Ph−¬ng tr×nh h÷u tØ
1. C¸c kh¸i niÖm
Gi¶ sö f vµ g lµ c¸c hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp D vµ E ⊂ D.
Gi¶i ph−¬ng tr×nh f(x) = g(x) (1) trªn tËp hîp E nghÜa lµ t×m tËp hîp
M ⊂ E gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö α ∈ E sao cho f(α) = g(α) lµ ®óng. α ®−îc
gäi lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1).
Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ v« nghiÖm trªn E nÕu tËp nghiÖm M = ∅.
Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅. Trong tr−êng hîp tr¸i l¹i M ≠ ∅, ta nãi
r»ng (1) cã nghiÖm.
NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ biÓu thøc ®¹i sè th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh
®¹i sè. NÕu tr¸i l¹i th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt.
NÕu c¶ f vµ g ®Òu lµ ®a thøc th× (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a thøc.
Tr¸i l¹i nÕu cã Ýt nhÊt mét vÕ lµ ph©n thøc h÷u tØ cßn l¹i lµ ®a thøc th× (1)
®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ph©n thøc.
Hai ph−¬ng tr×nh f1(x) = g1(x) víi tËp nghiÖm M1 ⊂ E vµ f2(x) =
g 2(x) víi tËp nghiÖm M2 ⊂ E, ®−îc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng trªn E nÕu M1 =
M2. NÕu M1 ⊂ M2 th× ph−¬ng tr×nh sau ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh hÖ qu¶
cña ph−¬ng tr×nh ®Çu vµ khi ®ã, ta viÕt
f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x)
NÕu sau phÐp biÕn ®æi, miÒn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh më réng ra
(hay thu hÑp l¹i) th× ph−¬ng tr×nh ®Çu cã thÓ xuÊt hiÖn nghiÖm ngo¹i lai
(hay mÊt nghiÖm).
2. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ hai
2.1. Ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt
Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b = 0 (a ≠ 0), (1) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh ®a
thøc bËc nhÊt.
Ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm duy nhÊt x1 = −
VÝ dô 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
1
b
.
a
(c − 1)x + 2 = c + 1. (2)
(2) ⇔ (c − 1)x = c − 1.
NÕu c ≠ 1 th× (2) cã nghiÖm duy nhÊt
x=
c −1
= 1 , (M = {1}).
c −1
NÕu c = 1 th× (2) cã d¹ng 0x + 2 = 2.
Mäi x ∈ R = (−∞, +∞) ®Òu lµ nghiÖm cña (2) nghÜa lµ M = R.
2.2. Ph−¬ng tr×nh bËc 2
2
Ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0, (3) trong ®ã a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ®−îc
gäi lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai.
2
Sè ∆ := b − 4ac ®−îc gäi lµ biÖt thøc cña ph−¬ng tr×nh (3).
§· biÕt, khi ∆ < 0, (3) v« nghiÖm.
NÕu ∆ = 0 ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm (thùc) trïng nhau (nghiÖm kÐp)
b
x1 = x2 = − .
2a
NÕu ∆ > 0 ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm (thùc) ph©n biÖt
x1 =
−b − ∆
−b + ∆
, x2 =
2a
2a
2
Khi ®ã: ax + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
VÝ dô 2. Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh
2
(m + 1)x + 2(m + 1)x + m − 2 = 0 (4)
Gi¶i. a) NÕu m ≠ −1 th× (4) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai
2
Khi ®ã, ∆ = 4∆' = 4[(m + 1) − (m + 1)(m − 2)] = 12(m + 1),
b
2
ë ®©y, ∆' = b' − ac (b' = b ' = ,
2
2
2
= (m + 1) − (m + 1)(m − 2) = 3(m + 1).
• NÕu m < −1, th×
b
< 0 vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm.
2
• NÕu m > −1, th×
b
> 0 vµ nh− vËy (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
2
x1, 2 =
−(m + 1) ∓ 3(m + 1)
m +1
b) NÕu m = −1, th× (4) cã d¹ng −3 = 0
vµ do ®ã, (4) v« nghiÖm.
2
VÝ dô 3. Cho ph−¬ng tr×nh f(x) := ax + bx + c = 0. (5)
Chøng minh r»ng, nÕu 5a + 4b + 6c = 0, (6)
th× (5) cã nghiÖm.
Gi¶i. a) NÕu a = 0 th× (5) cã d¹ng bx −
2
2
b = 0, vµ do ®ã x =
lµ
3
3
nghiÖm.
b) NÕu a ≠ 0, th× do af(2) +
1 1
af + af(0) = 0
4 2
nªn cã mét sè h¹ng ©m hoÆc b»ng 0. Tõ ®ã, (5) cã nghiÖm.
VÝ dô 4. Cho ph−¬ng tr×nh
a(x − b)(x − c) + b(x − a)(x − c) + c(x − a)(x − b) = 0. (7)
2
2
2
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh lu«n cã
nghiÖm.
2
Gi¶i. (7) ⇔ (a + b + c)x − 2(ab + ac + bc)x + 3abc = 0.
− NÕu a + b + c ≠ 0 th× (7) lµ ph−¬ng tr×nh bËc hai. Khi ®ã ∆ = (ab −
2
2
ac) + (ab − bc) + (ac − bc) ≥ 0. Do ®ã (7) cã nghiÖm.
− NÕu a + b + c = 0 th× (7) cã d¹ng
3
2(ab + ac + bc)x = 3abc. (8)
2
2
2
2
Tõ (a + b + c) = 0 ⇒ a + b + c + 2(ab + ac + bc) = 0
2
2
2
⇒ 2(ab + ac + bc) = −(a + b + c ) ≠ 0.
Khi ®ã (8) cã nghiÖm.
C«ng thøc Viet vµ øng dông
2
§Þnh lÝ. (a) NÕu ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1, x2
th×
x1 + x2 = −
b
c
, x1x2 = . (9)
a
a
(b) §¶o l¹i, hai sè α, β bÊt k× sÏ lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai
2
x − Sx + P = 0
víi S = α + β, P = α.β.
VÝ dô 5. Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai
2
2x − 5x + 1 = 0.
Kh«ng gi¶i, h·y tÝnh S2 = x12 + x 22 , S 3 = x13 + x32 trong ®ã x1, x2 lµ
hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.
Gi¶i. Theo c«ng thøc Viet, x1 + x2 =
5
1
vµ x1x2 = . Chó ý r»ng ∆ =
2
2
17 > 0. Tõ ®ã
2
5
1 21
2
S2 = (x1 + x2) − 2x1x2 = − 2. =
,
2
2
4
S3 = (x1 + x2) (x12 − x1x 2 + x 22 ) =
5 21 1 95
.
− =
2 4 2
8
2
Chó ý. Gi¶ sö x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ax + bx + c = 0,
a ≠ 0 vµ Sn = x1n + x 2n , n ≥ 2. B»ng quy n¹p cã thÓ chøng minh ®−îc c«ng
thøc sau aSn+1 + bSn + cSn−1 = 0, n ≥ 2.
4
VÝ dô 6. Cho hai ph−¬ng tr×nh bËc hai
2
2
x + b1x + c1 = 0 vµ x + b2x + c2 = 0
víi b2i + 4ci ≥ 0 i = 1, 2.
Chøng minh r»ng chóng cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung khi vµ chØ khi
2
(c2 − c1) = (b2 − b1)(b1c2 − b2c1). (10)
Gi¶i. §Æt fi(x) = x2 + bi x + ci (i = 1, 2).
NÕu x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña f1(x) = 0 th× ®Ó hai ph−¬ng tr×nh ®· cho cã
Ýt nhÊt mét nghiÖm chung, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ f2 (x1 )f2 (x2 ) = 0.
hay (x12 + b2 x1 + c2 )(x 22 + b2 x2 + c2 ) = 0 . (11)
(11) ⇔
[f1 (x1 ) + (b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][f1 (x2 ) + (b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0
⇔ [(b2 − b1 )x1 + (c2 − c1 )][(b2 − b1 )x 2 + (c2 − c1 )] = 0
⇔ (b2 − b1 )2 x1x 2 + (c2 − c1 )(b2 − b1 )(x1 + x2 ) + (c2 − c1 )2 = 0
2
Tõ ®ã vµ c«ng thøc Viet x1 + x2 = −b1, x1x2 = c1, ta cã (b2 − b1) c1 −
2
2
(c2 − c1)(b2 − b1)c1 + (c2 − c1) = 0 hay (b2 − b1) = (b2 − b1)(c2b1 −
b2c1).
3. Mét sè ph−¬ng tr×nh bËc cao ®−îc ®−a vÒ bËc hai
Ph−¬ng tr×nh d¹ng
2
a(f(x)) + bf(x) + c = 0
®−îc ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = f(x).
VÝ dô 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
8
4
x − 26x + 25 = 0. (11)
4
Gi¶i. §Æt t = x . (11) ®−îc ®−a vÒ d¹ng
5
2
t − 26t + 25 = 0.
Tõ ®ã ta cã t1 = 1, t2 = 25 vµ
x = 1
x4 = 1
(11) ⇔
⇔ x = 5
4
x = 25
x = −5.
VÝ dô 8. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
a) (x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9, (12)
4
4
b) (x + 1) + (x + 3) = 16, (13)
c) 2x 4 + 3x3 − x 2 + 3x + 2 = 0, (14)
d) (x 2 + x − 2)(x 2 + x − 3) = 12, (15)
e) (12x − 1)(6x − 1)(4x − 1)(3x − 1) = 5, (16)
Gi¶i.
a) Ph−¬ng tr×nh (12) ⇔ (x − 1)(x + 5)(x + 1)(x + 3) = 9
2
2
⇔ (x + 4x − 5) + 8(x + 4x − 5) − 9 = 0
§Æt t = x2 + 4x − 5 ta cã ph−¬ng tr×nh
t = −9
2
t + 8t − 9 = 0 ⇔
t = 1
x2 + 4x − 5 = −9
Tõ ®ã (12) ⇔
x2 + 4x − 5 = 1
x2 + 4x + 4 = 0
x = −2
⇔
⇔
x2 + 4x − 6 = 0
x = −2 ∓ 10
b) §Æt t = x + 2, ta ®−îc
4
4
4
2
(t − 1) + (t + 1) = 16 ⇔ t + 6t − 7 = 0
6
t2 = 1
⇔t=±1
⇔
t 2 = −7
Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (13) cã hai nghiÖm x1 = −1, x2 = −3.
c) x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (14). VËy
1
1
(14) ⇔ 2 x2 +
+ 3 x + − 1 = 0
2
x
x
2
1
1
⇔ 2 x + + 3 x + − 5 = 0. (18)
x
x
§Æt t = x +
1
, |t| ≥ 2. Khi ®ã (18) trë thµnh
x
2
2t + 3t − 5 = 0,
5
Ph−¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm t1 = 1 (lo¹i) vµ t2 = − . Tõ ®ã
2
x+
1
5
2
= − ⇔ 2x + 5x + 2 = 0.
x
2
1
Ph−¬ng tr×nh sau cïng cã hai nghiÖm x1 = −2, x2 = − .
2
2
2
d) §Æt t = x + x. (15) cã d¹ng t − 5t − 6 = 0.
Tõ ®ã t1 = 6, t2 = −1 vµ ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi tËp hîp
x2 + x = 6
x2 + x = −1.
Ph−¬ng tr×nh sau v« nghiÖm, ph−¬ng tr×nh ®Çu cho
x1 = 2, x2 = −3.
1
1
1
1
5
e) (16) ⇔ x −
(17)
x − x − x − =
12
6
4
3 6.122
7
1
1
1
1
1
5
.
x −
+ x − + x − + x − = x −
4
12
6
4
3
24
§Æt t =
2
2
5
1
3
.
Thay vµo (17), ta nhËn ®−îc t 2 − t 2 − =
24
24 6.122
2
Tõ ®ã t =
49
(24)
2
vµ t = ±
7
.
24
Chó ý 1. Trong vÝ dô 8.e), ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = m (18)
trong ®ã, a < b < c < d vµ b − a = d − c. Ta cã thÓ gi¶i (18) b»ng c¸ch
®Æt
t=
(x − a) + (x − b) + (x − c) + (x − c)
a+b+c+d
=x−
.
4
4
Chó ý 2. T−¬ng tù, ®èi víi ph−¬ng tr×nh
(x − a)(x − b)(x − c)(x − d) = mx
2
víi m ≠ 0 vµ ab = cd cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®Æt t = x +
VÝ dô 9. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2
(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x . (19)
(19) ⇔ (x + 2)(x + 12)(x + 3)(x + 8) = 4x
2
2
2
⇔ (x + 14x + 24)(x + 11x + 24) = 4x . (20)
V× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm nª
24
24
(20) ⇔ x +
+ 14 x +
+ 11 = 4
x
x
§Æt t = x +
24
, ta cã ph−¬ng tr×nh
x
2
t + 25t + 150 = 0.
8
ab
.
x
Gi¶i ra ta ®−îc t1 = −10, t2 = −15
Thay vµo ta thu ®−îc tËp hîp ph−¬ng tr×nh
x2 + 15x + 24 = 0
2
x + 10x + 24 = 0.
Gi¶i ra ta ®−îc
x1,2 = (−15
(−15 ∓ 129)
, x3 = −4, x4 = −6.
2
4. Ph−¬ng tr×nh bËc ba. §ã lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
3
2
f(x) ≡ ax + bx + cx + d = 0, a ≠ 0. (1)
4.1. NÕu biÕt α lµ mét nghiÖm cña (1) th× (1) cã thÓ ®−a vÒ d¹ng
2
a(x − α)(x + px + q) = 0
x − α = 0
⇔ 2
x + px + q = 0
2
b»ng c¸ch chia f(x) cho a(x − α) ®Ó ®−îc tam thøc bËc hai x + px +
q.
VÝ dô 10. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
3
2
f(x) ≡ x + 3x + x − 5 = 0 (1)
Gi¶i. T×m nghiÖm nguyªn cña (1) b»ng c¸ch xÐt c¸c −íc cña −5 ®ã lµ
±1 vµ ±5. Ta thÊy x = 1 lµ mét nghiÖm. Chia f(x) cho x − 1 ta dc th−¬ng
2
lµ x + 4x + 5. Tõ ®ã
x − 1 = 0
⇔ x ∈ {1, 5}.
(1) ⇔ 2
x + 4x + 5 = 0
NghiÖm x = 1 lµ nghiÖm kÐp.
3
3
4.2. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng (1) víi ®iÒu kiÖn ac = db , d ≠ 0,
(cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh håi qui bËc ba) th× cã thÓ gi¶i nh− sau.
9
d
a) NÕu c = 0 th× b = 0 vµ x = 3 − lµ nghiÖm béi ba.
b
b) NÕu c ≠ 0 th× b ≠ 0 vµ (1) cã d¹ng
2
2
(x − α)[ax + (aα + b)x + aα ] = 0
ë ®©y α = −
c
b
3
VÝ dô 11. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x + 3x − 6x − 8 = 0. (2)
3
3
Gi¶i. (2) lµ ph−¬ng tr×nh håi qui v× 1.(−6) = (−8).3 .
Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã mét nghiÖm α =
6
= 2.
3
x = 2
x = 2
⇔ x = −1
Tõ ®ã (2) ⇔ 2
x + 5x + 4
x = −4.
4.3. §èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng tæng qu¸t
3
2
ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0),
3
cã thÓ ®−a vÒ d¹ng t + pt + q = 0 (3)
3
2
b»ng c¸ch ®−a vÒ d¹ng x + b'x + c'x + d' = 0,
sau ®ã ®Æt x = t −
p= −
b'
ta sÏ nhËn ®−îc (3) víi
3
(b ')2
2(b ')3 b ' c '
+ c ', q =
−
+ d '.
3
27
3
Cuèi cïng b»ng c¸ch ®Æt u = 2
p
t
3
3
ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh 4u − 3u = m (nÕu p > 0) (4)
3
4u + 3u = m (nÕu p < 0). (5)
10
• Ph−¬ng tr×nh (5) chØ cã mét nghiÖm
3
α=
3
m + m2 + 1 + m − m2 + 1
(6)
2
• Ph−¬ng tr×nh (4) còng chØ cã mét nghiÖm
3
α=
3
m + m2 − 1 + m − m2 − 1
(7)
2
khi |m| > 1.
Khi |m| ≤ 1, chän gãc ϕ sao cho cosϕ = m. Lóc ®ã dùa vµo c«ng thøc
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ + 2π
ϕ + 4π
cosϕ = 4 cos3 − 3 cos , ta thÊy cos , cos
vµ cos
lµ
3
3
3
3
3
ba nghiÖm cña (4).
3
VÝ dô 12. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x − 3x − 1 = 0 (8)
p
§Æt x = 2 − y = 2 y.
3
1
π
= cos vµ theo trªn ta cã 3 nghiÖm y1 =
2
3
π
4π
7π
cos , y2 = − cos
, y3 = cos . Tõ ®ã ph−¬ng tr×nh (8) cã 3 nghiÖm
9
9
9
3
Ta nhËn ®−îc 4y − 3y =
x1 = 2y1, x2 = 2y2 vµ x3 = 2y3.
VÝ dô 13. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
3
2
a) 8x + 24x + 6x + 1 = 0 (9)
3
b) x + 6x + 4 = 0 (10)
3
c) x + 3x − 6 = 0 (11)
Gîi ý. §−a (9), (10) vµ (11) lÇn l−ît vÒ d¹ng
2
4z − 3z = −
3
2
3
; 4z + 3x = −
vµ
2
2
3
4z + 3z = 3 (t−¬ng øng).
11
4
3
2
5. Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng ax + bx + cx + dx + e = 0
(a ≠ 0) (1)
5.1. Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng
4
2
ax + bx + c = 0, (2)
2
cã thÓ ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh bËc hai b»ng c¸ch ®Æt t = x ≥ 0.
5.2. Ph−¬ng tr×nh håi quy bËc bèn lµ ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
ax 4 + bx3 + cx 2 + bαx + aα 2 = 0, (3)
trong ®ã a vµ α ≠ 0
2
Ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch chia c¶ hai vÕ cho x mµ
kh«ng sî mÊt nghiÖm 0 v× x = 0 kh«ng lµ nghiÖm.
α2
α
(3) ⇔ a x 2 +
+ b x + + c = 0. (4)
2
x
x
cã thÓ gi¶i (4) b»ng c¸ch ®Æt t = x +
α
.
x
VÝ dô 14. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
6x 4 − 17x3 + 17x 2 − 17x + 6 = 0. (5)
§©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 1. §Æt t = x +
(5) t−¬ng ®−¬ng víi
6(t 2 − 2) − 17t + 17 = 0
(6)
1
t = x +
x
2
(6) ⇔ 6t − 17t + 5 = 0 ⇒ t1 =
1
5
, t2 = .
3
2
12
1
. Ph−¬ng tr×nh
x
1 1
x + x = 3 (v« nghiÖm)
(5) ⇔
x + 1 = 5
x 2
⇔x=2∨x=
1
.
2
VÝ dô 15. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
4
3
2
x + 3x − 44x + 15x + 25 = 0 (7)
Gîi ý : §©y lµ ph−¬ng tr×nh d¹ng (3) víi α = 5.
25
5
(7) ⇔ x2 +
+ 3 x + − 44 = 0
x
x2
2
2
5
5
⇔ x + + 3 x + − 54 = 0
x
x
5
x2 − 6x + 5 = 0
x + x = 6
⇔
⇔
x2 + 9x + 5 = 0
x + 5 = −9
x
⇒ x1 = 1, x2 = 5, x3,4 =
−9 ∓ 61
.
2
5.3. Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ®Ó ph©n tÝch thµnh tÝch
VÝ dô 16. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
4
3
2
f(x) ≡ x − 4x − 10x + 37x − 14 = 0. (8)
2
2
ViÕt f(x) = (x + bx + c)(x + px + q).
Sau khi khai triÓn vÕ ph¶i, so s¸nh c¸c hÖ sè ta thu ®−îc hÖ
b + p = 4
c + q + pb = −10
pc + qb = 37
qc = −14.
13
Gi¶i hÖ ta ®−îc p = −5, q = 2, b = 1, c = −7.
x2 − 5x + 2 = 0
Lóc ®ã (8) ⇔
x2 + x − 7 = 0,
5 ∓ 17 −1 ∓ 29
,
⇔x∈
.
2
2
5.4. Ph−¬ng ph¸p tham sè hãa
VÝ dô 17. Gi¶i ph−¬ng tr×nh
4
x − 2 2x 2 − x + 2 − 2 = 0 (9)
Gi¶i. §Æt m =
2 . Khi ®ã (9) cã d¹ng
m 2 − (2x 2 + 1)m − x + x 4 = 0
Ph−¬ng tr×nh Èn m cho ta hai nghiÖm
2
2
m1 = x − x, m2 = x + x + 1. Khi ®ã :
x2 − x = 2
Ph−¬ng tr×nh (9) ⇔
x 2 + x + 1 =
1 ∓ 1 + 4 2 −1 ∓
⇔x∈
,
2
2,
4 2 − 3
.
2
14
- Xem thêm -
.PDF 
14 
1225 
98 
