Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Đăng ký
Đăng nhập
Luận văn - Báo cáo
Kinh tế thương mại
Công nghệ thông tin
Quản trị mạng
Lập trình
Đồ họa
Web
Hệ thống thông tin
Thương mại điện tử
Lập trình di động
Công nghệ - Môi trường
Y khoa - Dược
Khoa học xã hội
Giáo dục học
Đông phương học
Việt Nam học
Văn hóa - Lịch sử
Xã hội học
Báo chí
Tâm lý học
Văn học - Ngôn ngữ học
Quan hệ quốc tế
Khoa học tự nhiên
Địa lý - Địa chất
Toán học
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Nông - Lâm - Ngư
Cao su - Cà phê - Hồ tiêu
Lâm nghiệp
Nông học
Chăn nuôi
Thú y
Thủy sản
Công nghệ thực phẩm
Báo cáo khoa học
Thạc sĩ - Cao học
Kỹ thuật
Nông - Lâm - Ngư
Kiến trúc - Xây dựng
Luật
Sư phạm
Y dược - Sinh học
Công nghệ thông tin
Khoa học tự nhiên
Khoa học xã hội
Kinh tế
Tiến sĩ
Kinh tế - Quản lý
Kiểm toán
Xuất nhập khẩu
Chứng khoán
Tài chính thuế
Marketing
Bảo hiểm
Định giá - Đấu thầu
Kế toán
Dịch vụ - Du lịch
Bất động sản
Tài chính - Ngân hàng
Quản trị kinh doanh
Lý luận chính trị
Đường lối cách mạng
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩa xã hội khoa học
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Triết học Mác - Lênin
Kỹ thuật
Hóa dầu
Giao thông - Vận tải
Điện - Điện tử
Viễn thông
Cơ khí - Vật liệu
Kiến trúc - Xây dựng
Mẫu Slide
Văn Bản
Box Hình
Box vòng tròn
Box Chú Giải
Box Thẻ
Box chữ nhật
Box Ghi Chú
Box mũi tên
Hình Vẽ
Hình Khối
Kim Tự Tháp
Mũi Tên
Hình Cầu
Bánh Xe
Biểu Đồ
Thanh
Đường
Hình Tròn
Ma Trận
Tổ Chức
Sơ Đồ
Giai Đoạn
Tiến Trình
Hình Cây
Lắp Hình
Mẫu Slide
Kế Hoạch
Công Việc Phải Làm
Lịch
Sơ Đồ Gantt
Thời Gian
Hình Minh Họa
Kinh Tế
Thiên Nhiên
Đất Nước
Nghệ Thuật
Giáo Dục
Ảnh Vui
Khoa Học
Công Nghệ
Con Người
Văn Hóa
Phân tích
Biểu Tượng
Hình Người
Biểu Tượng
Minh Họa
Hình Động
Hình Nền
Công Nghệ
Khoa Học
Dịch Vụ
Sản Phẩm
Tài Chính
Giáo Dục
Kinh Doanh
Giải Trí
Thiên Nhiên
Con Người
Trừu Tượng
Thể Thao
Tài chính - Ngân hàng
Báo cáo tài chính
Đầu tư Bất động sản
Bảo hiểm
Quỹ đầu tư
Đầu tư chứng khoán
Tài chính doanh nghiệp
Ngân hàng - Tín dụng
Kế toán - Kiểm toán
Công nghệ thông tin
Thủ thuật máy tính
An ninh bảo mật
Phần cứng
Chứng chỉ quốc tế
Tin học văn phòng
Quản trị web
Kỹ thuật lập trình
Quản trị mạng
Thiết kế - Đồ họa
Hệ điều hành
Cơ sở dữ liệu
Giáo án - Bài giảng
Tư liệu khác
Văn mẫu
Văn Tự Sự
Văn Kể Chuyện
Văn Nghị Luận
Văn Miêu Tả
Văn Chứng Minh
Văn Biểu Cảm
Văn Bản Mẫu
Văn Thuyết Minh
Hóa học
Ngữ văn
Vật lý
Toán học
Sinh học
Lịch sử
Cao đẳng - Đại học
Tiểu học
Mầm non - Mẫu giáo
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng anh
Giáo dục hướng nghiệp
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài giảng điện tử
Giáo án điện tử
Trung học phổ thông
Trung học cơ sở
Mầm non
Tiểu học
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi - Đề thi
Đề thi tuyển dụng
Đề thi dành cho sinh viên
Thi THPT Quốc Gia
Hóa học
Vật lý
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Sinh học
Lịch sử
Địa ly
Công chức - Viên chức
Đề thi lớp 1
Đề thi lớp 2
Đề thi lớp 3
Đề thi lớp 4
Đề thi lớp 5
Đề thi lớp 6
Đề thi lớp 7
Đề thi lớp 8
Đề thi lớp 9
Đề thi lớp 10
Đề thi lớp 11
Đề thi lớp 12
Tuyển sinh lớp 10
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Địa lý
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Toán học
Văn học
Ngoại ngữ
Quy chế tuyển sinh
Quy chế tuyển sinh 2015
Khối B
Môn hóa
Môn toán
Môn sinh
Khối A
Môn tiếng Anh A1
Môn hóa
Môn lý
Môn toán
Khối D
Môn tiếng Anh
Môn văn
Môn toán
Khối C
Môn địa lý
Môn lịch sử
Môn văn
Mầm non - Mẫu giáo
Lứa tuổi 12 - 24 tháng
Lứa tuổi 3 - 12 tháng
Lứa tuổi 24 - 36 tháng
Mẫu giáo nhỡ
Mẫu giáo bé
Mẫu giáo lớn
Tiểu học
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Trung học cơ sở
Lớp 9
Tiếng Anh
Tin học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Toán học
Lịch sử
Công nghệ
Ngữ văn
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lớp 8
Toán học
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Công nghệ
Ngữ văn
Lớp 7
Ngữ văn
Âm nhạc
Toán học
Tiếng Anh
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Tin học
Mỹ thuật
Công nghệ
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Vật lý
Lớp 6
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Âm nhạc
Mỹ thuật
Tin học
Ngữ văn
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Toán học
Trung học phổ thông
Lớp 10
Vật lý
Hóa học
Sinh học
Lịch sử
Tiếng Anh
Tin học
Toán học
Ngữ văn
Công nghệ
Địa lý
Giáo dục công dân
Thể dục
Lớp 12
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Toán học
Vật lý
Thể dục
Giáo dục công dân
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Ngữ văn
Tin học
Lớp 11
Tin học
Ngữ văn
Giáo dục công dân
Vật lý
Địa lý
Công nghệ
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Hóa học
Thể dục
Toán học
Cao đẳng - Đại học
Kỹ thuật - Công nghệ
Hàng không
Điều khiển và tự động hóa
Kỹ thuật hạt nhân
Kỹ thuật nhiệt lạnh
Công nghệ sinh học
Công nghệ thực phẩm
Cơ điện tử
Hóa dầu - Tàu thủy
Điện - Điện tử - Viễn thông
Cơ khí - Luyện kim
Kiến trúc xây dựng
Vật liệu xây dựng
Quy hoạch và khảo sát xây dựng
Kết cấu - Thi công công trình
Công trình giao thông, thủy lợi
Màu sắc kiến trúc
Thiết kế ngoại thất
Thiết kế kiến trúc - Quy hoạch
Kỹ thuật nền móng - Tầng hầm
Văn bản pháp luật - Quy chuẩn xây dựng
Phong thủy
Thiết kế nội thất
Thi công - Nghiệm thu và Thiết bị xây dựng
Sư phạm
Sư phạm sinh
Sư phạm sử
Sư phạm mầm non
Sư phạm tiểu học
Sư phạm ngoại ngữ
Sư phạm địa
Sư phạm văn
Sư phạm hóa
Quản lý giáo dục
Sư phạm toán
Sư phạm vật lý
Công nghệ thông tin
Lập trình trên social network platform
Lập trình ứng dụng di động
Lập trình web
Database
Mã hóa - Giải mã và thuật toán
Lập trình ứng dụng
Ngôn ngữ nhúng và một số ngôn ngữ khác
Mạng căn bản
Chuyên đề mạng không dây
Quản trị mạng Linux
Quản trị mạng Windows
Hệ thống mạng Cisco
Bảo mật
Luật
Luật tài nguyên môi trường
Luật dân sự
Luật doanh nghiệp
Luật thương mại
Luật hình sự - Luật tố tụng hình sự
Khoa học xã hội
Đông phương học
Địa lý học
Nhân học - Tâm lý học
Quan hệ quốc tế
Hành chính - Văn thư
Văn hóa - Lịch sử
Báo chí
Văn học - Ngôn ngữ học
Quản lý đô thị - Đất đai - Công tác xã hội
Giáo dục học
Việt Nam học
Xã hội học
Chuyên ngành kinh tế
Phân tích tài chính doanh nghiệp
Kinh tế công cộng
Kinh tế môi trường
Thị trường tài chính
Thẩm định dự án đầu tư
Đầu tư quốc tế
Tài chính công
Vận tải trong ngoại thương
Giao dịch thương mại quốc tế
Marketing quốc tế
Bảo hiểm
Hải quan
Dịch vụ - Du lịch
Thị trường chứng khoán
Nguyên lý kế toán
Kế toán tài chính
Kế toán ngân hàng thương mại
Kế toán quản trị
Thanh toán quốc tế
Thuế
Lý thuyết kiểm toán
Kiểm toán hành chính sự nghiệp
Quản trị tài chính doanh nghiệp
Kiểm toán phần hành
Y dược
Sản phụ khoa
Da liễu
Hóa dược
Tai - Mũi - Họng
Chẩn đoán hình ảnh
Răng - Hàm - Mặt
Nhãn khoa
Y học công cộng
Gây mê hồi sức
Y học cổ truyền
Tâm thần
Huyết học - Truyền máu
Truyền nhiễm
Vi sinh học
Bào chế
Điều dưỡng
Nội khoa
Nhi khoa
Ngoại khoa
Y học gia đình
Đại cương
Lý thuyết tài chính tiền tệ
Marketing căn bản
Lý thuyết xác suất - thống kê
Toán cao cấp
Triết học
Kinh tế vi mô
Đường lối cách mạng
Pháp luật đại cương
Tư tưởng Hồ Chí Minh
Kinh tế chính trị
Chủ nghĩ xã hội
Toán rời rạc
Kinh tế lượng
Kinh tế vĩ mô
Logic học
Phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học
Tin học đại cương
Kỹ thuật - Công nghệ
Y - Dược
Giáo dục hướng nghiệp
Địa lý
GDCD-GDNGLL
Âm nhạc
Mỹ thuật
Thể dục
Công nghệ
Tin học
Tiếng Anh
Lịch sử
Sinh học
Vật lý
Toán học
Luật
Văn học
Hóa học
Ngoại ngữ
Tiếng Nhật - Hàn
Tiếng Nga - Trung - Pháp
Luận văn báo cáo - ngoại ngữ
TOEFL - IELTS - TOEIC
Ngữ pháp tiếng Anh
Anh ngữ phổ thông
Anh văn thương mại
Anh ngữ cho trẻ em
Kỹ năng nghe tiếng Anh
Kỹ năng nói tiếng Anh
Kỹ năng đọc tiếng Anh
Kỹ năng viết tiếng Anh
Chứng chỉ A,B,C
Kiến thức tổng hợp
Kế toán - Kiểm toán
Kế toán
Kiểm toán
Kinh tế - Quản lý
Quản lý nhà nước
Tiêu chuẩn - Qui chuẩn
Quản lý dự án
Quy hoạch đô thị
Kinh doanh - Tiếp thị
Kỹ năng bán hàng
PR - Truyền thông
Tổ chức sự kiện
Internet Marketing
Quản trị kinh doanh
Kế hoạch kinh doanh
Thương mại điện tử
Tiếp thị - Bán hàng
Sách - Truyện đọc
Sách-Ebook
Công nghệ
Văn hóa giải trí
Giáo dục học tập
Y học
Kinh tế
Ngoại ngữ
Ngôn tình
Truyện dài
Truyện văn học
Truyện thiếu nhi
Truyện kiếm hiệp
Truyện cười
Truyện Ma - Kinh dị
Truyện ngắn
Tiểu thuyết
Tự truyện
Văn hóa - Nghệ thuật
Âm nhạc
Ẩm thực
Khéo tay hay làm
Báo chí - Truyền thông
Mỹ thuật
Điêu khắc - Hội họa
Thời trang - Làm đẹp
Sân khấu điện ảnh
Du lịch
Tôn giáo
Chụp ảnh - Quay phim
Kỹ thuật - Công nghệ
Điện - Điện tử
Kỹ thuật viễn thông
Cơ khí chế tạo máy
Tự động hóa
Kiến trúc xây dựng
Hóa học - Dầu khi
Năng lượng
Kỹ năng mềm
Tâm lý - Nghệ thuật sống
Kỹ năng quản lý
Kỹ năng tư duy
Kỹ năng giao tiếp
Kỹ năng thuyết trình
Kỹ năng lãnh đạo
Kỹ năng phỏng vấn
Kỹ năng đàm phán
Kỹ năng tổ chức
Kỹ năng làm việc nhóm
Y tế - Sức khỏe
Y học thường thức
Y học
Sức khỏe - dinh dưỡng
Sức khỏe người lớn tuổi
Sức khỏe giới tính
Sức khỏe phụ nữ
Sức khỏe trẻ em
Khoa học tự nhiên
Toán học
Vật lý
Hóa học - Dầu khi
Sinh học
Môi trường
Khoa học xã hội
Triết học
Văn học
Lịch sử
Địa lý
Biểu mẫu - Văn bản
Đơn từ
Thủ tục hành chính
Hợp đồng
Văn bản
Biểu mẫu
Nông - Lâm - Ngư
Nông nghiệp
Lâm nghiệp
Ngư nghiệp
Thể loại khác
Chưa phân loại
Phật
Văn khấn cổ truyền
Phong Thủy
Trang chủ
Giáo dục - Đào tạo
Luyện thi Đại học - Cao đẳng
Khối A
Môn toán
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT...
Tài liệu CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
.PDF
15
193
70
tailieu
Báo vi phạm
Tải xuống
70
Đang tải nội dung...
Xem thêm (5 trang)
Tải về
Mô tả:
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Công thức hàm số mũ và logarit 1. Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản ðể so sánh hai lũy thừa thì chúng ta phải chuyển hai lũy thừa về cùng cơ số và so sánh hai số mũ của chúng. Trong trường hợp so sánh BðT (bất phương trình ) thì ta phải chú ý ñến sự ñơn ñiệu của hàm số mũ ( tức là phải so sánh cơ số với 1). Ta xét các phương trình – bất phương trình cơ bản sau. 1. a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x) . 2. a f (x) = b = a 3. a f (x) =b log a b g(x) ⇔ f (x) = log a b . ⇔ f (x) = g(x)log a b . 4. a f (x) > a g(x) (1) + Nếu a>1 thì (1) ⇔ f (x) > g(x) + Nếu 0
0 Hay (1) ⇔ . (a − 1)(f (x) − g(x)) > 0 ðể giải phương trình – bất phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình – bất phương trình cơ bản trên. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2x 3) 2 + 3x − 4 x 8x+2 = 4x −1 2) (2 + 3)3x +1 = (2 − 3)5x + 8 = 36.32 − x 4) 2 x +1 . 42x −1 .83− x = 2 2.0,125 3 Giải: 1) pt ⇔ 2x 2 + 3x − 4 = 22x − 2 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 2x − 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1;x = −2 2) Ta có: (2 + 3)(2 − 3) = 1 ⇒ (2 − 3) = (2 + 3) −1 . 9 ⇒ pt ⇔ (2 + 3)3x +1 = (2 + 3) −5x − 8 ⇔ 3x + 1 = −5x − 8 ⇔ x = − . 8 3) ðK: x ≠ −2 Pt ⇔ 3x 2x+2 4− x = 2 .3 2 ⇔ x −4 2x+2 = 34 − x ⇔ x−4 log 3 2 = 4 − x x+2 x = 4 ⇔ (x − 4)(x + 2 + log 3 2) = 0 ⇔ . x 2 log 2 = − − 3 4) Pt ⇔ x +1 4x − 2 2 2 .2 3 .29 − 3x = 3 2 2 .2−3 ⇔ x +1 4x − 2 + + 9 − 3x 3 2 2 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa = 3 −3 22 1 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit ⇔x= 62 là nghiệm của phương trình . 7 Chú ý : Nếu trong bài toán có thì ñiều kiện của x là : x ≥ 1;x ∈ ℕ . x Ví dụ 2: Giải phương trình : 1) 3 2 x. 4 x .3x 0.125 = 4 3 2 2) 2 x 2 +x − 4.2 x 2 −x − 22x + 4 = 0 Giải: 1 x ≥ 1) ðK : 3 . Vì các cơ số của các lũy thừa ñều viết ñược dưới dạng lũy thừa cơ số 2 3x ∈ ℕ nên ta biến ñổi hai vế của phương trình về lũy thừa cơ số 2 và so sánh hai số mũ. Phương trình ⇔ 2 .2 x 2. x 1 1 3 .( ) 3x 8 =2 1 .2 3 2 ⇔ x x −1 2 2 .2 3 2 2x = 7 23 x = 3 x x 1 7 2 ⇔ ⇔ + − = ⇔ 5x − 14x − 3 = 0 ⇔ 1. x = − 2 3 2x 3 5 Kết hợp với ñiều kiện ta có x = 3 là nghiệm của phương trình . 2) Các lũy thừa tham gia trong phương trình ñều cơ số 2. Ta ñi tìm quan hệ giữa các số mũ x x 1 + − 2 2 3 2x 7 = 23 ta thấy (x2 + x) − (x2 − x) = 2x ⇒ x2 + x = (x2 − x) + 2x . Ta có: PT ⇔ 2x ⇔ 2x 2 −x 2 −x .22x − 4.2x 2 −x − 22x + 4 = 0 . (22x − 4) − (22x − 4) = 0 ⇔ (22x − 4)(2x 2 −x − 1) = 0 22x = 4 x = 1 . ⇔ 2 ⇔ 2 x − x = 1 x = 0 Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: 1) 2 x > 43x −1 3) 3 x +1 +5 x+2 ≥3 x+2 +5 x +1 1 2x 2 + x +1 1 ≤ (x 2 + )1− x 4) (x + ) 2 2 1 2 2) ( ) 2x +1 ≤ (0,125)3x + 2 2 Giải: 2 2 1) BPT ⇔ 2 x > 26x − 2 ⇔ x > 6x − 2 ⇔ x < . 5 x 3 3 5 2) BPT ⇔ 25.5 − 5.5 > 9.3 − 3.3 ⇔ 20.5 > 6.3 ⇔ > ⇔ x > log 5 . 10 3 10 3 x x x x x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa x 2 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 2x 2 +1 3x + 2 9x + 6 1 1 1 3) BPT ⇔ ≤ = ⇔ 2x 2 + 1 ≥ 9x + 6 ⇔ 2x 2 − 9x − 5 ≥ 0 2 8 2 1 ⇔ x ∈ (−∞; − ] ∪ [5;+∞) . 2 1 4) Vì x 2 + > 0 nên ta có các trường hợp sau 2 1 1 * x2 + = 1 ⇔ x = ± . 2 2 1 2 1 x ≤ −1 x + > 1 | x |> 2 2 ⇔ ⇔ * 1 . x > 2 2x 2 + 2x ≥ 0 2 2x + x + 1 ≥ 1 − x 1 2 1 | x | < x 1 + < 1 2 2 * ⇔ ⇔− < x ≤ 0. 2 2 2x 2 + 2x ≤ 0 2x + x + 1 ≤ 1 − x Vậy nghiệm của bất phương trình là: x ∈ (−∞; −1] ∪ [ − 1 1 ;0] ∪ [ ; +∞) . 2 2 Chú ý : Ta có thể giải bài 4 như sau: 1 BPT ⇔ (x 2 − )(2x 2 + 2x) ≥ 0 . Lập bảng xét dấu ta cũng tìm ñược tập nghiệm như trên 2 Ví dụ 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn ñồng thời các ñiều kiện sau : 2 |x − 2x − 3| − log 3 5 3 = 5− (y + 4) (1) và 4 | y | − | y − 1| + (y + 3) 2 ≤ 8 (2). Giải: Vì | y | +1 ≥| y − 1|⇒ 4 | y | +1− | y − 1|≥ 0 nên từ (2) ⇒ (y + 3) 2 ≤ 9 ⇒ y ≤ 0 ⇒ (2) ⇔ y 2 + 3y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0 (*). Mặt khác (1) ⇔ 3|x 2 − 2x − 3| = 5− y − 3 ⇒ − y − 3 ≥ 0 ⇒ y ≤ −3 (**) 2 Tư (*) và (**) ta có y = −3 ⇒ 3|x − 2x − 3| = 0 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1;x = 3 . Thử lại ta thấy các giá trị này thỏa mãn (1) và (2). Vậy (x; y) = (−1; −3), (3; −3) là những cặp (x;y) cần tìm. Chú ý : 1) Với bài toán trên ta thấy (2) là Bất phương trình một ẩn nên ta tìm cách giải (2) và ta dư ñoán bài toán thỏa mãn tại những ñiểm biên của y. 2) Ta có thể giải (2) bằng cách phá bỏ dấu trị tuyệt ñối ta cũng tìm ñược nghiệm của (2) là −3 ≤ y ≤ 0 , tuy nhiên cách làm vậy cho ta lời giải dài. Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 3 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 1 Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình : |x −1| 2 = 2m − 1 . Giải: 1 thì phương trình vô nghiệm. 2 1 1 * Nếu m > ⇒ PT ⇔ 2|x −1| = (2) . 2 2m − 1 1 = 1 ⇔ m = 1 ⇒ (2) ⇔ 2|x −1| = 1 ⇒ (2) có 1 nghiệm x = 1. +) Với 2m − 1 +) Với m ≠ 1 ⇒ (2) có 2 nghiệm phân biệt x = 1 ± log 2 (2m − 1) . * Nếu 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 2x + 2x +1 + 2x + 2 = 3x + 3x +1 + 3x + 2 3) 5 6) x 2 − 5x + 6 x +5 x 32 − 7 3 8) 4 =2 x −3 4) 2 x +17 = 0,25.128 x − 3 2x − 2 = x −1 .5 x = 10 x 2 + 6x +5 1) 3 ≤2 x−4 2x 2 + x −1 4) | x − 1| 6) 2.3x − 2 x + 2 3 −2 x x 2x 2 +3x + 7 2 2) 10 + 3) x −3 x −1 + x +5 5) (x + 3) 2 = xx = 27 2x +1 x 2 − 5x + 4 = (x 2 + 3) x + 4 (x=1;x=4) 2 7) 3 2 x − 2x + 1. < ( 10 − 3) 5) (x 2 + x + 1) 2x >1 ≤1 2 9) 2x.x +1 27 x . 5x = 180 . 10) 4 +4 =4 Bài 3: Giải các bất phương trình sau: x 2 − 4x x ( x=10). 7) x 9 x 9 . 16 16 x 2 −3x + 2 x 2) 32x 2 −3 1 ≥ 3 x +1 x +3 3) (4x 2 + 2x + 1) x 2 −x ≤1 < (x 2 − x + 1) x x −|x −1| 2 8) 4x 2 + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12 Bài 4: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất 3m − 1 = 2m + 1 . |x 2 − m + 2| 5 1 |x Bài 5: Tìm m ñể phương trình 5 2 − 4x + 3| 4 2 = m − m + 1 có bốn nghiệm phân biệt. Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 4 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 2) Các phương pháp giải PT – BPT mũ: 1. Phương pháp ñặt ẩn phụ Cũng như PT – BPT vô tỉ và lượng giác, ñể giải PT – BPT mũ ta có thể dùng phương pháp ñặt ẩn phụ. Tức là ta thay thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta ñặt và chuyển về những phương trình – bất phương trình ma ta ñã biết cách giải. Phương pháp ñặt ẩn phụ rất phong phú và ña dạng, ñể có ñược cách ñặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét ñược quan hệ cảu các cơ số có trong phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2) 4cos 2x + 4cos x − 3 = 0 . 1) 2.16 x − 15.4 x − 8 = 0 Giải: 1) Nhận xét cơ số ta thấy 16 chính là bình phương của 4, tức là ta có: 16 x = (42 ) x = (4 x ) 2 Nên ta ñặt: t = 4x , t > 0 ⇒ 16 x = (4 x ) 2 = t 2 . 3 Phương trình trở thành: 2t 2 − 15t − 8 = 0 ⇔ t = 8 ⇔ 22x = 23 ⇔ x = . 2 2) Vì số mũ của hai lũy thừa trong phương trình là hai hàm số lượng giác và hai hàm số này biểu thị qua nhau bởi hệ thức cos 2x = 2cos 2 x − 1 nên ta chuyển số mũ của hai lũy thừa ñó về một hàm lượng giác. Ta có phương trình ⇔ 42 cos ðặt t = 4 ⇔ 22 cos 2 x + 4.4cos 2 x − 12 = 0 . cos 2 x 2x , t > 0 , ta có phương trình : t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔ t = 2 π π = 2 ⇔ 2cos 2 x = 1 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + k . 4 2 Nhận xét: Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là: F(a f (x) ) = 0 .Với dạng này ta ñặt t = a f (x) , t > 0 và chuyển về phương trình F(t) = 0 , giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ ñó ta tìm ñược x. Ta thường gặp dạng: m.a 2f (x) + n.a f (x) + p = 0 . Với BPT ta cũng làm tương tự. Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: 2 2 1) 2 x − 21− x < 1 2) 9 x − 2x − x − 7.3 x − 2x − x −1 ≤ 2 Giải: 2 < 1. ðặt t = 2 x , t ≥ 1, ta có: 1) BPT ⇔ 2 x − x 2 2 t − < 1 ⇔ t2 − t − 2 < 0 ⇔ 1 ≤ t < 2 ⇔ 2 x < 2 ⇔ 0 ≤ x < 1. t Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 5 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit x 2 − 2x − x 2) BPT ⇔ 3.9 x 2 − 2x − x ðặt t = 3 − 7.3 x 2 − 2x − x ≤ 6. , t > 0 , ta có bất phương trình : 3t 2 − 7t − 6 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 ⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1 x 2 − 2x ≥ 0 x ≤ 0 V x ≥ 2 1 ⇔ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 ⇔ − ≤ x ≤0 V x ≥ 2. 4 2 x ≥ −1/ 4 2 x 2x (x 1) − ≤ + Ví dụ 3: Giải các bất phương trình : 1) 2.3 x +4 x 4 +9 x+ 1 2 ≥9 x 2) 32x − 8.3x + x+4 − 9.9 x+4 >0. Giải: 1) Trong bất phương trình Chia hai vế BPT cho 9 x 4x− x ta ñược: 2.3 + 3.9 4x− x ≥ 1. 4 1 ⇔ 3 x − x ≥ 3−1 3 1+ 5 7+3 5 ⇔ 4 x − x ≥ −1 ⇔ x − 4 x − 1 ≤ 0 ⇔ 4 x ≤ ⇔0≤x≤ . 2 2 2) Chia hai vế BPT cho 9 x + 4 ta ñược: 32(x- x+4) − 8.3x − x + 4 − 9 > 0 4x− x ðặt t = 3 ðặt t = 3x − , t > 0 , ta có BPT: 3t 2 + 2t − 1 ≥ 0 ⇔ t ≥ x+4 , t > 0 , ta có: t 2 − 8t − 9 > 0 ⇔ t > 9 ⇔ 3x − x + 4 > 32 x + 2 > 0 x > −2 x− x+4 >2⇔x+2> x+4 ⇔ ⇔ ⇔ x > 0. 2 2 (x + 2) > x + 4 x + 3x > 0 Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: 1) 2 x 2 −x 2 − 22 + x − x = 3 2) 2 3x 1 x − 6.2 − 2 3(x −1) + 12 2 x = 1. Giải: 1) PT ⇔ 2 x 2 −x 4 − 2 x2 − x = 3 ⇔ 22(x 2 − x) − 3.2 x 2 −x − 4 = 0. x = −1 , t > 0 . Ta có: t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ . x = 2 8 12 8 2 2) ðặt t = 2 x , t > 0 ta có: t 3 − 6t − 3 + = 1 ⇔ (t 3 − 3 ) − 6(t − ) − 1 = 0 . t t t t 2 8 2 4 2 2 ðặt y = t − ⇒ t 3 − 3 = t − t 2 + 2 + 2 = t − (t − ) 2 + 6 = y(y 2 + 6) t t t t t t ðặt t = 2 x 2 −x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 6 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit Nên ta có phương trình : y3 − 1 = 0 ⇔ y = 1 ⇔ t − 2 = 1 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 ⇔ x = 1. t Ví dụ 5: Giải phương trình : 2) (7 + 4 3) x − 3(2 − 3) x + 2 = 0 . 1) (5 + 24) x + (5 − 24) x = 10 Giải: Nhận xét hai cơ số ta thấy: (5 + 24)(5 − 24) = 1 ⇒ (5 + 24) x (5 − 24) x = 1. Do vậy 1 nếu ñặt t = (5 + 24) x , t > 0 ⇒ (5 − 24) x = và phương trình ñã cho trở thành t 1 t + = 10 ⇔ t 2 − 10t + 1 = 0 ⇔ t = 5 ± 24 . t Từ ñây ta tìm ñược x = ±1 . Nhận xét: Bài toán trên có dạng tổng quát như sau: 1 m.a f (x) + n.b f (x) + p = 0 , trong ñó a.b = 1 . ðặt t = a f (x) , t > 0 ⇒ b f (x) = . t 2) Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 và (2 − 3)(2 + 3) = 1 nên ta ñặt t = (2 + 3) x , t > 0 ta có 3 phương trình : t 2 − + 2 = 0 ⇔ t 3 + 2t − 3 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t + 3) = 0 ⇔ t = 1 t x ⇔ (2 + 3) = 1 ⇔ x = 0 . Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: 2) 9 − x 1) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 2 + 2x +1 2 − 34.15 2x − x + 252x − x 2 +1 =0 Giải: 1) Nhận xét các cơ số ta có: 9 = 32 ;4 = 22 ;6 = 3.2 , do ñó nếu ñặt a = 3x ,b = 2 x , ta có: 6a 2 − 13ab + 6b2 = 0 ñây là phương trình ñẳng cấp bậc hai ñối với a,b. Chia hai vế PT x a 3 3 2 2 cho b và ñặt t = = ta ñược: 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = , t = . b 2 2 3 Từ ñây ta có: x = ±1 . Nhận xét: Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là: m.a 2f (x) + n.(a.b) f (x) + p.b 2f (x) = 0 . Chia 2 vế phương trình cho b 2f (x) và ñặt a t = ( ) f (x) , t > 0 . Ta có PT: mt 2 + nt + p = 0 . b 2 2 2 2) PT ⇔ 9.9 2x − x − 34.152x − x + 25.252x − x = 0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 7 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 3 ⇔ 9 5 2 2(2x − x ) ⇔ t = 1; t = 3 − 34 5 2x − x 2 3 2 + 25 = 0 ⇔ 9t − 34t + 25 = 0 (Với t = 5 2x − x 2 25 3 ⇔ * t= 9 5 = 1 ⇔ 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0;x = 2 . 2x − x 2 3 = 5 −2 ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 . Ví dụ 7:Giải phương trình: 1) 125x + 50x = 23x +1 Giải: 1) PT ⇔ 5 , t > 0 ). 25 . 9 3 * t =1⇔ 5 3x 2x − x 2 2) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0 . + 5 .2 = 2.2 2x x 3x 5 ⇔ 2 3x 5 + 2 2x −2=0 x 5 ðặt t = , t > 0 ta ñược: t 3 + t 2 − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + 2t + 2) = 0 ⇔ t = 1 ⇔ x = 0 . 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 0 . 2 2) PT ⇔ 3 3 3x 2 + 4. 3 2x x x 2 2 − − 2 = 0 . ðặt t = , t > 0 ta ñược: 3 3 2 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(3t 2 + t − 2) = 0 ⇔ t = ⇔ x = 1 . 3 Ví dụ 8: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm 7+3 5 x 7−3 5 x 1) 4 x + 5.2 x + m = 0 2) ( ) + m( ) = 8. 2 2 Giải: 1) ðặt t = 2x , t > 0. Phương trình trở thành: t 2 + 5t = − m (1). Suy ra phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t > 0 . Với t > 0 ta có hàm f (t) = t 2 + 5t > 0 và liên tục nên phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ −m > 0 ⇔ m < 0 . x 7+3 5 m 2 2) ðặt : t = , t > 0 , ta có phương trình : t + = 8 ⇔ t − 8t = − m (2) 2 t Suy ra phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t > 0 . Xét hàm số f (t) = t 2 − 8t với t > 0 , ta có: f (t) = (t − 4) 2 − 16 ≥ −16 nên phương trình ñã cho có nghiệm −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 . Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 8 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit Ví dụ 9: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: 1) 9 x + m.3x + 1 ≤ 0 Giải: 2) 32x − m.3x + x + 4 − 9.9 x + 4 < 0 . t2 + 1 1) ðặt t = 3 , t > 0 . Bất phương trình trở thành: t + mt + 1 ≤ 0 ⇔ ≤ − m (3). t Bất phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm t > 0 ⇔ Min f (t) ≤ − m (*). t >0 x 2 t2 + 1 t2 − 1 với t > 0 . Ta có f '(t) = 2 ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = 1 . Từ ñây suy ra t t Min f (t) = f (1) = 2 ⇒ (*) ⇔ −m ≥ 2 ⇔ m ≤ −2 . Xét hàm số f (t) = t >0 Chú ý : BPT : f (x) ≤ k ( f(x) ≥ k ) có nghiệm trên D ⇔ Min f (x) ≤ k ( Max ≥ k) D 2) Chia hai vế của BPT cho 3x + D x+4 ta ñược: 9 3x − x + 4 − 9.3 x + 4 − x − m < 0 ⇔ f (t) = t − < m (**), trong ñó t = 3x − x + 4 t Xét hàm số u(x) = x − x + 4 với x ≥ −4 . Ta có 1 1 15 15 17 u '(x) = 1 − ⇒ u '(x) = 0 ⇔ x + 4 = ⇔ x = − ⇒ u(x) ≥ u(− ) = − 4 4 4 4 2 x+4 − Suy ra t ≥ 3 17 4 . 1 ; +∞) , ta có f(t) là hàm ñồng biến nên 814 3 1 1 − 729 3 Min f (t) = f ( 4 ) = ⇒ BPT ñã cho có nghiệm ⇔ (**) có nghiệm t ∈ D D 81 3 814 3 1 − 729 3 . ⇔ m > Min f(t) = D 814 3 Xét hàm số f(t) trên D = [ Chú ý : 1) Ở bài toán trên chúng ta thường mắc sai lầm là khi ñặt t ta cho rằng ñiều kiện của t là t > 0 ! Dẫn ñến ñiều này là do chúng ta không xác ñịnh tập giá trị của u(x) và lúc ñó ta sẽ cho lời giải sai!. 2) BPT f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ Min f (x) ≥ k (Max f (x) ≤ k) . D D Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho bất phương trình sau ñược nghiệm ñúng với mọi x ≤ 0 : a.2 x +1 + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 . Giải: BPT ⇔ 2a.2 x + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < 0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 9 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit x x 3+ 5 3− 5 ⇔ + (2a + 1) + 2a < 0 2 2 x x 3+ 5 1 3− 5 ðặt t = ,0 < t ≤ 1 ∀x ≤ 0 ⇒ = và bất phương trình trở thành: 2 t 2 1 t2 + 1 < −2a (I ) t + (2a + 1) + 2a < 0 ⇔ t 2 + 1 < −2a(t + 1) ⇔ t t +1 t2 + 1 Xét hàm số f (t) = với t ∈ D = (0;1] . t +1 t 2 + 2t − 1 Ta có: f '(t) = ⇒ f '(t) = 0 ⇔ t = −1 + 2 ⇒ Max f (t) = f (1) = 1 . (0;1] (t + 1) 2 1 BPT ñã cho nghiệm ñúng ∀x ≤ 0 ⇔ (I ) ñúng ∀t ∈ (0;1] ⇔ −2a > Max f (t) ⇔ a < − . (0;1] 2 Ví dụ 11: Tìm m ñể bpt m.9 2x 1 mọi x thỏa mãn | x |≥ . 2 Giải: 2 −x − (2m + 1)6 2x 2 −x + m.4 2x 2 −x ≤ 0 nghiệm ñúng với 2x 2 − x 3 và ñặt t = ta có bất phương trình : 2 m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ t ≥ m(t 2 − 2t + 1) (*). 1 1 1 Xét hàm số u(x) = 2x 2 − x với | x |≥ , có u '(x) = 4x − 1 ⇒ u(x) ≥ u( ) = 0 ∀ | x |≥ 2 2 2 1 ⇒ t ≥ 1 ∀ | x |≥ . 2 * Với t=1 ta thấy (*) ñúng. t * Với t > 1 ⇒ (*) ⇔ f (t) = 2 ≥ m (**) t − 2t + 1 −t 2 + 1 Ta có f '(t) = < 0 ∀t > 1 ⇒ f (t) nghịch biến trên (1; +∞) (t − 1) 4 Mà lim f (t) = 0 ⇒ f (t) > 0 ∀t > 1. Suy ra (**) ñúng ∀t > 1 ⇔ m ≤ 1. Chia hai vế bất phương trình cho 4 2x 2 − x t →+∞ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 10 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 2. Phương pháp ñánh giá. Nội dung phương pháp này là dựa vào tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể tìm nghiệm của phương trình. ðường lối chính là ta dự ñoán một nghiệm của phương trình rồi dựa vào tính ñơn ñiệu của hàm số mũ chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ1: Giải các phương trình sau 1) 4 x + 3x = 5 x 2) 3x = 4 − x Giải: 1) Ta khó tìm ñược mối liên hệ giữa các cơ số xuất hiện trong bài toán. Tuy nhiên ta nhận thấy phương trình có nghiệm x=2. Ta tìm cách chứng minh x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình. ðể làm ñiều này ta chia hai vế phương trình cho 5x (Nhằm tạo ra hàm số ở x x 4 3 VT nghịch biến) ta ñược: + = 1 (1). 5 5 Gọi f (x) là VT của (1) ⇒ f (x) là hàm nghịch biến và f (2) = 1 . * x > 2 ⇒ f (x) < f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghiệm. * x < 2 ⇒ f (x) > f (2) = 1 ⇒ (1) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 . 2) Ta có: PT ⇔ 3x + x = 4 (2) Ta thấy VT của (2) là một hàm ñồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình và ñây cũng là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1) 3.4 x + (3x − 10)2 x + 3 − x = 0 2) 4x 2 −4 + (x 2 − 4)2x − 2 = 1 . Giải: Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: 2 2 5x + 2mx + 2 − 52x + 4mx +m + 2 = x 2 + 2mx + m Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình sau x −1 1) 34x + 8 − 4.32x + 5 + 27 = 0 x +5 2) 3.2 x +1 − 2 2 + 4 = 0 3) (5 − 21) x + 7(5 + 21) x = 2x + 3 4) ( 5 + 2 6 )sin x + ( 5 − 2 6 )sin x = 2 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 11 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 5) 4 x− x −5 − 12.2 x−1− x −5 + 8 = 0 6) Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 2 1) 9 x 2 − 2x 2 1 − 2 3 2x − x 2 ≤3 Bài tập Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau 10) 4 x+1 + 2 x + 2 − 3 = 0 11) 7) 25x − 6.5x + 5 > 0 8) 3x+1 + 18.3− x < 29 12) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x 13) 22x +1 − 5.6 x − 32x +1 ≥ 0 14) ( 2 + 3 ) x + ( 2 − 3 ) x = 14 15) ( 7 + 48 ) x + ( 7 − 48 ) x ≤ 14 16) Bài 2: Tìm m ñể các phương trình và Bất phương trình sau có nghiệm: 1) m.9x + (m − 1)3x + 2 + m − 1 = 0 2)4x − m.2x +1 + 3 − 2m ≤ 0 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 12 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Phương trình cơ bản f (x ) = g(x ) * loga f (x ) = loga g (x ) ⇔ f (x ) ≥ 0 (g(x ) ≥ 0) b * loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = a * loga f (x ) ≥ loga g(x ) (*) f (x ) > g(x ) + Nếu a>1 thì (*) ⇔ g(x ) > 0 f (x ) < g(x ) + Nếu 0
0 f (x ) > 0 Chú ý: loga f (x ) có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 2 1) log 3 (x − 1) + log 3 (x − 2) = log 3 6 2) lg(x 2 − 7x + 6) = lg(x − 1) + 1 2 4) log 1 (x − 3x + 2) ≥ −1 2 5)log 5 (4x + 144) − 4 log5 2 < log 5 5(2x −2 + 1) 3) ( 1-x + 1 + x − 2)log2 (x − x ) = 0 6) log 3 2x − 3 <1 1−x 2. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình logarit Phương pháp ñặt ẩn phụ: loga x . loga b Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau *Công thức ñổi cơ số: logb x == Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 13 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit 1) 1 + log2 (x − 1) = logx −1 4 5 2) log5x + log25 x = 1 x 3) log23 x + log23 x + 1 − 5 = 0 4) log24 x − log21 2 5) x3 32 2 + 9 log2 2 < 4 log 1 x x 8 2 log 4 (2x 2 + 3x + 2)1 > log2 (2x 2 3x + 2) a )lg2 x − lg x 3 + 2 = 0 1 2 + =1 4 − lg x 2 + lg x d )3 logx 16 − 4 log16 x = 2 log2 x c) f )5lg x + x lg 5 = 50 g )logx 2 16 + log2x 64 = 3 h) lg x + 7 x 4 = 10lg x +1 i *)9log3 (1− 2x ) = 5x 2 − 5 1)log 1 (4x + 4) ≥ log 1 (22x +1 − 3.2x ) 2 2) 2 1 1 8 log 2 (x + 3) + log 4 (x − 1) = log2 (4x ) 2 4 3) 16 log27x 3 x − 3 log 3x x 2 2 4) 4( log2 x ) − log 1 x + m = 0 x ∈ (0;1) 2 5)log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6 ≤ 0 2 4 6)log 5 (5x − 4) = 1 − x 7)log 3 x > logx 3 1 3 log2 x log2 x ≥ 22 8) 2x 2 9) log π (log2 (x + 2x 2 − x ) < 0 4 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 14 Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và Lôgarit Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 15
- Xem thêm -
Tài liệu liên quan
đề cương ôn thi lịch sử nhà nước và pháp luật...
49
18389
86
Câu hỏi và đáp án về luật viên chức và công chức và ...
20
16923
131
GiỚI HẠN HÀM SỐ(phần 2)Vô cùng bé – vô cùng lớn...
33
9114
147
Giải đề thi thử báo thtt tháng 11 năm 2016...
7
8454
130
Hướng dẫn giải trắc nghiệm toán trên máy tín...
149
7761
91
Hướng dẫn sử dụng máy tính casio fx 570vn plus để gi...
149
6896
130
520 câu trắc nghiệm toán từng chương có lời gi...
110
6772
67
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM...
9
4821
108
Tuyển tập đề thi hsg sinh học 10...
31
4745
123
Tổng hợp đề thi hóa học lớp 11 hay chọn lọc...
22
4737
92
Tuyển tập đề thi hsg nv8 có đáp án...
31
4313
71
Lịch vạn niên 1932-2050 phần 2 dự đoán đời người và ...
134
4019
150
920 câu hỏi trắc nghiệm môn toán ôn thi THPT Quô...
257
3636
56
Tiếp cận phương pháp và vận dụng cao trong bài toán ...
444
3243
105
Tiếp cận 11 chuyên đề trọng tâm giải nhanh trắc nghi...
448
3011
106
Hồ sơ thiết kế bản vẽ thi công cửa hàng xăng dầu...
18
2657
125
1000 câu hỏi trắc nghiệm chuyên đề hình học không gi...
64
2642
67
Giải nhanh đề thi thpt quốc gia môn toán bằng kỹ thu...
118
2595
142
Tuyển tập đề thi hsg văn 7...
35
2541
133
[hay] 259 câu trắc nghiệm Oxyz có giải chi tiết...
80
2515
58
×
Tải tài liệu
Chi phí hỗ trợ lưu trữ và tải về cho tài liệu này là
đ
. Bạn có muốn hỗ trợ không?
Tài liệu vừa đăng
Hệ thống lý thuyết và công thức giải nhanh bài tập toán lớp 10-11-12
64
90
53
Luyện thi thpt qg môn toán - khảo sát hàm số (có lời giải chi tiết)
866
92
77
[HOT] Tổng ôn tập kiến thức môn toán 2020, lý thuyết và bài tập
33
348
142
[HOT] Đề luyện thi THPT 2020 môn toán
34
1
123
[HOT] Đề thi thử THPT QG 2020 chuẩn cấu trúc
20
272
111
Tuyen tap de thi thpt toan co dap an
65
1
64
đề 1 đến đề 20 có đáp án chi tiết megabook
370
370
127
Chuyên đề khối đa diện, góc và khoảng cách
136
377
71
80 bài tập trắc nghiệm luyện tập chuyên đề hàm số (có đáp án)
77
295
61
335 bài tập trắc nghiệm số phức (có lời giải chi tiết)
89
366
108
Tài liệu xem nhiều nhất
đề cương ôn thi lịch sử nhà nước và pháp luật
49
18389
86
Câu hỏi và đáp án về luật viên chức và công chức và các quy đinh liên quan năm 2016
20
16923
131
GiỚI HẠN HÀM SỐ(phần 2)Vô cùng bé – vô cùng lớn
33
9114
147
Giải đề thi thử báo thtt tháng 11 năm 2016
7
8454
130
Hướng dẫn giải trắc nghiệm toán trên máy tính casio fx - 570VN PLUS
149
7761
91
Hướng dẫn sử dụng máy tính casio fx 570vn plus để giải toánthpt
149
6896
130
520 câu trắc nghiệm toán từng chương có lời giải chi tiết 2017
110
6772
67
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
9
4821
108
Tuyển tập đề thi hsg sinh học 10
31
4745
123
Tổng hợp đề thi hóa học lớp 11 hay chọn lọc
22
4737
92