Tài liệu Chọn lọc bài toán xác suất trong các đề thi thử đh (2)

THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 CHỌN LỌC BÀI TOÁN XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 Xác suất và các nguyên tắc tính xác suất  Loại . Sử dụng định nghĩa xác suất  Bước . Tính số phần tử c a không gian mẫu n() là tập hợp các kết qu có thể x y ra c a một phép thử gi i quyết bài toán đếm trước chữ "Tính xác suất" .  Bước . Tính số phần tử c a biến cố A đang xét là kết qu c a phép thử làm x y ra A gi i quyết bài toán sau chữ "Tính xác suất" là n( A).  Bước . Áp d ng công th c P  A   n( A)  n()  Loại . Áp dụng các nguyên tắc tính xác suất  Bước . Gọi A là biến cố cần tính xác suất và Ai , (i  1, n) là các biến cố liên quan đến A sao cho Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố Ai , (A1 , A2 , ..., An ). Hoặc xác suất c a các biến cố Ai tính toán dễ dàng hơn so với A.  Bước . Biểu diễn biến cố A theo các biến cố Ai .  Bước . Xác định mối liên hệ giữa các biến cố và áp d ng các nguyên tắc Nếu A1 , A2 xung khắc ( A1  A2  )  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 ). Nếu A1 , A2 bất kỳ  P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1 .A2 ). Nếu A1 , A2 độc lập  P( A1 .A2 )  P( A1 ).P( A2 ). Nếu A1 , A2 đối nhau  P( A1 )  1  P( A2 ).  Lưu ý. Dấu hiệu chia hết Gọi N  an an1 ...a1 a0 là số tự nhiên có n  1 chữ số  an  0  . Khi đó  Dâu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8 và 125 c a số tự nhiên N : + N 2  a0 2  a0  0; 2; 4; 6; 8 . + N 5  a0 5  a0  0; 5 . + N 4  hay 25   a1a0 4  hay 25  . + N 8  hay 125   a2 a1a0 8  hay 125  .  Dấu hiện chia hết cho 3 và 9 : N 3  hay 9    a1  ..  an  3  hay 9  . VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 1 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 CÁC BÀI TOÁN Bài 1 .Trương PTTH Ha Huy tập co mua vê 6 chậu bonsai khac nhau , trong đo co hai chậu bonsai là tùng và mai chiếu th y . Xêp ngâu nhiên 6 chậu bonsai đo thanh một hang dọc . Tính xác suất sao cho hai chậu tung va mai chiêu thu y ơ cạnh nhau. THPT Hà Huy Tập lần 1 Lời gi i tham kh o Gọi A là biến cố: Xêp 6 chậu bonsai ma chậu tung va mai chiêu thuy ơ cạnh nhau . Khi đo : n( A)  5.2!.4!  240 Sô phân tư cua không gian mâu : n  6!  720 Vậy P( A)  n( A) 240 1   n() 720 3 Bài 2 . Để kiểm tra chất lượng s n phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có c 3 lo i.. THPT Hà Huy Tập lần 2 Lời gi i tham kh o Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp 3 = 220 C12 Số cách chọn 3 hộp có c 3 lo i C51C41C31 = 60 Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có c 3 lo i là : 60/220 = 3/11 Bài 3 . M nh và Lâm cùng tham gia kì thi THPT Quốc Gia năm , ngoài thi ba môn Toán, Văn, Anh bắt buộc thì M nh và Lâm đều đăng kí thêm hai môn tự chọn khác trong ba môn: Vật Lí, Hóa Học, Sinh Học dưới hình th c thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đ i học, Cao đẳng. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác nhau, mã đề thi c a các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất để M nh và Lâm chỉ có chung đúng một môn tự chọn và một mã đề thi. Lần THPT Anh Sơn II Lời gi i tham kh o Không gian mẫu  là các cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được c a M nh và Lâm.M nh có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 2 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 chọn c a M nh.Lâm có C32 cách chọn hai môn tự chọn, có C61 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự chọn c a Lâm.Do đó n()  (C32 .C61 .C61 )2  11664 . Gọi A là biến cố để M nh và Lâm chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi. Các cặp gồm hai môn tự chọn mà mỗi cặp có chung đúng một môn thi là 3 cặp , gồm : Cặp th nhất là (Vật lí, Hóa học) và (Vật lí, Sinh học) Cặp th hai là (Hóa học, Vật lí) và (Hóa học, Sinh học) Cặp th ba là (Sinh học, Vật lí) và (Sinh học, Hóa học) Suy ra số cách chọn môn thi tự chọn c a M nh và Lâm là C31 .2!  6 Trong mỗi cặp để mã đề c a M nh và Lâm giống nhau khi M nh và Lâm cùng mã đề c a môn chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề c a c a M nh và Lâm là C61 .C61 .1.C61  216 . Suy ra n()  216.6  1296 . Vậy xác suất cần tính là P( A)  n( A) 1296 1   . n() 11664 9 Bài 4 . Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Gi sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất để phương trình x2  bx  2  0 có hai nghiệm phân biệt. THPT Đoàn Thị Điểm Lời gi i tham kh o Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Gi sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Tính xác suất để phương trình x2  bx  2  0 có hai nghiệm phân biệt . Có 6 kh năng x y ra khi tung súc sắc nên số phần tử không gian mẫu: n()  6 Gọi A là biến cố phương trình x2  bx  2  0 (*) có hai nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt    0  b2  8  0  b  3; 4 ; 5; 6  n (A )  4 . Xác suất cần tìm P( A)  n( A) 2  n() 3 Bài 5 . Có 20 tấm thẻ được đánh số từ đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4. THPT Đoàn Thị Điểm Lời gi i tham kh o 5  15504 .Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số Số phần tử c a không gian mẫu là: n     C20 lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4. VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 3 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 3 Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: n  A   C10 .C51 .C51  3000 . Vậy, xác suất cần tính là: P  A  n A n    3000 125 .  15504 646 7  1  Bài 6 . Tìm số h ng không ch a x trong khai triển nhị th c Niutơn  2 3 x  4  , x  0 . x  Lần THPT Đoan Thượng Lời gi i tham kh o 7 7 1 7 k k 1 1 7 7   3    1   1 7k k 7 k k k k 7 k   0  k  4  số  2 x  4    2 x 3  x 4   C7 (2 x 3 ) .( x 4 )  C7 .2 .x 3 4 . Ta có :  k 0 3 4 x   0 k      h ng không ch a x là : C74 .27 4  280 Bài 7 . Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ. Lần THPT Đông Du Lời gi i tham kh o 3 Số phần tử c a không gian mẫu n()  C11 . Gọi A là biến cố ba học sinh được chọn có c nam và nữ n( A)  C51 .C62  C52 .C61  P( A)  n( A) 9  n() 11 Bài 8 . Một người gọi điện tho i, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi. Lần THPT Đông Du Lời gi i tham kh o Hai chữ số cuối phân biệt nên gọi  là tập hợp tất c các cách chọn 2 số phân biệt trong 10 2  90 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 , ta có được   A10 Gọi A là biến cố Gọi 1 lần đúng số cần gọi , ta có A  1 . Vậy xác suất cần tìm là P  A   VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 1 90 TRANG 4 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 n  Bài 9 . Tìm hệ số c a số h ng ch a x10 trong khai triển biểu th c  x 3   thỏa mãn Cn4 1   , biết n là số tự nhiên x2   13Cnn2 . Lần 2 THPT Đồng Đậu Lời gi i tham kh o  n! n! n  3 . Ta có : Cn4  13Cnn2   13. 4!(n  4)! (n  2)!2!  n  N Điều kiện  n  15(t / m)  n2  5n  150  0   n  10(l) 15 15  1  k x3 Với n = 15 ta có  x 3  2   C15 x   k 0    15  k k 15  1  k .   2   C15 ( 1)k .x 45 5 k . Để trong khai triển đã cho có  x  k 0  số h ng ch a x10 thì 45  5k  10  k  7(t / m) . Vậy hệ số c a x10 trong khai triển đã cho là 7 C15 .( 1)7  6435 . Bài 10. Trong cuộc thi Rung chuông vàng có b n lọt vào vòng chung kết, trong đó có b n nữ và 15 b n nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ ch c chia các b n thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 b n. Việc chia nhóm được thực hiên bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 b n nữ thuộc cùng một nhóm. Lần THPT Đồng Đậu Lời gi i tham kh o 5 5 5 .C15 .C10 .C55 Chia 20 học sinh thành 4 nhóm nên số phần tử c a không gian mẫu là   C20 Gọi A là biến cố Chia học sinh thành 4 nhóm sao cho 5 b n nữ thuộc cùng một nhóm 5 5 Xét 5 b n nữ thuộc một nhóm có C15 .C10 .C55 cách chia 15 nam vào 3 nhóm còn l i 5 5 .C10 .C55 . Vậy xác suất c a biến cố A Vì 5 b n nữ có thể thuộc nhóm A,B,C hay D nên ta có  A  4.C15 là P( A)  A   5 5 4.C15 .C10 .C55 5 5 5 .C15 .C10 .C55 C20  1 . 3876 Bài 11. Từ tập E  1; 2;3; 4;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1. THGDTX Cam Lâm VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 5 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Lời gi i tham kh o Từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1. Gọi số có 5 chữ số phân biệt: a1a2 a3a4 a5 trong đó ai  E ; i  1,5 Gán a2 = 1  a2 có một cách chọn Chọn 1 trong 4 vị trí còn l i c a các chữ số để đặt số 7  có 4 cách chọn vị trí cho số 7. Ba vị trí còn l i nhận giá trị là 3 số lấy từ E\{1;7}  có A53 cách xếp 3 số vào 3 vị trí còn l i Suy ra, số các số gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1 là: 1.4. A53  240 (số) . Kết luận: Có 240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài 12. Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đ ng sau lớn hơn chữ số đ ng trước. Đề 1 THGDTX Nha Trang Lời gi i tham kh o Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có d ng: abcd ; a  0 a có 9 cách chọn, còn bcd có A93  504 . Vậy có : 9.504=4536 số C mỗi bộ 4 chữ số khác nhau bất kỳ có đúng C94  126 số tự nhiên theo yêu cầu bài ra bộ sắp xếp theo th tự các chữ số tăng dần, vậy có Bài 13. Một đội công nhân có người gồm 7 nam và 9 nữ. Cần chọn ra việc. Tính xác suất để người được chọn có ít nhất người là nữ. người đi làm một công Đề 2 THGDTX Nha Trang Lời gi i tham kh o Có tất c người, chọn ra Gọi A là biến cố  A là biến cố: c 6 người, số cách chọn là: n()  C16 . người được chọn có ít nhất người là nữ. người được chọn đều là nam . VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 6 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016  n( A)  C76  7  P( A) = n( A) 7 1 1 1143  6   P( A)  1   n() C16 1144 1144 1144 15  1 Bài 14. Tìm số h ng ch a x trong khai triển nhị th c Niu – tơn c a : f ( x)   x 2   x  6 , x  0 Lần 1 THPT Số 3 B o Thắng Lời gi i tham kh o 15 15  1 k .x 30  3 k ,  0  k  15, k  N  f ( x)   x 2    C15 x   k 0  . Hệ số ch a x6 ng với k thỏa mãn 0  k  15  8  k  8 . Vậy số h ng ch a x6 trong khai triển là : C15 .x6  6435.x6 k  N 30  3k  6  Bài 15.Đội tuyển văn nghệ c a trường THPT Bình Minh có 3 học sinh khối nữ khối 12 , 4 học sinh nam khối 11 và 2 học sinh nữ khối . Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 học sinh từ 9 học sinh trên . Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có c học sinh nam , học sinh nữ và có c học sinh ở ba khối . THPT Bình Minh Lời gi i tham kh o Số cách chọn 5 hoc sinh từ 9 học sinh là C95 Để chọn 5 hs thỏa mãn , ta xét các trường hợp sau 1 nữ 12 , 2 nam 11, 2 nữ 10 có C31C42C22 cách 2 nữ 12, 2 nam 11, 1 nữ 10 có C32C42C21 cách 2 nữ 12, 1 nam 11, 2 nữ 10 có C32C41C22 cách 3 nữ 11 , 1 nam 11, 1 nữ 10 có C33C41C21 cách 1 nữ 12 , 3 nam 11 , 1 nữ 10 có C31C43C21 cách Vậy xác suất cần tìm là  P = 7 9 Bài 16.Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: An2  3Cn2  15  5n. Tìm hệ số c a x8 trong khai triển VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 7 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 20  1  P( x)   2 x  2  , x  0. x   Lần 2 THPT Bố H Lời gi i tham kh o ĐK n  N , n  2 .  1  P( x)   2 x  2  x   An2  3Cn2  15  5n  n(n  1)  20  20 C k 0 n  5 3.n!  15  5n  n2  11n  30  0   2!(n  1)! n  6 k k 20  k 20  3 k x 20 ( 1) 2 k Số h ng tổng quát c a khai triển trên là C20 ( 1)k 220 k x203 k . Hệ số c a x8 trong khai triển trên ng với 20  3 k  8  k  4 . Vậy hệ số c a x8 trong khai triển P(x) là C420 (1)4 216 n  1  Bài 17. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển nhị th c Niutơn c a  2 x   , biết rằng x  An2 - Cnn-11  4n  6 . Đề 1THPT Cam Ranh Lời gi i tham kh o Điều kiện n ≥ n  N. (1)  n(n - 1) n = -1  n2 – 11n – 12 = 0   n = 2 (n + 1)! n(n + 1) = 4n + 6 = 4n + 6  n(n - 1) 2 2!(n - 1)! do n ≥ nên n= . 12  1  Với n = 12 ta có nhị th c Niutơn  2x +  .Số h ng th k +1 trong khai triển là : x  k Tk +1 = k C12 (2x)12-k 24-3k k  1  12-k k 2 = Ck .212-k .x 2 C 2x .x = ;     12 12  x  k  N, 0 < k < 12 k =8.  24 - 3k = 0 Số h ng này không ch a x khi  8 4 Vậy số h ng th 9 không ch a x là T9 = C12 2  7920 Bài 18. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có lo i đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 8 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Đề 2THPT Cam Ranh Lời gi i tham kh o Đầu tiên, chọn trong Tiếp đến, chọn trong 4 học sinh cho đề một, có cách. C12 học sinh còn l i cho đề hai, có cách. C84 Các học sinh còn l i làm đề ba. 8 Vậy, có C12 .C84  12! 8! 12.11.10.9 8.7.6.5 .  = (11.5.9).(7.2.5) = 34650 cách. . 8!4! 4!4! 2.3.4 2.3.4 Bài 19. Một đội văn nghệ gồm có người trong đó có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên người để hát đồng ca. Tính xác suất để người được chọn có c nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam. Lần THPT Đa Phúc Lời gi i tham kh o +) Xét phép thử chọn ngẫu nhiên người từ người, mỗi kết qu c a phép thử ng với một cách 8 chọn được người từ người => Số phần tử c a không gian mẫu là: n()  C20  125970 . +) Gọi biễn cố A người được chọn có c nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam 3 2 1 Ta có n( A)  C85 .C12  C86 .C12  C87 .C12  14264  P( A)  n( A) 14264 7132 .   n() 125970 62985 Bài 20. Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm c a ngành y tế t i chợ X. Ban qu n lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có ch a hóa chất Super t o n c Clenbuterol hay không. Tính xác suất để 3 hộp lấy ra có đ ba lo i thịt ở các quầy A, B, C. Lần THPT Đa Phúc Lời gi i tham kh o Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm c a ngành y tế t i chợ X. Ban qu n lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có ch a hóa chất Super t o n c Clenbuterol hay không. Tính xác suất để 3 hộp lấy ra có đ ba lo i thịt ở các quầy A, B, C. VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 9 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Không gian mẫu  là tập hợp tất c các tập con gồm 3 phần tử c a tập hợp các hộp đựng thịt 15!  455. 12!.3! 3 gồm có 4  5  6  15 phần tử, do đó n     C15  Gọi D là biến cố Chọn được một mẫu thịt ở quầy A, một mẫu thịt ở quầy B, một mẫu thịt ở quầy C . Tính n  D  Có 4 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy A. Có 5 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy B. Có 6 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy C. Suy ra, có 4.5.6  120 kh năng chọn được 3 hộp đ lo i thịt ở các quầy A, B, C  n  D   120. Do đó P( D)  120 24  . 455 91 Bài 21. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất câu đã thuộc Lần THPT Phước Bình Lời gi i tham kh o 4 Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C20  4845 đề thi. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có đề thi có Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 2 2 câu đã thuộc, có C10 .C10  2025 trường hợp. 3 1 câu đã thuộc, có C10 .C10  1200 trường hợp. đề thi có 4 câu đã thuộc, có C10  210 trường hợp. Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được 2025  1200  210  3435 trường hợp Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất đề thi có ít nhất câu đã thuộc, có câu đã thuộc là 3435 229  . 4845 323 Bài 22. Đội dự tuyển học sinh giỏi gi i toán trên máy tính cầm tay môn toán c a một trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối . Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi gi i toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong em được chọn có c học sinh nam và học sinh nữ, có c học sinh khối 11 và học sinh khối 12. Lần THPT Phước Bình VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 10 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Lời gi i tham kh o - Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là C85 = 56 cách - Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau +) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: C21C21C43 cách +) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C21C22C42 cách +) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C22C21C42 cách +) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: C22C22C41 cách Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là: C21C21C43 + C21C22C42 + C22C21C42 + C22C22C41 = 44 cách - Vậy xác suất cần tính là: 44 11  56 14 Bài 23. Gọi A là tập hợp tất c các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5 Lần THPT Phước Bình Lời gi i tham kh o Số phần tử c a A là 6.A63  720 Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A63  120 cách Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A52  100 cách Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120  100  220 cách Vậy xác suất cần tìm bằng 220 11  . 720 36 Bài 24. Có 30 tấm thẻ đánh số từ đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Lần THPT Phước Bình Lời gi i tham kh o Gọi  là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 11 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 10 Suy ra   C30 Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có số chia hết cho 10. tấm thẻ mang Gọi  A là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho 10 5 4 .C12 .C31 Suy ra  A  C15 Vậy P  A   5 4 C15 .C12 .C31 10 C30  99 . 667 Bài 25. Đội bóng chuyền nam Trường THPT Hùng Vương có vận động viên gồm 7 học sinh K12 và 5 học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên Trần Tý cần chọn ra người thi đấu. Tính xác suất để có ít nhất 4 học sinh K được chọn Lần THPT Hùng Vương Lời gi i tham kh o Đội bóng chuyền nam Trường THPT Hùng Vương có vận động viên gồm 7 học sinh K12 và 5 học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên cần chọn ra người thi đấu. Tính xác suất để có ít nhất 4 học sinh K được chọn. 6  924 . Xác suất cần tìm là P  Không gian mẫu   C12 C74C52  C75C51  C76 462 1   924 924 2 100  1  Bài 26. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển theο nhị th c  2 x  3  x   ,  x  0 . Lần 2 THPT Hùng Vương Lời gi i tham kh o 100  1   2x  3  x    100  k 0 k . C100  2x  100  k k 100  1  k .  3   C100 2100  k .x100 4 k x   k 0  25 75 Số h ng không ch a x ng với k  25 . Kết luận: C100 2 Bài 27. Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ, xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để không có 3 học sinh nữ nào đ ng c nh nhau Lần THPT Đồng Xoài VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 12 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Lời gi i tham kh o không có hai học sinh nữ nào đ ng c nh nhau Gọi B là biến cố  n     8!; n  B   3!.6!  P B  Khi đó 3 . 28 Bài 28. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được t o thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp A. Tính xác suất để số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ Lần THPT Đồng Xoài Lời gi i tham kh o Gọi  là không gian mẫu c a phép thử Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Khi đó   A96  60480 Gọi A là biến cố Số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ . Khi đó + Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có C53 cách. +Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có C43 cách. + Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách. Do đó  A  C53 .C43 .6!  28800 Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  A   28800 10  60480 21 Bài 29. Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán khối trường THPT Đồng Xoài có 6 học sinh, trong đó có 2 nữ và 4 nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh tham dự kì thi Olympic cấp tỉnh. Tính xác suất để chọn được 3 học sinh trong đó có c nam và nữ. Lần THPT Đồng Xoài Lời gi i tham kh o + Số phần tử c a không gian mẫu: n     C63  20 + Gọi A là biến cố chọn được 3 HS có c nam và nữ thì n  A   C41C22  C42C21  16 + Vậy xác suất là P  A   16 4  20 5 Bài 30. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ. VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 13 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Lần 1THPT Nguyễn Hữu C nh Lời gi i tham kh o Số phần tử c a không gian mẫu là n(  ) = C 93 = 84 Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C53 = 10 => Xác suất cần tính là P(A) = 10 5 = 84 42 Bài 31. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3? Lần 2 THPT Nguyễn Hữu C nh Lời gi i tham kh o Số có 5 chữ số cần lập là abcde ( a  0 ; a, b, c, d, e {0; 1; 2; 3; 4; 5}) abcde 3  ( a  b  c  d  e) 3 - Nếu (a  b  c  d ) 3 thì chọn e = 0 hoặc e = 3 - Nếu ( a  b  c  d) chia - Nếu ( a  b  c  d) chia dư dư thì chọn e = 2 hoặc e = 5 thì chọn e = 1 hoặc e = 4 Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3 Số các số d ng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số Bài 32. Có 30 tấm thẻ đánh số từ đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Lời gi i tham kh o Gọi  là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho 10 Suy ra   C30 Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có số chia hết cho 10. tấm thẻ mang Gọi  A là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho 10 VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 14 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 5 4 Suy ra  A  C15 .C12 .C31 Vậy P  A   5 4 .C12 .C31 C15 10 C30  99 . 667 Bài 33. Một người bỏ lá thư vào lá thư bỏ đúng phong bì c a nó. chiếc phong bì đã ghi địa chỉ .Tính xác suất để ít nhất có một THPT Hoàng Hoa Thám Lời gi i tham kh o n     4!  24 Goi A là biến cố để ít nhất 1 lá bỏ đúng phong bì c a nó. n(A) = C41 + C42 + C43 + C44 =15, P  A   15 5  24 8 Bài 34. Gọi A là tập hợp tất c các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5. THPT Hoàng Hoa Thám Lời gi i tham kh o Số phần tử c a A là 6.A63  720 Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A63  120 cách Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A52  100 cách Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120  100  220 cách Vậy xác suất cần tìm bằng 220 11  . 720 36 Bài 35. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ. Lần 1 THPT Kẻ Sặt Lời gi i tham kh o Số phần tử c a không gian mẫu là n(  ) = C 93 = 84 Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C53 = 10 => Xác suất cần tính là P(A) = VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 10 5 = 84 42 TRANG 15 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Bài 36. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ. THPT Khánh Sơn Lời gi i tham kh o 3  165 Ta co n     C11 Số cách chọn 3 học sinh có c nam và nữ là C52 .C61  C51 .C62  135 Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ là 135 9  165 11 Bài 37. Tính tổng: S  Cn1  2Cn2  3Cn3  ...   n  1 Cnn1  nCnn ; n  N  . THPT Khánh Sơn Lời gi i tham kh o Ta có Cn1  Cnn1 ; Cn2  Cnn2 ;...Cnn  Cn0 Ta viết l i tổng đã cho như sau S  nCn0   n  1 Cn1   n  2  Cn2  ...  Cnn1 Ta có: S  1Cn1  2Cn2  3Cn3  ...   n  1 Cnn1  nCnn S  nCn0   n  1 Cn1   n  2  Cn2  ...  Cnn1 (1) (2) Cộng vế theo vế ta được : 2S  n(Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn ) Xét khai triển:  1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n n Chọn x  1 ta được: Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn  2n  S  n2n1 Bài 38. Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để lập một tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ. Lần 1 THPT Khoái Châu Lời gi i tham kh o 5 Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: C48  1712304 Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố " chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh nữ ". VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 16 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Ta có số  P  A  1  kết qu thuận lợi cho A là:   5 C21  20349  P A  5 C21 5 C48  20349 1712304 20349 1691955  1712304 1712304 7  2  Bài 39. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển c a nhị th c :  3 x  4  , x  0 x  Lần 1 THPT Kinh Môn Lời gi i tham kh o 7 7 k  k 28 7 k 7 7 3 2  k k k k 3 4  x  4   ( 2) C7 x x  ( 2) C7 x 12 , x  0 x k 0 k 0    Số h ng tổng quát c a khai triển có d ng : T  ( 2)k C7k x 28  7 k 12 . 0  k  7; k  . Số h ng không ch a x khi và chỉ khi 28-7k=0 hay k=4. Vậy số h ng không ch a x trong khai triển là : T  (2)4 C74 =16 C74 Bài 40. Đội tuyển văn nghệ c a trường THPT L c Long quân có người gồm 6 nam và 9 nữ. Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn ra 8 học sinh từ 15 học sinh trên. Tính xác suất để trong người được chọn có số nam nhiều hơn số nữ . THPT L c Long Quân Lời gi i tham kh o 8 Số các kh năng c a không gian mẫu là: C15  6435 để chọn được 8 học sinh trong đó số nam nhiều hơn số nữ ta có các cách chọn sau: - Chọn nam và nữ có C65 .C93  504 cách chọn - Chọn nam và nữ có C66 .C92  36 cách chọn Nên ta có 504 + 36 = 540 cách chọn 8 học sinh theo yêu cầu bài toán. Vậy xác suất cần tính là: P  540 12  6435 143 Bài 41. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc câu trong ngân hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất câu đã thuộc THPT Lam Kinh VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 17 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Lời gi i tham kh o 4 Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C20  4845 đề thi. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có 2 2 câu đã thuộc, có C10 .C10  2025 trường hợp. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có 3 1 câu đã thuộc, có C10 .C10  1200 trường hợp. Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có 4 câu đã thuộc, có C10  210 trường hợp. Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được 2025  1200  210  3435 trường hợp Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất đề thi có ít nhất câu đã thuộc, có câu đã thuộc là 3435 229  . 4845 323 Bài 42. Một tổ có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia buổi trực nề nếp. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có c nam và nữ. THPT Lê Lợi Lời gi i tham kh o Xét phép thử T chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ một tổ có 12 học sinh 4 * Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh c a tổ là C12  495 do đó số phần tử c a không gian mẫu là   495 . * Gọi A là biến cố Khi đó A là biến cố học sinh được chọn có c nam và nữ học sinh được chọn chỉ toàn nam hoặc nữ Ta có  A  C54  C74  5  35  40 P( A)  40 455 91  P( A)  1  P( A)   495 495 99 Bài 43. Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ ? THPT Lê Lợi Lời gi i tham kh o Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ". Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là A74  840 (số), suy ra:   840 VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 18 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có d ng abcd . Do tổng a  b  c  d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có C41 .C33  4 bộ số Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có C43 .C31  12 bộ số Từ mỗi bộ số trên ta lập được P4  24 số Tất c có 16.24= 384 số , suy ra:  A  384 . Vậy P( A)  A   384 48 .  840 105 Bài 44. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được t o thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ. Lần 1 THPT Lý Thái Tổ Lời gi i tham kh o Gọi  là không gian mẫu c a phép thử Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Khi đó   A96  60480 Gọi A là biến cố Số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ . Khi đó + Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có C53 cách. +Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có C43 cách. + Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách. Do đó  A  C53 .C43 .6!  28800 Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  A   28800 10  60480 21 Bài 45. Đội văn nghệ c a nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế gi ng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A. Lần 2 THPT Minh Châu Lời gi i tham kh o Gọi không gian mẫu c a phép chọn ngẫu nhiên là  VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 19 THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016 Số phần tử c a không gian mẫu là: C95  126 Gọi A là biến cố Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở c ba lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp A . Chỉ có 3 kh năng x y ra thuận lợi cho biến cố A là : + 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C + 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C + 3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C Số kết qu thuận lợi cho biến cố A là: C42 .C31.C22  C42 .C32 .C21  C43 .C31.C21  78 . Xác suất cần tìm là P  78 13  . 126 21 n  2  4 Bài 46. Tìm số h ng ch a x trong khai triển  x  2  , biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn3  n  2Cn2 . 3 x   3 Lời gi i tham kh o 4 3 Điều kiện n  3 . Cn3  n  2Cn2  n  n  1 n  2  4 n! n! 4  n 2   n  n  n  1 6 3 3! n  3  ! 3 2!  n  2 !  n2  9n  0  n  9 (do n  3 )  Khi đó ta có  x   9 k 9 9 k 2  k 9  k  2    C x C9k x9  3 k  2   2 9 2  x  x  k 0 k 0   Số h ng ch a x 3 tương ng giá trị k tho mãn 9  3k  3  k  2 Suy ra số h ng ch a x 3 bằng C92 x 3  2   144 x 3 2 Bài 47. Một hộp ch a 4 qu cầu màu đỏ, 5 qu cầu màu xanh và 7 qu cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 qu cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 qu cầu được lấy ra có đúng một qu cầu màu đỏ và không quá hai qu cầu màu vàng. Lời gi i tham kh o 4  1820 . Số phần tử c a không gian mẫu là   C16 .+) Gọi B là biến cố qu lấy được có đúng một qu cầu màu đỏ và không quá hai qu màu vàng . Ta xét ba kh năng sau VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 TRANG 20