THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
CHỌNLỌCBÀITOÁNXÁCSUẤT
TRONGCÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
Xác suất và các nguyên tắc tính xác suất
Loại 1. Sử dụng định nghĩa xác suất
Bước 1. Tính số phần tử c a không gian mẫu n() là tập hợp các kết qu có thể x y ra c a một
phép thử (gi i quyết bài toán đếm trước chữ "Tính xác suất").
Bước 2. Tính số phần tử c a biến cố A đang xét là kết qu c a phép thử làm x y ra A (gi i
quyết bài toán sau chữ "Tính xác suất") là n(A).
Bước 3. Áp d ng công th c: P A n(A)
n()
Loại 2. Áp dụng các nguyên tắc tính xác suất
Bước 1. Gọi A là biến cố cần tính xác suất và Ai , (i 1,n) là các biến cố liên quan đến A sao cho:
Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố Ai , (A1 , A2 , ..., An ).
Hoặc xác suất c a các biến cố Ai tính toán dễ dàng hơn so với A.
Bước 2. Biểu diễn biến cố A theo các biến cố Ai .
Bước 3. Xác định mối liên hệ giữa các biến cố và áp d ng các nguyên tắc:
Nếu A1 , A2 xung khắc (A1 A2 ) P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ).
Nếu A1 , A2 bất kỳ P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 ) P(A1.A2 ).
Nếu A1 , A2 độc lập P(A1.A2 ) P(A1 ).P(A2 ).
Nếu A1 , A2 đối nhau P(A1 ) 1 P(A2 ).
Lưu ý. Dấu hiệu chia hết
Gọi N anan1 ...a1a0 là số tự nhiên có n 1 chữ số a 0 . Khi đó
Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 4, 25, 8 và 125 c a số tự nhiên N :
+
.
+
N
2 a0 2 a0 0; 2; 4; 6; 8
N
5 a0
hay 25 a a 4 hay 25 .
+ N 8 hay 125 a a a 8 hay 125 .
Dấu hiện chia hết cho 3 và 9 : N 3 hay 9 a
+ N
.
5 a0 0; 5
4
.. a 3 hay 9 .
TRANG 1
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
CÁCBÀITOÁN
Bài 1 .Trường PTTH Hà Huy tập có mua về chậu bonsai khác nhau , trong đó có hai chậu bonsai
là t ng và mai chiếu th y . Xếp ng u nhiên chậu bonsai đó thành một hàng dọc . Tính xác suất
sao cho hai chậu t ng và mai chiếu th
c nh nhau.
THPT Hà Huy Tập lần 1
Lời gi i tham kh o
Gọi A là biến cố Xếp
Khi đó
chậu bonsai mà chậu t ng và mai chiếu th
c nh nhau .
n(A) 5.2!.4! 240
Sô phần tư cua không gian m u : n 6! 720
ậ P(A)
n(A)
n()
240
720
1
3
Bài 2 . Để kiểm tra chất lượng s n phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5
hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa
để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có c 3 lo i..
THPT Hà Huy Tập lần 2
Lời gi i tham kh o
Số cách chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp
3
12
= 220
Số cách chọn 3 hộp có c 3 lo i C1C1C1 = 60
Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có c 3 lo i là : 60/220 = 3/11
Bài 3 . M nh và Lâm cùng tham gia kì thi THPT Quốc Gia năm
, ngoài thi ba môn Toán, ăn,
Anh bắt buộc thì M nh và L m đều đăng kí thêm hai môn tự chọn khác trong ba môn: Vật Lí,
Hóa Học, Sinh Học dưới hình th c thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đ i học, Cao đẳng. Mỗi môn
tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác nhau, mã đề thi c a các môn khác nhau là khác nhau.
Tính xác suất để M nh và Lâm chỉ có chung đúng một môn tự chọn và một mã đề thi.
Lần
THPT Anh Sơn II
Lời gi i tham kh o
Không gian mẫu là các cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được c a M nh
6
6
TRANG 2
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
và Lâm.M nh có
2
cách chọn hai môn tự chọn, có C1 .C1 mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự
TRANG 3
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
chọn c a M nh.Lâm có
2
cách chọn hai môn tự chọn, có C1 .C61 mã đề thi có thể nhận cho hai
môn tự chọn c a L m.Do đó n() (C2 .C1.C1 )2 11664 .
Gọi A là biến cố để M nh và Lâm chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi.
Các cặp gồm hai môn tự chọn mà mỗi cặp có chung đúng một môn thi là 3 cặp , gồm :
Cặp th nhất là (Vật lí, Hóa học) và (Vật lí, Sinh học)
Cặp th hai là (Hóa học, Vật lí) và (Hóa học, Sinh học)
Cặp th ba là (Sinh học, Vật lí) và (Sinh học, Hóa học)
Suy ra số cách chọn môn thi tự chọn c a M nh và Lâm là C1 .2! 6
Trong mỗi cặp để mã đề c a M nh và Lâm giống nhau khi M nh và Lâm c ng mã đề c a môn
chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề c a c a M nh và Lâm là C1 .C1 .1.C1 216 .
Suy ra n() 216.6 1296 . Vậy xác suất cần tính là P(A) n(A) 1296 1 .
n()
11664
9
Bài 4 . Gieo một con súc sắc c n đối và đồng chất . Gi sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác
suất để phương trình x2 bx 2 0 có hai nghiệm phân biệt.
THPT Đoàn Thị Điểm
Lời gi i tham kh o
Gieo một con súc sắc c n đối và đồng chất . Gi sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Tính xác suất
để phương trình x2 bx 2 0 có hai nghiệm phân biệt . Có 6 kh năng x y ra khi tung súc sắc nên
số phần tử không gian mẫu: n() 6
Gọi A là biến cố: phương trình x2 bx 2 0 (*) có hai nghiệm phân biệt (*) có 2
biệt 0 b2 8 0 b 3 ; 4 ; 5 ; 6 n(A ) 4 . Xác suất cần tìm P(A)
n(A)
n()
nghiệm phân
2
3
Bài 5 . Có 20 tấm thẻ được đánh số từ đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để
trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có
đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.
THPT Đoàn Thị Điểm
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a không gian mẫu là: n C205 15504 .Trong 20 tấm thẻ, có 10 tấm thẻ mang số
lẻ, có 5 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4, 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.
TRANG 4
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: nA C310.C1 5.C1 5 3000 . Vậy, xác suất cần tính là:
PA
n A 3000 125
.
n 15504 646
1 , x 0 .
4 x
Lần
THPT Đoan Thượng
Bài 6 . Tìm số h ng không ch a x trong khai triển nhị th c Niutơn 23 x
Lời gi i tham kh o
7
1
1
7
7
1
1
23 x 1 2x3 x4 C k (2x 3 )7 k .(x 4 )k
7
4x
k0
h ng không ch a x là : C4 .274 280
7
C .2
k
7k
.x
7k k
3 4
. Ta có : 7 k k 0 k 4 số
7
3
k0
4
Bài 7 . Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ.
Lần THPT Đông Du
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a không gian mẫu n() C113 . Gọi A là biến cố ba học sinh được chọn có
c nam và nữ
n(A) 9
n(A) C1 .C2 C2 .C1 P(A)
5 6
5
6
n() 11
Bài 8 . Một người gọi điện tho i, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó ph n biệt.
Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi.
Lần
THPT Đông Du
Lời gi i tham kh o
Hai chữ số cuối phân biệt nên gọi là tập hợp tất c các cách chọn 2 số phân biệt trong 10
2
chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9, ta có được A10 90
Gọi A là biến cố Gọi 1 lần đúng số cần gọi , ta có
A
1 . Vậy xác suất cần tìm là P A
1
90
TRANG 5
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Bài 9 . Tìm hệ số c a số h ng ch a x10 trong khai triển biểu th c x
Lần
1
, biết n là số tự nhiên
2
THPT Đồng Đậu
Lời gi i tham kh o
n 3 . Ta có : C4 13Cn2
Điều kiện
n
n N
n!
4!(n 4)!
n
n!
13.
(n 2)!2!
n 15(t / m)
n2 5n 150 0
n 10(l)
15
3
Với n = 15 ta có x
15
1
15k
k
3
C 15 x
x
k0
2
15
1 k
k
k 45 5k
. 2 C 15
(1) .x
. Để trong khai triển đã cho có
x k0
số h ng ch a x10 thì 45 5k 10 k 7(t / m) . Vậy hệ số c a x10 trong khai triển đã cho là
7
7
C15 .(1) 6435 .
Bài 10. Trong cuộc thi Rung chuông vàng có
b n lọt vào vòng chung kết, trong đó có b n
nữ và 15 b n nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ ch c chia các b n thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi
nhóm có 5 b n. Việc chia nhóm được thực hiên bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5
b n nữ thuộc cùng một nhóm.
Lần
THPT Đồng Đậu
Lời gi i tham kh o
Chia 20 học sinh thành 4 nhóm nên số phần tử c a không gian mẫu là C520.C515.C510.C55
Chia 20 học sinh thành 4 nhóm sao cho 5 b n nữ thuộc cùng một nhóm
Gọi A là biến cố
Xét 5 b n nữ thuộc một nhóm có C5 .C5 .C55 cách chia 15 nam vào 3 nhóm còn l i
Vì 5 b n nữ có thể thuộc nhóm A,B,C hay D nên ta có 4.C5 .C5 .C5 . Vậy xác suất c a biến cố A
là P(A)
A
A
4.C5 .C5 .C5
15
5
20
5
15
10
5
10
5
5
5
1
3876
15
10
5
.
Bài 11. Từ tập E 1; 2;3; 4;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó
luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
THGDTX Cam Lâm
TRANG 6
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời gi i tham kh o
Từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó luôn có
chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.
Gọi số có 5 chữ số phân biệt: a1a2a3a4a5 trong đó ai E;i 1,5
Gán a2 = 1 a2 có một cách chọn
Chọn 1 trong 4 vị trí còn l i c a các chữ số để đặt số 7 có 4 cách chọn vị trí cho số 7.
Ba vị trí còn l i nhận giá trị là 3 số lấy từ E\{1;7} có A3cách xếp 3 số vào 3 vị trí còn l i
Suy ra, số các số gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là
chữ số 1 là: 1.4.A3 240(số) . Kết luận: Có 240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 12. Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ
số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đ ng sau lớn hơn chữ số đ ng trước.
Đề 1 THGDTX Nha Trang
Lời gi i tham kh o
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có d ng: abcd ; a 0
a có 9 cách chọn, còn bcd có A3 504 . Vậy có : 9.504=4536 số
C mỗi bộ 4 chữ số khác nhau bất kỳ có đúng
bộ sắp xếp theo th tự các chữ số tăng dần, vậy có
4
C 126 số tự nhiên theo yêu cầu bài ra
Bài 13. Một đội công nh n có
người gồm 7 nam và 9 nữ. Cần chọn ra
việc. Tính xác suất để người được chọn có ít nhất người là nữ.
người đi làm một công
Đề
2
THGDTX
Nha
Trang
Lời gi i tham kh o
Có tất c
người, chọn ra
Gọi A là biến cố
A là biến cố
người, số cách chọn là: n() C616.
người được chọn có ít nhất
người là nữ.
c 6 người được chọn đều là nam .
TRANG 7
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
6
n( A) C7 7 P( A) =
7
1
1
1143
P( A) 1
6
1144
1144 1144
n() C16
n(A)
Bài 14. Tìm số h ng ch a x trong khai triển nhị th c Niu – tơn c a : f (x) x 2
15
Lần 1 THPT Số 3 B o Thắng
Lời gi i tham kh o
15
15
2 1
k
303k
, 0 k 15, k N . Hệ số ch a x6
ng
f (x) x C15 .x
x
k0
0 k 15
k 8 . Vậy số h ng ch a x6 trong khai triển là : C158 .x6 6435.x6
k N
30 3k 6
với
k
thỏa
mãn
Bài 15.Đội tuyển văn nghệ c a trường THPT Bình Minh có 3 học sinh khối nữ khối 12 , 4 học
sinh nam khối 11 và 2 học sinh nữ khối
. Để thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà
trường cần chọn 5 học sinh từ 9 học sinh trên . Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có c
học sinh nam , học sinh nữ và có c học sinh ở ba khối .
THPT Bình Minh
Lời gi i tham kh o
Số cách chọn 5 hoc sinh từ 9 học sinh là C5
Để chọn 5 hs thỏa mãn , ta xét các trường hợp sau
1 nữ 12 , 2 nam 11, 2 nữ 10 có C1C2C2 cách
2 nữ 12, 2 nam 11, 1 nữ 10 có C2C2C1 cách
2 nữ 12, 1 nam 11, 2 nữ 10 có C2C1C2 cách
3 nữ 11 , 1 nam 11, 1 nữ 10 có C3C1C1 cách
1 nữ 12 , 3 nam 11 , 1 nữ 10 có C1C3C1 cách
Vậy xác suất cần tìm là P =
7
9
Bài 16.Tìm số ngu ên dương n thỏa mãn: A2 3C2n 15 5n. Tìm hệ số c a x8 trong khai triển
TRANG 8
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
20
Lần 2 THPT Bố H
Lời gi i tham kh o
ĐK n N,n 2 .
3.n!
A2 3C2 15 5n n(n 1)
n
15 5n n2 11n 30 0
2!(n 1)!
n
n 5
n
6
1 20 20 Ck (1)k 220k x203k
P(x) 2x
2
20
x
k 0
Số h ng tổng quát c a khai triển trên là Ck20 (1)k 220k x203k . Hệ số c a x8 trong khai triển
trên ng
với 20 3k 8 k 4 . Vậy hệ số c a x8 trong khai triển P(x) là C4 (1)4 216
Bài 17. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển nhị th c Niutơn c a 2x
n
1
, biết rằng
x
Đề 1THPT Cam Ranh
Lời gi i tham kh o
Điều kiện n ≥
n N. (1) n(n - 1) n = -1
n2 – 11n – 12 = 0
n = 2
do n ≥
n(n + 1)
(n + 1)!
= 4n + 6
= 4n + 6 n(n - 1) 2!(n - 1)!
2
nên n=
.
12
1
Với n = 12 ta có nhị th c Niutơn 2x +
.Số h ng th k +1 trong khai triển là :
Tk +1 = C (2x)
1 k
24-3k ;
k
12-k
k
- 2 = Ck .212-k .x 2
k
12-k
= C
12 2x
12
.x
12
k N, 0 < k < 12
Số h ng này không ch a x khi
24 - 3k = 0
k=8.
Vậy số h ng th 9 không ch a x là T9 = C81224 7920
Bài 18. Một tổ có 12 học sinh. Thầ giáo có
lo i đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn?
đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi
TRANG 9
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Đề 2THPT Cam Ranh
Lời gi i tham kh o
Đầu tiên, chọn 4 trong 12 học sinh cho đề một, có cách. C412
Tiếp đến, chọn 4 trong 8 học sinh còn l i cho đề hai, có cách. C4
Các học sinh còn l i làm đề ba.
12! 8!
12.11.10.9 8.7.6.5
.
.
= (11.5.9).(7.2.5) = 34650 cách.
Vậy, có : C8 .C4
12
8
8!4! 4!4!
2.3.4
2.3.4
Bài 19. Một đội văn nghệ gồm có
người trong đó có
nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên người
để hát đồng ca. Tính xác suất để người được chọn có c nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam.
Lần
THPT Đa Phúc
Lời gi i tham kh o
+) Xét phép thử chọn ngẫu nhiên người từ
người, mỗi kết qu c a phép thử ng với một cách
chọn được người từ
người => Số phần tử c a không gian mẫu là: n() C8 125970 .
+) Gọi biễn cố A
người được chọn có c nam và nữ và số nữ nhiều hơn số nam
14264
7132
.
n() 125970 62985
Ta có n(A) C5 .C3 C6 .C2 C7 .C1 14264 P(A)
8
12
8
12
8
12
n(A)
Bài 20. Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm c a ngành y tế t i chợ X. Ban qu n
lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi
mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn
kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có ch a hóa chất
Super t o n c Clenbuterol ha không. Tính xác suất để 3 hộp lấ ra có đ ba lo i thịt ở các
quầy A, B, C.
Lần
THPT Đa Phúc
Lời gi i tham kh o
Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm c a ngành y tế t i chợ X. Ban qu n lý
chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B và 6 mẫu ở quầy C. Mỗi
mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn
kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt lợn có ch a hóa chất
Super t o n c Clenbuterol ha không. Tính xác suất để 3 hộp lấ ra có đ ba lo i thịt ở các
quầy A, B, C.
TRANG
10
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Không gian mẫu là tập hợp tất c các tập con gồm 3 phần tử c a tập hợp các hộp đựng thịt
gồm có 4 5 6 15 phần tử, do đó n C153
15!
455.
12!.3!
Gọi D là biến cố Chọn được một mẫu thịt ở quầy A, một mẫu thịt ở quầy B, một mẫu thịt ở
quầ C .
Tính nD
Có 4 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy A.
Có 5 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy B.
Có 6 kh năng chọn được một hộp thịt ở quầy C.
Suy ra, có 4.5.6 120 kh năng chọn được 3 hộp đ lo i thịt ở các quầy A, B, C n D 120.
Do đó P(D)
120
455
24
91
.
Bài 21. Một ng n hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm c u được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu
hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc
c u trong ng n hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút
ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất c u đã thuộc
Lần
THPT Phước Bình
Lời gi i tham kh o
Lấy ngẫu nhiên từ ng n hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C4 4845 đề thi.
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
c u đã thuộc, có C2 .C2 2025 trường hợp.
c u đã thuộc, có C3 .C1 1200 trường hợp.
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
c u đã thuộc, có C4 210 trường hợp.
Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được
2025 1200 210 3435 trường hợp
đề thi có
ít nhất
Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất
c u đã thuộc, có
c u đã thuộc là
3435
4845
229
323
.
Bài 22. Đội dự tuyển học sinh giỏi gi i toán trên máy tính cầm tay môn toán c a một trường phổ
thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối . Để thành lập
đội tuyển dự thi học sinh giỏi gi i toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần
chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong em được chọn có c học sinh nam và học
sinh nữ, có c học sinh khối 11 và học sinh khối 12.
Lần
THPT Phước Bình
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 10
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời gi i tham kh o
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là C5 = 56 cách
- Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: C1C1C3 cách
+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C1C2C2 cách
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: C2C1C2 cách
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: C2C2C1 cách
Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là:
1
1
3
1
2
2
2
1
2
2
2 1
C2C2C4 + C2C2 C4 + C2 C2C4 + C2 C2 C4 = 44 cách
- Vậy xác suất cần tính là:
44
56
11
14
Bài 23. Gọi A là tập hợp tất c các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0; 1;
2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5
Lần
THPT Phước Bình
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a A là 6.A3 720
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A3 120 cách
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A2 100 cách
Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 100 220 cách
Vậy xác suất cần tìm bằng
220
720
11
36
.
Bài 24. Có 30 tấm thẻ đánh số từ đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5
tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho
10.
Lần
THPT Phước Bình
Lời gi i tham kh o
Gọi là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 11
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
10
Suy ra C30
Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có
số chia hết cho 10.
tấm thẻ mang
Gọi A là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ
có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho 10
Suy ra C5 .C4 .C1
15
A
5
12
4
3
1
Vậy P A C 15.C 1012.C 3 99 .
667
30
Bài 25. Đội bóng chuyền nam Trường THPT H ng ương có
vận động viên gồm 7 học sinh
K12 và 5 học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên Trần Tý cần chọn ra người thi đấu.
Tính xác suất để có ít nhất 4 học sinh K được chọn
Lần
THPT H ng ương
Lời gi i tham kh o
Đội bóng chuyền nam Trường THPT H ng ương có
vận động viên gồm 7 học sinh K12 và 5
học sinh K11. Trong mỗi trận đấu, Huấn luyện viên cần chọn ra người thi đấu. Tính xác suất để
có ít nhất 4 học sinh K được chọn.
Không gian mẫu C6 924 . Xác suất cần tìm là P
12
C4C2 C5C1 C6
7
5
7
924
5
7
Bài 26. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển theο nhị th c 2x
Lần
462 1
924 2
100
,
x 0 .
THPT H ng ương
Lời gi i tham kh o
100
2x 1
3
x
100
C
k0
k
100
. 2x
100k
.
1
k
3
x
100 Ck 2100k .x1004 k
100
k0
25 75
Số h ng không ch a x ng với k 25 . Kết luận: C100
2
Bài 27. Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ, xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng
ngang một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để không có 3 học sinh nữ nào đ ng c nh nhau
Lần
THPT Đồng Xoài
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 12
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời gi i tham kh o
Gọi B là biến cố
không
n 8!; n B 3!.6! P B
có hai học sinh nữ nào đ ng c nh nhau
Khi đó
3
.
28
Bài 28. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được t o thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp A. Tính xác suất để số được chọn
chỉ ch a 3 chữ số lẻ
Lần THPT Đồng Xoài
Lời gi i tham kh o
Gọi là không gian mẫu c a phép thử
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Khi đó
6
A 60480
Gọi A là biến cố Số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ . Khi đó
+ Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có C3 cách.
+Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có C3 cách.
+ Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách.
Do đó C3 .C3 .6! 28800
A
5
4
Vậy xác suất cần tìm là: P(A)
28800 10
60480 21
Bài 29. Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán khối
trường THPT Đồng Xoài có 6 học sinh, trong đó
có 2 nữ và 4 nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh tham dự kì thi Olympic cấp tỉnh. Tính xác suất để
chọn được 3 học sinh trong đó có c nam và nữ.
Lần
THPT Đồng Xoài
Lời gi i tham kh o
+ Số phần tử c a không gian mẫu: n C63 20
+ Gọi A là biến cố
1
chọn được 3 HS có c nam và nữ thì nA C14C22 C2C
4 2 16
+ Vậy xác suất là P A
16
20
4
5
Bài 30. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba
thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ.
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 13
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lần 1THPT Nguyễn Hữu C nh
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a không gian mẫu là n( ) = C 3 = 84
Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C3 = 10
=> Xác suất cần tính là P(A) =
10
84
=
5
42
Bài 31. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia
hết cho 3?
Lần 2 THPT Nguyễn Hữu C nh
Lời gi i tham kh o
Số có 5 chữ số cần lập là abcde ( a 0 ; a, b, c, d, e{0; 1; 2; 3; 4; 5})
abcde
(a b c d e)
- Nếu (a b c d)
thì chọn e = 0 hoặc e = 3
- Nếu (a b c d) chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5
- Nếu (a b c d) chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4
Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3
Số các số d ng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số
Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số
Bài 32. Có 30 tấm thẻ đánh số từ đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5
tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho
10.
Lời gi i tham kh o
Gọi là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho
Suy ra C10
30
Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có
số chia hết cho 10.
tấm thẻ mang
Gọi A là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ
có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho 10
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 14
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Suy ra C5 .C4 .C1
15
A
Vậy P A
5
12
4
3
1
12.C 3
C 15.C10
C30
99
.
667
Bài 33. Một người bỏ lá thư vào
lá thư bỏ đúng phong bì c a nó.
chiếc phong bì đã ghi địa chỉ .Tính xác suất để ít nhất có một
THPT Hoàng Hoa Thám
Lời gi i tham kh o
n 4! 24
Goi A là biến cố để ít nhất 1 lá bỏ đúng phong bì c a nó.
n(A) = C 41 + C 42+ C 4+ C =15, P A
15 5
24 8
Bài 34. Gọi A là tập hợp tất c các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0;
1; 2; 3; 4; 5; 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.
THPT Hoàng Hoa Thám
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a A là 6.A3 720
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 0 có 1.A3 120 cách
Số cách chọn một số có hàng đơn vị là số 5 có 1.5.A2 100 cách
Suy ra số cách chọn một số chia hết cho 5 là 120 100 220 cách
Vậy xác suất cần tìm bằng
220
720
11
36
.
Bài 35. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên ba
thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ.
Lần 1 THPT Kẻ Sặt
Lời gi i tham kh o
Số phần tử c a không gian mẫu là n( ) = C 3 = 84
Số cách chọn 3 thẻ có tích là số lẻ là n(A) = C3 = 10 => Xác suất cần tính là P(A) =
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
10
84
=
5
42
TRANG 15
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Bài 36. Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm
trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ.
THPT Khánh Sơn
Lời gi i tham kh o
Ta có n C 311 165
Số cách chọn 3 học sinh có c nam và nữ là C2 .C1 C1 .C2 135
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có c nam và nữ là
n
n1
n
135
165
9
11
THPT Khánh Sơn
Lời gi i tham kh o
Ta có
C1 Cn1 ;C2 Cn2 ;...Cn C0
Ta viết l i tổng đã cho như sau: S nC 0n n 1 C1n n 2 C 2n ... C n1
n
n
Ta có: S 1C1n 2C n2 3C n3 ... n 1 C n1
n nC n
1
2 2 ... n1
S nCn n Cn n Cn Cn
0
(1)
1
(2)
Cộng vế theo vế ta được : 2S n(C0 C1 C2 ... Cn1 Cn )
Xét khai triển: 1 x C 0n C 1nx C 2nx 2 ... C nnx n
n
Chọn x 1 ta được: C0 C1 C2 ... Cn1 Cn 2n
S n2n1
Bài 38. Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để lập một
tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ.
Lần 1 THPT Khoái Châu
Lời gi i tham kh o
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh có: C548 1712304
Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố " chọn 5
học sinh mà trong đó không có học sinh nữ ".
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 16
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Ta
có
số
kết
qu
thuận
lợi
cho
5
là:
A
C
20349 P A
5
21
5
C48
20349
1712304
20349 1691955
P A 1
1712304 1712304
7
3
2
Bài 39. Tìm số h ng không ch a x trong khai triển c a nhị th c : x
, x 0
4
x
Lần 1 THPT Kinh Môn
Lời gi i tham kh o
3
3 k4
x 2 7 (2)k Ckx 7k
x 7 (2)k Ckx
7
7
4
k0
k0
x
287
12 k ,
x0
Số h ng tổng quát c a khai triển có d ng : T (2)k Ck x
287k
12
. 0 k 7; k .
Số h ng không ch a x khi và chỉ khi 28-7k=0 hay k=4.
Vậy số h ng không ch a x trong khai triển là : T (2)4 C4 =16 C4
7
7
Bài 40. Đội tuyển văn nghệ c a trường THPT L c Long qu n có
người gồm 6 nam và 9 nữ. Để
thành lập đội tuyển văn nghệ dự thi cấp tỉnh nhà trường cần chọn ra 8 học sinh từ 15 học sinh
trên. Tính xác suất để trong người được chọn có số nam nhiều hơn số nữ .
THPT L c Long Quân
Lời gi i tham kh o
Số các kh năng c a không gian mẫu là: C8 6435 để chọn được 8 học sinh trong đó số nam
nhiều hơn số nữ ta có các cách chọn sau:
-
Chọn 5 nam và 3 nữ có C5 .C39 504 cách chọn
-
Chọn 6 nam và 2 nữ có C6 .C2 36 cách chọn
Nên ta có 504 + 36 = 540 cách chọn 8 học sinh theo yêu cầu bài toán.
Vậy xác suất cần tính là: P 540 12
6435
143
Bài 41. Một ng n hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm c u được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu
hỏi trên. Thí sinh A đã học thuộc
c u trong ng n hàng đề thi. Tìm xác suất để thí sinh A rút
ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất c u đã thuộc
THPT Lam Kinh
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 17
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Lời gi i tham kh o
Lấy ngẫu nhiên từ ng n hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi có C4 4845 đề thi.
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
c u đã thuộc, có C2 .C2 2025 trường hợp.
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
c u đã thuộc, có C3 .C1 1200 trường hợp.
Thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có
c u đã thuộc, có C4 210 trường hợp.
Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên được
2025 1200 210 3435 trường hợp
đề thi có ít nhất
Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được đề thi có ít nhất
c u đã thuộc, có
c u đã thuộc là
3435
4845
229
323
.
Bài 42. Một tổ có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham
gia buổi trực nề nếp. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có c nam và nữ.
THPT Lê Lợi
Lời gi i tham kh o
chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ một tổ có 12 học sinh
Xét phép thử T
* Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh c a tổ là C412 495
do đó số phần tử c a không gian mẫu là 495 .
* Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn có c nam và nữ
Khi đó A là biến cố
4 học sinh được chọn chỉ toàn nam hoặc nữ
Ta có C4 C4 5 35 40
A
P( A)
5
7
40
455 91
P( A) 1 P( A)
495
495 99
Bài 43. Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấ được số có tổng các chữ số là số lẻ ?
THPT Lê Lợi
Lời gi i tham kh o
Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số
lẻ". Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là A4 840 (số), suy ra: 840
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 18
THẦY NGÔ QUANG NGHIỆP – THẦY TRẦN VĂN TÀI 2016
Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có d ng abcd . Do tổng
a b c d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ
Trường hợp 1 : có 1 chữ số lẻ , 3 chữ số chẵn : có C1 .C3 4 bộ số
Trường hợp 2 : có 3 chữ số lẻ , 1 chữ số chẵn : có C3 .C1 12 bộ số
Từ mỗi bộ số trên ta lập được P4 24 số
A 384 .
Tất c có 16.24= 384 số , suy ra:
Vậy P(A)
384
840
48
.
105
Bài 44. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được t o thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn
chỉ ch a 3 chữ số lẻ.
Lần 1 THPT Lý Thái Tổ
Lời gi i tham kh o
Gọi là không gian mẫu c a phép thử
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Khi đó
6
A 60480
Gọi A là biến cố Số được chọn chỉ ch a 3 chữ số lẻ . Khi đó
+ Chọn 3 chữ số lẻ đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có C3 cách.
+Chọn 3 chữ số chẵn đội một khác nhau từ các chữ số 2, 4, 6, 8 có C3 cách.
+ Sắp xếp các chữ số trên để được số thỏa mãn biến cố A có 6! cách. Do đó
3
3
C5 .C4 .6! 28800
Vậy xác suất cần tìm là: P(A)
28800 10
60480 21
Bài 45. Đội văn nghệ c a nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp
12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế gi ng năm học. Tính
xác suất sao cho lớp nào c ng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A.
Lần 2 THPT Minh Châu
Lời gi i tham kh o
Gọi không gian mẫu c a phép chọn ngẫu nhiên là
VÌ CỘNG ĐỒNG – CHIA SẺ TÀI NGUYÊN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
TRANG 19
- Xem thêm -