Tài liệu Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* VŨ THỊ NGỌC DIỆU CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời cam đoan 3 Mở đầu 5 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Một số khái niệm và ví dụ về chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . 10 1.1.4. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương . . . . . . . . . 11 1.1.5. Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.6. Dấu hiệu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.7. Dấu hiệu D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.8. Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.9. Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.10. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ . . . . . . 17 1.1.11. Các tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2. Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . 20 1.2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số . . . . . 21 1 2 1.2.4. Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều . . . . 25 1.2.5. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 32 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1. Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2. Khai triển chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn . . . . . 35 2.4 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Trong quá trình thực hiện, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp để bản khóa luận được hoàn thiện như hiện tại. Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Ngọc Diệu 3 Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp ngành Toán giải tích với đề tài "Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số" được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân. Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, em đã thừa kế những kết quả và thành tựu của các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018 Sinh viên Vũ Thị Ngọc Diệu 4 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài. Chuỗi lượng giác được khảo cứu từ kết quả một số nghiên cứu về vật lý đồng thời bởi các nhà toán học Gauss, Abel và Cauchy. Các chuỗi khai triển theo các hàm sin và cosin cũng đã được xem xét bởi hai anh em nhà toán học Bernoulli từ những năm 1701 – 1702, và thậm chí sớm hơn bởi Viète. Ngoài ra, Euler, Larrange và một số nhà toán học khác cũng tham gia vào hướng nghiên cứu này. Năm 1807, Fourier đưa ra phương pháp biểu diễn hàm số liên tục qua chuỗi lượng giác và sử dụng vào việc giải phương trình truyền nhiệt trong vật thể chất rắn. Năm 1822, ông cho công bố công trình “Lý thuyết giải tích của nhiệt” và mở ra một thời kỳ mới về ứng dụng toán học trong các khoa học khác. Trên thực tế, Euler là người đã đưa ra công thức tính các hệ số trong khai triển, còn Fourier thì phát biểu và có một số cố gắng trong chứng minh định lý tổng quát. Tuy nhiên, Fourier đã không đặt ra vấn đề hội tụ cho chuỗi của mình, mà chính Cauchy đã nhìn ra vấn đề này và có đưa ra một số kết quả. Thêm nữa, Poisson cũng đã xem xét vấn đề này nhưng từ một khía cạnh khác. Kết quả của Poisson về sự hội tụ của chuỗi Fourier được Cauchy chỉ ra là thiếu chặt chẽ. Tuy nhiên, chính công trình của Cauchy về vấn đề này cũng được Dirichlet chỉ ra là sai. Vấn đề chỉ được giải quyết một cách cơ bản bằng công trình của Dirichlet, đăng trên tạp chí Crelle vào năm 1829. Với công trình này, nhiều người xem ông là người sáng lập ra Lý thuyết chuỗi Fourier. Công trình nêu trên của Dirichlet sau đó được chỉnh sửa và hoàn thiện thêm bởi Riemann vào năm 1854. 5 6 Đến nay, lý thuyết chuỗi số và chuỗi hàm và sự hội tụ của chúng đã được coi như hoàn chỉnh. Tuy nhiên, nhiều chuỗi số dễ nhận biết được sự hội tụ của chúng, nhưng việc tính tổng của các chuỗi đó là không hề đơn giản. Để hoàn thành khóa luân tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích, em chọn đề tài "Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số." 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về chuỗi Fourier - Nghiên cứu về ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Chuỗi Fourier và ứng dụng - Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm và tính tổng của một số chuỗi số hội tụ. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận và tài liệu tham khảo - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu 6. Cấu trúc. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm hai chương - Chương 1. Kiến thức chuẩn bị - Chương 2. Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1. Chuỗi số Một số khái niệm và ví dụ về chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số Định nghĩa 1.1.1. Cho dãy số {an }. Tổng vô hạn a1 + a2 + ... + an + ... = ∞ X an (1.1) n=1 được gọi là một chuỗi số. Trong chuỗi số trên người ta gọi + Phần tử an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số + Tổng hữa hạn được xác định và kí hiệu dưới dạng sn = a1 + a2 + ... + an = n X ak (1.2) k=1 được gọi là tổng riêng thứ n và dãy số {sn } được gọi là dãy tổng riêng thứ n của chuỗi (1.1). Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = s thì chuỗi n→∞ được gọi là hội tụ và có tổng là s. ∞ P Khi đó ta cũng viết an = s. Nếu lim sn = ±∞ hoặc không tồn tại n→∞ n=1 giới hạn này, thì chuỗi được gọi là phân kì. 7 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chuỗi số ∞ X q n = 1 + q + q 2 + ... + q n + .... n=0 Tổng riêng của chuỗi số được xác định như sau sn = 1 + q + q 2 + ... + q n−1 . Ta xét các trường hợp (i) Trường hợp q 6= 1. Ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là sn = 1 − qn 1 qn = − . 1−q 1−q 1−q 1 . n→∞ n→∞ 1−q ∞ P qn = Như thế, chuỗi số đã cho hội tụ và có tổng là + Nếu |q| < 1 thì lim q n = 0. Do đó lim sn = 1 . 1−q n=0 + Nếu |q| > 1 thì hiển nhiên giới hạn của dãy tổng riêng lim sn = ∞ và n→∞ như thế chuỗi đã cho phân kỳ. (ii) Trường hợp q = 1. Ở đây, ta thấy rằng lim sn = lim n = +∞. n→∞ n→∞ Như vậy, chuỗi phân kỳ. (iii) Trường hợp q = −1. Dãy tổng riêng có hai dãy con được xác định như sau ( sn = 0 khi n = 2k 1 khi n = 2k + 1 . Bởi vì hai dãy con có các giới hạn khác nhau, nên dãy tổng riêng {sn } không có giới hạn. Do đó, với |q| = 1 thì chuỗi đã cho cũng phân kỳ. Qua việc xét như vậy, ta có kết luận cuối cùng là chuỗi trên chỉ hội tụ trong trường hợp |q| < 1. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Ví dụ 2. Cho chuỗi số ∞ X n=1 9 1 . n(n + 1) Ta có 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)         1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + ... + − 2 2 3 3 4 n n+1 1 =1− . n+1 sn = Từ đó, suy ra lim sn = 1. Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1. n→∞ 1.1.2. Điều kiện để chuỗi hội tụ Định lý 1.1.1. (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và với mọi số nguyên dương p ta có |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. (1.3) Chứng minh. Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn } hội tụ. Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có |sn+p − sn | < ε. Điều này tương đương với |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. Hệ quả 1. (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi (1.1) hội tụ, thì lim an = 0. n→∞ Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 Thật vậy, theo (1.3) thì với mọi n ≥ N chọn p = 0 ta nhận được ngay |an | < ε. Do đó, ta có lim an = 0. n→∞ Chú ý. Điều kiện này chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ. Điều đó được chỉ ra qua các ví dụ dưới đây ∞ P 1 n n phân kỳ, vì lim = . a) Chuỗi n→∞ 2n + 1 2 n=1 2n + 1 ∞ 1 P b) Ta xét chuỗi . Mặc dù giới hạn của dãy số hạng tổng quát n=1 n 1 lim = 0 nhưng chuỗi này phân kì. Để khẳng định điều đó trước hết ta n→∞ n có đánh giá sau 1 1 1 s2n − sn = + + ... + n+1 n+2 2n 1 1 1 > + + ... + 2n 2n 2n n 1 = = . 2n 2 Như thế, nếu chuỗi này hội tụ thì các dãy tổng riêng sn và s2n phải cùng tiến tới một giới hạn khi n → +∞ tức là lim (s2n − sn ) = 0. Tuy nhiên, n→∞ điều này mâu thuẫn với đánh giá trên trên. Cũng từ tiêu chuẩn Cauchy ta cũng dễ nhận được kết quả sau Hệ quả 2. Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêm vào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. 1.1.3. Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ ∞ ∞ P P Định lý 1.1.2. Nếu chuỗi an , bn hội tụ và có tổng lần lượt là s và t thì các chuỗi n=1 ∞ P (an ± bn ) và n=1 n=1 ∞ P (λan ) cũng hội tụ và có tổng lần lượt n=1 được xác định theo công thức dưới đây ∞ X n=1 (an ± bn ) = s ± t; ∞ X n=1 λan = λs. Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11 Chứng minh. Ký hiệu sn = a1 + a2 + ... + an ; tn = b1 + b2 + ... + bn . ∞ P Khi đó {sn ± tn } là tổng riêng của chuỗi (an ± bn ) và {λsn } là tổng n=1 ∞ P riêng của chuỗi (λan ). Theo tính chất của dãy số hội tụ ta có n=1 lim (sn ± tn ) = lim sn ± lim tn = s ± t; lim λsn = λ lim sn = λs. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Vậy có điều cần chứng minh. 1.1.4. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương ∞ P an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0; Định nghĩa 1.1.2. Chuỗi số n=1 với mọi n. Định lý 1.1.3. Điều kiện cần và đủ để một chuỗi dương hội tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn. Chứng minh. Bởi vì, chuỗi ∞ P an hội tụ nên dãy tổng riêng {sn } của nó n=1 hội tụ. Do đó dãy (sn ) bị chặn. Ngược lại, do dãy tổng riêng của chuỗi số dương là dãy {sn } tăng nên nếu {sn } bị chặn thì tồn tại giới hạn. ∞ P Do đó chuỗi an hội tụ. n=1 Trong phần tiếp theo, để xét sự hội tụ của chuỗi số dương ta ngầm hiểu ∞ ∞ P P việc xét qua hai chuỗi số dương sau an và bn . n=1 1.1.5. n=1 Dấu hiệu so sánh Định lý 1.1.4. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất). Giả sử tồn tại số nguyên dương n0 và một hằng số C > 0 sao cho an ≤ Cbn ; với mọi n ≥ n0 . Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 Khi đó, ta có các khẳng định sau ∞ ∞ P P (i) Nếu chuỗi bn hội tụ thì, kéo theo chuỗi an hội tụ. (ii) Nếu chuỗi n=1 ∞ P n=1 an phân kỳ, thì kéo theo chuỗi ∞ P bn phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh. Như đã nói trong hệ quả 2 mục (1.1.2), không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết n0 = 1. Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n ∞ ∞ P P của các chuỗi an và bn . n=1 n=1 Khi đó, theo giả thiết ta có sn ≤ Ctn ; với mọi n ≥ 1. Như vậy, nếu dãy {tn bị chặn thì dãy {sn } cũng bị chặn vả nếu dãy {sn } không bị chặn thì dãy {tn } cũng không bị chặn. Từ đó suy ra kết luận của định lý. an = k. Khi đó, n→∞ bn Định lý 1.1.5. (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim ta có các khẳng định sau (i) Nếu 0 ≤ k < ∞ thì từ sự hội tụ của chuỗi chuỗi ∞ P ∞ P bn kéo theo sự hội tụ của n=1 an . n=1 (ii) Nếu 0 < k ≤ +∞ thì từ sự phân kì của chuỗi kì của chuỗi ∞ P ∞ P bn kéo theo sự phân n=1 an . n=1 an = k và 0 ≤ k < +∞ nên tồn tại số nguyên n→∞ bn dương n0 để với mọi n ≥ n0 ta có Chứng minh. (i) Bởi vì lim an ≤ k + 1 ⇔ an ≤ (k + 1)bn . bn Theo định lý 1.1.4, thì chuỗi ∞ P n=1 an hội tụ Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 ∞ P bn phân kì. Khi đó, ta có (ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi n=1   1 khi k 6= +∞ bn ∗ k lim =k = n→∞ an  0 khi k = +∞ tức là 0 ≤ k ∗ < +∞. Theo phần chứng minh trên, nếu chuỗi thì chuỗi ∞ P bn cũng phải hội tụ. Do đó, chuỗi n=1 ∞ P ∞ P an hội tụ n=1 an phân kì. n=1 Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chuỗi ∞ X 1 . 2 n n=1 Với mọi số nguyên dương n ta có 1 1 1 1 1 sn = 1 + 2 + ... + 2 ≤ 1 + + + ... + 2 n 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1 1 = 1 + 1 − + − + ... + − 2 2 3 n−1 n 1 = 2 − < 2. n Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo định lý 1.1.3. Ví dụ 2. Chuỗi ∞ X n=1 n tan π 2n+1 . h πi Dễ dàng kiểm tra rằng tan x ≤ 2x; với mọi x ∈ 0, . Do đó, ta có 4 π 2π n n tan n+1 ≤ n. n+1 = π. n ; với mọi n ≥ 1. 2 2 2 ∞ P 1 Theo ví dụ 1, chuỗi hội tụ, thêm nữa vì 2 n=1 n n n2 n lim 2 = lim n = 0; n→∞ 1 n→∞ 2 n2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14 ∞ n P hội tụ. n n=1 2 ∞ P π Từ đó, theo định lý 1.1.4, ta có chuỗi n tan n+1 hội tụ. 2 n=1 nên theo định lý 1.1.5, chuỗi 1.1.6. Dấu hiệu Cauchy Định lý 1.1.6. (Dấu hiệu Cauchy). Cho chuỗi số dương √ lim n an = c. Khi đó, ta có các khẳng định sau ∞ P an . Giả sử n=1 n→∞ (i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ. (ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Chứng minh. (i) Nếu c < 1 thì tồn tại số p để c < p < 1. Vì lim n→∞ √ n an = c nên tồn tại n0 để √ n Bởi vì chuỗi ∞ P an < p ⇔ an < pn ; với mọi n ≥ n0 . pn hội tụ, nên chuỗi ∞ P an hội tụ theo định lý 1.1.4. n=1 n=1 (ii) Nếu c > 1 thì tồn tại n0 để √ n an > 1 ⇔ an > 1; với mọi n ≥ n0 . Như vậy, chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1 của định lý 1.1.1. 1.1.7. Dấu hiệu D’Alembert ∞ P Định lý 1.1.7. ( Dấu hiệu D’Alembert). Cho chuỗi dương an . Giả sử n=1 an+1 tồn tại giới hạn lim = d. Khi đó, ta có các khẳng định sau n→∞ an (i) Nếu d < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ. (ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. an+1 = d nên n→∞ an Chứng minh. Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1. Vì lim tồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và an+1 < p ⇔ an+1 < pan . an Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 Từ đó, ta có an0 +1 < an0 q an0 +2 < an0 +1 q 2 < an0 q 2 ............ an0 +k < an0 q k Vì chuỗi ∞ P ............ ∞ ∞ P P k an0 q hội tụ nên chuỗi an0 +k hội tụ, nghĩa là chuỗi an n=1 n=1 k=1 hội tụ theo định lý 1.1.1. Nếu d > 1 thì tồn tại n0 để mọi n ≥ n0 và an+1 > an ≥ an0 . an+1 > 1 hoặc an Vậy không có lim an = 0 nên chuỗi phân kỳ. n→∞ 1.1.8. Dấu hiệu tích phân Định lý 1.1.8. (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Cho chuỗi số dương ∞ P an . n=1 Giả sử f (x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1; +∞) sao cho f (n) = an ; với mọi n = 1, 2, .... Khi đó, ta có các khẳng định sau ∞ Rx P (i) Nếu tồn tại lim f (t)dt hữu hạn thì chuỗi an hội tụ. (ii) Nếu lim x→+∞ 1 x R x→+∞ 1 f (t)dt = +∞ thì chuỗi n=1 ∞ P an phân kỳ. n=1 Chứng minh. Từ giả thiết của định lý, với mọi x ∈ [k, k + 1] với k là số tự nhiên và k ≥ 1 ta đều có ak+1 = f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) = ak . (1.4) Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Từ đó, ta có ak+1 ≤ k+1 R 16 f (x)dx ≤ ak . 1 Lấy tổng tích phân theo k từ 1 đến n ta nhận được n+1 X ak+1 k=1 Zk+1 n X ak . ≤ f (x)dx ≤ k=1 1 Hay n+1 Z sn+1 − a1 ≤ f (x)dx ≤ sn ; (1.5) 1 trong đó sn là tổng riêng thứ n của chuỗi ∞ P ak . Từ bất đẳng thức kép k=1 (1.5) ta thấy rằng dãy tổng riêng {sn } của chuỗi và tích phân n+1 R f (x)dx 1 cũng bị chặn hoặc không cùng bị chặn. Điều đó cho ta khẳng định của định lý. Chú ý. Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu an+1 √ = 1 hoặc lim n an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội tụ lim n→∞ n→∞ an hay phân kỳ của chuỗi. Tuy nhiên, nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà an+1 ≥ 1 thì có thể suy ra an am ≥ an0 ; với mọi m ≥ n0 . Điều đó cho ta khẳng định rằng dãy an không tiến đến 0 khi n → +∞ và ∞ P như vậy chuỗi an phân kỳ. n=1 1.1.9. Chuỗi đan dấu Định nghĩa 1.1.3. Chuỗi số có dạng ∞ P (−1)n−1 an trong đó các số an n=1 cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu. Định lý 1.1.9. (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an } là đơn điệu giảm và ∞ P giới hạn của dãy lim an = 0. Khi đó, chuỗi (−1)n−1 an hội tụ. n→∞ n=1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17 Chứng minh. Gọi {sn } là dãy tổng riêng của chuỗi. Bởi vì s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m−1 − a2m ). Các số hạng trong ngoặc đều không âm nên dãy {s2m } đơn điệu tăng. Mặt khác, ta lại có thể viết s2m = a1 − [(a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + ... + (a2m−2 − a2m−1 ) + a2m ]. Do đó s2m ≤ a1 với mọi m. Vậy {s2m } hội tụ theo tiêu chuẩn đơn điệu. Từ đó, nếu lim s2m = s thì với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N1 để m→∞ N1 ta đều có với mọi m ≥ 2 ε |s2m − s| < . 2 Lại vì lim an = 0 nên với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N2 để với n→∞ mọi n ≥ N2 ta có ε |an | < . 2 Đặt N = max{N1 , N2 } thì với mọi n ≥ N ta có |sn − s| < ε với n chẵn 2 Với n lẻ thì n + 1 chẵn ta cũng có |sn − s| = |sn+1 − s − an+1 | ≤ |sn+1 − s| + |an+1 | < ε ε + = ε. 2 2 Như thế , với mọi n ≥ N ta đều có |sn − s| < ε. Vậy lim sn = s, tức là chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng s. Chuỗi đan n→∞ dấu thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1.1 gọi là chuỗi Leibniz. Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ. 1.1.10. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ ∞ P Định nghĩa 1.1.4. Chuỗi số an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∞ P n=1 |an | hội tụ. Nếu chuỗi ∞ P n=1 n=1 an hội tụ nhưng chuỗi ∞ P n=1 |an | phân kỳ, thì Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18 chuỗi được gọi là bán hội tụ. Mối quan hệ giữa tính chất hội tụ tuyệt đối và hội tụ của chuỗi được khẳng định như sau. Định lý 1.1.10. Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá |an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ ||an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p || . ∞ P Theo định lý 1.1.1, chuỗi |an | hội tụ nên với mọi ε > 0 tồn tại số n=1 nguyên dương N để với mọi n ≥ N và mọi p ∈ N∗ ta có |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε. Từ hai kết quả trên, ta nhận được sự hội tụ của chuỗi ∞ P an . n=1 Một số ví dụ ∞ P 1 hội tụ theo dấu hiệu Leibniz. Tuy nhiên, n n=1 ∞ 1 P ta đã biết chuỗi trị tuyệt đối của nó phân kỳ. Như vậy, chuỗi n=1 n ∞ P 1 (−1)n+1 là bán hội tụ. n n=1 ∞ sin nx P Ví dụ 2. Chuỗi . Ta có 2 n=1 n Ví dụ 1. Chuỗi (−1)n+1 |sin nx| 1 ≤ ; với mọi n = 1, 2, 3, .... n2 n2 ∞ 1 ∞ |sin nx| P P Mặt khác , ta cũng đã biết chuỗi hội tụ, nên chuỗi hội 2 n2 n=1 n n=1 ∞ sin nx P tụ. Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. 2 n=1 n 1.1.11. Các tính chất của chuỗi hội tụ Tính chất 1.1.1. (Tính chất kết hợp). Nếu chuỗi ∞ P an hội tụ và có n=1 tổng là s thì chuỗi (a1 + a2 + ... + an1 ) + (an1 +1 + an1 +2 + ... + an2 ) + ... +(ank−1 +1 + ank−1 +2 + ... + ank ) + ...; (∗) cũng hội tụ và có tổng là s.