Tài liệu Chuyên đề biến đối các biểu thức hữu tỉ giá trị của phân thức

BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ - Biểu thức hữu tỉ là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức. - Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học. 2. Giá trị của phân thức - Giá trị của một phân thức chỉ đuợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác 0. - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x và y thì giá trị của biểu thức đó chi đuợc xác định vói các cặp số (x;y) làm cho giá trị của mẫu thức khác 0. II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. Phương pháp giải: Ta xác định các giá trị của biến để mẫu thức khác 0. Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: a) 5x ; 2x  6 b) 2 ; x 4 2 c) 2x 1 ; 4 x2  2 x d) x2 x 3  27 d) 2 y2 . y3  3 y  2 d) x 1 . x  4 x 2  3x Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: a) 4a ; 3a  8 b) 3b  6 ; b 2  2b c) 3 ; 2 x 5 Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: x2  1 a) ; 9 x 2  16 b) 2x  1 ; x  6x  9 2 c) 3x  4 ; 2 x 2  3x 3 Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: Bước 1. Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi; Bước 2. Biến đổi cho tới khi được một phân thức có dạng thức 0. Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A với A và B là các đa thức, B khác đa B 1 x với x  0 và x  1 ; a) A  1 2 2 x 2 4 y2 b) B  với y  2. 2y 1 2 y  2y  4 1 Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức: x 15 2 4 x với x  0;3; 4. a) A  4 x 6 7   2 x 2 1 9 y2 b) với y  0. 1 1 1  3 y 9 y2 3y  Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: a) M  4 4n n 2  m m 2 , m  0, n  0, n  2m. 1 2  m n b) N  1 x  , x  3. 3 1 x x3 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số đã học để biến đổi. Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:    2 x1 1  2 x1 1  1 với x   12 . a) A  4 x 2  1  9 1   3   3  2  : 2  với x  0, x  3.  x  3 x  6x  9   x  9 3  x  b) B   Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: 4a  b  a 2  16b 2  4a  b  2 a) A   2  . 2 2 với a  0, a  4b;  a  4ab a  4ab  a  b  y   3y2   1 :  1  b) B   với y  1; y  2. 2   y 2   4 y  Bài 9: Cho biểu thức P  x 2  2 x x  6 108  6 x   ' 2 x  12 x 2x  x  6 a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức; 3 ; 2 9 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng  ; 2 e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước. c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng Phương pháp giải: Ta sử dụng các kiến thức sau: 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com • A  0 khi và chỉ khi A và B cùng dấu; B A  0 khi và chỉ khi A và B trái dấu. B • Hằng đẳng thức đáng nhớ và chú ý a 2  0 vói mọi giá trị của a . • Với a;b  Z và b  0 ta có: Bài 10: Cho phân thức A  a  Z  b  Ư (a). b x2 với x  1; x 1 b) Tìm x   để A  . a) Tìm x để A  1; Bài 11: Cho phân thức B  a) Tìm x để B  0; x2  2x  2 với x  3; x 3 Bài 12: b) Tìm x   để B  . 8 đạt giá trị lớn nhất; x  4 x  12 5 b) Tìm x để phân thức B   2 đạt giá trị lớn nhất. x  2 x  11 a) Tìm x để phân thức A  2 HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. Bài 1: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: a) 5x ; 2x  6 b) 2 ; x 4 2 c) 2x 1 ; 4 x2  2 x d) x2 x 3  27 Hướng dẫn a) x  3 b) x  2 c) x  0; x  1 2 d) x  3 Bài 2: Tìm x để giá trị của mỗi phân thức sau xác định: 4a a) ; 3a  8 3b  6 b) 2 ; b  2b 3 c) 2 ; x 5 2 y2 . d) 3 y  3y  2 Hướng dẫn a) a  8 3 b) b  0; b  2 c) x   Bài 3: Tìm x để giá trị mỗi phân thức sau được xác định: a) x2  1 ; 9 x 2  16 b) 2x  1 ; x  6x  9 2 c) 3x  4 ; 2 x 2  3x 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com d) x 1 . x  4 x 2  3x 3 d) y  1; y  2 Hướng dẫn a) x   4 3 b) x  3 3 2 c) x  0; x  d) x  0; x  1; x  3. Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. Bài 4: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 1 x với x  0 và x  1 ; a) A  1 2 2 x 2 4 y2 b) B  với y  2. 2y 1 2 y  2y  4 1 Hướng dẫn   a) A   2  1  1  2x  1 :2    x  x  2x 1   y  2 y2  4 y  4 y  2 y2  2 y  4 y2  2 y  4 4   2y b) B   1  :  .   : 1  2  y2  y  2 y  4  y  2 y 2  2 y  4 y  2  y  2 2 y2  Bài 5: Đưa các biểu thức sau thành phân thức: 1 9 y2 b) với y  0. 1 1 1  3 y 9 y2 x 15 2 4 x với x  0;3; 4. a) A  4 x 6 7   2 x 2 3y  Hướng dẫn 15   x 6 7  x 2  8 x  15 x 2  7 x  12 x5 x :  a) A    2   :      4x   2 x 2  4x 2x 2( x  4) 4 3 2  1   1 1  27 y  1 9 y  3 y  1 b) B   3 y  2  :  1   2   :  3 y 1 9 y   3y 9 y  9 y2 9 y2  Bài 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức: 4n n 2 4  m m 2 , m  0, n  0, n  2m. a) M  1 2  m n b) N  1 x  , x  3. 3 1 x x3 Hướng dẫn a) Ta có M  (2m  n) 2 m.n (n  2 m) n .  . 2 m n  2m m 1 x( x  3) x 2  3 x  1 b) Ta có N    3 3 3 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:    2 x1 1  2 x1 1  1 với x   12 . a) A  4 x 2  1  9 1   3   3  2  : 2  với x  0, x  3.  x  3 x  6x  9   x  9 3  x  b) B   Hướng dẫn (2 x  1)  (2 x  1)  (4 x 2  1)  3  4x2 (2 x  1)(2 x  1) 3 ( x  3)( x  3) 9  3 x b) B  .  2 x x3  x  3 a) A   4 x 2  1 Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: 4a  b  a 2  16b 2  4a  b  2 a) A   2  . 2 2 với a  0, a  4b;  a  4ab a  4ab  a  b  y   3y2   1 :  1  b) B   với y  1; y  2. 2   y 2   4 y  Hướng dẫn a) A  8(a 2  b 2 ) a 2  16b 2 8 . 2  2 a a  a 2  16b 2  a  b Bài 9: Cho biểu thức P  b) B  2 y  2 4  y2 2 y .  2 y  2 4  4y 2  2y x 2  2 x x  6 108  6 x   ' 2 x  12 x 2x  x  6 a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức; 3 ; 2 9 d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng  ; 2 e) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1. Hướng dẫn c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức P bằng a) Tìm được x  6; x  0 b) Gợi ý: x 3  4 x 2  6 x  36  ( x  6)( x 2  2 x  6) x2  2x  6 Ta tìm được P  2x x  3 3 c) Ta có P   x 2  5 x  6  0  ( x  3)( x  2)  0   (TM) 2 x  2 d) Tương tự câu c) tìm được x  6( KTM ) hoặc x  1(TM ) e) P  1  x 2  4 x  6  0  ( x  2) 2  2  0 ( vô nghiệm) Vì ( x  2) 2  2  2  0 với mọi x. Do vậy x  5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 10: Cho phân thức A  x2 với x  1; x 1 b) Tìm x   để A  . Hướng dẫn a) Tìm x để A  1; a) Ta có A >1 dẫn đến 3  0  x  1 (TMĐK) x 1 3 nên A    ( x  1) nhận giá trị là Ư(3). Từ đó tìm được x  2;0; 2; 4 x 1 x2  2x  2 Bài 11: Cho phân thức B  với x  3; x 3 a) Tìm x để B  0; b) Tìm x   để B  . b) Ta có: A  1  Hướng dẫn   a) Ta có x 2  x  2   x  2 1 7 7     0 nên B  0  x  3 2 4 4 8 nên B    ( x  3) nhận giá trị là Ư(8). Từ đó tìm được x3 x  5; 1;1; 2; 4;5;7;11 . b) Ta có B  x  2  Bài 12: 8 đạt giá trị lớn nhất; x  4 x  12 5 b) Tìm x để phân thức B   2 đạt giá trị lớn nhất. x  2 x  11 a) Tìm x để phân thức A  2 Hướng dẫn a) Ta có x 2  4 x  12  ( x  2) 2  8  8 hay 1 1  dẫn đến M  1. Từ đó tìm được giá x  4 x  12 8 2 trị lớn nhất của M = 1 khi x = 2. b) Tương tự ta có x 2  2 x  11  ( x  1) 2  10  10 hay Giá trị nhỏ nhất của N   1 khi x = -1 2 Chú ý : Ở bài 12. Ta dựa vào lập luận 1 1  ; M a 1 1 - Nếu 0  M  a   M a B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN - Nếu M  a  0  6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 1 1   N   x  x  11 10 2 2 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức. Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: x2  4 2x 1 a) b) 2 2 9 x  16 x  4x  4 c) x2  4 x2 1 d) 5x  3 2x 2  x Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) c) 1 x 2 y  2x b) x2  y 2 5x  y x 2  2x  1 x y d) x 2  6x  10 ( x  3)2  ( y  2)2 Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) c) x2  5x  6 b) x2  1 2x  1 d) 2 x  5x  6 2 ( x  1)( x  3) 4 2 2 x  y  2x  2 Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: a) 5x 10 b) 4 xy ( y  0) 2y 2x  2 y 4 d) e) c) 21x 2 y 3 ( xy  0) 6 xy 5x  5 y ( x  y) 3x  3 y f) 15 x( x  y ) ( x  y) 3( y  x ) b) x2  4x  3 ( x  3) 2x  6 Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: a) c) x 2  16 4x  x2 15 x( x  y )3 5 y( x  y )2 ( x  0, x  4) d) ( y ( x  y)  0) x 2  xy 3xy  3 y 2 ( x  y, y  0) Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: a) A  (2 x 2  2 x)( x  2)2 ( x3  4 x)( x  1) với x  1 2 b) B  x3  x 2 y  xy 2 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. Bài 7: Thực hiện phép tính: 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x3  y 3 với x  5, y  10 a) c) x  5 1 x  5 5 x2  x 1  4 x  xy xy b) d) Bài 8: Thực hiện phép tính: 2x  4 2  x  a) 10 15 c) x 1 x2  3  2x  2 2  2x2 x  y 2y  8 8 5 xy 2  x 2 y 4 xy 2  x 2 y  3 xy 3 xy b) 3x 2 x  1 2  x   10 15 20 d) 1  2x 2x 1   2x 2x  1 2x  4x 2 b) 2 x 2  10 xy 5y  x x  2 y   2 xy y x Bài 9: Thực hiện phép tính: a) x2 x3  4 x  6 1  6  3x x  2 x 2  y2 d) x  y  xy 2 1 3 x c)   2 x  y x  y x  y2 Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: a) x3  x 2  2 x 1 b) x3  2 x2  4 x 2 Bài 11:Tìm giá trị của biến x để: 1 a) P  đạt giá trị lớn nhất 2 x  2x  6 b) Q  x2  x  1 x2  2x  1 đạt giá trị nhỏ nhất HƯỚNG DẪN 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com c) 2 x3  x2  2 x  2 2x  1 Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) x2  4 9 x 2  16 điều kiện xác định x   c) x2  4 x2 1 điều kiện xác định x  1 d) 4 2x 1 b) 2 3 x  4x  4 5x  3 2x 2  x Bài 2: Tìm điều kiện xác định của phân thức: x  0 1 a) điều kiện xác định  x 2  y2 y  0 c) d) 5x  y x 2  6 x  10 điều kiện xác định x  2  1 điều kiện xác định x  0,   2 b) x2y  2x x2  2x  1 điều kiện xác định x  1 điều kiện xác định x    x  3 điều kiện xác định  ( x  3)2  ( y  2)2 y  2 xy Bài 3: Tìm điều kiện xác định của phân thức: a) c) x 2  5x  6 x2  1 điều kiện xác định x  1 b)  x  1 2 điều kiện xác định  ( x  1)( x  3) x  3 2x  1 x  2 điều kiện xác định x 2  5 x  6  0   x  3  x  2   0   x  3 x  5x  6 d) 2 4 2 x2  y2  2 x  2 điều kiện xác định x 2  y 2  2 x  2  0   x  1  y 2  1  0 ( luôn đúng với mọi x, y   ) Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức. Bài 4:Rút gọn các phân thức sau: a) d) 5x x  10 2 2 x  2y x  y  4 2 b) 4 xy ( y  0)  2x 2y e) 5 Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 5 5 x  5y ( x  y)  3 x  3y 3 c) 7 21x 2 y3 ( xy  0)  xy 2 6 xy 2 f) 15 x ( x  y ) ( x  y) 3( y  x ) a) x 2  16 4x  x2 ( x  0, x  4) x2  4x  3 ( x  3) 2x  6  c)   x  4  x  4     x  4  x 4  x x 15 x ( x  y )3 5y( x  y )2   x  1 x  3  x  1 2  x  3 2 ( y,( x  y )  0) d) 3x  x  y   y x 2  xy 3 xy  3y 2 xx  y x  3y  x  y  3y Bài 6: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: a) A  (2 x 2  2 x )( x  2)2 với x  3 ( x  4 x )( x  1) Ta có A  Thay x  (2 x 2  2 x )( x  2)2 ( x 3  4 x )( x  1) 1 2 2 x  x  2  x  2  2  x  2   x  x  2  x  2  x  1 x 1 2 1 vào biểu thức A ta có: 2 1  2   2  2. 3 2   2  2 A  1 3 1 2 2 b) B  x 3  x 2 y  xy 2 Ta có B  x 3  y3 với x  5, y  10 x 3  x 2 y  xy 2 3 x y 3  x  x 2  xy  y 2   x  y x 2  xy  y  2 Thay x  5, y  10 vào biểu thức B ta có: B   x x y 5  1 5  10 Dạng 3: Thực hiện phép tính với các biểu thức hữu tỷ. Bài 7: Thực hiện phép tính: x  5 1  x 4  a)  5 5 5 c) b) x2  x 1  4 x x2  5 x  1   xy xy xy 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x  y 2y x y   8 8 8 ( x  y, y  0) b) d) 5 xy 2  x 2 y 4 xy 2  x 2 y xy  5 y  x  xy  4 y  x  5 y  x 4 y  x       3y 3 xy 3 xy 3xy 3xy 3 3 Bài 8: Thực hiện phép tính: 2 x  4 2  x x  2 2  x 3  x  2  2  x 2x  8  a)      10 15 5 15 15 15 15 b) 3x 2 x  1 2  x   10 15 20  18 x 4  2 x  1 3  2  x  23 x  2    60 60 60 60 x 1 x2  3 x 1 x2  3 c)    2 x  2 2  2 x 2 2  x  1 2 1  x 1  x   x  1 x2  3 2x  4 x2     2  x  1 x  1 2  x  1 x  1 2  x  1 x  1  x  1 x  1 2   2 x  1 1 2x 2x 1 1  2x 2x 1 4x2 1    d)      2 2x 2 x  1 2 x 1  2 x  2 x  2 x  1 2 x  2 x  1 2 x  2 x  1 2x 2x  1 2x  4x 2  4x 2  2 x  2 x  1 2 x  1 Bài 9: Thực hiện phép tính: a) x2 x3  4 x  6 1  6  3x x  2  x2 6 1   2 x  x  4 3 2  x  x  2  x 2 1   x 4 2 x x 2   c)  b) 2 x 2  10 xy 5y  x x  2 y   2 xy y x  x  5y 5y  x x  2 y x  2 y    y y x x 2 x  x  2  x  2   2  x  2 x2   x  2  x  2   x  2  x  2  6  x  2  x  2  2 1 3 x   x  y x  y x 2  y2 2 x  y  x  y  3   x  y  x  y   x  y  x  y   x  y  x  y  11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com d) x  y  x 2  y2 xy  x  y   x y 2 x2  y 2 x y  3x  3 y  3  x  y  x  y  2 x 2  2 y 2  2 xy  x y Dạng 4: Tìm x để giá trị của một phân thức đã cho thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 10: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên: 2 x 3  x 2  2 x  x  1  2 2 . Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên thì   x2  x 1 x 1 x 1 x  1U  2   1, 2 . Ta có bảng giá trị: a) x 1 -2 -1 1 2 x -1 0 2 3 Vậy x  1,0, 2,3 Thì biểu thức có giá trị nguyên. b) 2 x3  2 x2  4 x  x  2   4 4 .   x2  x 2 x2 x2 Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên thì x  2  U  4   1, 2, 4 . Ta có bảng giá trị: x2 -4 -2 -1 1 2 4 x -2 -1 0 2 3 6 Vậy x  2, 1,0, 2,3,6 thì biểu thức có giá trị nguyên. c) 2 2 x 3  x 2  2 x  2 x  2 x  1  (2 x  1)  1 1 =  x2  1  2x  1 2x 1 2x  1 Do x   để biểu thức nhận giá trị nguyên thì 2 x  1 U 1  1 . x2 -1 1 x 1 3 Vậy x  1,3 thì biểu thức có giá trị nguyên. Bài 11:Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P   2 2 x  2 x  6  x  1  5 Để Pmax thì  x  1  5 min mà  x  1  5  5 Do đó Max P  2 b) Q  x2  x  1 x2  2x  1 2 đạt giá trị nhỏ nhất 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 khi x  1 5 ĐS: min Q  3 khi x  1 . 4 ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com