Tài liệu Các phương trình hàm dạng abel trong lớp hàm liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIM THỊ HƯỜNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KIM THỊ HƯỜNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 1 Mục lục Mở đầu 3 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Hàm chẵn, lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính . 1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính 1.3 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Đặc trưng của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Tập trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Hàm chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 9 15 15 18 18 2 Các phương trình hàm dạng Abel 2.1 Phương trình hàm dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Nghiệm thực của phương trình hàm dạng mũ . 2.1.2 Nghiệm phức của phương trình hàm dạng mũ 2.2 Phương trình hàm với hàm arctan . . . . . . . . . . . 2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác . . . . . . 2.4 Một số dạng phương trình hàm khác . . . . . . . . . 2.4.1 Phương trình lặp . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Phương trình dạng Pexider với các phép tính số 2.4.3 Về nghiệm của một số hệ phương trình . . . . 20 21 21 21 23 24 26 26 26 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . học . . . . . . . . . . . . 3 Một số lớp phương trình đa ẩn hàm 35 3.1 Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan . . . . 35 3.2 Phương trình D’Alembert trong lớp hàm số liên tục . . . . . . 39 2 4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic 4.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam . . . . . . . . . . . 4.1.2 Các bài thi Olympic các nước và khu vực . . . . . . . 4.1.3 Đề thi toán Olympic quốc tế (IMO) . . . . . . . . . . 4.2 Phương trình hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam . . . . . . . . . . . 4.2.2 Các đề thi Olympic các nước và khu vực . . . . . . . . 4.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 48 53 72 73 73 74 75 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 3 Mở đầu Hiện nay, ở một số trường phổ thông, phương trình hàm vẫn chưa được đề cập nhiều. Phần lớn các học sinh tiếp cận với phương trình hàm là các học sinh lớp chuyên toán, đối với học sinh đại trà phương trình hàm là một dạng toán xa lạ. Các học sinh tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy khó bởi vì khi học giải phương trình hàm không những đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức mà còn phải có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát, nhận dạng tìm ra cách giải hợp lí. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic toán khu vực và quốc tế, thường xuất hiện các dạng toán liên quan đến phương trình hàm. Xuất phát từ thực tế đó, tôi chọn đề tài: "Các phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục" làm đề tài luận văn thạc sĩ. Với mục tiêu chính của luận văn là cung cấp thêm cho các em học sinh - sinh viên đặc biệt là các em học sinh- sinh viên khá, giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toán tài liệu tham khảo. Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản luận văn còn nghiên cứu thêm một số phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục; phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương tình D’Alembert trong lớp hàm liên tục; một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic. Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã thu thập, phân tích, nghiên cứu các tài liệu về phương trình hàm đặc biệt là các phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục thông qua các tài liệu tham khảo như sách, Internet, trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn, của các chuyên gia và đồng nghiệp rồi tổng hợp, hệ thống lại. Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Nội dung luận văn gồm bốn chương: - Chương 1. Một số kiến thức cơ bản. Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm phản tuần hoàn; các định nghĩa và các định lý, tính chất 4 đến hàm mũ; định nghĩa về phép lặp; đặt trưng của một số hàm sơ cấp; hàm chuyển đổi các phép tính số học. Chương 2. Một số dạng phương trình hàm Abel. Trong chương này trình bày một số phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục: Phương trình mũ; phương trình lặp; Phương trình hàm sinh bởi hàm arctan; phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác; các phương trình hàm dạng khác. Chương 3. Các lớp phương trình hàm liên quan. Trong chương này trình bày một số lớp phương trình hàm liên quan như: Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương trình D’Alembert trong lớp hàm liên tục. Chương 4. Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic. Nội dung chủ yếu của chương trình bày một số dạng toán từ các đề thi học sinh giỏi Việt Nam, Olympic các nước và khu vực, Olympic quốc tế (IMO). Trong thơì gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học đã dạy bảo tận tình, chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và thực hiện luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viên trường Cao Đẳng Nông nghiệp và PTNT Bắc bộ đã tạo điều kiện cho tác giả có cơ hội học tập và nghiên cứu. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng học tập, nghiên cứu, thảo luận để thực hiện luận văn này. Tuy nhiên, điều kiện về thời gian và khuôn khổ của luận văn nên tác giả chưa đi sâu nghiên cứu được tất cả các phương trình Abel và không tránh khỏi những thiếu xót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến của quý thầy cô các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2016 Người thực hiện Kim Thị Hường 5 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Trong chương này, trình bày một số lý thuyết cơ bản thường được sử dụng khi nghiên cứu về phương trình hàm. Các kiến thức trong chương này được tham khảo trong tài liệu [1, 3] 1.1 Hàm chẵn, lẻ Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R. Định nghĩa 1.1. Hàm f (x) được gọi là hàm số chẵn tại x = 0 trên M , M ⊂ D(f ) (gọi tắt là hàm chẵn trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M. Bài toán 1.1. Cho x0 ∈ R. Xác định các hàm số f (x) sao cho f (x0 − x) = f (x), ∀x ∈ R. (1.1) x0 x0 −t ⇔t= −x . 2 2 x0 Khi đó x0 − x = + t và (1.11) có dạng 2 Lời giải. Đặt x = f x0 − t , ∀t ∈ R. 2 (1.2) x0 x0 − t , f (t) = g t − . 2 2 Khi đó (1.2) có dạng g(−t) = g(t), ∀t ∈ R. Vậy g(t) là một hàm chẵn trên R Đặt g(t) = f x0 +t 2 x0 +t =f 2 thì g(−t) = f Kết luận: f (x) = g x − trong đó g(x) là hàm chẵn tùy ý trên R. x0 , 2 6 Định nghĩa 1.2. Hàm f (x) được gọi là hàm số lẻ tại x = 0 trên M , M ⊂ D(f ) (gọi tắt là hàm lẻ trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M. Bài toán 1.2. Cho a, b ∈ R. Xác định các hàm số f (x) sao cho f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R. Lời giải. Đặt (1.3) a a a − x = t , khi đó x = − t) và a − x = + t 2 2 2 Thay vào (1.3), ta được f Đặt f a +t +f 2 a − t = b. 2 (1.4) a b + t − = g(t). 2 2 Khi đó (1.4) có dạng g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R. hay g(−t) = −g(t), ∀t ∈ R. Vậy g(t) là một hàm lẻ trên R Kết luận: f (x) = g x − a b + , 2 2 trong đó g(x) là hàm lẻ tùy ý trên R. 1.2 1.2.1 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa 1.3. Hàm f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a(a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M, (1.5) số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm tuần hoàn f (x). Bài toán 1.3. Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a ∈ Q. Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và G(x) := f (x)g(x) cũng là b hàm tuần hoàn trên M. a và b với 7 Lời giải. Theo giả thiết ∃m, n ∈ N+ , (m, n) = 1 sao cho m a = . b n Đặt T = na = mb. Khi đó F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M . Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M. Định nghĩa 1.4. Hàm f (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ b(b > 0)trên tập M nếu M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M, f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M, (1.6) số b dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.6) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn f (x). Bài toán 1.4. Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuần hoàn trên M. Lời giải. Theo giả thiết, ∃b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M. Suy ra ∀x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M. Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M. 1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.5. Hàm f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ α (α > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ α±1 x ∈ M, f (αx) = f (x), ∀x ∈ M ; (1.7) số α > 1 nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm tuần hoàn nhân tính f (x). 8 Bài toán 1.5. Cho f (x), g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính trên M có các chu kỳ lần lượt là a và b và ln |a| m = , m, n ∈ N+ . ln |b| n Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và G(x) = f (x)g(x) là những hàm nhân tính trên M. Lời giải. Từ giả thiết, suy ra |a|n = |b|m . Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu kỳ của F (x) và G(x). Thật vậy, ta có F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M. Hơn nữa, ∀x ∈ M thì T ±1 x ∈ M . Do đó F (x) và G(x) là những hàm tuần hoàn nhân tính trên M. Định nghĩa 1.6. Hàm f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ β (β > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và ∀x ∈ M ⇒ β ±1 x ∈ R, f (βx) = −f (x), ∀x ∈ R; (1.8) số β > 1 nhỏ nhất thỏa mãn (1.8) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn nhân tính. Bài toán 1.6. Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ là b (b > 1) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng: 1 f (x) = (g(bx) − g(x)), 2 (1.9) trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính với chu kỳ b2 trên M. Lời giải. Thật vậy, nếu f (x) có dạng (1.9) thì 1 f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) 2 1 = (g(x) − g(bx)) 2 1 = − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M. 2 Hơn nữa, ∀x ∈ M thì b±1 x ∈ M. Do đó f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. 9 Ngược lại, giả sử f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. Khi đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và 1 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 2 1 = (−(−f (x) + f (x))) = f (x), ∀x ∈ M. 2 1.3 Hàm mũ Định nghĩa 1.7. Hàm E : R → C gọi là hàm mũ nếu E thỏa mãn phương trình E(x + y) = E(x)E(y), ∀x, y ∈ R. Nếu E không đồng nhất bằng 0 và là hàm liên tục thì E(x) = eλx ở đây λ là số thực, λ = 0. Nếu E(x) = 0, ∀x ∈ R, ta định nghĩa E ∗ (x) = E(x)−1 , ∀x ∈ R. Tính chất 1.1. Nếu E : R → C là hàm mũ và E(0) = 0 thì E(x) = 0, ∀x ∈ R. Chứng minh. Vì E : R → R là hàm mũ nên E(x + y) = E(x)E(y), ∀x, y ∈ R. Cho y = 0, ta có E(x) = E(x)E(0), ∀x ∈ R. Theo giả thiết E(0) = 0 suy ra E(x) = 0, ∀x ∈ R. Suy ra E(x) = 0, ∀x ∈ R. Tính chất 1.2. Nếu E : R → R là hàm mũ và E ≡ 0 thì E(0) = 1. Chứng minh. Vì E : R → C là hàm mũ và E(x) không đồng nhất bằng 0 nên từ E(x + y) = E(x)E(y), ∀x, y ∈ R. Cho x = y = 0 suy ra E(0) = E(0)E(0) hay E(0)(1 − E(0)) = 0. Vậy E(0) = 0 hoặc E(0) = 1. Nếu E(0) = 0 ⇒ E(x) = 0, ∀x ∈ R, trái giả thiết. Vậy E(0) = 1. 10 Tính chất 1.3. Nếu E : R → C là hàm mũ và tồn tại x0 ∈ R sao cho E(x0 ) = 0 thì E(x) = 0, ∀x ∈ R. Chứng minh. Với ∀x ∈ R, ta có E(x) = E((x − x0 ) + x0 ) = E(x − x0 )E(x0 ) = 0. Suy ra E(x) = 0, ∀x ∈ R. Tính chất 1.4. Nếu E : R → C là hàm mũ và E ≡ 0 thì E ∗ (−x) = E(x). Chứng minh. Do E : R → R là hàm mũ, và từ E ≡ 0 nên từ tính chất 1.2 ta có E(0) = 1. Cho y = −x thay vào E(x + y) = E(x)E(y), ta được E(0) = E(x)E(−x), ∀x ∈ R. Từ tính chất 1.2 ta có E(x) = 0, ∀x ∈ R và E(0) = 1. Suy ra E(−x) = 1 ⇔ E(−x) = E −1 (x) E(x) hay E(−x) = E ∗ (x), ∀x ∈ R. Thay x bởi −x vào biểu thức trên ta có E ∗ (−x) = E(x), ∀x ∈ R Tính chất 1.5. Nếu E : R → C là hàm mũ và E ≡ 0 thì E ∗ (x + y) = E ∗ (x)E ∗ (y), ∀x, y ∈ R. Chứng minh. Do E ≡ 0 và từ tính chất 1.3, ta có E(x) = 0, ∀x ∈ R, khi đó 1 1 = E(x + y) E(x)E(y) −1 −1 = E (x)E (y) = E ∗ (x)E ∗ (y). E ∗ (x + y) = Suy ra E ∗ (x + y) = E ∗ (x)E ∗ (y), x, y ∈ R. 11 Tính chất 1.6. Mọi hàm f : R → C thỏa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (DE) đều là hàm chẵn trên R. Chứng minh. Dễ kiểm tra thấy f ≡ 0 thỏa mãn (DE) và hàm f ≡ 0 là hàm chẵn trên tập R. Nếu f ≡ 0 , thay y bằng −y vào phương trình (DE) ta có f (x − y) + f (x + y) = 2f (x)f (−y) ⇒ 2f (x)f (y) = 2f (x)f (−y) ⇒ f (y) = f (−y), ∀y ∈ R Hay hàm f là hàm chẵn trên R. Định lý 1.1. Mọi hàm f : R → C thỏa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R là hàm f ≡ 0 hoặc f (x) = E(x) + E ∗ (x) . 2 Trong đó E : R → C∗ là hàm mũ định nghĩa ở trên. Chứng minh. Dễ thấy f ≡ 0 thỏa mãn (DE). Xét f ≡ 0. Thay x = y = 0 vào phương trình (DE), ta được f (0)[1 − f (0)] = 0 ⇒ f (0) = 0 hoặc f (0) = 1. Nếu f (0) = 0, đặt u = x + y, v = x − y khi đó (DE) trở thành f (u) + f (v) = 2f Cho u = v suy ra 2f (u) = 2f u−v u+v f , ∀u, v ∈ R. 2 2 u+v f (0) = 0, ∀u ∈ R (trái giả thiết f ≡ 0). 2 Suy ra f (0) = 1. Cho y = x thay vào (DE), ta có (DE) 12 f (2x) + f (0) = 2[f (x)]2 nên f (2x) = 2f (x)2 − 1 1 Thay x bằng x + y và y bằng x − y vào phương trình (DE) ta có f (x + y + x − y) + f (x + y − x + y) = 2f (x + y)f (x − y) ⇒ f (2x) + f (2y) = 2f (x + y)f (x − y), ∀x, y ∈ R. Ta có 2 f (x + y) − f (x − y) 2 = f (x + y) + f (x − y) − 4f (x + y)f (x − y) 2 = 2f (x)f (y) − 4f (x + y)f (x − y) = 4f (x)2 f (y)2 − 2 f (2x) + f (2y) = 4f (x)2 f (y)2 − 2 f (x)2 − 1 + f (y)2 − 1 = 4 f (x)2 − 1 f (y)2 − 1 nên f (x + y) − f (x − y) = ±2 f (x)2 − 1 f (y)2 − 1 , ∀x, y ∈ R. Cộng hai vế phương trình trên với phương trình (DE) ta thu được f (x + y) = f (x)f (y) ± [f (x)2 − 1][f (y)2 − 1] suy ra [f (x + y) − f (x)f (y)]2 = [f (x)2 − 1][f (y)2 − 1]. Ta xét hai trường hợp f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R và f (x) ∈ {−1; 1} với một vài giá trị x ∈ R. Trường hợp 1. Xét f (x) ∈ {−1; 1}, ∀x ∈ R. Kết hợp với (1.10), ta có f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. Ở đây f (x) nhận một trong hai giá trị 1 hoặc −1 nên ta có f (x) = f ∗ (x) và f (x) = f (x) + f ∗ (x) , ∀x ∈ R. 2 E(x) + E ∗ (x) , ∀x ∈ R với E(x) ∈ {−1; 1}. 2 Trường hợp 2. Xét f (x) ∈ {−1; 1}, với một vài giá trị x ∈ R. Khi đó f (x) = Do đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 )2 − 1 = 0. Đặt α = f (x0 ) ⇒ α2 − 1 = 0, đặt β 2 = α2 − 1. 1 Để đơn giản trong ký hiệu từ đây ta hiểu f (x)2 = [f (x)]2 (1.10) 13 Ta đặt E(x) =f (x) + = 1 [f (x + x0 ) − f (x)f (x0 )] β 1 f (x + x0 ) + (β − α)f (x) , ∀x ∈ R. β Ta sẽ chứng minh biểu thức E(x) xác định như trên là một hàm số. Thật vậy x1 = x2 và xét 1 f (x1 + x0 ) + (β − α)f (x1 ) β 1 = f (x2 + x0 ) + (β − α)f (x2 ) = E(x2 ). β E(x1 ) = Từ đó suy ra E(x) xác định một hàm số xác định trên R. Ta có 1 [f (x + x0 ) − f (x)f (x0 )]2 β2 1 = 2 [f (x)2 − 1][f (x0 )2 − 1]theo (1.10) β α2 − 1 = [f (x)2 − 1]vì (β 2 = α2 − 1) β2 =f (x)2 − 1. [E(x) − f (x)]2 = Suy ra E(x)2 − 2E(x)f (x) + f (x)2 = f (x)2 − 1 ⇒ E(x)2 − 2E(x)f (x) + 1 = 0, ∀x ∈ R. Nếu E(x) = 0 thì 1 = 0 vô lý, suy ra E(x) = 0 và f (x) = E(x)2 + 1 E(x) + E ∗ (x) = , ∀x ∈ R. 2E(x) 2 Ta sẽ chứng minh E(x) thỏa mãn tính chất E(x + y) = E(x)E(y), ∀x, y ∈ R. Thật vậy, ta có 2[f (x0 + x)f (y) + f (x0 + y)f (x)] =f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y + x) + f (x0 + y − x) (theo (DE)) =2f (x0 + x + y) + f (x0 + x − y) + f (x0 + y − x) 14 =2f (x0 + x + y) + 2f (x0 )f (x − y) =2{f (x0 + x + y) + f (x0 )[2f (x)f (y) − f (x + y)]} =2{f (x0 + x + y) + α 2f (x)f (y) − f (x + y) }. Mặt khác ta có 2f (x0 + x)f (x0 + y) =f (x0 + x + x0 + y) + f (x0 + x − x0 − y) (theo (DE)) =f (x0 + (x0 + x + y)) + f (x − y) =[2f (x0 )f (x0 + x + y) − f (x0 + x + y − x0 )] + [2f (x)f (y) − f (x + y)] (theo (DE)) =2f (x0 )f (x0 + x + y) − f (x + y) + 2f (x)f (y) − f (x + y) =2[f (x)f (y) + αf (x0 + x + y) − f (x + y)]. Ta lại có E(x)E(y) = 1 [f (x + x0 ) + (β − α)f (x)][f (y + x0 ) + (β − α)f (y)] β2 1 {f (x + x0 )f (y + x0 ) + (β − α)[f (x)f (x0 + y) + f (y)f (x0 + x) β2 + f (y)f (x0 + x)] + (β − α)2 f (x)f (y)} 1 = 2 {f (x)f (y) + αf (x0 + x + y) − f (x + y) β + (β − α)[f (x0 + x + y) + 2αf (x)f (y) − αf (x + y)] = + (β − α)2 f (x)f (y)} 1 = 2 {[(β − α)2 + 2α(β − α) + 1]f (x)f (y) + βf (x0 + x + y) β − [1 + (β − α)α]f (x + y)} 1 = 2 {(β 2 − α2 + 1)f (x)f (y) + βf (x0 + x + y) − (βα − β 2 )f (x)f (y)} β 1 = 2 [βf (x0 + x + y) + β(β − α)f (x + y)] = E(x + y). β Suy ra E(x) là hàm mũ. Thử lại, ta có E(x + y) + E ∗ (x + y) E(x − y) + E ∗ (x − y) + 2 2 E(x)E(y) + E ∗ (x)E ∗ (y) + E(x)E(−y) + E ∗ (x)E ∗ (−y) = 2 E(x)E(y) + E ∗ (x)E ∗ (y) + E(x)E ∗ (y) + E ∗ (x)E(y) = 2 f (x + y) + f (x − y) = 15 E(x)[E(y) + E ∗ (y)] + E ∗ (x)[E ∗ (y) + E(y)] = 2 E(x) + E ∗ (x) E(y) + E ∗ (y) =2. . = 2f (x)f (y) 2 2 E(x) + E ∗ (x) trong đó E(x) là hàm mũ. Vậy nên f (x) = 2 1.4 Phép lặp Định nghĩa 1.8 (Phép lặp). Phép lặp f n (x) của hàm f (x) được xác định như sau: f (x) = x, f n+1 (x) = f(f n (x)), x ∈ R, n = 0, 1, 2, . . . (Các hàm f n (x)(n = 0, 1, 2, . . . ) được xác định trên R.) Bài toán 1.7. Cho hàm số f (x) = √ x . Hãy xác định hàm số 1 + x2 f n (x) = f [f [f [. . . [f (x)] . . .]]] . Lời giải. Ta giải bài toán này bằng phương pháp quy nạp. Ta có f (x) 2 f (x) = f [f (x)] = √ x 1+x2 = x2 1+ 1 + x2 2 1 + (f (x)) Giả sử ta chứng minh được f k (x) = √ f k+1 x 1 + kx2 f k (x) k (x) = f f (x) = =√ √ x 1+kx2 = 1+ x2 1 + kx2 suy ra x 1 + (k + 1)x2 . Vậy f n (x) = √ 1.5 x 1 + nx2 . Đặc trưng của một số hàm sơ cấp Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b(a = 0, b = 0) có tính chất f x+y 2 = 1 + 2x2 . Khi đó, 2 1 + (f k (x)) f k+1 (x) = x 1 [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R 2 2 , . 16 Hàm tuyến tính: f (x) = ax(a = 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a = 1) có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a = 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} Hàm lũy thừa f (x) = |x|α có tính chất f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} Hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (x + y)f (x − y) = [f (x)]2 − [f (y)]2 , với ∀x, y ∈ R và f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , với ∀x ∈ R. b) Hàm f (x) = cos x có các tính chất f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), với ∀x, y ∈ R. và f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, với ∀x ∈ R c) Cặp hàm f (x) = sin x và g(x) = cos x có tính chất f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. 17 d) Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x + y) = (2k + 1)π f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = (k ∈ Z). 1 − f (x)f (y) 2 e) Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x + y) = f (x)f (y) − 1 , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = kπ (k ∈ Z). f (x) + f (y) Hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có các tính chất 1 − y2 + y f (x) + f (y) = f (x 1 − x2 ), với ∀x, y ∈ [−1; 1]. b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất 1 − x2 g(x) + g(y) = g(xy − 1 − y 2 ), với ∀x, y ∈ [−1, 1]. c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất x+y , với ∀x, y ∈ R, xy = 1. 1 − xy h(x) + h(y) = h d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất p(x) + p(y) = p xy − 1 , với ∀x, y ∈ R, x + y = 0. x+y Hàm hyperbolic 1 2 a) Hàm sin hyperbolic f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. 1 2 b) Hàm cosin hyperbolic g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R. c) Hàm tan hyperbolic h(x) = tanh x := h(x + y) = ex − e−x có tính chất ex + e−x h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R. 1 + h(x)h(y) ex + e−x d) Hàm cotan hyperbolic q(x) = coth x := x có tính chất e − e−x q(x + y) = 1 + q(x)q(y) , ∀x, y ∈ R, x + y = 0. q(x) + q(y) 18 1.6 Tập trù mật Định nghĩa 1.9. Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong B ⊆ R ký hiệu [A] = B nếu với mọi x, y ∈ B; x < y luôn tồn tại α ∈ A, sao cho x < α < y . Định nghĩa 1.10. Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong R ký hiệu [A] = R nếu với mọi x ∈ R tồn tại dãy số (an ) ⊂ A, sao cho an → x khi n → ∞. Định nghĩa 1.11. Cho A ⊂ B ⊂ R nếu với mọi x ∈ B , với mọi ε > 0 tồn tại y ∈ A, sao cho |x − y| < ε thì A được gọi là tập trù mật trong B , ký hiệu là [A] = B. Nhận xét 1.1. Định nghĩa 1.9 và định nghĩa 1.10 tương đương với nhau. Định nghĩa 1.12. Nếu hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f (x) = g(x) với mọi x ∈ A trong đó [A] = R thì f (x) = g(x) với mọi x ∈ R. Ta thường sử dụng một số tập trù mật trong R sau 1. Với Q := tập các số hữu tỷ, ta có [Q] = R. 2. Với = tập các số vô tỷ, ta có [ ] = R. 3. Với [A] = R tập {α + r | α ∈ A, r = const, r ∈ R} trù mật trong R. 4. Với [A] = R tập {αr | α ∈ A, r = const, r = 0, r ∈ R} trù mật trong R. 5. Tập { m | n ∈ Z+ ; m ∈ Z} trù mật trong R. n 2 6. Tập {mα − n | a ∈ 1.7 ; m, n ∈ N} trù mật trong R. Hàm chuyển đổi các phép tính số học Bài toán 1.8 (Phương trình hàm Cauchy). Tìm hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện sau f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R, (1.11) Lời giải. Giả sử tồn tại hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu bài ra. Thay x = y = 0 vào (1.11), ta được f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = 0. Thay y = −x vào (1.11),ta được f (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈ R. Vậy hàm f (x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức của f (x) với x > 0.