Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
I. CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x2 a .
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là
a , số âm kí
hiệu là a .
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
Với số dương a, số
a đgl căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đgl căn bậc hai số học của 0
Với hai số không âm a, b, ta có: a < b
2. Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số, ta gọi
a b.
A là căn thức bậc hai của A.
A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
A
neá
u A 0
A2 A
A
neá
u A 0
Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ
0 0.
A có nghĩa A 0
A CÓ NGHĨA
1
có nghĩa A > 0
A
Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
3x
b)
3x 1
e)
4 2x
c)
9x 2
2
1
b) x 2
c) x
d) x
ĐS: a) x 0
3
3
Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x
x
b)
x2
a)
x2
x 2
x2
d)
d)
1
3 2x
ĐS: a) x 2
e)
b) x 2
4
2x 3
c) x 2
d) x
3
2
3x 2
6x 1
2
e) x
9
f)
f) x
1
6
x
x2
x 4
2
f)
x 1
3
e) x
f) x 1
2
c)
2
Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x2 1
b)
4 x2 3
e) x 5
d) x2 2x 1
b) x R
c) x R
d) x 1
ĐS: a) x R
Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
c)
9 x2 6 x 1
f) 2x2 1
e) x 5
f) không có
a)
4 x2
b)
x2 16
c)
x2 3
d)
x2 2 x 3
e)
x( x 2)
f)
x2 5x 6
1
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
ĐS: a) x 2
b) x 4
c) x 3
d) x 1 hoặc x 3 e) x 2 hoặc x 0
f) x 2 hoặc x 3
Bài 5. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)
x 1
b)
d)
x 2 x 1
e)
ĐS: a) x 1
x 1 3
1
4 x
1
c)
f)
9 12x 4x2
b) x 2 hoặc x 4 c) x 4
x 2 x 1
3
e) x
2
d) x 1
f) x 1
Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
A
neá
u A 0
A2 A
A
neá
u
A 0
Áp dụng:
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) 0,8 (0,125)2
d)
2
2 3
2
ĐS: a) 0,1
b)
(2)6
e)
1 1
2 2
c) 2 3
b) 8
c)
f)
0,1
2
d) 3 2 2
3 2
1
e)
2
2
0,1
1
2
2
f)
0,1 0,1
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
3 2 2
c)
2 3 2 1 3 2
e)
2
5 2
2
3 2 2
2
5 2
2
ĐS: a) 6
b) 4 6
c) 1
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
b)
5 2 6 2 5 2 6 2
d)
3
f)
2
2
2 1
d) 4
2
1
2
2 5
e) 2 5
2
2
f) 2 2 4
a)
5 2 6 5 2 6
b)
7 2 10 7 2 10
c)
42 3 4 2 3
d)
24 8 5 9 4 5
e) 17 12 2 9 4 2
f)
6 4 2 22 12 2
b) 2 2
c) 2 3
ĐS: a) 2 2
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)
5 3 29 12 5
d) 3 5 4
b) 13 30 2 9 4 2
d) 5 13 4 3 3 13 4 3
ĐS:
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
a)
ĐS:
c)
3 2 5 2 6
e) 1 3 13 4 3 1 3 13 4 3
2
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC
A
neá
u A 0
Áp dụng:
A2 A
neá
u A 0
A
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x 3 x2 6x 9 ( x 3)
b)
x2 2 x 1
( x 1)
x 1
ĐS: a) 6
b) 2
c) 1
Bài 2. * Rút gọn các biểu thức sau:
d) x 2
c)
a) 1 4a 4a2 2a
d) 2x 1
x2 4x 4 x2 (2 x 0)
x2 4 x 4
( x 2)
x2
d) 1 x
b) x 2y x2 4xy 4y2 c) x2 x4 8x2 16
x2 10x 25
x5
e)
x 4 4 x2 4
f)
x 2
2
( x 4)2
x4
x2 8x 16
ĐS:
Bài 3. Cho biểu thức A x2 2 x2 1 x2 2 x2 1 .
a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
b) Tính A nếu x 2 .
ĐS: a) x 1 hoặc x 1
b) A 2
Bài 4. Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: xy yz zx 1 . Tính:
A x
(1 y2 )(1 z2 )
1 x2
y
(1 z2 )(1 x2 )
1 y2
z
(1 x2 )(1 y2 )
1 z2
ĐS: A 2 . Chú ý: 1 y2 ( xy yz zx) y2 ( x y)( y z) ,
1 z2 ( y z)( z x) , 1 x2 ( z x)( x y)
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
ĐS:
Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A2 A ;
Áp dụng:
A 0 (hay B 0)
A B
A B
A 0
A 0
hay
A
B
A B
A B
A B A B hay A B
A2 B2 A B ;
B 0
A B
2
A B
B 0
A B
A B hay A B
A B 0 A 0
B 0
3
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
A 0
A B 0
B 0
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
( x 3)2 3 x
b)
4x2 20x 25 2x 5 c) 1 12x 36x2 5
d)
x 2 x 1 2
e)
x 2 x 1 x 1 1 f)
5
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:
ĐS: a) x 3
b) x
c) x 1; x
2
3
d) x 2
1
1 1
x2 x
x
2
16 4
e) x 2
f) x
2x 5 1 x
b)
x2 x 3 x
c)
2 x2 3 4 x 3
2x 1 x 1
4
ĐS: a) x
b) x 3
3
Bài 3. Giải các phương trình sau:
e)
x2 x 6 x 3
f)
x2 x 3x 5
a)
d)
c) x 2
d) vô nghiệm e) x 3
a)
x2 x x
b) 1 x2 x 1
d)
x2 1 x 2 1 0
e)
ĐS: a) x 0
b) x 1
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
x2 2 x 1 x2 1
1
x
4
ĐS: a) x 1; x 2
d)
x2 x
c)
x2 4 x 2 0
1
4
f) vô nghiệm
x2 4 x 3 x 2
f) 1 2x2 x 1
c) vô nghiệm d) x 1; x 2
e) x 2
f) vô nghiệm
b)
4 x2 4 x 1 x 1
c)
x 4 2 x2 1 x 1
e)
x4 8x2 16 2 x
f)
9x2 6x 1 11 6 2
b) vô nghiệm c) x 1
d) vô nghiệm e) x 2; x 3; x 1
2 2
24
;x
3
3
Bài 5. Giải các phương trình sau:
f) x
a) 3x 1 x 1
b) x2 3 x 3
x2 4x 4 4x2 12x 9
1
ĐS: a) x 0; x
b) x 3; x 3 1; x 3 1
2
Bài 6. Giải các phương trình sau:
c)
9x2 12x 4 x2
d)
a) x2 1 x 1 0
b)
c) x 1; x
1
5
d) x 1; x
2
3
x2 8x 16 x 2 0 c) 1 x2 x 1 0
d) x2 4 x2 4x 4 0
ĐS: a) x 1 b) vô nghiệm c) x 1
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
b)
ĐS:
d) x 2
4
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA
Khai phương một tích:
A.B A. B ( A 0, B 0)
Nhân các căn bậc hai:
A. B A.B ( A 0, B 0)
A
B
Khai phương một thương:
A
Chia hai căn bậc hai:
B
A
( A 0, B 0)
B
A
( A 0, B 0)
B
Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a) 12 2 27 3 75 9 48 b) 2 3( 27 2 48 75) c) 2 2 3
d) 1 3 2 1 3 2 e)
3 5 3 5
c) 11 4 6
ĐS: a) 13 3 b) 36
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
c)
6 2 3 2
f)
62
f)
4 2 3
2 3
2
10 2 10
8
5 2 1 5
d)
3 5 . 3 5
10 2
2 12 18 128
2
e) 4 5
d) 2
3 5 3 5
e)
b)
b)
f)
d) 2
e)
1
2 2 3
f)
3 1
8 3 2 25 12 4
2 1 2 1
3
1
2 2 3
192
3
f) 14
e) 10
2 8 12
5 27
c)
18 48
30 162
6
c) 4
2
Bài 5. Thực hiện các phép tính sau:
ĐS: a) –2
2
3 1
3 1
2
2
ĐS: a) 4 5
b) 6
c) 0
Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:
a)
f) 2 7 4
e) 10
a) 2 5 125 80 605 b) 15 216 33 12 6 c)
2 3 6 2
11 7
d) 4 15 10 6 4 15
32
a) 2
b) 3 3
c) 2
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
d)
11 7
21 12 3 3
b)
e) 13 160 53 4 90
ĐS: Chú ý:
2
d) 2 2 3
2 3 2 3
a)
2
2 3
2 3
2 3
2 3
f)
5 2 8 5
2 54
2
d) 1
5
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
b) B 4 10 2 5 4 10 2 5
a) A 12 3 7 12 3 7
c) C 3 5 3 5
ĐS: Chứng tỏ A 0, B 0, C 0 . Tính A2 , B2 , C2 A 6 ; B 5 1, C 10
Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1. Rút gọn các biểu thức:
15 6
a)
b)
35 14
2 3 6 8 16
d)
2 3 4
3
ĐS: a)
b)
7
x
e)
5
2
e)
c)
10 15
c)
8 12
x xy
f)
y xy
3 2
1 2
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
aa b bb a
ab 1
d) 1 2 . Tách 16 4 4
a b
f)
ab 1
y
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x xy y
c)
x y
y 2
x 1
y 1
ĐS: a)
x y
y 1
( x 1)4
b)
xy
2
b)
x 2 x 1
x 2 x 1
( x 0)
2
( x 1, y 1, y 0)
x 1
x 1
c)
1
1
nếu 0 y 1 và
nếu y 1
1 x
x 1
Bài 3. Rút gọn và tính:
a)
a 1
b 1
:
b 1
a 1
với a 7,25; b 3,25
c) 10a2 4a 10 4 với a
ĐS: a)
a 1 5
;
b 1 3
b) 4
2
5
5
2
c) 5
b) 15a2 8a 15 16 với a
3
5
5
3
d) a2 2 a2 1 a2 2 a2 1 với a 5
d) 2
Bài 4.
a)
ĐS:
6
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
d)
2x 3
2
x 1
9x 7
7x 5
ĐS: a) x
b)
7x 5
1
2
e)
2x 3
x 1
2
4x 20 3
c)
4 x2 9 2 2 x 3
x5 1
9x 45 4
9
3
3
7
b) vô nghiệm c) x ; x
2
2
d) x 6
e) x 9
Bài 2.
a)
ĐS:
Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. So sánh các số:
b) 8 5 và 7 6
a) 7 2 và 1
ĐS:
Bài 2. Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
a b
b) a b a b
a)
ab
2
d) a b c ab bc ca e)
c)
2005 2007 và
c) a b
2006
1
a b
2
a b
a b
2
2
ĐS:
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A x 2 4 x
ĐS: a) A 2 x 3
Bài 4.
a)
ĐS:
b) B 6 x x 2
b) B 4 x 2
c) C x 2 x
c) C 2 x 1
7
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
A2B A B
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì
Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B A2B
A
B
Với A.B ≥ 0 và B 0 thì
Với A ≥ 0 và A B2 thì
+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B A2B
AB
B
C
AB
Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A B thì
A2B A B
A
+ Với B > 0 thì
B
C( A B)
C
A B
B
A B2
A B
C( A B )
A B
Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
125 4 45 3 20 80
a)
27
48 2
4
9 5
5 5 5
e) 1
1 5 1
c) 2
ĐS: a) 5 5
b)
99 18 11 11 3 22
75
16
d) 3
9
49
25
8
2
18
1
5
f)
1
5
b) 22
c)
7 3
6
3 2
d)
5 2
12
1
3 2
e) 4
f) 2 3
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
c)
e)
7 5 6 2 7
6
5
2
4
7 2 4 7
1
3 2 5
1
3
1
3 2
62
d)
1
3 2 5
1
5
1
3 12
6
32 7 20
17 6
b)
9
6
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)
ĐS:
ĐS: a)
2
b)
f)
c)
30
6
2
5
62
6
6 2 5
1
:
1 3
5 5 2
2 3 3 13 48
6 2
d) 3
e)
3
2
f) 1
8
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
x 11
a) A
c) C
e) E
x2 3
b) B
, x 23 12 3
a4 4a2 3
a4 12a2 27
, a 3 2
1
2(1 a )
d) D
1
2(1 a )
1
h 2 h 1
a2 2
1 a3
1
h 2 h 1
, a 2
, h3
3
3
3
, x 2( 3 1) f) F
1 a :
1 , a
2 3
1 a
1 a2
x2 4 x 2
2 x 2 x2 4
ĐS: a) A x 2 3 2 3
d) D
2 h 1
2 2
h 2
b) B
1
2 3
7
1 a a2
1
3 1
e) E
2
x2
c) C
a2 1
a2 9
5 2 6
f) F 1 a 3 1
Bài 2.
a)
ĐS:
Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
c)
x 1 4x 4 25x 25 2 0
b)
1
3
x 1
17
x 1
9x 9 24
2
2
64
9x2 18 2 x2 2 25x2 50 3 0 d) 2x x2 6x2 12x 7 0
e) ( x 1)( x 4) 3 x2 5x 2 6
ĐS: a) x 2
b) 290
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
ĐS:
f)
c) vô nghiệm d) x 1 2 2 e) x 2; x 7
Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho biểu thức:
Sn ( 2 1)n ( 2 1)n (với n nguyên dương).
a) Tính S2; S3 .
b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m n , ta có: Sm n Sm.Sn Sm n
c) Tính S4 .
ĐS: a) S2 6; S3 10 2
Bài 2. Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh Sm n Sm n SmSn c) S4 34
Sn ( 3 2)n ( 3 2)n (với n nguyên dương).
S2n Sn2 2
b) Tính S2 , S4 .
HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a2 b2 (a b)2 2ab
b) S1 2 3; S2 10; S4 98
9
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
Sn (2 3)n (2 3)n
Bài 3. Cho biểu thức:
a) Chứng minh rằng:
S3n 3Sn Sn3
(với n nguyên dương).
b) Tính S3, S9 .
HD: a) Sử dụng hằng đẳng thức a3 b3 (a b)3 3ab(a b) . Chứng minh S3n Sn3 3Sn .
b) S1 4; S3 61; S9 226798 .
Bài 4.
a)
HD:
IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến
đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và
trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.
x 1
A
Bài 1. Cho biểu thức:
x 2
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
ĐS: a) x 0, x 4
b) A
2 5 x
.
4 x
x 2
b) Rút gọn biểu thức A.
2 x
3 x
c) Tìm x để A 2 .
c) x 16
x 2
x 2
x 2 (1 x)2
.
A
.
2
x 1 x 2 x 1
a) Rút gọn A nếu x 0, x 1. b) Tìm x để A dương
c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
1
1
b) 0 x 1 c) max A khi x .
ĐS: a) A x x
4
4
Bài 2. Cho biểu thức:
A
Bài 3. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
x 1
ĐS: a) A
x 3
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A
x 3 2 x 1
.
x5 x 6
x 2 3 x
b) Tìm x để A 1 .
b) 0 x 9; x 4 .
A
Bài 4. Cho biểu thức:
2 x 9
2a 2 a 2
a a 1 a a 1
a 1
1 a 1
a
.
a a a a
a a 1
a 1
b) Tìm a để A 7
c) Tìm a để A 6 .
b) a 4; a
a
Bài 5. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A
25 x
x 3
Bài 6. Cho biểu thức:
A
15 x 11
x2 x 3
1
4
3 x 2
1 x
1
b) Tìm x để A .
2
b) x
c) a 0, a 1 .
2 x 3
3 x
.
1
.
121
x x 3
x 2
x 2
A 1
:
.
1 x x 2 3 x x 5 x 6
10
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
b) Tìm x để A 0 .
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A
x 2
b) 0 x 4 .
1 x
Bài 7. Cho biểu thức:
A
a2 a
2a a
a) Rút gọn A.
a a 1
a
b) Tìm a để A 2 .
ĐS: a) A a a
b) a 4
1.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
1
1
c) min A khi a .
4
4
2
Bài 8. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
1 a
ĐS: a) A
a
Bài 9. Cho biểu thức:
a
1 a 1
a 1
A
.
2 2 a a 1
a
1
b) Tìm a để A 0 .
c) Tìm a để A 2 .
b) a 1
c) a 3 2 2 .
2a a 1 2a a a a a a
.
A 1
.
1 a a
1 a
2 a 1
b) Tìm a để A
a) Rút gọn A.
6
1 6
.
c) Chứng minh rằng A
2
.
3
ĐS:
Bài 10. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
ĐS: a) A
5
3 x
Bài 11. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
a2
ĐS: a) A
x5 x
25 x
x 3
x 5
A
1 :
.
x 25
x 2 x 15
x 5
x 3
b) Tìm x để A 1 .
b) x 4; x 9; x 25 .
1
1 a 1
a 2
A
.
:
a a2
a 1
a 1
1
b) Tìm a để A .
6
b) a 16 .
3 a
Bài 12. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.
4x
ĐS: a)
1 x2
Bài 13. Cho biểu thức:
x 1 x 1 2
x
1
A
:
.
2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
c) Tìm x để A 5 .
b) Tính giá trị của A khi x 3 8 .
1
b) x 2
c) x
; x 5.
5
y xy x
y
x y
B x
:
.
x y xy y
xy x
xy
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x 3, y 4 2 3 .
ĐS: a) B y x
b) B 1 .
11
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
Bài 14. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
x
ĐS: a) B
y
Bài 15. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
ĐS:
B
x3
2x
1 x
.
xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y 625 và B 0,2 .
.
b) x 2;3; 4 .
1
1
2
1 1 x3 y x x y y3
B
:
.
.
y x y x y
x
x3y xy3
b) Cho x.y 16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.
1
3 ab
1
3 ab
a b
Bài 16. Cho biểu thức: B
.
:
a b a a b b a b a a b b a ab b
a) Rút gọn B.
b) Tính B khi a 16, b 4 .
ĐS:
Bài 17. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
ĐS:
xy
x3 y3
:
B
x y
y x
b) Chứng minh B 0 .
x y
2
xy
x y
.
Bài 18. Cho biểu thức:
a 1
ab a a 1
ab a
1 :
1 .
B
ab 1
ab 1
1
1
ab
ab
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B nếu a 2 3 và b
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu
ĐS:
Bài 19. Cho biểu thức:
a)
ĐS:
3 1
1 3
.
a b 4.
12
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
V. CĂN BẬC BA
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 a .
Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
A B 3 A 3 B
3
A.B 3 A.3 B
Với B 0 ta có:
3
A
B
3
A
3
B
Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Áp dụng:
3 3
a a;
3 a 3 a
và các hằng đẳng thức: (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 ,
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ,
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
3
( 2 1)(3 2 2)
b)
3
(4 2 3)( 3 1)
d)
3 4 13 3 4 13
e)
3 9 3 6 3 4 3 3 3 2
ĐS: a) 2 1 b) 3 1
c) 3
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
d) 123 2 2
c)
3
64 3 125 3 216
e) 5.
a) A 3 2 5 3 2 5
b) B 3 9 4 5 3 9 4 5
c) C (2 3).3 26 15 3
d) D 3 3 9
3
1 5
ĐS: a) A 1 . Chú ý: 2 5
2
125 3
125
3 9
27
27
3 5
b) B 3 . Chú ý: 9 4 5
2
3
c) C 1. Chú ý: 26 15 3 (2 3)3
d) D 1. Đặt a 3 3 9
125
125
5
, b 3 3 9
a3 b3 6, ab . Tính D 3 .
3
27
27
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a)
ĐS:
Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
13
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
1 1 1
1
x y z
Bài 1. Chứng minh rằng, nếu: ax3 by3 cz3 và
3
thì
ax2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c .
HD: Đặt ax3 by3 cz3 t a
t
3
x
t
,b
3
t
,c
y
3
. Chứng tỏ VT VP 3 t .
z
Bài 2. Chứng minh đẳng thức:
2
1 3
x 3 y 3 z 3 x 3 y
2
HD: Khai triển vế phải và rút gọn ta được vế trái.
Bài 3.
a)
Dạng 3: SO SÁNH HAI SỐ
x y z 33 xyz
Áp dụng:
2
2
3 y 3 z 3 z 3 x
A B 3 A 3 B
Bài 1. So sánh:
a) A 23 3 và B 3 23
ĐS: a) A B
b) A B
Bài 2. So sánh:
b) A 33 và B 33 133
c) A B
c) A 53 6 và B 63 5
a) A 3 20 14 2 3 20 14 2 và B 2 5
ĐS: a) A B . Chú ý: 20 14 2 2 2 .
Bài 3.
a)
3
Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Áp dụng:
3
A B A B3
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
3
2x 1 3
b)
3
2 3x 2
d)
3
x3 9x2 x 3
e)
3
5 x x 5
10
3
Bài 2. Giải các phương trình sau:
ĐS: a) x 13
b) x
c) x 0; x 1; x 2
c)
d) x 1
3
x 1 1 x
e) x 5; x 4; x 6
a) 3 x 2 x 1 3
b) 3 13 x 3 22 x 5
c) 3 x 1 x 3
ĐS: Sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ, đưa về hệ phương trình.
a) x 3
b) x 14; x 5
c) x 7
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
ĐS:
14
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b) ( 28 2 3 7) 7 84
20 45 3 18 72
c)
6 5 120
2
1 1 3
1
4
2
200 :
d)
5
2 2 2
8
ĐS: a) 15 2 5
b) 21
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
1
5 3
1
c) 11
b)
5 3
d) 54 2
42 3
c)
6 2
1
2 3
2
6
2
3 3
2
3
c) 1
2
3
Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
ĐS: a) 3
b)
a) 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9
2
c)
4
2 5
2
4
2 5 2
8
b)
2 3 2 3 6
d) 11 6 2 11 6 2 6
ĐS: Biến đổi VT thành VP.
Bài 4. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
a)
2 3 và 10
b)
2003 2005 và 2 2004
c)
5 3 và
3 5
b) 2003 2005 2 2004
c) 5 3 3 5
2x
x 1 3 11x
A
Bài 5. Cho biểu thức:
với x 3 .
x 3 3 x x2 9
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A < 2. c) Tìm x nguyên để A nguyên.
3x
ĐS: a) A
b) 6 x 3; x 3
c) x { 6; 0; 2; 4; 6; 12} .
x3
x 1 x 1 x2 4x 1 x 2003
A
Bài 6. Cho biểu thức:
.
.
x 1 x 1
x
x2 1
a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
ĐS: a)
2 3 10
15
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
x 2003
x
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
A
x x 1
4
1
ĐS: max A khi x .
3
4
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ĐS: a) x 0; x 1
c) x { 2003;2003} .
b) A
A 1 6x 9x2 9x2 12x 4
ĐS: Sử dụng tính chất a b a b , dấu "=" xảy ra ab 0 . min A 1 khi
1
2
x .
3
3
Bài 9. Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
A
x 1
x 3
ĐS: x {49;25;1;16; 4} . Chú ý: A 1
4
x 3
. Để A Z thì
x Z và
x 3 là ước của 4.
x 2
x 2 x 1
Q
.
.
x 2 x 1 x 1
x
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Bài 10. Cho biểu thức:
a) Rút gọn Q.
2
ĐS: a) Q
x 1
b) x {2;3} .
1
1
a 1
với a 0, a 1 .
M
:
a 1 a 2 a 1
a a
a) Rút gọn biểu thức M.
b) So sánh giá trị của M với 1.
Bài 11. Cho biểu thức
ĐS: a) M
a 1
1
a
1
b) M 1.
a
1
x3
2
x 2
P
.
2x x
x 1 2 2 x
x x 1
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.
Bài 12. Cho biểu thức
c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 .
ĐS: a) x 1; x 2; x 3
b) P
2 x
c) P 2 1 .
x
a) Rút gọn B.
2x 1
1 x3
x
.
B
x với x 0 và x 1 .
3
1 x
x
x
1
x 1
b) Tìm x để B = 3.
ĐS: a) B x 1
b) x 16 .
Bài 13. Cho biểu thức:
Bài 14. Cho biểu thức:
1
1
2
1 1 x3 y x x y y3
:
A
.
y x y x y
x
x3y xy3
với x 0, y 0 .
a) Rút gọn A.
16
Carot.vn- Cổng luyện thi THPT Quốc Gia, luyện thi vào lớp 10, ViOlympic
b) Biết xy 16 . Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
ĐS: a)
x y
b) min A 1 x y 4 .
xy
Bài 15. Cho biểu thức:
a) Rút gọn P.
P
1
x 1
x
xx
.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x
1
.
2
x 1
1 x
Bài 16. Cho biểu thức:
a)
ĐS:
ĐS: a) P
b) P 3 2 2 .
17
- Xem thêm -
.PDF 
17 
53 
141 
