Trêng thcs hång thñy
CÁC DẠNG ÔN THI VÀO THPT
-
Ph¬ng ph¸p:
Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö;
T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n cha cho §KX§)
Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®îc)
Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh:
+ Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia.
+ Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc
+ Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng.
+ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän
Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän thêng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; gi¶i ph¬ng tr×nh; bÊt ph¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,lín nhÊt.
Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi.
*TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x=?
* T×m gi¸ trÞ cña x z
* T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ tri lín nhÊt cña A
* T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A.f(x) =g(x)
* T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A=k; A k;A k
* T×m x ®Ó A A .
*T×m x ®Ó A A .
D¹ng 1
x
2
1
):
x 1 x x
x 1
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, Rót gän A
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=3-2 2
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x 1.
x
2
1
x
2
1
):
(
):
Rót gän A (
x 1 x x
x 1
x 1
x 1
x( x 1)
Bµi 1 Cho biÓu thøc
A(
( x )2 2
x 1 (x 2)( x 1) x 2
A
.
1
x ( x 1)
x ( x 1)
x
2
b. Khi x= 3-2 2 = ( 2 1)
A
52 2
52 2
1
2 1
( 2 1) 2
3 2 2 2
1 3
2 1
2
Bµi 2: Cho biÓu thøc
1
3
1
A
:
x 3 x 3
x 3
a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh, rót gän biÓu thøc A
1
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña xth× A >
3
c) T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
Bµi gi¶i:
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
1
Trêng thcs hång thñy
a) §KX§ x 0; x 9
x 3
1
3
1
A
:
x 3 x 3
x 3
x 3
.
x 3
x 3
x 3=
3
6
x 3
x 3
.
x 3
3
2
x 3
1
b) A >
3
A=
2
1
3 x
0
0
x 3 3
3 x 3
2
1
x 3 3
3 x 0 ( v× 3( ( x 3) 0)
x 9 x9
KÕt qu¶ hîp víi §KX§: 0 x 9 th× A > 1/3.
2
c) A
®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi x 3 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
x 3
2
x 0 x 0 lóc ®ã AMax= x 0.
min
3
1
1
3
Bµi 3: Cho biÓu thøc P
:
x 1 x 1
x 1
a) Nªu ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vµ rót gän biÓu thøc P
5
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P =
4
x 12 1
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M
.
x 1 P
x 3 3
Mµ
x 3
3
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x 0; x 1
3
1
3 x 1
x 1
P=
=
.
1
x 1 x 1
x 1 ( x 1) x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
x 1 x 1
x 2 5
b) P 5
4 x 2 5
4
x 1 4
x 13 x 168 (TM§K)
x 1 4 x 8 5 x 5.
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
2
Trêng thcs hång thñy
c) M x 12 . 1 x 12 . x 1 x 12 x 4 16 =
x 1 P
x 1 x 2
x 2
x 2
16
16
16
x 2
x 2
4 ta cã
x 2
2 16 2.4 8
x 2
x 2
x 2
16
M 8 4 4 M min 4
x 2
x 2
x 6
2
x 2 16
x 24
x 2 0
VËy Mmin= 4 x 4 .
x 24 0
x 2 0 x 4(TMDK)
2 x
x
3x 3 2 x 2
Bµi 4: Cho biÓu thøc: D
1
:
x
9
x
3
x
3
x
3
a) T×m §KX§ ,rót gän biÓu thøc
1
b) T×m x ®Ó D < 2
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D
D¹ng 2
a 2 a
a a
Bµi 1 :Cho biÓu thøc: P
1 :
1
a 2
a 1
a) T×m §KX§, rót gän P
b) T×m a z ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi gi¶i:
a) §KX§: a 0;a 1
a a 2
a a 1
a 1
P
1
1 a 1 : a 1
a 2
a 1
a 1
b) P a 1 1 2
a 1
a 1
2
®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn th×
nhËn gi¸ trÞ nguyªn d¬ng. a 1 thuéc íc da 1
¬ng cña 2.
a 1 1
a 0
a=1 (Lo¹i v× kh«ng tho¶ m·i ®iÒu kiÖn)
a
1
a 1 2
VËy P nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi a = 0
1
1
Bµi 2: Cho biÓu thøc B
2 x 3 1 2 x 3 1
a) T×m x ®Ó B cã nghÜa vµ rót gän B.
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
3
Trêng thcs hång thñy
b) T×m x nguyªn ®Ó B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x 3; x 2
B=
2
1
2
x 3 1
1
x 3 1
b) B nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi
x 3 1
x 3 1
2 x 3 1
2
1
2 x 2 x 2
1
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
x2
x 2 ¦(1)
x 2 1
x 1
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
x
2
1
x
3
VËy x= -1; x= -3 th× B nhËn gi¸ trÞ nguyªn
2
2 x 1
Bµi 3: Cho biÓu thøc: P x x 2x x
x x 1
x
x 1
a) T×m §KX§ , rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
c) T×m x ®Ó biÓu thøc Q 2 x nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
P
D¹ng 3
1
x 1
1
Bµi 1: Cho biÓu thøc: P
2
:
x x 1 x 1 x
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m x ®Ó P > 0
Bµi gi¶i
a) §KX§ x>0; x 1
2
1
x
1
1
x 1
1 x
1 x
P
:
.
2
x 1 x 1 x 1 x
x 1
x
x 1 x
b) P > 0 1 x 0 1 x 0 ( v× x 0)
x 1 x 1.
x
KÕt hîp víi §KX§: 0 x 1 th× P > 0
1 a 1
a 2
1
Bµi 2: Cho biÓu thøc: P
:
a a 2
a 1
a 1
a) T×m §KX§, rót gäp P
b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > 0
2
x 2
x 2 1 x
Bµi 3 : Cho biÓu thøc: P
.
2
x
1
x
2
x
1
a) T×m §KX§, rót gän P
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
4
Trêng thcs hång thñy
b) T×m x ®Ó P <
Bµi 4:
1
2
Cho biÓu thøc: P
a) T×m §KX§, rót gän P.
1
b) T×m x ®Ó P <
2
x
3
6 x 4
x 1
x 1
x 1
1 a a
1 a a
Bµi 5: Cho biÓu thøc: B
a
a
1 a
1 a
a)T×m §KX§, rót gän B
b)T×m a ®Ó B < 7- 4 3
a
1 1
2
Bµi 6: Cho biÓu thøc: K
:
a 1 a a a 1 a 1
a) Rót gän biÓu thøc K
b) T×m gi¸ trÞ cña K khi a = 3+2 2
c) T×m gi¸ trÞ cña a sao cho K < 0
D¹ng 4
x
1
1
Bµi 1 : Cho biÓu thøc: A
:
x 1 x x x 1
a) T×m §KX§ vµ rót gän A
b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho A < 0
c) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph¬ng tr×nh A. x m x cã nghiÖm.
Bµi gi¶i
a) §KX§: x > 0; x 1
x
x
1
1
1
: 1
A
:
x x 1 x 1
x 1 x x x 1 x 1
x
2
x 1
b) A < 0
A<0
1
x
.
x 1 x 1
1
x
x 1
0 x 1 0 (v×
x
x 0 ) x 1 kÕt hîp víi §KX§ 0 0 ta cã ph¬ng tr×nh t 2 t m 1 0 * ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm
th× ph¬ng tr×nh (*) ph¶i cã nghiÖm d¬ng.
1 4 m 1 0
§Ó ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm d¬ng th×: m 1 0
c) P.t: A. x m x
5
4m 5 0
m
4 m 1 VËy m>-1 vµ m 1 th× pt A x m x cã
m 1 0
m 1
nghiÖm.
1 1
Bµi 2: Cho biÓu thøc: P 1
.
x 1 x x
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ cña P khi x = 25
c) T×m x ®Ó P. 5 2 6.
2
x 1 x 2005 2 3.
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x 1
x
1 1
1
P 1
.
x 1 x x x 1
x x 1
1
1
2
b) Khi x= 25 P
16
25 1
c)
P. 5 2 6.
2 3 .
1
x 1
2
x 1
2
x 2005 2 3
P
1
x 1
2 .
2
2
x 1 x 2005 2 3
2 3 x 2005 2 3 x 2005 TM§K
VËy x = 2005 th× P. 5 2 6
2
x 1 x 2005 2 3
D¹ng 5
1
1
1
Bµi 1: Cho biÓu thøc A
.
1
x 1
x
x 1
a) T×m §KX§, vµ rót gän A.
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
6
Trêng thcs hång thñy
1
b)TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x= .
4
c)T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A A.
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x 1 .
1
1
1
A
.1
x 1
x
x 1
x 1
2 x
x 1
x 1
x
A
x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
=
x
.
2
x 1
1
A
b) Khi x = 4
2
2
4
1
1
1
1
2
4
2
c) A 0 0 A 1 0
1.
x 1
2
0
x 1 0 x 1 1
x 1
2
2
x 3
1 1
0
0
x 1
x 1
x 1
x 3 0
x 9 VËy x > 9 th× A A
x 1 0
x
2 x 1
x 1
x x 1
a) T×m §KX§, rót gän biÓu thøc A
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A A
Bµi gi¶i:
a) §KX§ x > 0; x 1 .
Bµi 2: Cho biÓu thøc: A
x
2 x 1
A
x 1
x x 1
x
x
2
2 x 1
x 1
x
x 1
2
x 1
x 1
x
b) Khi x=36 A 36 1 5
6
36
x 1
c) A A A 0
0
x 1 0 (v× x 0 )
x
x 1 x 1 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh 0 < x <1 th× A A
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
7
Trêng thcs hång thñy
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
8
Tµi liÖu «n thi tuyÓn sinh vµo líp 10
Gv: NguyÔn V¨n Lîi
9
Chuyªn ®Ò tam thøc bËc hai
A.lý thuyÕt
I. ¸p dông c«ng thøc nghiÖm vµ c«ng thøc nghiÖm thu gän ®Ó xÐt sè nghiªm
ph¬ng tr×nh bËc hai.
Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax 2 +bx+c=0(a 0)
b 2 4ac .NÕu b =2b ' th× ' = b ' 2 - ac
1. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .
Ta cã thÓ xÐt hai trêng hîp:
+Trêng hîp 1:
- NÕu a = 0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
+Trêng hîp 2 :
c
.
b
a 0
a 0
hoÆc
0
' 0
2.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi .
a 0
a 0
hoÆc
0
' 0
3.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.
a 0
a 0
hoÆc
0
' 0
4. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.
a 0
a 0
hoÆc
0
' 0
VÝ dô1:
Cho ph¬ng tr×nh 2x 2 -(4m+3)x+2m 2 -1=0.Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph¬ng tr×nh.
a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b.Ph¬ng tr×nh cã2nghiÖm ph©n biÖt
c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Gi¶i:
=(4m+3) 2 -4.2(2m 2 -1)=24m+17.
a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .
a 0
2 0
17
m
24m 17 0
0
24
b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi.
a 0
0
2 0
24m 17 0
17
m
24
c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.
a 0
0
17
2 0
m
24m 17 0
24
10
d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.
a 0
0
2 0
24m 17 0
m
17
24
VÝ du 2 :
Cho ph¬ng tr×nh mx 2 -2(m-1)x+(m-4)=0 .Víi m lµ tham sè,t×m gi¸ trÞ m ®Ó ph¬ng tr×nh.
a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
Gi¶i:
Ta cã :a 0 m 0 , ' = b '2 -ac= (m 1) 2 -m(m-4)=m 2 -2m+1-m 2 +4m=2m+1
a.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi .
+Trêng hîp 1:
c m 4
- NÕu a=0 m=0 ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=
=2.
b 2(m 1)
+Trêng hîp 2 :
a 0
0
m 0
2m 1 0
m 0
m 1
2
b.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi.
a 0
0
m 0
2m 10
m o
1
m 2
c.Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi.
a 0
0
m 0
2m 1 0
m 0
1
m 2
d. Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm khi.
a 0
0
m 0
2m 1 0
II . HÖ thøc vi-Ðt vµ øng dông.
1. HÖ thøc vi- Ðt
m 0
m 1
2
NÕu x 1 ,x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c=0(a 0) th× x 1 + x 2 =
1
.x 2 =
b
vµ
a
x
c
a
VÝ dô . TÝnh nhÊm nghiªm cña ph¬ng tr×nh x 2 -7x+12=0
Gi¶i.
11
Ta cã b 2 4ac =(-7) 2 -4.12=49-48=1>0
Theo ®Þnh lý Vi-Ðt x 1 + x 2 =
b
c
=7, x 1 .x 2 = =12 x 1 =3; x 2 =4
a
a
2.¸p dông ®Ó tÝnh nhÊm nghiÖm .
Cho ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c=0(a 0)
-NÕu a+b+c=0 th× x 1 =1vµ x 2 =
VÝ dô :
c
a
Gi¶i ph¬ng tr×nh 3x 2 -7x+4=0
Gi¶i. Ta cã a+b+c=3+(-7)+4=0
x 1 =1vµ x 2 =
c 4
=
a 3
-NÕu a-b+c=0 th× x 1 =-1vµ x 2 =
VÝ dô :
c
a
Gi¶i ph¬ng tr×nh 7x 2 -5x-12=0
Gi¶i.
Ta cã a-b+c=7-(-5)+(-12)=0
x 1 =-1vµ x 2 =
c 12
=
a
7
3.¸p dông ®Ó x¸c ®Þnh dÊu c¸c nghiÖm
Cho ph¬ng tr×nh ax 2 +bx+c=0(a 0)
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
trái dấu
cùng dấu,
cùng dương,
cùng âm
x1
x2
m
+
+
S x1 x2
P x1 x2
S>0
S<0
P<0
P>0
P>0
P>0
0
0
0
0
Điều kiện chung
0 ; P < 0.
0 ;P>0
0 ;P>0;S>0
0 ; P > 0 ; S < 0.
VÝ dô :
Cho ph¬ng tr×nh x 2 +(2m+2)x+m 2 -4=0
Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
Cã hai nghiÖm cïng dÊu
Cã hai nghiÖm d¬ng
Cã hai nghiÖm ©m
Gi¶i :
= b 2 - 4ac = (2m+2) 2 - 4(m 2 -4) = 4m 2 + 8m + 4 - 4m 2 -16 = 8m -12
* Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c
x 1 .x 2 = = m 2 - 4 = (m+1)(m-1)<0
a
-Trêng hîp 1. -1< m <1
-Trêng hîp 2. m <-1 vµ 1 < m
*Cã hai nghiÖm cïng dÊu
12
m
8m12 0
2
x .x c m 40 m2;m 2
a
3
'
0 ( 0)
x1 .x 2 0
1
*Cã hai nghiÖm d¬ng
0( ' 0)
x1 x 2 0;x1 .x 2 0
2
2
m>2
8m 12 0
x x b ( 2m 2)0;x .x c m 40
a
a
1
2
1
2
2
m 32
m1;m2;m 2
8m 12 b 0
c
x x a ( 2m 2)0;x .x a m 40
m>2
*Cã hai nghiÖm ©m khi
0( ' 0)
x1 x 2 0;x1 .x 2 0
m>2
1
2
1
2
2
m 32
m 1;m2;m 2
4.¸p dông ®Ó x¸c ®Þnh hai sè biÕt tæng S vµ P cña chñng
-NÕu hai sè x 1 ,x 2 sao cho x 1 +x 2 =S, x 1 .x 2 =P th× x 1 ,x 2 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh
x 2 -Sx+P=0
VÝ dô:
T×m hai sè, biÕt tæng cña chñng lµ 15 vµ tÝch cña chñng lµ 54.
Gi¶i :
NÕu hai sè ph¶i t×m lµ x 1 ,x 2 sao cho x 1 +x 2 =S =15, x 1 .x 2 =P=54 th× x 1 ,x 2 lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh
x 2 -15x+54=0
=(-15) 2 -4.54=225-216=9; =3
15 3
15 3
x1 =
9; x2 =
6
2
2
VËy hai sè cÇn t×m lµ 9 vµ 6.
b.Bµi tËp
Bµi tËp 1.
Cho ph¬ng tr×nh (m-4)x 2 -2mx+m-2=0,trong ®ã m lµ tham sè
a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=3.
b.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= 2 .
c.T×m m ®Ó
-ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
-ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Gi¶i :
a.víi m=3 ta cã -x 2 -6x+1=0
' =(-3) 2 +1=10; ' = 10
-ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x 1 =-3- 10 ; x 2 =-3+ 10
13
b. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= 2 ,thay vµo ph¬ng tr×nh ta cã
(m-4)2-2 2 m+m-2=0 m=10(3+2 2 )
c.-Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp khi
a 0
' 0
m 4
' m2 (m 4)(m 2) 0
m 4
4
m 3
4
3
m
1
b
=
a m4 4 4 2
3
-Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
Ta cã x 1 = x 2 =
a 0
'
0
'
m 4
m 4
3
4
4
C«ng thøc tÝnh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x 1 = m m 3 ; x 2 = m m 3
Bµi tËp 2.
m4
m4
Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh
a.2x 2 - (2-k)x=k(k-2).
b.(2k-1) 2 x 2 -4kx+1=0.
Gi¶i :
a.Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt 2x 2 -(2-k)x-k(k-2)=0
=(2-k) 2 +8k(k+2)=4-4k+k 2 +8k 2 +16k=9k 2 +12k+4=(3k+2) 2 0 víi mäi k.
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm víi mäi k .
1
1
b.- NÕu 2k-1=0 hay k= th× -4kx+1=-2x+1=0,ta cã nghiÖm x= .
2
2
1
- NÕu 2k-1 0 hay k th× ta t×m ®îc ' =(-2k) 2 -(2k-1) 2 =4k 2 -4k 2 +4k-1=4k-1 0
2
1
Tøc lµ k ,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
4
1
1
VËy víi k > vµ k ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
4
2
2k 4k 1
2k 4k 1
x1 =
;x 2 =
2
(2k 1)
(2k 1) 2
1
'
2k
1
b
2 2
Víi k = ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm kÐp x 1 = x 2 =- =
2
1
4
a (2k 1) ( 1) 2
2
1
Víi k < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
4
14
Bµi tËp 3.
Cho ph¬ng tr×nh x+7x-5=0.Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh .
a.Tæng vµ tÝch cña hai nghiÖm
b.Tæng c¸c nghÞch ®¶o cña hai nghiÖm
c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm
d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm
e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm
Gi¶i :
Ta thÊy r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm v× c¸c hÖ sè avµ c kh¸c dÊu.
a.Tæng cña hai nghiÖm lµ S=x 1 +x 2 =-7 vµ tÝch cña hai nghiÖm lµ P= x 1 .x 2 =-5.
1 1 x 2 x1 7 7
b. Tæng c¸c nghÞch ®¶o cña hai nghiÖm lµ
x1 x 2
x1.x 2
5 5
c.Tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai nghiÖm
x12 x 2 2 (x1 x 2 ) 2 2x1x 2 (7) 2 2(5) 49 10 59
d.B×nh ph¬ng cña hiÖu hai nghiÖm lµ (x1 x 2 ) 2 x12 x 2 2 2x1.x 2 59+10=69.
e.Tæng c¸c lËp ph¬ng cña hai nghiÖm lµ
x13 x 23 (x1 x 2 )3 3x1.x 2 (x1 x 2 ) (7)3 3( 5)(7) 343 105 448.
Bµi tËp 4.
Cho ph¬ng tr×nh 2x 2 +(2p-1)x+p-1=0
a.T×m p ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
b.T×m p ®Ó c¶ hai nghiÖm ®Òu d¬ng.
c.T×m mét hÖ thøc kh«ng phô thuéc vµo p.
Gi¶i :
a.Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi =(2p-1) 2 - 4.2(p-1)=(2p-3) 2 > 0
p
b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®Òu d¬ng ta gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh
3
2
x x ab 0 122p 0 p 12
x .x c 0 p 10 p1
a
2
1
1
2
2
HÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ,kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña p ®Ó c¶ hai nghiÖm ®Òu d¬ng.
1 2p
p 1
1 2p 2p 2
1
c. Do S= x1 x 2
vµ P= x1.x 2 =
nªn ta cã :S+2P=
+
2
2
2
2
2
1
VËy hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo p lµ x1 x 2 2x1.x 2
2
Bµi tËp 5.
Cho ph¬ng tr×nh x 2 - mx + m-1=0 víi m lµ tham sè .
a.Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b.Gäi x 1 ,x 2 lµ c¸c nghiÖm .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A= x12 x 2 2 .
Gi¶i .
a.Ta cã m 2 4(m 1) m 2 4m 4 (m 2) 2 0m ,vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã
nghiÖm víi mäi m .
b. A= x12 x 2 2 = x12 x 2 2 +2x 1 x 2 -2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = m 2 -2(m-1)= m 2 -2m+2=
m 2 -2m+1+1=(m-1) 2 +1 1 m A nhá nhÊt b»ng 1 khi (m-1) 2 =0 m=1
Bµi tËp 6.
Cho ph¬ng tr×nh x 2 - 2x + m =0 víi m lµ tham sè .
15
a.T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 ,x 2 ®Òu lµ sè d¬ng.
b. T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 ,x 2 tháa m·n :
x1 x 2
10
x 2 x1
3
Gi¶i:
a.§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng lµ :
' 0
S 0,P 0
1 m 0
2 0,m 0
m 1
m 0
0 m 1
b.§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ' =1-m > 0 m<1(1)
Khi ®ã S=x 1 +x 2 =2 vµ P= x 1 .x 2 = m nªn :
x1 x 2
10
x12 x 2 2 10
(x1 x 2 ) 2 2x1x 2 10
x 2 x1
3
x1.x 2
3
x1 x 2
3
S2 2P 10
4 2m 10
§iÒu kiÖn m 0 (2)
P
3
m
3
Ta cã 3(4-2m)=-10m 4m=-12 m=-3 tháa m·n (1),(2).
Bµi tËp 7.
Cho ph¬ng tr×nh x 2 + 2(m+1)x + m 2 =0 ,víi m lµ tham sè .
a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=2 .
b.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
c.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ trong ®ã cã mét
nghiÖm b»ng (-2).
Gi¶i:
a.Khi m=2 thay vµo ph¬ng tr×nh ,ta cã x 2 + 6x + 4=0
' =3 2 -4=5, = 5
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
x 1 = -3+ 5 , x 2 =-3- 5 .
1
b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi ' =(m+1) 2 - m 2 =2m+1>0 m >
2
c.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ trong ®ã cã mét nghiÖm b»ng (-2).
1
- Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi ' >0 m >
2
- Theo hÖ thøc Vi- Ðt ta cã
x x ab
x .x c
a
1
1
2
2
x1 x 2 2( m 1)
x1 .x 2 m 2
(1)
- Theo gi¸ thiÕt , ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm b»ng (-2) , gi¶ sö x 1 =-2 .Tõ hÖ ph¬ng tr×nh
(1) ta cã
16
x 2(m 1) 2
(2)
m
x 2
2
2
2
-Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (2), rót gän hai vÕ ta cã m 2 +4m=0 m(m+4)=0
m 0
m 4
1
.
2
VËy m=0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ trong ®ã cã mét nghiÖm b»ng
(-2).
Víi m=-4 (lo¹i),m=0 (tháa m·n) ®iÒu kiÖn m >
Bµi tËp 8.
Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x 2 + 5x + m 2 -1=0 ,víi m lµ tham sè .
a.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
b.T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ trong hai nghiÖm ®ã cã
mét nghiÖm b»ng 4.
Gi¶i:
a.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu khi
a 0
m 1 0
x .x c 0 m 1
a
m 1 0
2
1
2
m 1
m 1 0
m 1
m 1
b.Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ trong hai nghiÖm ®ã cã mét nghiÖm b»ng 4.
-¸p dông hÖ thøc Vi-Ðt ta cã
x x ab
x .x c
a
1
1
2
x x m51
(I)
m 1
x .x m 1
1
2
2
2
1
2
Thay gi¸ trÞ x 1 =4 vµo (I) ta cã m 2 +16m+35=0 m 1 =-8+ 29 ;m 2 =-8- 29
C¸c gi¸ trÞ m 1 , m 2 ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn m<1 vµ m -1
VËy m=-8+ 29 ;m=-8- 29 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu vµ trong hai nghiÖm ®ã
cã mét nghiÖm b»ng 4.
Bµi tËp 9.
Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x 2 - 2(m-10x + m-3 =0 ,víi m lµ tham sè .
a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m kh¸c (1).
b.T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu
c. T×m gi¸ trÞ m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu vµ trong hai nghiÖm ®ã cã nghiÖm
nµy gÊp ®«i nghiÖm kia .
Gi¶i :
a.Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt khi
a 0
' 0
( m 1) ( m 1)( m 3) 0
m 1 0
2
m 1
40
VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m -1.
17
b.-Theo c©u a ,ta ®· cã >0 víi mäi gi¸ trÞ m -1
-Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi
c
m3
x1.x 2 0
0
a
m 1
m 30
m 10
m 30
m 10
m 3
m 1
m3
m1
m 3
m 1
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi m>3 hoÆc m<-1
c.Theo c©u a ,b ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu khi >0 vµ x1.x 2
hoÆc m<-1.
MÆt kh¸c theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã :
x x ab
x .x c
a
1
1
2
2
c
0 ta cã m>3
a
1)
x x 2(m
m 1
x x m 3 (I)
m 1
1
2
1 2
Víi gi¶ thiÕt cho x 1 =2x 2 ,thay vµo (I) ta cã
3x 2(mm11)
2 x m 3
m 1
1
2
1
2
2(m 1)
m3
3(m 1) 2(m 1)
Rót ra ta ®îc : m 2 - 2m- 35 = 0 m 1 =-5 ;m 2 =7 .Víi gi¸ trÞ m 1 ;m 2 ®Òu tháa m·n ®iÒu
kiÖn m >3 vµ m <-1.
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu vµ nghiÖm nµy gÊp ®«i nghiÖm kia khi m=-5
hoÆc m=7.
Bµi tËp 10.
Cho ph¬ng tr×nh m(x 2 -4x+3)+2(x-1)=0
1
a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=- .
2
b. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m .
c.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm nguyªn.
Gi¶i:
1
a.Víi m=- .Ta cã x 2 -8x+7=0
2
c
Cã a+b+c = 1+(-8)+7 = 0 x 1 =1;x 2 = =7.
a
2
b.Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : mx -2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Víi m=0 ,(1) 2x-2=0 x=1.
+ Víi m 0 : ' 4m 2 4m 1 3m 2 2m m 2 2m 1 (m 1) 2 0 m .
VËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m.
c.Ta cã m(x 2 -4x+3)+2(x-1)= (x-1) m(x 3) 2 0
18
XÐt ph¬ng tr×nh m(x-3)+2 = 0
3m 2
2
=3- .
m
m
§Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn th× 2Mm hay m= 1;m= 2
§Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm th× m 0 khi mx-3m+2=0 x=
Bµi tËp 11.
Cho ph¬ng tr×nh x 2 - (m+2)x+2m = 0 (1)
a.Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=-1
b.T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 1 ,x 2 tháa m·n (x 1 +x 2 ) 2 - x 1 .x 2 5.
Gi¶i:
a.Víi m=-1 .Ta cã x 2 - x-2 = 0 Cã a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0 x 1 =-1,x 2 =2
b. Ta cã: =(m+2) 2 -4.2m=m 2 + 4m + 4- 8m = m 2 - 4m + 4 = ( m- 2) 2 0 m . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm m .
Ta cã (x 1 +x 2 ) 2 - x 1 .x 2 =m 2 +2m+4 5 m 2 +2m+ 1+3 5 m 2 +2m+ 1 5-3
(m+1) 2 2 - 2 m+1 2 -1- 2 m 2 -1
Bµi tËp 12.
Cho ph¬ng tr×nh x 2 - px + p-1 = 0
a.Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña p .
b.TÝnh theo p gi¸ trÞ biÓu thøc M=x 1 2 +x 2 2 - 6x 1 .x 2 .
c.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M.
Gi¶i:
a.Ta cã p 2 4p 4 (p 2) 2 0p .Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi
mäi gi¸ trÞ cña p .
b.Ta cã M=x 1 2 +x 2 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 - 6x 1 .x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -8x 1 .x 2
= p 2 - 8(p-1) = p 2 - 8p + 8 = p 2 - 8p + 16 - 8 = (p-4) 2 - 8.
c.M=(p-4) 2 - 8 -8,vËy M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt M=-8 khi (p-4) 2 =0 p-4=0 p=4.
Bµi tËp 13.
Chøng minh r»ng nÕu c¸c hÖ sè cña hai ph¬ng tr×nh bËc hai x 2 +p 1 x+q 1 =0 vµ
x 2 +p 2 x+ q 2 =0 ,liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc p 1 p 2 =2(q 1 +q 2 ) th× Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh trªn cã nghÞªm.
Gi¶i
Gäi ph¬ng tr×nh x 2 +p 1 x+q 1 =0 (1) vµ x 2 +p 2 x+ q 2 =0 (2)
Ta cã 1 =p 1 2 -4 q 1 ; 2 = p 2 2 -4 q 2 ;
1 + 2 = p 1 2 -4 q 1 + p 2 2 -4 q 2 = p 1 2 + p 2 2 - 4(q 1 + q 2 ).
V× 2(q 1 +q 2 )= p 1 p 2 4(q 1 + q 2 ) = 2p 1 p 2 .
2
Do ®ã 1 + 2 = p 1 2 + p 2 2 - 4(q 1 + q 2 )= p 1 2 + p 2 2 -2p 1 p 2 = p1 p 2 0
§iÒu nµy chøng tá Ýt nhÊt mét trong hai biÖt thøc 1 hoÆc 2 ph¶i >0 .VËy Ýt nhÊt mét
trong hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bµi tËp 14.
Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 cã nghiÖm nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn
sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
b) 5a + 3b + 2c = 0
Gi¶i:
Ta cã b 2 4ac .
a) a( a + 2b + 4c ) = a 2 +2ab+4ac < 0 a 2 +b 2 +2ab < b 2 -4ac b 2 -4ac > ( a+b) 2 0
19
0,ph¬ng tr×nh cã nghiÖm .
b) 5a + 3b + 2c = 0 10a 2 +6ab+4ac=0 (3a+b) 2 + a 2 = b 2 -4ac 0 0,ph¬ng
tr×nh cã nghiÖm .
Bµi tËp 15.
Chøng minh r»ng nÕu hai ph¬ng tr×nh bËc hai x 2 +p 1 x+q 1 =0 vµ x 2 +p 2 x+ q 2 =0 cã
nghiÖm chung th× : (q 1 - q 2 ) 2 +(p 1 -p 2 )(q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0.
Giai:
Hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm chung
x 2 p1x q1 0
x 2 p2 x q2 0
§Æt y=x 2 ,ta cã
cã nghiÖm
y p1x q1 0
y p2 x q 2 0
-NÕu p 1 p 2 ,gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ta cã x=
q p p1q 2
p 2 p1
vµ y= 1 2
.Do y=x 2 suy ra
p1 p 2
p 2 p1
q1p 2 p1q 2 p 2 p1 2
=(
) ,khai triÓn biÕn ®æi ta cã :(q 1 -q 2 ) 2 +( q 1 -q 2 )( q 2 p 1 -q 1 p 2 )=0.
p 2 p1
p1 p 2
p1x y q1
HÖ nµy cã nghiÖm ,suy ra q 1 =q 2 .Do ®ã ®¼ng thøc
p1x y q 2
cÇn chøng minh cã d¹ng 0 = 0, hiÕn nhiªn ®óng.
-NÕu p 1 =p 2 ta cã hÖ
20
- Xem thêm -
.DOC 
48 
329 
124 
