Tài liệu Chuyên đề biểu thức đại số

1 CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Khái niệm biểu thức đại số Trong toán học, vật lí,… ta thường gặp các biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số). Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số. a b Ví dụ: Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng của hai số a và b là: 2 Biểu thức đại số biểu thị lập phương của tổng hai số a và b là:  a  b  3 2. Gía trị của một biểu thức đại số Tính giá trị của biểu thức đại số: - Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc). - Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân, chia sau đó là phép cộng trừ). 1 y 2 3 2 Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức x y  xy tại x 1 và Giải Thay x 1 và y 1 2 3 2 vào biểu thức x y  xy , ta có: 2 3 1 5 1 1 .   1.  2 8  2 2 3. Đơn thức Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. 3  x 2 y   7x  Ví dụ: 1; 4 ; 2xy;… 4. Đơn thức thu gọn Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn. Bậc của đơn thức:  Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.  Số thực khác 0 là đơn thức bậc không  Số 0 được coi là đơn thức không có bậc. Nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. 1 5 1  1 5  x 3 y2 xy3   .   x 3 x   y 2 y3   x 4 y5 4 4  5 4 Ví dụ: Thu gọn đơn thức 5 - Hệ số:  1 4 3 4 5 - Phần biến: x y - Bậc của đơn thức: 9 5. Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng. 5 2 1 x y;  x 2 y; 2 x y; 5x 2 y là các đơn thức đồng dạng. 2 Ví dụ: Các đơn thức 3 6. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. 2 2 2 2 Ví dụ: Tính 25xy  55xy  75xy  35xy Giải 25xy 2  55xy 2  75xy 2  35xy 2  25  55  75  35  xy 2 120xy 2 7. Đa thức Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là đa thức. 2 3 Ví dụ: x  3; xyz  ax  by ; a  3xy  7x  là các đơn thức. 8. Thu gọn đa thức Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng). 4 - Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau; - Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm 1 1 1 P  x 2 y  xy 2  xy  xy 2  5xy  x 2 y 3 2 3 Ví dụ: Thu gọn đa thức Giải 1 1 1 P  x 2 y  xy 2  xy  xy 2  5xy  x 2 y 3 2 3 1 1 1     x 2 y  x 2 y    xy 2  xy 2     xy  5xy  3 2 3    3  xy 2  6xy 2 9. Bậc của đa thức Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc. Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó. 6 5 4 5 Ví dụ: Đa thức x  2y  x y  1 có bậc là 9. 3 2 xy  6xy Đa thức 2 có bậc là 3. 10.Cộng, trừ đa thức Để cộng (hay trừ) hai đơn thức, ta làm như sau: - Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc; 5 - Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc); - Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng - Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.  2,4x Ví dụ: Tính 2  1,7y 2  2xy    0,4x 2  1,3y 2  xy  Giải  2, 4x 2  1,7y 2  2xy    0,4x 2  1,3y 2  xy  2,4x 2  1,7y 2  2xy  0,4x 2  1,3y 2  xy  2,4x 2  0,4x 2    1,7y 2  1,3y 2    2xy  xy  2x 2  3y 2  xy 11.Đa thức một biến Đa thức một biến:  Là tổng của những đơn thức của cùng một biến  Mỗi số được coi là một đa thức một biến  Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó. 5 3 2 Ví dụ: Đa thức 3x  x  3x  1 là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là: 5 12. Sắp xếp đa thức: Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.  Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó. 6  Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số. 2 3 2 3 5 Ví dụ: Cho đa thức P(x) 2  5x  3x  4x  2x  x  6x . Thu gon và sắp xếp đa thức P(x) Giải: P(x) 2  5x 2  3x 3  4x 2  2x  x 3  6x 5 6x 5    3x 2  x 3    5x 2  4x 2   2x  2 6x 5  4x 3  9x 2  2x  2 13.Hệ số Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất. 5 3 2 Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x  x  6x  2x  2 là: 6; - 1; 6; - 2; 2 Hệ số tự do là: 2 Hệ số cao nhất là: 6 14.Cộng, trừ đa thức một biến - Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang” - Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến. rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột). 5 4 2 P(x)  x  2x  x  x 1 Ví dụ: Cho hai đa thức 7 Q(x) 6  2x  3x 3  x 4  3x 5 Tính P(x) – Q(x)? Giải P(x)  Q(x)  x 5  2x 4  x 2  x  1   6  2x  3x 3  x 4  3x 5  x 5  2x 4  x 2  x  1  6  2x  3x 3  x 4  3x 5 4x 5  3x 4  3x 3  x 2  x  5. 15.Nghiệm của đa thức một biến Nếu tại x a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó. Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(y) 2y  6 Giải Từ 2y  6 0  2y  6  y  6  3 2 Vậy nghiệm của đa thức P(y) là – 3. B. BÀI TẬP Bài toán 1: Viết các biểu thức đại số biểu thị 1. Nửa hiệu của hai số a và b 9. Lũy thừa bậc n của tổng hai số a và b 10. Khối lượng M của một vật có thể tích V 2. Tổng các lập phương của hai số a và b 3. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp và khối lượng riêng D. 11. Diện tích S của tam giác có cạnh a và 8 đường cao h tương ứng. 12. Thể tích V của một hình lập phương có 4. Tổng của hai số nguyên liên tiếp cạnh a. 13. Thương của hai số nguyên trong đó một 5. Tổng các bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp 6. Tổng của hai số hữu tỉ nghịch đảo của số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2 14. Hiệu của a và lập phương của b nhau 7. Tích của ba số nguyên liên tiếp 8. Tổng các bình phương của hai số lẻ 15.Hiệu các lập phương của a và b 16.Lập phương của hiệu a và b. bất kì Bài toán 2: Nam mua 10 quyển vở mỗi quyển giá x đồng và hai bút bi, mỗi chiếc giá y đồng. Hỏi Nam phải trả tất cả bao nhiêu tiền? Bài toán 3: Tính giá trị của biểu thức 3 2 1. x  2x  3 tại x 2; x  1 6. x  x 2  y   x 3  2y 2   x 4  3y3   x 5  4y 4  x 2; y  2 1 x  ; y  3 2 7. 3x y  6x y  3xy tại 1 2 y2  1 x  y  2 2 3. tại 3 8. 3x  2x  1 tại 2 2 4. 3x  x  x  3 tại x  1 9. 3x  3xy  2y tại x 1; y 3 1 2 y 2  4x x  ; y 1 x  1; y  2 2 5. tại 2 10. 2x  3x  5 tại Bài toán 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: 2 2. 4x y  5 tại x  3; y 2  2 2  2 2. 2   1. 3  x  3,5   1 4  2x  3  2 2 6. x  100   x  y   100 4 x  20  x  y 3   7. tại 9 3. 4. x 2 2  9  y  3  1  x  3 2 8. 2  x  y 6  47  x  33 2   y  1  5 9.  x  6   2018 2 2 x  5  y  9  2017     10. x  3  x 2  y2  1 5. Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 1. 2 x 2 2. 10   y 2  25  4 3.   x 3  2 1 4.  x  5 2 Bài toán 6: Thu gọn các đơn thức sau 4 2ab. a 2 b 4 .7abc 3 1.  1  3abxy.  ax 2 yz  .  3abx 3 yz 3   5  6. 3 3 2 2 2. a b .a b c 7. 2 3  1  2 a b.  ab  .a b 3  2  3. 8. 1 1  2 a 3c 2 ac 2 6abc 3 7 4. p 2qq 3p 4 2 1 2 2 pq 4p q     22 3ak 2   2kx 3  k 3 2 3 2 2 9. 2y3y dy d y 2 2x 2    3y3    5xz   2 1 2 10.   1,5ab  4 bca b 5. Bài toán 7: Cho các đơn thức sau, với a, b là hằng số, x, y, z là biến số 13x   2xy 2  a) Thu gọn các đơn thức trên b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức 1 2 2 1 3 2 xy z ; 2 ax y   3 abx y  3 3  3 10 c) Xác định bậc của đơn thức. Bài toán 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: 1.  2 3 3 1 x y;  xy 2 ;5x 2 y;  1;6xy 2 ;2x 3 y; ; x 2 y 3 4 2 7 3 x 2 (a là hằng số) 5. 2 2. 2xy;9y ;2y;5xy;4xyp 3. 9a;9;92a; 4. 5x 2 ;3ax;  2x 2 ;0,5x;  1 1 ab; a 2 2 9a;  9;9a 2 b;  3 3x 2 yz 2 ;  2x 2 y 2 x;6x 2 yz 2 ;17 x 2 yz 2 ;1,3x 2 yz 2 4 6. 7yz;  5yz;6abcz;0,5yz; 2y; 3yz Bài toán 9: Thu gọn các đơn thức đồng dạng 2 2 2 1.  3x  0,5x  2,5x  2. 3 3  1 3  x y   x y  4  2   5 3    x y  8  3. 1 1 1 4ab. ac  2aca  9a 2 . b  10a 2 . c  a 2 b  a 2 bc 3 2 5 4 4 2 2 15x  7x   20x x 4. 1 2ab  2bc.c  ab  c 2 b  4cb 2  2cb.b 2 5.  6.  23x 3 y3  17x 3 y3    50x 3  y3 2 2 3 1 4 2 2  2 2  ac  .c  a  c.c   ac c  ac 5 3 4 7.  3  11 n 3 m  2 Bài toán 10: Viết đơn thức 3x y dưới dạng tích của hai đơn thức trong đó một đơn thức 2 n 2 x y bằng 5 . Bài toán 11: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 5   a 5 .  a  5     a 2 .  a  2  0    1.  2.   1 n n .a n k   a  .a k Bài toán 12: Tính   3x y  2xy  3x  2xy  y    x  xy  2y    4x  y  6x  9xy  y   5x  2xy   x  y  2xy    x  y  2xy    4xy  1 7.  2,4x  1,7y  2xy    0,4x  1,3y  xy  8.  x  y  2xy    6x  3xy  x  7xy  8y   3xy  4y  5xy  x  7y   2xy  4y  9.  2x  xy  3x   3x  xy  4x   25x y  13xy  y    11x y  2y  10. 2 1. 2 2. 2 2 3. 2 4. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 6. 2 2 2 5.  6     x 2 y  5xy 2  1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 Bài toán 13: Tìm đa thức M sao cho tổng của M và đa thức x  3x y  5xy  7xy  2 là một đa thức bậc 0. Bài toán 14: Nếu 2x  y  1 6 thì 4x  2y  1 bằng: A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13 12 2 2 2 2 Bài toán 15: Cho hai đa thức P 5x  6xy  y và Q 2y  2x  6xy . Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức P và Q cùng có giá trị âm. Bài toán 16: Sắp xếp các hạng tử của các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến và tìm bậc của đa thức: 7 4 5 7 1. 1  6x  5x  2  13x  8x 5 2 5 2 2. 4x  3x  2x  x  4x  8 2 5 3 5 3. 2  9x  4x  3x  x  4x 2 2 4. 3x  2x  7  2x  3x  6 2 6 5.  3x  5x Bài toán 17: Tính hiệu f  x   g  x  rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến 1. f  x  x 5  3x 4  x 2  5; g  x  2x 4  7x 3  x 2  6 2. f  x  5x 4  4x 3  3x 2  2x  1; g  x   x 4  2x 3  3x 2  4x  5 3. f  x  3x 6  5x 4  2x 2  7; g  x  8x 6  7x 4  x 2  11 4. f  x  x 2  x  1; g  x  4  2x 3  x 4  7x 5 5. f  x  x 4  4x 2  6x 3  2x  1; g  x  3  x Bài toán 18: Cho hai đa thức f  x  8  x 5  4x  2x 3  x 2  7x 4 g  x  x 5  8  3x 2  7x 4  2x 3  3x a) Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến; 13 b) Tính tổng h  x  f  x   g  x  và hiệu p  x  f  x   g  x  ; c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). 3 5 3 5 2 Bài toán 19: Cho hai đa thức P(x) 2x  3x  x  4x  4x  x  x  2 Q(x) x 3  2x 2  3x  1  2x 2 a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến; b. Tính P  x   Q  x  ; P  x   Q  x  ; c. Gọi M(x) P  x   Q  x  . Tìm bậc của M(x). Bài toán 20: Cho hai đa thức P  x   6x 5  4x 4  3x 2  2x Q(x) 2x 5  4x 4  2x 3  2x 2  x  3 a) Tính P  x   Q  x  ; b) Tính P  x   Q  x  ; c) Gọi M(x ) P  x   Q  x  . Tính M( 1) . 2 Bài toán 21: Cho đa thức P(x) 2  x  3  5 . Chứng minh rằng đa thức P(x) không có nghiệm. Bài toán 22: 14 f x x 2  6x  5 a) Chứng tỏ x  5 là nghiệm của đa thức   g  x  x 2  4x  3 x  3 b) Chứng tỏ là nghiệm của đa thức c) Tìm nghiệm của đa thức M  x   x  1  x  3 Bài toán 23: Tìm một nghiêm của đa thức: 3 2 1. P(x) 2x  4x  5x  1 2 3 4 13 Q(x)  x 3  x 2  x  2 3 4 5 60 2. 3 2 3. R(x) 4x  6x  9x  7