Tài liệu Chuyên đề căn bậc hai căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √a^2 =a

CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Căn bậc hai số học • Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x 2 = a • Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là − a • Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 =0 a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học • Với số dương a, số của 0. • Với hai số không âm a, b, ta có a < b ⇔ a < b II. Căn thức bậc hai A là căn thức bậc hai của A. • Với A là một biểu thức đại số, ta gọi • A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0. .A ≥ 0 A 2 A= A =  .A < 0 −A B. BÀI MINH HỌA I. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng 1. Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) −3x b) 4 − 2x c) −3x + 2 d) 3x + 1 e) 9x − 2 f ) 6x − 1 Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: x x x a) b) c) 2 + x−2 + x−2 + x−2 x−2 x+2 x −4 1 4 −2 d) e) f) 3 − 2x 2x + 3 x +1 Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) x 2 + 1 b) 4x 2 + 3 d) − x 2 + 2x − 1 c) 9x 2 − 6x + 1 e) − x + 5 f ) −2x 2 − 1 Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) 4 − x 2 b) x 2 − 16 c) x 2 − 3 d) x 2 − 2x − 3 e) x ( x + 2 ) f ) x 2 − 5x + 6 Lời giải Bài 1: a)x ≤ 0 d)x ≥ Bài 2: −1 3 b)x ≤ 2 e)x ≥ 2 9 2 3 1 f )x ≥ 6 c)x ≤ 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) x + x−2 x−2 x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 ⇔ ⇔x>2 Điều kiện của biểu thức là  x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 Vậy điều kiện của biểu thức là x > 2 x b) + x−2 x+2 x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 ⇔ ⇔x≥2 Điều kiện của biểu thức là  x + 2 ≠ 0  x ≠ −2 Vậy điều kiện của biểu thức là x ≥ 2 x c) 2 + x−2 x −4 x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 ⇔ ⇔x>2 Điều kiện  2 x ≠ ± 2 x − 4 ≠ 0   Vậy điều kiện của biểu thức là x > 2 1 A dạng với A > 0 3 − 2x B 1 3 ⇒ Điều kiện ≥ 0 ⇔ 3 − 2x > 0 ⇔ x < 3 − 2x 2 3 Vậy điều kiện của biểu thức là x < 2 d) A 4 . Dạng với A > 0 B 2x + 3 4 3 ⇒ Điều kiện ≥ 0 ⇔ 2x + 3 > 0 ⇔ x > − 2x + 3 2 3 Vậy điều kiện của biểu thức là x > − 2 e) −2 A dạng với A < 0 x +1 B −2 ⇒ Điều kiện ≥ 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1 x +1 Vậy điều kiện của biểu thức là x < −1 Bài 3. a) Vì x 2 + 1 > 0∀x . Vậy hàm số luôn xác định ∀x ∈  b) Vì 4x 2 + 3 > 0∀x . Vậy hàm số luôn xác định ∀x ∈  f) c) 9x 2 − 6x += 1 ( 3x − 1) . Vì ( 3x − 1) ≥ 0∀x ∈  2 2 Vậy hàm số xác định với mọi x d) − x 2 + 2x − 1 = − ( x 2 − 2x + 1) = − ( x − 1) 2 Hàm số xác định ⇔ − ( x − 1) ≥ 0 ⇔ x − 1= 0 ⇔ x = 1 2 Vậy hàm số xác định khi x = 1 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com e) − x +5 Điều kiện − x + 5 ≥ 0 ⇔ x + 5 =0 ⇔ x =−5 f) −2x 2 − 1 Điều kiện −2x 2 − 1 =− ( 2x 2 + 1) < 0∀x Vậy không tồn tại giá trị x để hàm số có nghĩa Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) Điều kiện của biểu thức là 4 − x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 Vậy điều kiện của biểu thức là −2 ≤ x ≤ 2 b) Điều kiện của biểu thức là x 2 − 16 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ −4 Vậy điều kiện của biểu thức là x ≥ 4 hoặc x ≤ −4 c) Điều kiện của biểu thức là x 2 − 3 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 3 ⇔ x ≥ 3 hoặc x ≤ − 3 Vậy điều kiện của biểu thức là x ≥ 3 hoặc x ≤ − 3 x + 1 ≥ 0  x ≥ −1 ⇔ ⇔ x≥3  x − 3 ≥ 0 x ≥ 3 2  d) x − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ ( x + 1)( x − 3) ≥ 0 ⇔ x + 1 ≤ 0  x ≤ −1  ⇔ ⇔ x ≤ −1 x ≤ 3   x − 3 ≤ 0 Vậy biểu thức xác định khi x ≥ 3 hoặc x ≤ −1 e) Điều kiện của biểu thức là x ( x + 2 ) ≥ 0 ⇔ x ≤ −2 hoặc x ≥ 0 Vậy điều kiện của biểu thức là x ≤ −2 hoặc x ≥ 0 f) Điều kiện của biểu thức là x 2 − 5x + 6 ≥ 0 ⇔ ( x − 2 )( x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 Vậy điều kiện của biểu thức là x ≤ 2 hoặc x ≥ 3 Dạng 2. Tính giá trị biểu thức Trong các bài toán tính giá trị biểu thức và bài toán rút gọn thường xuất hiện các dạng biểu thức “ẩn” của các hằng đẳng thức. Để tính toán và giải quyết nhanh bài toán, các em cần biến đổi, và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới. Sử dụng hằng đẳng thức trong bài toán chứa căn Chú ý: x = ( x) 2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 ( x) x ≥ 0; x x = 3 Ví dụ minh họa 1.6 + 2 5 = 5 + 2 5 + 1 = ( 5) 3 + 2 3 +1= 3.x + 2 x += 1 ( x) 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com +2 ( + 2 5 +1 = 2 2 ) ( 5 +1 ( 3 ) + 2 3 +1= x += 1 ( x + 1) 2. 4 + 2 3 = 2 2 2 ) 2 3 +1 = 3 +1 (a − b) 2 =a 2 − 2ab + b 2 1.6 − 2 5 = 5 − 2 5 + 1 = ( 5) 2 − 2 5 +1 = ( ) 2. 7 − 2 10 = 5 − 2 5. 2 + 2 =5 3. x 2 + 3 − 4 x 2 − 5= ( = a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) x2 − 5 2. ( 2 −1 = x +1 22 − 4−a = 2− a 2. ) ( )( ) x +1 = x +1 x = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 = 3 ( =a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b3 3 ( 2 ( −2 ) b) ( a) 3 += a 1− a ( ) (1 − a )(1 + c) e) (3 − 2 2 ) + (3 + 2 2 ) ( 2 − 3 ) + (1 − 3 ) ( 5 − 2) + ( 5 + 2) 2 2 6 2 ( ( 1− a ( ) x  x + 1   = x − x +1 ) x x x +1 = x − x +1 ) x ( )+ a ) 3 3 3 + 9 + 3 3 + 1= 3 ( 3 +1 = ) 3 ( 3 −1 = 3 3 +1 3 6 3 − 10 = ) 3 3 3 − 9 + 3 3 − 1= ) 3 x − 1 = x x − 3x + 3 x − 1 c) ( 3−2 ) 2 (2 d) f) (5 − 2 6 ) − (5 + 2 6 ) (3 + 2 ) − (1 − 2 ) ( 2 + 1) − ( 2 − 5) Bài 3. Thực hiện các phép tính sau: 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 2 2 2 2 2 2 −3 ) 2 3 )( 3 −1 ) x +1 x − x +1 x − x +1 x + 1 = x x + 3x + 3 x + 1 d) 2 3 x +1 10 + 6 3 = b) 2 2 a +a 2 Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: a) 2 2+ a 2− a Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: ( −0,125) ( =5 − 2 2 1− 1− a a += a 1− a x + x 2. = x − x +1 a) − 0,8 2 x −1 ( a ) = ( 2 − a )( 2 + a )= 2− a 2 3 ( 2) 1.x 3 − 27 = ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) (a − b) − 2 5. 2 + x2 − 5 − 2 + 4 ≥ 2 x −1 =1 + a + a + a = 1 + a 3 2 1.x 3 − 27 = ( x − 3) ( x 2 + 3x + 9 ) a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) ) 5 −1 x2 − 5 − 4 x2 − 5 + 4 + 4 − 4 x 2 − 5 + 4= +4 ( x) x −1 = x +1 1. ) 2 2 ( ) 2 a) 5 + 2 6 − 5 − 2 6 b) 7 − 2 10 − 7 + 2 10 c) 4 − 2 3 + 4 + 2 3 d) 24 + 8 5 + 9 − 4 5 e) 17 − 12 2 + 9 + 4 2 f ) 6 − 4 2 + 22 − 12 2 Bài 4. Thực hiện các phép tính sau: a) c) ( 3− 2 ) 2  8−4 3   4+ 2 3  b)   −   − 6 2    1+ 3  5+ 2 6 5 − 9 − 29 − 12 5 2 d) 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Lời giải Bài 1: a) Biến đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) 2 = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) 6 =( −2 ) =−8 =8 3 Vậy biểu thức có giá trị là: 8 c) Biến đổi biểu thức: ( 3−2 ) 2 = 3 − 2 = 2 − 3 vì 3−2<0 Vậy biểu thức có giá trị là 2 − 3 d) Biến đổi biểu thức (2 2 −3 ) 2 3 8 =9 − 8 > 0 = 2 2 − 3 = 3 − 2 2 vì 3 − 2 2 =− Vậy biểu thức có giá trị là 3 − 2 2 Bài 2: a) Biến đổi biểu thức: (3 − 2 2 ) 2 + (3 + 2 2 ) 2 − (5 + 2 6 ) 2 = 3− 2 2 + 3+ 2 2 = 3− 2 2 +3+ 2 2 = 6 (vì 3 − 2 2 > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: 6 b) Biến đổi biểu thức (5 − 2 6 ) 2 ( ) ( ) =5 − 2 6 − 5 + 2 6 =5 − 2 6 − 5 + 2 6 =−4 6 (vì 5 − 2 6 > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: −4 6 c) Biến đổi biểu thức (2 − 3) 2 + (1 − 3 ) − (1 − 2 ) 2 = 2 − 3 + 1− 3 = 2 − 3 + 3 −1 = 1 (Vì 2 − 3 > 0;1 − 3 < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: 1 d) Biến đổi biểu thức (3 + 2 ) 2 2 = 3 + 2 − 1− 2 = 3 + 2 − ( ) 2 −1 = 4 (vì 3 + 2 > 0;1 − 2 < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: 4 e) Biến đổi biểu thức vì ( 5− 2 ) 2 + ( 5+ 2 5 − 2 > 0; 5 + 2 > 0 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) 2 = 5− 2 + 5+ 2 = 5− 2+ 5+ 2 =2 5 Vậy biểu thức có giá trị là: 2 5 ( f) Biến đổi biểu thức (Vì ) ( 2 2 +1 − ) 2 2 −5 = 2 +1 − ( 2 − 5= ) 2 +1− 5 − 2 = 2 2 − 4 2 + 1 > 0; 2 − 5 < 0 ) Vậy biểu thức có giá trị là 2 2 − 4 Bài 3: a) 5 + 2 6 − 5−2 6 Ta có: 5 + 2 6 = 3 + 2 3 2 + 2 = ( 5+ 2 6 − 5−2 6 = Nên = 2 2 vì ( ) 2 3 + 2 ; 5 − 2 6 = 3 − 2 3. 2 + 2 = 3+ 2 ) 2 ( − 3− 2 ) 2 = ( 3− 2 3+ 2 − 3− 2 = ( ) 2 ) ( 3+ 2 − 3− 2 ) 3 + 2 > 0; 3 − 2 > 0 Vậy biểu thức có giá trị là 2 2 b) 7 − 2 10 − 7 + 2 10 Ta có: 7 − 2 10 = 5 − 2 5. 2 + 2 = ( ) 2 5 − 2 ;7 + 2 10 = 5 + 2 5. 2 + 2 = ( 5+ 2 ) 2 Nên ( 7 − 2 10 − 7 + 2 10 = 5 − 2 vì ) 2 − ( 5+ 2 ) 2 ( 5 − 2 > 0; 5 + 2 > 0 Vậy biểu thức có giá trị là −2 2 c) Biến đổi biểu thức 4−2 3 + 3+ 3 = 3 ( ) Vậy biểu thức có giá trị 2 3 d) Biến đổi biểu thức ( 24 + 8 5 + 9 − 4 5= ) = 4 ( 5 + 2 5 +1 + = 4 ( 5 +1 + 2 ) 2 ( 2 3 −1 + 5−2 3. ( )= 3 +1 3 ) 4 6 + 2 5 + 9 − 4 5= 2 5 − 2 5.2 + 22 ) 2 = 2 5 +1 + 5 − 2 2 3 5 = 2 5 +2+ 5 −= Vậy biểu thức có giá trị 3 5 e) Biến đổi biểu thức 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( =5 − 2 − 5 + 2 =5 − 2 − 3 − 1 + 3 + 1= ( 3 − 1 + 3 + 1= 2 3 ) 4 5 + 2 5 +1 + 5 − 4 5 + 4 ) −2 2 5+ 2 = 17 − 12 2 + 9 + 4 2 9 − 12 2 + 8 + 8 + 4 2 + 1 = ( ) + (2 2 ) ( 2 2 + 1) 2 =32 − 2.3.2 2 + 2 2 ( =3− 2 2 ) 2 + 2 + 2.2 2 + 12 2 = 3 − 2 2 + 2 2 +1 = 3 − 2 2 + 2 2 +1 = 4 Vậy biểu thức có giá trị là 4 f) Biến đổi biểu thức 6 − 4 2 + 22 − 12 2 4 − 4 2 + 2 + 18 − 12 2 + 4 = (3 2 ) (3 2 − 2) 2 = 22 − 2.2 2 + 2 + ( = 2− 2 ) 2 2 − 2.3. 2.2 + 22 2 + =2 − 2 + 3 2 − 2 = 2− 2 +3 2 −2 = 2 2 Vậy biểu thức có giá trị 2 2 Bài 4. a) Biến đổi biểu thức ( 3− 2 ) 5+ 2 6 ( ) ( 3 + 2) = ( 3 − 2) 3 + 2 = ( 3 − 2 )( 3 + 2 ) = ( 3 ) − ( 2 ) = 3 − 2 =1 4 − 2 3 ( 3 − 1) b) Ta có: = = 2 3− 2 = 2 2 2 3 −1 4+2 3 và = 1+ 3 ( 3 −1 ) 2 3 +1 = 1+ 3 ( ( ) 3 −1 ) 3 +1 2 2 2  4−2 3   4+2 3  Suy ra   −   = 3 − 1 −  3 −1   1+ 3  ( ) ( Vậy biểu thức có giá trị −4 3 c) Biến đổi biểu thức 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( 2 ) ( ) 3 + 1 =4 − 2 3 − 4 + 2 3 = −4 3 5 − 9 − 29 − 12 5 = 5 − 9 − 20 − 12 5 + 9 = = 5 − 9− 2 5 +3 = = 5− ( ( ) ) 2 5 −1 = (2 5 − 9− 5 +3 ) 2 5 − 6−2 5 ) 5− ( ) = 13 + 30 2 + 2 2 + 1 5 − 1= 1= 1 Vậy biểu thức có giá trị 1 d) Biến đổi biểu thức 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30 2 + (2 2 +1 2 ( = 13 + 30 3 + 2 2 = 13 + 30 = 13 + 30 ( ) 2 +1 = ( ) 2 +1 ) 2 43 + 30 2 ( = 25 + 2.5.3 2 + 18 = 5 + 3 2 ) 2 =5 + 3 2 Vậy biểu thức có giá trị 5 + 3 2 Dạng 3. Rút gọn biểu thức Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: a)x + 3 + x 2 − 6x + 9 ( x ≤ 3) b) x 2 + 4x + 4 − x 2 ( −2 ≤ x ≤ 0 ) x 2 − 2x + 1 x 2 − 4x + 4 d) x − 2 + ( x < 2) ( x > 1) x −1 x−2 Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: c) a) 1 − 4a + 4a 2 − 2a b)x − 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 c)x 2 + x 4 − 8x 2 + 16 d)2x − 1 − e) x 4 − 4x 2 + 4 x2 − 2 f) ( x − 4) x 2 − 10x + 25 x −5 2 + x−4 x 2 − 8x + 16 Bài 3. Cho biểu thức A= x 2 + 2 x 2 − 1 − x 2 − 2 x 2 − 1 a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa? b) Tính A nếu x ≥ 2 Bài 4. Cho 3 số dương x,y,z thỏa điều kiện xy + yz + xz = 1 (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) 2 Tính A = x 1+ x2 2 2 2 1 + y2 Lời giải Bài 1. 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 1 + z2 2 a)x + 3 + x 2 − 6x + 9 ( x ≤ 3) ( x − 3) = x +3+ 2 = x +3+ x −3 (vì x ≤ 3 nên x − 3 = − ( x − 3) ) = x + 3 − ( x − 3) = 6 b) x 2 + 4x + 4 − x 2 ( −2 ≤ x ≤ 0 ) ( x + 2) = 2 + x2 = x + 2 + x vì x ≥ −2 nên x + 2 = x + 2 và x ≤ 0 nên x = − x = x+2−x = 2 c) x 2 − 2x + 1 ( x > 1) x −1 ( x − 1) 2 x −1 x −1 = = = 1 x −1 x −1 x −1 Vì x > 1 nên x − 1 = x − 1 = x 2 − 4x + 4 d) x − 2 + = x−2 + x−2 vì x < 2 nên x − 2 = − ( x − 2) Biểu thức =x − 2 + Bài 2. ( x − 2) 2 x−2 x−2 − ( x − 2) =− ( x − 2 ) + =− x + 2 − 1 =− x + 1 x−2 x−2 a) Biến đổi biểu thức 1 − 4a + 4a 2 − 2a = (1 − 2a ) − 2a =1 − 2a − 2a 2 Với a ≤ 1 thì 1 − 2a ≥ 0 nên 1 − 2a =− 1 2a ta có: 2 1 − 4a + 4a 2 − 2a =1 − 2a − 2a =− 1 2a − 2a =− 1 4a Với a ≥ 1 1 − 2a − 2a = 2a − 1 − 2a = −1 thì 1 − 2a ≤ 0 nên 1 − 2a = 2a − 1 ta có: 1 − 4a + 4a 2 − 2a = 2 b) Biến đổi biểu thức x − 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 =x − 2y − ( x − 2y ) 2 =x − 2y − x − 2y Với x − 2y ≤ 0 thì x − 2y = − ( x − 2y ) ta có x − 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 =x − 2y − x − 2y =x − 2y + ( x − 2y ) =2x − 4y Với x − 2y ≥ 0 thì x − 2y =x − 2y ta có x − 2y − x 2 − 4xy + 4y 2 =x − 2y − x − 2y =x − 2y − ( x − 2y ) =0 c) x 2 + x 4 − 8x 2 + 16 = x 2 + (x 2 − 4) = x 2 + x 2 − 4 2 với x 2 − 4 ≤ 0 ⇔ x 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2 thì x 2 − 4 = − ( x 2 − 4 ) ta có: x 2 + x 4 − 8x 2 + 16 = x 2 + x 2 − 4 = x 2 − ( x 2 − 4 ) = 4 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Với x 2 − 4 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 4 ⇔ x ≤ −2 hoặc x ≥ 2 thì x 2 − 4 = x 2 − 4 ta có: x 2 + x 4 − 8x 2 + 16 = x 2 + x 2 − 4 = x 2 + ( x 2 − 4 ) = 2x 2 − 4 ( x − 5) x −5 x 2 − 10x + 25 d) 2x − 1 − = 2x − 1 − = 2x − 1 − x −5 x −5 x −5 Với x − 5 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 thì x − 5 = − ( x − 5 ) ta có: 2 x −5 x 2 − 10x + 25 x −5 = 2x − 1 − = 2x − 1 + = 2x x −5 x −5 x −5 Với x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 thì x − 5 = ( x − 5 ) ta có: 2x − 1 − 2x − 1 − x −5 x 2 − 10x + 25 x −5 = 2x − 1 − = 2x − 1 − = 2x − 2 x −5 x −5 x −5 Bài 3. Biểu thức A= x2 + 2 x2 −1 − x2 − 2 x2 −1 a) Biểu thức xác định khi x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 1 ⇔ x ≤ −1 hoặc x ≥ 1 b) Tính A với x ≥ 2 x2 + 2 x2 −1 − x2 − 2 x2 −1 A= = = = (x 2 − 1) + 2 x 2 − 1 + 1 − ( x2 −1 +1 − ) ( − 1) − 2 x 2 − 1 + 1 2 ) 2 x2 −1 +1 + (x x2 −1 −1 2 x2 −1 −1 Với x ≥ 2 thì x 2 ≥ 2 ⇔ x 2 − 1 ≥ 1 ⇒ x 2 − 1 ≥ 1 ⇔ x 2 − 1 − 1 ≥ 0 Vậy A = x2 −1 +1 + x 2 − 1 − 1= x 2 − 1 + 1 + x 2 − 1 −= 1 2 x2 −1 Bài 4. Cho 3 số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx = 1. (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) 2 Tính A = x 2 1+ x2 2 2 2 1 + y2 2 1 + z2 Ta có: 1 + y 2 = ( xy + yz + xz ) + y 2 = xy + y 2 + yz + zx = y ( x + y ) + z ( y + x ) = ( x + y )( y + z ) Tương tự 1 + z 2 = ( y + z )( z + x ) 1 + x 2 = ( z + x )( x + y ) Suy ra *x (1 + y )(1 + z ) = x ( x + y )( y + z )( x + z )( y + z ) = ( x + y )( x + z ) x ( y + z) *y (1 + z )(1 + x ) = y ( z + x )( y + z )( x + z )( x + y ) = ( x + y )( y + z ) y ( x + z) 2 1+ x 2 2 2 2 1+ y 2 (1 + x )(1 + y ) = z ( x + y )( x + z )( x + y )( y + z ) = z x + y ( ) 1+ z ( x + z )( y + z ) 2 *z 2 2 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com = x ( y + z) 2 = y ( x + z) 2 = z ( x + y) Vậy A= x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y )= 2 ( xy + yz + xz )= 2 Dạng 4. Giải phương trình Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới. Một số dạng phương trình cơ bản Dạng toán Ví dụ minh họa 1.x 2 = 4 ⇔ x 2 = 22 ⇔ x = 2 hoặc x = −2 A2 = B2 ⇔ A = ±B  x − 1 = x ⇔ 0x = 1( PTVN ) 2. ( x − 1) = x ⇔   x − 1 =− x ⇔ 2x =1 ⇔ x =1  2 1 Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 2 A = A ≥ 0 ( hay B ≥ 0 ) B⇔ A = B B ≥ 0 A= B ⇔  2 A = B Nếu B < 0 thì phương trình vô nghiệm B ≥ 0  A= B ⇔   A = B   A = −B  2x + 5 = 2 x ≤ 3 3 − x ≥ 0  3− x ⇔  ⇔ −2 (thỏa) 2x + 5 = 3 − x  x = 3  x − 1 ≥ 0 x ≥ 1 1 − x2 = x −1 ⇔  2 ⇔  2 2 2 1 − x = ( x − 1) 1 − x = x − 2x + 1 x ≥ 1  x ≥ 1 x ≥ 1  ⇔ 2 ⇔ ⇔   x = 0 ( loai ) 0 0 2x ( x − 1) = 2x − 2x =   x = 1 TM ( )   Vậy nghiệm của phương trình là x = 1  x = −1 5  2 − 3x = 2 − 3x =5 ⇔  ⇔ x = 7 −5  2 − 3x = 3   7 Vậy tập nghiệm của phương trình là S= −1;   3 x2 + x + 1 1 = 2x ⇔ x + = 2x 4 2 x ≥ 0 2x ≥ 0     x = 1 ( TM )  x + 1 = 2x  ⇔ ⇔  2 2    1 1  x + =   x = − ( loai ) −2x 6 2     Vậy tập nghiệm của phương trình x = A = B ⇔A= B hay A = −B 1 2 3x + 1 = x + 3 3x + 1 = x + 3 ⇔  3x + 1 =− x − 3 =  2x 2= x 1 ⇔ ⇔ −4 −1  4x = x = Vậy tập nghiệm của phương trình S = 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com {−1;1} A = 0 A + B =0 ⇔  B = 0  x = −5 x 5 0 + =   x + 5 + x 2 − 25 = 0⇔ 2 ⇔   x = 5 ⇔ x =−5 0  x − 25 =   x = −5  Vậy nghiệm của phương trình: x = −5 A = 0 A + B =⇔ 0  B = 0 1− x2 + x +1 = 0 1= x 2 1 − x2 0 =  x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x= −1  x + 1 =0  x =−1  x = −1 Vậy nghiệm của phương trình: x = -1 Bài 1. Giải các phương trình sau: a) ( x − 3) 2 b) 4x 2 − 20x + 25 + 2x =5 =3 − x c) 1 −= 12x + 36x 2 5 d) = x + 2 x −1 2 Bài 2. Giải các phương trình sau: b) x 2 − x = 3− x c) 2x 2 − 3= 4x − 3 d) 2x − 1= Bài 3. Giải các phương trình sau: x −1 a) 2x + 5 = 1− x a) x 2 + x = x b) 1 − x 2 = x − 1 c) x 2 − 4x + 3 = x − 2 d) x 2 − 1 − x 2 + 1 = 0 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) x 2 − 2x + 1 = x 2 − 1 b) 4x 2 − 4x + 1 = x − 1 c) x 4 − 2x 2 + 1 = x − 1 d) x 2 + x + Bài 5. Giải các phương trình sau: b) x 2 − 3 = x − 3 a) 3x + 1 = x + 1 c) = 9x 2 − 12x + 4 1 = x 4 x2 d) x 2 − 4 += x 2 + 4x + 4 0 Lời giải Bài 1. Giải các phương trình sau: a) ( x − 3) 2 =3 − x ⇔ x − 3 =3 − x 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3    ⇔   x − 3 = 3 − x ⇔   2x = 6 ⇔   x = 3 ⇔ x ≤ 3   x − 3 = x − 3  0x = 0  0x = 0    Vậy tập nghiệm của PT là x ≤ 3 b) 4x 2 − 20x + 25 + 2x =5 ⇔ ( 2x − 5) 2 =5 − 2x 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 5  x ≤ 2 5 − 2x ≥ 0  5 5   ⇔ 2x − 5 = 5 − 2x ⇔   2x − 5 = 5 − 2x ⇔   x = ( TM ) ⇔x≤ 2 2   2x − 5 = 2x − 5   5   =  0x 0  dung ∀x ≤ 2     5 Vậy tập nghiệm của PT là x ≤ 2 c) Biến đổi biểu thức 1 − 12x + 36x 2 = 5 ⇔ (1 − 6x ) 2 = 5 ⇔ 1 − 6x = 5 2  5 x= − 1 − 6x =  ⇔ ⇔ 3  −5 1 − 6x = x = 1  2  Vậy tập nghiệm của phương trình là S= − ;1  3  d) x + 2 x −1 = 2 ĐK: x ≥ 1 Biến đổi biểu thức ⇔ ( ) x −1 −1 2 x + 2 x − 1 =⇔ 2 x −1 + 2 x −1 +1 = 2 = 2⇔ x −1 −1 = 2  x −1 =  x − 1 − 1 =2 3 ⇔ ⇔  x − 1 − 1 =−2  x − 1 =−1( PTVN ) ⇔ x − 1 = 9 ⇔ x = 10 ( TM ) Vậy nghiệm của phương trình là x = 10 Bài 2. x ≤ 1 1 − x ≥ 0 x ≤ 1 4  a) Biến đổi biểu thức 2x + 5 = 1 − x ⇔  ⇔ ⇔ 4 ⇔ x =− 1 x 3 2x + 5 =− 3x =−4  x = − 3 4 Vậy nghiệm của PT là x = − 3 x ≤ 3 3 x 0 x 3 − ≥ ≤    b) Biến đổi biểu thức x 2 − x = 3 − x ⇔  2 ⇔ 2 ⇔   x = 3 ( TM ) x − x = 3 − x x = 3    x = − 3 ( TM ) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = c) Biến đổi biểu thức 2x 2 − 3= {− 3; 3 } 3  3  x ≥ 4 4x − 3 ≥ 0 x ≥  4x − 3 ⇔  2 ⇔ ⇔  x = 0 k TM 4  ( ) 2x − 3 = 4x − 3 2x 2 − 4x =  0    x = 2 ( TM )  Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com d) x − 1 ≥ 0  x ≥ 1 x −1 ⇔  ⇔ 2x − 1 = x − 1  x = 0 ( kTM ) 2x − 1= Vậy phương trình vô nghiệm Bài 3. x ≥ 0 x ≥ 0 x2 + x = x ⇔  2 ⇔ ⇔ x =0 2 x x = 0 x + x = Vậy nghiệm của phương trình là x = 0  x − 1 ≥ 0  x ≥ 1 b) Biến đổi biểu thức 1 − x 2 = x − 1 ⇔  ⇔  2 2 2 2 1 − x = ( x − 1) ( x − 1) + x − 1 = 0 a) Biến đổi biểu thức  x ≥ 1  x ≥ 1 ⇔ ⇔ 2 0 0 ( x − 1) ( x − 1) + ( x + 1)  = ( x − 1) + ( x − 1)( x + 1) = x ≥ 1   x ≥ 1 ⇔ ⇔   x = 0 ( kTM ) ⇔ x = 1 0 ( x − 1) 2x =   x = 1 TM ( )   Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 c) Biến đổi biểu thức  x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 ⇔ x 2 − 4x + 3 = x − 2 ⇔  2 ( PTVN ) 2 ⇔  2 2 0x = 1  x − 4x + 3 = ( x − 2 )  x − 4x + 3 = x − 4x + 4 Vậy phương trình vô nghiệm  x 2 − 1 ≥ 0 x −1 − x +1 = 0 ⇔ x −1 = x −1 ⇔  2 2 2  x − 1= ( x − 1) d) Biến đổi biểu thức 2 2 2 2  x ≥ 1  x 2 ≥ 1  ⇔ 2 ⇔  x ≤ −1  2   x 1 1 x 1 0 − − − = ( ) ( )   x2 −1 2 − x2 =   )( ) 0 (  x ≥ 1  x ≥ 1  x ≥ 1      x ≤ −1   x ≤ −1   x ≤ −1 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x −1 0 = =  x 1   x = ±1 TM )   2  2=  x2 2  x = ± 2 (   − x 0 =  { ⇔ x = − 2; −1;1; 2 } { Vậy tập nghiệm của phương trình là x =− 2; −1;1; 2 Bài 4. Giải các phương trình sau: a) Biến đổi biểu thức ⇔ ( x − 1) 2 x 2 − 2x + 1 = x 2 − 1 = x2 −1 ⇔ x −1 = x2 −1 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com }  x ≥ 1  x 1  ≥    x ≤ −1 2 x − 1 ≥ 0 x 2 ≥ 1    x = 0 ( KTM )  2   x 1 x 2 1   x ≤ −1  − ⇔ − = ⇔  x − x = ⇔ ⇔  0   x − 1 =− x 2 − 1   x − 1 + x − 1 x + 1 =0 =   x ( x − 1) 0 =   x 1( TM ) ( )( )  ( )      ( x − 1)( x=   x 1( TM ) + 2) 0 =      x = −2 ( TM )  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = b, Biến đổi biểu thức ⇔ ( 2x − 1) 2 {−2;1} 4x 2 − 4x + 1 = x − 1 = x − 1 ⇔ 2x − 1 = x − 1 x ≥ 1 x − 1 ≥ 0 x ≥ 1      x = 0 ( KTM ) ⇔   2x − 1 = x − 1 ⇔  x = 0 ⇔  2   2x − 1 =− ( x − 1)  3x − 2 =  0 x = ( KTM )     3 Vậy phương trình vô nghiệm c) Biến đổi biểu thức ⇔ (x 2 x 4 − 2x 2 + 1 = x − 1 − 1) = x − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − 1 2 x ≥ 1 x − 1 ≥ 0  2  2 0 ⇔  x − 1 = x − 1 ⇔  x − x =    x 2 − 1 =− x − 1 0 ( )  ( x 2 − 1) + ( x − 1) =   x ≥ 1 x ≥ 1   = = ⇔   x ( x − 1) 0 ⇔   x ( x − 1) 0   x − 1 x + 1 + = + 2) 0 )( ) ( x − 1) 0  ( x − 1)( x=  ( x ≥ 1    x = 0 ( KTM )  ⇔  x = 1 ⇔x= 1  x = 1    x = −2 ( KTM ) Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1 d) Biến đổi biểu thức x2 + x + 1 = x 4 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 1 1  ⇔ x +  =x ⇔ x + =x 2 2  x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0    1 1  x + 1 =  0x =  0x = x − − ( PTVN )    ⇔ ⇔ 2 2⇔ 2     1 1 1  x + =   2x =  x = −x − − ( KTM )   2 2 4     Vậy phương trình vô nghiệm Bài 5. Giải các phương trình sau: a) Biến đổi biểu thức 3x + 1 = x + 1 x = 0 3x + 1 = x + 1  2x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ x = − 1 3x + 1 = − x + 1 4x = − 2 ( )    2  1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S= − ;0   2  x2 − 3 = x − 3 b) Biến đổi biểu thức x − 3 = x − 3 ⇔  2  x − 3 =− x − 3  2 ( ( ( x − ⇔  x− ( ( ) ) ) ( )( ) ) ( )( 3 )( x + 3 − 1) = 0 3 )( x + 3 + 1) = 0  x− 3 x+ 3 − x− 3 = 0 ⇔  x− 3 x+ 3 + x− 3 = 0  x −  x + ⇔ x −  x + 3= 0 3 − 1 =0 3= 0 3 +1 = 0  x=   x = 1− ⇔ x=    x =−1 − 3 3 3 3 { Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1 − 3;1 − 3; 3 c) Biến đổi biểu thức ⇔ ( 3x − 2 ) = 2 9x 2 − 12x + 4 =x 2 x 2 ⇔ 3x − 2= x x = 1 = 3x − 2 x =  2x 2 ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 − = − = 3x 2 x 4x 2    2 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com } 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S =  ;1 2  d) Biến đổi biểu thức x 2 − 4 + x 2 + 4x + 4 = 0 2 0 x 2  x − =  = 2 0 0  x − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) =   ⇔ 2 ⇔ ⇔   x + 2 =0 ⇔   x =−2 ⇔ x = −2 2 0 x 2 0 + =  x + 4x + 4 = ( )  x + 2 =0  x =−2    Vậy nghiệm của phương trình là x = -2 Bài 5. Giải các phương trình sau a) x2 − 6 x2 + 9 + x2 − 7 = 0; b) 2x + 4 − 6 2x − 5 + 2x − 4 + 2 2x − 5 = 4. Lời giải a) ( x − 3) x2 − 6 x2 + 9 + x2 − 7 = 0 ⇔ 2 + x −7 = 0 ⇔ x −3 + x −7 = 0 Trường hợp 1: Xét x ≥ 3 phương trình có dạng: x − 3 + x − 7 =0 ⇔ x =5 ⇔ x =±5 . Trường hợp 2: Xét 0 ≤ x < 3 phương trình có nghiệm: 3 − x + x − 7 = 0 vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = b) {−5;5} . 2x + 4 − 6 2x − 5 + 2x − 4 + 2 2x − 5 = 4 4 ⇔ 2x − 5 − 6 2x − 5 + 9 + 2x − 5 + 2 2x − 5 +1 = ⇔ ( ⇔ 2x − 5 − 3 + 2x − 5 +1 = 4 Ta có: 2x − 5 − 3 ) 2 + ( ) 2x − 5 +1 2 = 4 2 x − 5 − 3 =− 3 2x − 5 ≥ 3 − 2x − 5 Vậy vế trái ≥ 3 − 2 x − 5 + 2 x + 5 + 1 =4 . Do vậy vế trái bằng vế phải khi: 5 2x − 5 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ 2x − 5 ≤ 9 ⇔ ≤ x ≤ 7 . 2  5  Vậy tập nghiệm của phương trình là:= S  x / ≤ x ≤ 7 .  2  Dạng 6.Nâng cao Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a) A = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 ; b) B = a + 1 − a 2 − 2a + 1 với a < 1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A =3 + 2 x 2 − 8 x + 33 ; c) C = b) B = x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x − 2 y + 10 + 2 y 2 − 8 y + 2020 . Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x 2 − 8 x + 18 − 1 ; x 2 − 12 x + 36 + x 2 − 16 x + 64 a) A = b) B = ( x − 2) 2 + ( x − 9) 2 + ( x − 1945) 2020 . Chứng minh rằng biểu thức Bài 4. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = A= (a 2 + 2020 )( b 2 + 2020 ) c 2 + 2020 là một số hữu tỉ. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 .Chứng minh rằng: a 4 + 8b 2 + b 4 + 8a 2 = 6 (1) Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = ( x − 2019 ) b) B = ( x − 2018) c) C = ( x − 2017 ) + ( x − 2020 ) 2 + ( y − 2019 ) 2 + ( x − 2018) 2 2 ; 2 + ( x − 2020 ) 2 + ( x − 2019 ) Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= 2 ; 2 + ( x − 2020 ) 2 . a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1 . Bài 8. Cho x, y thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1 và x y + = 1 .Tính giá trị của biểu thức 1− x 1− y P = x + y + x 2 − xy + y 2 . Bài 9. Tính x biết x > 1; y < 0 và y ( x + y ) ( x3 − y 3 ) (1 − ) (1 − 4x −1 ) 2 4 x − 1 ( x 2 y 2 + xy 3 + y 4 ) = −6 Lời giải Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a) A = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 ; b) B = a + 1 − a 2 − 2a + 1 với a < 1 Lời giải b) B = a + 1 − a 2 − 2a + 1 với a < 1 a) Ta có A = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 ( a − 1) 2 A= 5 + 2 5 +1 − 5 − 2 5 +1 B = a +1− A= ( B = a + 1 − a − 1 = a + 1 − (1 − a ) = 2a . A= ( ) 2 5 +1 − ) ( 5 +1 − ( ) 5 −1 2 ) 5 −1 = 2 . Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A =3 + 2 x 2 − 8 x + 33 ; c) C = b) B = x 2 − 8 x + 18 − 1 ; x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x − 2 y + 10 + 2 y 2 − 8 y + 2020 . Lời giải a) Ta có: A = 3 + 2 x 2 − 8 x + 33 = 3 + 2 ( x − 2 ) + 25 ≥ 3 + 25 = 8 . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x = 2 . 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 . x 2 − 8 x + 18 − 1= b) Ta có: B = ( x − 4) x 2 + y 2 − 2 xy + 2 x − 2 y + 10 + 2 y 2 − 8 y + 2020 ( x − y + 1) ⇒ C= + 2 −1 ≥ 2 −1 2 − 1 khi x = 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là c) Ta có: C = 2 2 + 9 + 2 ( y − 2 ) + 2012 2 ⇒ C ≥ 9 + 2012 = 2015 . Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015. y +1 0 =  x −= x 1 ⇔ . Khi  = y − 2 0 = y 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 − 12 x + 36 + x 2 − 16 x + 64 a) A = b) B = ( x − 2) 2 + ( x − 9) 2 + ( x − 1945) 2 . Lời giải a) Ta có: A= x 2 − 12 x + 36 + x 2 − 16 x + 64 = ( x − 6) 2 ( x − 8) + 2 A = x −6 + x −8 = x −6 + 8− x ≥ x −6+8− x = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi ( x − 6 )( 8 − x ) ≥ 0 hay 6 ≤ x ≤ 8 . b) Ta có: B= ( x − 2) 2 + ( x − 9) 2 ( x − 1945) + 2 B = x − 2 + x − 9 + x − 1945 B = x − 2 + 1945 − x + x − 9 ≥ x − 2 + 1945 − x + 0 = 1943 . 0 tức là x = 9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi ( x − 2 )(1945 − x ) ≥ 0 và x − 9 = 2020 . Chứng minh rằng biểu thức Bài 4. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca = A= (a 2 + 2020 )( b 2 + 2020 ) c 2 + 2020 là một số hữu tỉ. Lời giải • Ta có: a 2 + 2020 = a 2 + ab + bc + ca ⇒ a 2 + 2020 = ( a + b )( a + c ) (1) • Tương tự, ta có: b 2 + 2020 = ( b + a )( b + c ) c 2 + 2020 = ( c + a )( c + b ) ( 3) Từ (1) ,(2), (3) suy ra A = ( 2) ( a + b )( a + c )( b + c )( b + a ) = a + b 2 ( ) ( c + a )( c + b ) =a + b ⇒ A = a+b . Vì a, b là các số hữu tỉ nên a + b cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ. Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 = 2 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 6 (1) a 4 + 8b 2 + b 4 + 8a 2 = Chứng minh rằng: Lời giải Cách 1. Thay a 2 + b 2 = 2 vào (1) ta có: a 4 + 4b 2 ( a 2 + b 2 ) + b 4 + 4a 2 ( a 2 + b 2 ) Vế trái: = a 4 + 4a 2b 2 + 4b 2 + b 4 + 4a 2b 2 + 4a 4 (a = 3( a = 2 + 2b 2 ) + 2 + b 2 ) = 3.2 = 6 . 2 (b 2 + 2a 2 ) = a 2 + 2b 2 + b 2 + 2a 2 2 Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. 2 − a2 ; a2 = 2 − b 2 thay vào (1) ta được: Cách 2. Từ giả thiết suy ra: b 2 = a 4 + 8 ( 2 − a 2 ) + b4 + 8 ( 2 − b2 ) = (a 2 − 4) + (b 2 2 − 4) 2 = a 2 − 4 + b 2 − 4 (do a 2 < 4; b 2 < 4 ) = 4 − a 2 + 4 − b 2 = 6 . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = ( x − 2019 ) b) B = ( x − 2018) c) C = ( x − 2017 ) + ( x − 2020 ) 2 + ( y − 2019 ) 2 + ( x − 2018) 2 2 ; 2 + ( x − 2020 ) 2 + ( x − 2019 ) 2 ; 2 + ( x − 2020 ) 2 . Lời giải a) A = x − 2019 + x − 2020 = x − 2019 + 2020 − x ≥ x − 2019 + 2020 − x = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x − 2019 ≥ 0 và 2020 − x ≥ 0 hay 2019 ≤ x ≤ 2020 . b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 2018 ≤ x ≤ 2020 và y = 2019 . c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 2018 ≤ x ≤ 2019 . Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1 . Lời giải Ta có: A= a − 1 − 4 a − 1 + 4 + a − 1 − 8 a − 1 + 16 ⇔= A ( ⇒ A= a −1 − 2 + 4 − a −1 ≥ a −1 − 2 + 4 − a −1 a −1 − 2 ) 2 + ( a −1 − 4 ) 2 ⇒ A≥ 2. Đẳng thức xảy ra khi 2 ≤ a − 1 ≤ 4 ⇔ 4 ≤ a − 1 ≤ 16 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5 ≤ a ≤ 17 . x y + = 1. Bài 8. Cho x, y thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1 và 1− x 1− y 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com