trình đã
cho. Sau đó giải theo phương pháp thầy đã nêu.)
4 x 1 2 3 y 1 5 0
d. Biến đổi hệ phương trình
8 x 1 5 3 y 1 9
4 x 4 6 y 2 5 0
4 x 6 y 1
8 x 8 15 y 5 9
8 x 15 y 4
8 x 12 y 2
3 y 2
8 x 15 y 4
4 x 6 y 1
2
3
y 3
x 4
4 x 6. 2 1 y 2
3
3
3 2
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: ;
4 3
Bài 12. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
3 1 x y 3
Biến đổi phương trình
x 3 1 y 1
3 1 x
3 1 x y 3
3 1
3 1 y 3 1
3 1 x 2 y
3 1 x y 3
1
3 y 1
y 3
3 1 x y 3
3 1 x y 3
1
1
y
y
3
3
1
3
x y 3
3
x
3 1
3 1
1
y 3
x 3 3 1
3 3 1
4 3
3
3 3 1
3 1 3 3 1
4 3 1
;
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
3
3
3 1
Bài 13. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M và N trong mỗi
trường hợp sau:
a. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1;3 và N 2; 2 :
Điểm M 1;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3 a b 1
Điểm N 2; 2 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 2 2a b
2
1
a
3 a b
3
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
2 2a b
b 8
3
Vậy, a
1
8
và b .
3
3
b. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1; 3 và N 2; 3 :
Điểm N 2; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
3 a b 1
Điểm M 1; 3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình:
2
3 2a b
3 a b
a 0
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
b 3
3 2a b
a 0
Vậy,
.
b 3
c. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 0;0 và N 3;3 :
Điểm M 0;0 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: b 0 1
Điểm N 3;3 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 3 3a b
2
b 0
a 1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
3 3a b
b 0
a 1
.
Vậy,
b 0
d. Hàm số y ax b đi qua hai điểm M 1; 4 và N 4; 1 :
Điểm M 1; 4 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 4 a b 1
Điểm N 4; 1 thuộc đồ thị hàm số nên ta có phương trình: 1 4a b
4 a b
a 1
Suy ra: a, b là nghiệm của hệ phương trình
1 4a b
b 3
a 1
.
Vậy,
b 3
Bài 14. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
2
- Xem thêm -
.PDF 
41 
1 
97 
