Tài liệu Các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like cho các bài toán tối ưu vectơ không trơn trong các không gian vô hạn chiều

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM -------------- ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE CHO CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHÔNG TRƠN TRONG CÁC KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Mã số: CS – 2014 - 43 Chủ nhiệm: TS. Nguyễn Đình Tuấn Tp. Hồ Chí Minh - 2014 M÷C L÷C Ch˜Ïng m ¦u................................................................................................................................................3 Ch˜Ïng 1: GiÓi thi»u b i to¡n nghi¶n c˘u v sË mÎt sË ki¸n th˘c gi£i t½ch h m cÙng nh˜ mÎt c§p hai.....................................................................5 kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v Ch˜Ïng 2: ¤o h m suy rÎng kiºu x§p x¿ c§p mÎt v c§p hai....................................9 Ch˜Ïng 3: C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai.............................................................................13 Ch˜Ïng 4: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai..................................................................................27 K¸t luªn v h˜Óng nghi¶n c˘u m rÎng · t i...........................................................................32 T i li»u tham kh£o................................................................................................................................33 1 2 Ch˜Ïng m ¦u 1. L˛ do chÂn · t i. C¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai ‚ng vai tr· quan trÂng v¼ n‚ l m cho c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p mÎt ho n thi»n hÏn b¬ng nh˙ng thÊng tin c§p hai giÛp ½ch r§t nhi·u trong vi»c nhªn ra c¡c nghi»m tËi ˜u cÙng nh˜ ˜a ra c¡c thuªt to¡n sË º t½nh c¡c nghi»m n y. B£n ch§t cıa thÊng tin c§p hai n y l nh˜ sau. N‚i mÎt c¡ch Ïn gi£n, c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p mÎt kh¯ng ‡nh r¬ng t¤i iºm c¸c tr‡, ¤o h m theo h˜Óng cıa ¡nh x¤, hÒp b i h m mˆc ti¶u v c¡c r ng buÎc, khÊng thuÎc v· ph¦n trong cıa n‚n (hÒp) ¥m trong t½ch c¡c khÊng gian £nh. ¤o h m theo h˜Óng n y c‚ thº n¬m tr¶n bi¶n cıa n‚n n‚i tr¶n. Trong tr˜Ìng hÒp n y, c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai cung c§p thÊng tin th¶m: n‚i chung, ¤o h m theo h˜Óng c§p hai cıa h m Lagrange l khÊng ¥m. Tuy nhi¶n, v o n«m 1988, Kawasaki [14] l ng˜Ìi ¦u ti¶n ¢ ph¡t hi»n ra r¬ng khi ta x²t bao ‚ng cıa n‚n ¥m n‚i tr¶n, ¤o h m c§p hai cıa h m Lagrange c‚ thº ¥m n¸u ¤o h m theo h˜Óng c§p mÎt cıa ¡nh x¤ hÒp n‚i tr¶n n¬m tr¶n ph¦n °c bi»t cıa bi¶n cıa n‚n ¥m. Æng gÂi hi»n t˜Òng n y l hi»n t˜Òng envelope-like. Nhi·u nh nghi¶n c˘u v¨n khÊng chÛ ˛ ¸n hi»n t˜Òng n y v mc ph£i sai l¦m ¡ng ti¸c. Nhi·u t¡c gi£ kh¡c ch¿ x²t n‚n ¥m n‚i tr¶n, khÊng x²t bao ‚ng cıa n‚n n y, v v¼ th¸ khÊng c‚ hi»n t˜Òng envelope-like x£y ra. ¢ c‚ nhi·u ‚ng g‚p quan trÂng cho hi»n t˜Òng thÛ v‡ n y. C¡c k¸t qu£ cıa Kawasaki ˜Òc m rÎng v ph¡t triºn cho c¡c b i to¡n quy ho¤ch vÊ h˜Óng kh£ vi c§p hai trong [3, 5, 24, 25], quy ho¤ch a mˆc ti¶u kh£ vi c§p hai trong [10, 11], quy ho¤ch a mˆc ti¶u (h˙u h¤n chi·u) kh£ vi li¶n tˆc c§p mÎt trong [7] v cho quy ho¤ch h˙u h¤n chi·u li¶n quan ¸n c¡c h m kh£ vi ch°t trong [20, 21]. ChÛng tÊi nhªn th§y r¬ng c¦n ph£i gi£i th½ch r„ r ng hÏn khi n o hi»n t˜Òng envelope-like x£y ra v khi n o hi»n t˜Òng n y khÊng x£y ra. N‚i c¡ch kh¡c, chÛng tÊi s³ l m r„ hÏn Ëi vÓi nh˙ng h˜Óng g¥y ra hi»n t˜Òng envelope-like. HÏn n˙a, gi£i quy¸t c¡c b i to¡n vÓi m˘c Î khÊng trÏn c§p cao hÏn luÊn luÊn l mÎt nhu c¦u th¸c t¸. Do ‚, trong · t i nghi¶n c˘u n y, chÛng tÊi chÂn c¡c x§p x¿ ¢ ˜Òc · xu§t trong [1, 13] dÚng l m c¡c ¤o h m suy rÎng. C¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai dÚng c¡c x§p x¿ ¢ ˜Òc nghi¶n c˘u trong [1] vÓi gi£ thi¸t r¬ng t§t c£ c¡c x§p x¿ ˜Òc s˚ dˆng l compact. C¡c x§p x¿ c‚ thº khÊng b‡ ch°n ¢ ˜Òc dÚng º ch˘ng minh c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p mÎt v c§p hai trong [15, 17-19] cho nhi·u b i to¡n tËi ˜u vectÏ kh¡c nhau. ¤o h m suy rÎng thuÎc lo¤i n y ti»n lÒi chÍ l ngay c£ c¡c ¡nh x¤ khÊng li¶n tˆc t¤i mÎt iºm c‚ thº c‚ x§p x¿ c§p hai khÊng t¦m th˜Ìng t¤i iºm n y. Tuy nhi¶n, º tªp trung tr¶n c¡c i·u ki»n c§p hai v x¡c ‡nh r„ c¡c h˜Óng ch§p nhªn ˜Òc x§p x¿ g¥y ra hi»n t˜Òng envelope-like, chÛng tÊi chı y¸u x²t c¡c ¡nh x¤ kh£ vi c§p mÎt. C¡c quan s¡t tr¶n l nguÁn c£m h˘ng cho mˆc ½ch nghi¶n c˘u cıa chÛng tÊi trong · t i nghi¶n c˘u n y l ¡p dˆng ¤o h m suy rÎng kiºu x§p x¿ º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai mÓi vÓi hi»n t˜Òng envelope-like cho c¡c b i to¡n tËi ˜u vectÏ khÊng trÏn trong c¡c khÊng gian vÊ h¤n chi·u. C¡c ¡nh x¤ trong b i to¡n nghi¶n c˘u l kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay kh£ vi (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u ı) v khÊng c¦n kh£ vi li¶n tˆc. C¡c k¸t qu£ n y c£i thi»n v m rÎng c¡c k¸t qu£ nghi¶n c˘u 3 g¦n ¥y. 2. Mˆc ti¶u v k¸t qu£ nghi¶n c˘u. ChÛng tÊi xem x²t b i to¡n tËi ˜u vectÏ trong c¡c khÊng gian vÊ h¤n chi·u sau ¥y. Cho X, Z, W l c¡c khÊng gian Banach, Y l khÊng gian ‡nh chu©n, C ⊂ Y l n‚n lÁi ‚ng, v K ⊂ Z l B i to¡n d˜Ói s¸ xem x²t cıa chÛng tÊi l (P) ChÛng tÊi dÚng c¡c ¤o h m suy rÎng theo ngh¾a x§p x¿ vÓi m˘c Î khÊng trÏn bªc cao d˜Ói gi£ thi¸t kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay kh£ vi (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u ı), tr¡nh gi£ thi¸t kh£ vi li¶n tˆc, º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai vÓi t½nh ch§t envelope-like cho b i to¡n (P). C¡c k¸t qu£ cıa chÛng tÊi l m r„ hÏn v§n · khi n o hi»n t˜Òng envelope-like x£y ra v ho n thi»n c¡c k¸t qu£ ¢ c‚ trong l¾nh v¸c nghi¶n c˘u n y. Cˆ thº, · t i th¸c hi»n c¡c mˆc ti¶u nghi¶n c˘u sau ¥y. + Kh¡i ni»m v c¡c t½nh ch§t cıa c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai. + Kh¡i ni»m ¤o h m suy rÎng kiºu x§p x¿ c§p mÎt v c§p hai v c¡c t½nh ch§t cıa chÛng. + C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai vÓi hi»n t˜Òng envelope-like cho c¡c nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng cıa (P). + (P). C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai cho c¡c nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng cıa C¡c k¸t qu£ cıa · t i ho n thi»n c¡c k¸t qu£ ¢ c‚ trong l¾nh v¸c nghi¶n c˘u c¡c i·u ki»n tËi ˜u cho c¡c b i to¡n tËi ˜u vectÏ khÊng trÏn trong c¡c khÊng gian vÊ h¤n chi·u. C¡c k¸t qu£ nghi¶n c˘u n y ¢ ˜Òc t¡c gi£ v GS.TSKH. Phan QuËc Kh¡nh, tr˜Ìng ¤i hÂc QuËc t¸, ¤i hÂc QuËc gia Tp. HCM cÊng bË trong mÎt b i b¡o tr¶n t¤p ch½ khoa hÂc quËc t¸ trong h» thËng ISI [22]: P.Q. Khanh and N.D. Tuan, Second-order optimality conditions with envelope-like effect for nonsmooth vector optimization in infinite dimensions, Nonlinear Anal. 77 (2013) 130-148. 3. Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u. · t i nghi¶n c˘u dÚng c¡c cÊng cˆ v kˇ thuªt trong gi£i t½ch khÊng trÏn, gi£i t½ch a tr‡ v gi£i t½ch h m. 4. K¸t c§u cıa · t i. · t i bao gÁm 5 ch˜Ïng. • Ch˜Ïng m ¦u: L˛ do th¸c hi»n · t i, mˆc ti¶u v k¸t qu£ nghi¶n c˘u cıa · t i. Ch˜Ïng 1: GiÓi thi»u b i to¡n nghi¶n c˘u v mÎt sË ki¸n th˘c gi£i t½ch h m cÙng nh˜ mÎt sË kh¡i ni»m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai. • Ch˜Ïng 2: ¤o h m suy rÎng kiºu x§p x¿ c§p mÎt v c§p hai. • • Ch˜Ïng 3: C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai. • Ch˜Ïng 4: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai. 4 Ch˜Ïng 1: GiÓi thi»u b i to¡n nghi¶n c˘u v mÎt sË ki¸n th˘c gi£i t½ch h m cÙng nh˜ mÎt sË kh¡i ni¶m v· c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai Cho X, Z, W l c¡c khÊng gian Banach, Y l khÊng gian ‡nh chu©n, C ⊂ Y l n‚n lÁi ‚ng, v x¤. ChÛng tÊi x²t b i to¡n tËi ˜u vectÏ sau ¥y: K ⊂ Z l tªp lÁ m (P) ChÛng tÊi dÚng c¡c k˛ hi»u cÏ b£n. N = {1, 2, ..., n, ...} v th¸c. VÓi khÊng gian ‡nh chu©n X, X∗ ng¨u. k.k l chu©n trong kh iºm y ¸n tªp S. Bn(x, r) = {y ∈ R BX (x, r) = {y ∈ X : kx − yk < r} , SX = {y ∈ X : kyk = 1} v Ëi vÓi BX (0, 1) ta vi¸t Ïn gi£n l BX . L(X, Y ) l k˛ hi»u khÊng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh b‡ ch°n t¯ X v o Y v B(X, X, Y ) l khÊng gian c¡c ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh b‡ ch°n t¯ X × X v o Y , trong ‚ X v Y l c¡c khÊng gian ‡nh chu©n. VÓi Pn, P trong L(X, Y ), ta vi¸t Pn −→ P hay P = p-lim Pn n¸u Pn hÎi tˆ iºm ¸n P . K˛ hi»u t˜Ïng t¸ ˜Òc dÚng cho ∗ ∗ ∗ ∗ Mn, M ∈ B(X, X, Y ). VÓi n‚n C ⊂ X, k˛ hi»u C = {c ∈ X : hc , ci ≥ 0, ∀c ∈ C} l p n‚n Ëi c¸c d˜Ïng cıa C. VÓi A ⊂ X, c¡c k˛ hi»u riA, intA, clA, bdA, coneA, coA v A(x) l¦n l˜Òt l ph¦n trong t˜Ïng Ëi, ph¦n trong, bao ‚ng, bi¶n, bao n‚n, bao lÁi cıa A v bao n‚n cıa ph¦n d‡ch chuyºn A iºm phˆ thuÎc v o t sao cho o(t )/t kh£ vi Fr²chet sao cho ¤o h m Fr²chet l Lipschitz ‡a ph˜Ïng. Trong ph¦n n y ta x²t X, Y l Ta n‚i h l x ∈ U, Ín ‡nh t¤i x0 h ˜Òc gÂi l kh£ vi ch°t t¤i lim Hiºn nhi¶n r¬ng n¸u h l K¸t qu£ sau ¥y ˜Òc ch˘ng minh mÎt c¡ch t˜Ïng t¸ nh˜ BÍ · 3 cıa [7]. M»nh · 1.1. Cho h v u, w ∈ X. N¸u (tn, rn) → (0 th¼ y Ta nhÓ l¤i c¡c kh¡i ni»m v· c¡c n‚n ti¸p xÛc v tªp ti¸p xÛc c§p hai sau ¥y. 5 ‡nh ngh¾a 1.2. Cho x0, u ∈ X v S ⊂ X. (a) N‚n contingent (hay Bouligand) cıa S t¤i x0 l + T (S, x0) = {v ∈ X | ∃tn → 0 , ∃vn → v, ∀n ∈ N, x0 + tnvn ∈ S}. (b) N‚n ti¸p xÛc trong (n‚n ti¸p xÛc trong Clarke, t˜Ïng ˘ng) cıa S t¤i x0 l + IT (S, x0) = {v ∈ X | ∀tn → 0 , ∀vn → v, ∀n ı lÓn, x0 + tnvn ∈ S} (ITC (S, x0) = {v ∈ X | ∀xn →S x0, ∀tn → 0+, ∀vn → v, ∀n ı lÓn, xn + tnvn ∈ S}). (c) Tªp contingent (tªp k·, t˜Ïng ˘ng) c§p hai cıa S t¤i (x0, u) l 2 + 1 2 T (S, x0, u) = {w ∈ X | ∃tn → 0 , ∃wn → w, ∀n ∈ N, x0 + tnu + t wn ∈ S} 2 n (d) N‚n ti¸p xÛc (n‚n k·, t˜Ïng ˘ng) c§p hai ti»m cªn cıa S t¤i (x0, u) l + + T 00 (S, x0, u) = {w ∈ X | ∃(tn, rn) → (0 , 0 ) : t n → 0, ∃wn → w, rn ∀n ∈ N, x0 + tnu + 1 2 tnrnwn ∀n ∈ N, x0 + tnu + 1 2 tnrnwn + + t ∈ S} (A (S, x0, u) = {w ∈ X | ∀(tn, rn) → (0 , 0 ) : n → 0, ∃wn → w, 00 rn (e) ∈ S}). Tªp ti¸p xÛc trong c§p hai cıa S t¤i (x0, u) l 2 + IT (S, x0, u) = {w ∈ X | ∀tn → 0 , ∀wn → w, ∀n ı lÓn, x0 1 2 + tnu + 2 t nwn ∈ S}. N‚n ti¸p xÛc trong c§p hai ti»m cªn cıa S t¤i (x0, u) l (f) IT C¡c n‚n T (S, x0), IT (S, x0) v ˜Òc bi¸t r„. C¡c n‚n A00 (S, x0, u) v T 00 (S, x0, u) ˜Òc Penot [25, 26] s˚ dˆng. ChÛng tÊi ‡nh ngh¾a n‚n IT 00 (S, x0, u) mÎt c¡ch t¸ nhi¶n. L˜u ˛ r¬ng n¸u x0 6 clS, th¼ t§t c£ c¡c tªp ti¸p xÛc tr¶n l rÈng. V¼ th¸, chÛng tÊi luÊn x²t c¡c tªp ti¸p xÛc ch¿ t¤i nh˙ng iºm thuÎc bao ‚ng cıa tªp ang x²t. ChÛng tÊi ˜a ra mÎt sË t½nh ch§t cÏ b£n cıa c¡c tªp ti¸p xÛc c§p mÎt v c§p hai tr¶n trong ba m»nh · sau ¥y. M»nh · 1.3. Cho S ⊂ X v x0, u ∈ X. Khi ‚, c¡c t½nh ch§t sau ˜Òc bi¸t r„ (i) (ii) 2 2 2 IT (S, x0, u) ⊂ A (S, x0, u) ⊂ T (S, x0, u) ⊂ clcone[cone(S − x0) − u]; 2 2 2 IT (S, x0, u) = IT (intS, x0, u) v n¸u u ∈ bd[cone(S −x0)], th¼ 0 6 IT (S, x0, u); (iii) n¸u u 6 T (S, x0), th¼ T 2(S, x0, u) = ∅. Gi£ s˚, th¶m n˙a, S l lÁi, intS 6= ∅ v u ∈ T (S, x0). Ta c‚ i·u sau ([11, 23, 29]): (iv) intcone(S − x0) = IT (intS, x0) = ITC (intS, x0) v do ‚ 0 6 intcone(S − x0) vÓi x0 6 intS; (v) n¸u A2(S, x0, u) 6= ∅, th¼ 6 2 2 2 2 IT (S, x0, u) = intA (S, x0, u), clIT (S, x0, u) = A (S, x0, u); (vi) n¸u u ∈ cone(S − x0), th¼ (a) IT 2(S, x0, u) = intcone[cone(S − x0) − u]; (b) A2(S, x0, u) = clcone[cone(S − x0) − u]. M»nh · 1.4. Cho S ⊂ X v x0, u ∈ X. (i) IT 00 (S, x0, u) ⊂ A00 (S, x0, u) ⊂ T 00 (S, x0, u) ⊂ clcone[cone(S − x0) − u]. (ii) IT 00 (S, x0, u) = IT 00 (intS, x0, u) v n¸u u ∈ bd[cone(S−x0)], th¼ 0 6∈IT 00 (S, x0, u). (iii) N¸u u 6∈T (S, x0), th¼ T 00 (S, x0, u) = ∅. (iv) A00 (S, x0, u) + ITC (S, x0) ⊂ IT 00 (S, x0, u), (v) N¸u S v do ‚, n¸u ITC (S, x0) 6= ∅ v A00 (S, x0, u) 6= ∅, th¼ IT 00 (S, x0, u) = intA00 (S, x0, u), clIT 00 (S, x0, u) = A00 (S, x0, u). l lÁi v x0 ∈ S, th¼ A00 (S, x0, u) + T (T (S, x0), u) ⊂ A00 (S, x0, u) ⊂ T (T (S, x0), u) v do ‚, n¸u A00 (S, x0, u) 6= ∅, th¼ A00 (S, x0, u) = T (T (S, x0), u). Ch˘ng minh. C¡c ph¦n (i)-(iii) ˜Òc suy ra t¯ c¡c ‡nh ngh¾a. VÓi ph¦n (v), xem ta x²t ph¦n (iv). Cho BÍ · 4.1 cıa [28]. GiÌ ¥y, + z := w + v. Cho (tn, rn) → (0 cho xn := x0 + tnu + 12 tnrnwn ∈ S. V¼ vn := zn − wn → v, ta c‚ z ∈ IT 00 (S, x0, u) v¼, vÓi n lÓn, x0 + tnu + 1 2 tnrnzn = xn + 1 2 tnrnvn ∈ S. M»nh · 1.5. Gi£ s˚ r¬ng X = Rm v x0 ∈ S ⊂ X. N¸u xn ∈ S \ {x0} hÎi tˆ ¸n x0, th¼ tÁn t¤i u ∈ T (S, x0) \ {0} c‚ chu©n b¬ng mÎt v mÎt d¢y con, k˛ hi»u l¤i b i xn, sao cho (i) (cÍ iºn) (xn − x0)/tn → u, trong ‚ tn = kxn − x0k; (ii) ([11]) ho°c z 00 T (S, x0, u)∩u⊥ \{0} v rn → 0 trong ‚ u⊥ l 7 8 Ch˜Ïng 2: ¤o h m suy rÎng kiºu x§p x¿ c§p mÎt v c§p hai ‡nh ngh¾a 2.1 ([1, 13]). X²t h : X → Y l ¡nh x¤. (i) Tªp Ah(x0) ⊂ L(X, Y ) ˜Òc gÂi l x§p x¿ c§p mÎt cıa h t¤i x0 n¸u, vÓi x trong mÎt l¥n cªn cıa x0, tÁn t¤i r → 0+ sao cho rkx − x0k−1 → 0 khi x → x0 v , h(x) − h(x0) ∈ Ah(x0)(x − x0) + rBY . (ii) C°p (Ah(x0), Bh(x0)), vÓi Ah(x0) ⊂ L(X, Y ) v Bh(x0) ⊂ B(X, X, Y ), ˜Òc gÂi l x§p x¿ c§p hai cıa h t¤i x0 n¸u Ah(x0) l x§p x¿ c§p mÎt cıa h t¤i x0, v vÓi x trong mÎt l¥n cªn cıa x0, tÁn t¤i r → 0+ sao cho rkx − x0k−1 → 0 khi x → x0 v 2 h(x) − h(x0) ∈ Ah(x0)(x − x0) + Bh(x0)(x − x0, x − x0) + r BY . Nhªn x²t 2.2. (i) N¸u h : X → Y c‚ ¤o h m Fr²chet c§p hai h00 (x0), th¼ (h0 (x0), 12 h00 (x0)) l x§p x¿ c§p hai cıa h t¤i x0. (ii) ([1, 13]) N¸u h : Rn → Rm l Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i x0, th¼ Jacobian Clarke [4] ∂C h(x0) l x§p x¿ c§p mÎt cıa h t¤i x0. N¸u, th¶m n˙a, h thuÎc lÓp C1,1 t¤i x0, th¼ (h0 (x0), 12 ∂C2 g(x0)) l x§p x¿ c§p hai cıa h t¤i x0, trong ‚ ∂C2 h(x0) l Hessian Clarke [8] cıa h t¤i x0. (iii) ([15]) N¸u h : Rn → Rm l li¶n tˆc v c‚ ¡nh x¤ t¸a Jacobian [9] ∂h(.) l n˙a li¶n tˆc tr¶n t¤i x0, th¼ co∂h(x0) l x§p x¿ c§p mÎt cıa h t¤i x0. N¸u h l kh£ vi li¶n tˆc Fr²chet trong mÎt l¥n cªn cıa x0 v c‚ ¡nh x¤ t¸a Hessian [9] ∂2h(.) l n˙a li¶n tˆc tr¶n t¤i x0, th¼ (h0 (x0), 12 co∂2h(x0)) l x§p x¿ c§p hai cıa h t¤i x0. Do ‚, c¡c x§p x¿ l c¡c ¤o h m suy rÎng r§t tÍng qu¡t. HÏn n˙a, mÈi ¡nh x¤ h ·u c‚ mÎt x§p x¿ t¦m th˜Ìng t¤i b§t c˘ iºm n o, l to n bÎ khÊng gian L(X, Y ). C¡c ¤o h m kiºu x§p x¿ ti»n lÒi khi dÚng hÏn so vÓi c¡c ¤o h m suy rÎng kh¡c l c¡c x§p x¿ c‚ thº tÁn t¤i khÊng t¦m th˜Ìng ngay c£ cho ¡nh x¤ khÊng li¶n tˆc. V½ dˆ cho h : R → R ˜Òc ‡nh ngh¾a b i h(x) = n¸u x > 0, n¸u x = 0, n¸u x < 0. Khi ‚ h l khÊng li¶n tˆc t¤i 0 v ta c‚ thº l§y Ah(0) = (α, +∞) vÓi b§t k˝ α > 0 v Bh(0) = {0}, ¡nh x¤ khÊng t¯ R v o R. Tuy nhi¶n, ta khÊng c‚ t½nh duy nh§t cho c¡c x§p x¿. °c bi»t, b§t k˝ tªp n o ch˘a mÎt x§p x¿ th¼ n‚ cÙng l mÎt x§p x¿. C¡c v½ dˆ d˜Ói ¥y ch˘ng t‰ r¬ng c¡c ¤o h m suy rÎng c§p mÎt tr¶n c‚ thº b¬ng nhau hay kh¡c nhau [15]. V½ dˆ 2.1. Cho h : R2 → R x¡c ‡nh b i h(x, y) = Khi ‚, h l Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i (0, 0) v 9 ∂h(0, 0) = Ah(0, 0) = {(0, β) : β ∈ {−1, 1}}, cÙng l t¸a Jacobian Fr²chet [9]. Tuy nhi¶n, ∂hC (0, 0) = {(α, β) : α, β ∈ [−1, 1]}. V½ dˆ 2.2. Cho h : R2 → R2 ˜Òc h ‡nh ngh¾a b i h(x, y) = (|x| − |y|, |y| − |x|). Khi ‚, v l Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i (0, 0) ∂h(0, 0) = l t¸a Jacobian nh˜ng khÊng l mÎt l t¸a Jacobian Fr²chet. HÏn n˙a, x§p x¿ c§p S cÙng l Ah(0, 0) = ∂h(0, 0) t¸a Jacobian Fr²chet. Ta cÙng c‚ ∂C h(0, 0) = coAh(0, 0). 1/3 V½ dˆ 2.3. Cho h : R2 → R2 nh˜ sau h(x, y) = (|x|1/2 sign(x), y + |x|). Khi ‚, h l li¶n tˆc nh˜ng khÊng Lipschitz ‡a ph˜Ïng t¤i (0, 0) v x§p x¿ c§p mÎt th¼ kh¡c t¸a Jacobian Fr²chet ∂F h(0, 0) = Hai v½ dˆ sau ¥y ch˘ng t‰ c¡c ¤o h m suy rÎng c§p hai tr¶n cÙng x£y ra t¼nh huËng t˜Ïng t¸ [15]. V½ dˆ 2.4. Cho h : R2 → R ‡nh ngh¾a b i h(x, y) = h∈C 1,1 t¤i (0, 0). Ta c‚ h0 (x, y) = (|x|, |y|) v 2 ∂C h(0, 0) =0 β 2 ∂ h(0, 0) = : α, β ∈ [−1, 1] , / Bh(0, 0) = 1 2 0 nh x¤ h : R2 → R cho b i h(x, y) = 23 |x|3/2 + 12 y2 thuÎc lÓp C1 khÊng thuÎc lÓp C1,1. Do ‚ ∂2 h khÊng tÁn t¤i v V½ dˆ 2.5. nh˜ng C ∂2h(0, 0) =0 1 Bh(0, 0) = ‡nh ngh¾a 2.3 ([15, 17]). Tªp A ⊂ L(X, Y ) (B ⊂ B(X, X, Y )) ˜Òc gÂi l compact iºm ti»m cªn (theo d¢y) (vi¸t tt p-compact) n¸u hai i·u ki»n sau ¥y th‰a: iºm; (i) mÈi d¢y b‡ ch°n theo chu©n (Mn) ⊂ A (⊂ B, t˜Ïng ˘ng) ·u c‚ d¢y con hÎi tˆ 10 (ii) n¸u (Mn) ⊂ A (⊂ B, t˜Ïng ˘ng) vÓi lim kMnk = ∞, th¼ (Mn/kMnk) c‚ d¢y con hÎi tˆ iºm ¸n mÎt giÓi h¤n kh¡c khÊng. N¸u hÎi tˆ iºm trong ‡nh ngh¾a tr¶n ˜Òc thay b i hÎi tˆ, th¼ ta n‚i r¬ng A (hay B) l compact ti»m cªn (theo d¢y). L˜u ˛ r¬ng n¸u Y = R, th¼ hÎi tˆ iºm trÚng vÓi hÎi tˆ sao-y¸u. Kh¡i ni»m compact theo d¢y n‚i tr¶n kh¡c kh¡i ni»m p-compact. Tuy nhi¶n, trong · t i n y chÛng tÊi ch¿ s˚ dˆng kh¡i ni»m p-compact theo d¢y v b‰ i thuªt ng˙ theo d¢y. L˜u ˛ r¬ng n¸u X v Y l h˙u h¤n chi·u, th¼ b§t k˝ tªp A hay B n‚i tr¶n l p-compact ti»m cªn. VÓi A ⊂ L(X, Y ) v B ⊂ B(X, X, Y ) ta dÚng c¡c k˛ hi»u: p-clA = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, P = p-lim Pn}, p-clB = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn) ⊂ B, M = p-lim Mn}, A∞ = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, + + ∃tn → 0 , P = lim tnPn}, p-A∞ = {P ∈ L(X, Y ) | ∃(Pn) ⊂ A, ∃tn → 0 , P = p-lim tnPn}, p-B∞ = {M ∈ B(X, X, Y ) | ∃(Mn) ⊂ B, ∃tn → 0+, M = p-lim tnMn}. 11 12 Ch˜Ïng 3: C¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai ChÛng ta h¢y nhÓ l¤i c¡c kh¡i ni»m v· nghi»m tËi ˜u cıa b i to¡n (P). K˛ hi»u G = g−1(−K) v H = h−1(0). Khi ‚, tªp ch§p nhªn ˜Òc cıa (P) l S = G ∩ H = {x ∈ X | g(x) ∈ −K, h(x) = 0}. iºm x0 ∈ S ˜Òc gÂi l nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng (nghi»m ‡a ph˜Ïng, t˜Ïng ˘ng) cıa (P) n¸u tÁn t¤i mÎt l¥n cªn U cıa x0 sao cho, ∀x ∈ U ∩ S, f(x) − f(x0) 6∈ −int C (f(x) − f(x0) 6∈(−C) \ C, t˜Ïng ˘ng). Tªp hÒp t§t c£ c¡c nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng (nghi»m ‡a ph˜Ïng, t˜Ïng ˘ng) cıa (P) ˜Òc k˛ hi»u b i LWE(f, S) (LE(f, S), t˜Ïng ˘ng). VÓi m ∈ N, x0 ∈ S ˜Òc gÂi l nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng c§p m, ˜Òc k˛ hi»u b i x0 ∈ LFE(m, f, S) n¸u tÁn t¤i γ > 0 v mÎt l¥n cªn U cıa x0 sao cho, ∀x ∈ U ∩ S \ {x0}, m (f(x) + C) ∩ BY (f(x0), γkx − x0k ) = ∅, hay, t˜Ïng ˜Ïng, . m d(f(x) − f(x0), −C) ≥ γkx − x0k L˜u ˛ r¬ng, vÓi p ≥ m, LFE(m, f, S) ⊂ LFE(p, f, S) ⊂ LE(f, S) ⊂ LWE(f, S). Do ‚, i·u ki»n c¦n cho nghi»m y¸u cÙng l i·u ki»n c¦n cho c¡c nghi»m c·n l¤i, v i·u ki»n ı cho nghi»m chc chn cÙng l i·u ki»n ı cho c¡c nghi»m c·n l¤i. º thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n c§p hai cho b i to¡n (P), ta dÚng kh¡i ni»m d˜Ói ch½nh quy metric sau ¥y. ‡nh ngh¾a 3.1 ([25]). Cho x0, u ∈ X: u 6= 0, T v h : X → Y . Ta n‚i r¬ng h l ⊂ Y d˜Ói ch½nh quy metric theo h˜Óng t¤i (x0, n¸u tÁn t¤i µ > 0, ρ > 0 sao cho, u) Ëi vÓi T vÓi mÂi t ∈ (0, ρ) v v ∈ BX (u, ρ), ta c‚ ) (DMSRu Ta n‚i r¬ng h l cho, vÓi mÂi x ∈ BX (x0, ρ), ta c‚ (MSR) L˜u ˛ r¬ng nhi·u kh¡i ni»m li¶n h» ¸n d˜Ói ch½nh quy metric ¢ ˜Òc nghi¶n c˘u v s˚ dˆng d˜Ói nhi·u thuªt ng˙ kh¡c nhau. N¸u h(x0) ∈ T , x 7→h(x) − T th¼ i·u ki»n (MSR) trÚng h¢y quan s¡t ‡nh ngh¾a trong [6]. V¼ th¸ chÛng tÊi s˚ dˆng thuªt ng˙ d˜Ói ch½nh quy. ChÛng ta r¬ng, vÓi b§t k˝ u = 0 6 , i·u ki»n (DMSRu) l h» qu£ cıa (MSR). Trong ph¦n sau, chÛng tÊi s³ dÚng k˛ hi»u ) khi u = 0 (nh˜ng khÊng n‚i d˜Ói ch½nh quy metric theo h˜Óng", v¼ 0 t¤i (x0, 0) ˜Òc vÓi i·u ki»n d˜Ói ch½nh quy metric cıa ¡nh x¤ a tr‡ (DMSR u khÊng ph£i l mÎt h˜Óng). Khi ‚, (DMSR 0) t˜Ïng ˜Ïng vÓi (MSR). HÏn n˙a, khi T l lÁi ‚ng, v h l kh£ vi li¶n tˆc t¤i x0, i·u ki»n (MSR) 13