Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần 1:
§¹i sè
Chuyªn ®Ò 1: C¨n Thøc rót gän biÓu thøc, chøng minh biÓu thøc
A. KiÕn thøc cÇn nhí:
- C¸ch ®Æt §KX§ cña mét biÓu thøc
- C¸ch quy ®ång khö mÉu hai hay nhiÒu ph©n thøc
B. Bµi tËp:
Rót gän c¸c c¨n thøc sau:
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch biÕn ®æi, rót gän thÝch hîp:
25 16 196
81 49 9
a,
b, 3
1 14 34
.2 .2
16 25 81
c.
640. 34,3
d, 21,6 810. 112 5 2
567
Bµi 2. Ph©n tÝch c¸c biÓu thøc sau thµnh c¸c luü thõa bËc hai:
a, 8+2 15 ; b, 10-2 21 ;
c, 12- 140
d, 5 + 24 ; e, 14+6 5 ;
g, 8- 28
Bµi 3. Ph©n tÝch thµnh thõa sè c¸c biÓu thøc sau:
a, 1 + 3 5 15
b, 10 14 15 21
c, 35 15 14 6 d, 3 + 18 3 8
e, xy +y x x 1 g, 3+ x +9 -x
Bµi 4. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a, ( 8 3 2 10 )( 2 3 0,4 )
b, ( 0,2 (10) 2 .3 + 2 ( 3 5 ) 2
c, (
e, 2 ( 2 3) 2(3) 5 (1)
2
h, (
d, ( 15 50 5 200 3 450 ) : 10
28 2 14 7 ). 7 + 7 8
14 7
1 2
2
15 5
1 3
):
4
g, (
1
Bµi 5. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau: a,
b, ( 1+
d,
a a
a 1
)(1
a a
a 1
a b b a
ab
) 1 a (a > 0 vµ a 1);c, (
ab
a 2b4
. 2
a
b2
a 2ab b 2
82
216
): 6
3
5 2 6 8 2 15
i,
7 5
2 3 6
7 2 10
:
1
a b
1 a a
1 a
ab
a )(
( a, b > 0 vµ a b )
1 a 2
) =1 (a > 0 vµ a 1)
1 a
(a+b>0, b 0)
Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
a,
9a 9 12a 4a 2
c, 1 10a 25a 2 4a
víi a = -9
;
b, 1 +
víi a= 2
;
d, 4x-
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
3m
m 2 4m 4
m2
9x 2 6x 1
víi m<2
víi x=- 3
-3-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
e, 6x2 -x 6 +1 víi x =
2
3
3
2
Bài 7:Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
A
C
x 2 4x 4
2x 4
x y
2 x 2 y
5x
1
x 1
2
B 1
2
: 2
1 2x 4x 1 1 2x 4x 4x 1
x y
2 x 2 y
2y
yx
x
1 1
2
E
x 1 x x : x 1 x 1
1
1 1
1
1
D
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
F
a x2
a x2
2 a
2 a
x
x
Gîi ý:
Khi lµm c¸c bµi to¸n nµy cÇn:
- §Æt §KX§?
- Quy ®ång khö mÉu, råi lµm gän kÕt qu¶ thu ®-îc
1
2 khix 2
A 1
khix 2
2
B
2
1 2x
C
2 y
x y
D
1
x
E
x 1
x
Mét sè lo¹i to¸n th-êng kÌm theo bµi to¸n rót gän
I.TÝnh to¸n mét biÓu thøc ®¹i sè
Ph-¬ng ph¸p:
§Ó tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P(x), biÕt x=a, ta cÇn:
+Rót gän biÓu thøc P(x).
+ Thay x=a vµo biÓu thøc võa rót gän
*VÝ
dô:
x x 2 6x 9
2 x 2 3x
1
1
B
a2 2
a2 2
x
3
5
x2
C
2
: 2
x 2 x 2x x 4
x
A
1
x
x 2 x 1
2x 1
: 2
D
3 .
x 1 x 1
x 2x 1
x 1
E
x 1
x 2 6x 9
x2 9
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x 18 .
TÝnh gi¸ trÞ cña B biÕt(a-6)(a-3)= 0
TÝnh gi¸ trÞ cña C biÕt 2x2+3x =0
TÝnh gi¸ trÞ cña D biÕt x=
2005
2007
TÝnh E biÕt x 16
-4-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F
2a x·2 4
TÝnh F biÕt x=
x x 4
2
1
a.
a
§¸p ¸n:
1
x
A
khi x 3
3
khi x 3
x(2 x 3)
x 1
x 1
D
;B
4
& B=-4/5
a2
C
( x 2)
2
&C
5x
5
x 1
khi x -3
x 3
1- x
khi x < -3
x -3
E
II.T×m gi¸ trÞ cña biÕn (Èn) khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
Ph-¬ng ph¸p:
§Ó t×m gi¸ trÞ cña x khi biÕt gi¸ trÞ cña P(x) =a , ta cÇn :
+ Rót gän biÓu thøc P(x)
+ Gi¶i ph-¬ng tr×nh P(x) =a.
VÝ dô:
a) T×m a ®Ó A>0
b) TÝnh gi¸ trÞ cña a ®Ó A=0
a
1 a 1
a 1
.
A
a 1
2 2 a a 1
x 1
1
8 x 3 x 2 T×m x khi B=6/5
B
3 x 1 3 x 1 9 x 1 : 1 3 x 1
b)T×m x khi C >1.
a) TÝnh C biÕt x= 4 2 3
x 1
2 x
:
C 1
x 1 x 1 x x x x 1
b)T×m x ®Ó D=-3
x
2 a) TÝnh D khi x= 4 2 3
x 1 x 1 1
D
2
:
x 1 x 1 x 1 1 x x 1
b) TÝnh x khi E >5
1
1
a) TÝnh E khi x= 12 140
E= x 3
: x 1
x 1
x 1
2
F
15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 2 x 3 1 x
x 3
2
b)TÝnh x ®Ó F=1/2
a)Rót gän G
2 x 3 x 1 4 2 x 3
G
2
x 1 x 3
a)Rót gän F
b)T×m x ®Ó G >1
c)TÝnh G khi x 3 2 2
§¸p ¸n:
A
1 a
; a 1 ;a=1
a
B
x x
1
; x 4; x
4
3 x 1
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
C
x x 1
63 3
;C
; x 1 or x < -2
x 1
3
-5-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D
2 x
;
x 1
E
7 x 9 5x
x 2 1
; x0 ;F
x
2
x 2 x 3
2x 3
2 2 1
; x 2or x < -1;G =
...
x 1
2 2 1
III. T×m gi¸ trÞ cña biÕn x biÕt P(x) tháa m·n ®iÒu kiÖn nµo ®ã:
G
Ph-¬ng ph¸p:
Tr-íc hÕt h·y rót gän gi¸ trÞ cña biÓu thøc, sau ®ã c¨n cø vµo ®iÒu kiÖn nªu ra cña bµi to¸n
mµ lËp luËn t×m ra lêi gi¶i, Ch¼ng h¹n:
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc lµ nguyªn?
Ta cÇn ®-a biÓu thøc rót gän vÒ d¹ng: R(x)= f(x)+
a
sau ®ã lËp luËn:
g ( x)
R( x) Z a g ( x) hay g(x) lµ -íc cña a (a lµ h»ng sè)
1) A
VÝ dô:
x 2 4 x 2 x 3
x2 6 x 9
x2
5
1
2
2) B
x3 x x6 2 x
a a 1 a a 1 a 2
3) C
a a a a : a2
b)TÝnh xZ ®Ó AZ?
b)Rót gän C
c) TÝnh aZ ®Ó C Z?
4) D
1
x 1 x
5)E= x 3
1
x 1 x
Rót gän B, TÝnh xZ ®Ó BZ?
a)T×m a ®Ó biÓu thøc C kh«ng x¸c ®Þnh
a)Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña D khi x=5
b)T×m gi¸ trÞ nguyªn d-¬ng cña x ®Ó DZ ?
x3 x
x 1
TÝnh xZ ®Ó E Z?
1
1 x2
: x 1
:
x 1
x 1
x
§¸p ¸n: A 3
;C
a) Rót gän A
4
x 3
;B
x4
2
1
x2
x2
2a 4
8
2
;D
a2
a2
IV. Mét sè thÓ lo¹i kh¸c
Bµi 1. Chøng minh r»ng:
2
2
x 1 1 ; E
x2
4
1
x2
x2
a) 1 2005 . 2006 2 2005 2004
b) 3 5 2 7 3 5 2 7 2
a 2 ab
b 1 b a 1
2a 2
. 1
3
2
2
3
2
2
3
a
ab
b ab a b a
a
a bb
c)
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
-6-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x2
Bµi 2. Cho B= 1 :
x x 1
x 1
x x 1
x 1
x 1
a) Rót gän B
b)CMR : B>3 víi mäi x>0 ;x 1.
Bµi 3. Cho C=
2 a 3 b
ab 2 a 3 b 6
6 ab
ab 2 a 3 b 6
a) Rót gän C
b) CMR nÕu C=
b 81
a
th× 3 .
b 81
b
bx
b bx x b x
.
Bµi 4. Cho D
b x
bx b b x x
2
a) Rót gän D
b) So s¸nh D víi
D.
x 4x 1 2x
2 x
1 :
1
1 4x 2 x 1
1 4x
Bµi 5. Cho E
b) T×m x ®Ó E E 2 .
a) Rót gän E.
1
4
c) T×m x ®Ó E
Bµi 6. Cho F
a
ab b
b
ab b
ab
ab
a) TÝnh F khi a= 4 2 3 ; b 4 2 3
a a 1
th× F cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.
b b5
1
1
1
1
1
Bµi 7. Cho biÓu thøc: A1 = (
):(
)+
1 x 1 x
1 x 1 x
1 x
b) CMR nÕu
a) Rót gän A .
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x=7+4 3 .
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ?
1
1
1
( x 1) 2 4
Bµi 8. Cho biÓu thøc: A2 =
(2x 1) 2 ( x 2) 2
a) T×m x ®Ó A x¸c ®Þnh.
b) Rót gän A .
2
c) T×m x khi A =5.
2
2
x 1 x 1
2
x
1
Bµi 9. Cho biÓu thøc: A3 = (
):( 2
)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
a) Rót gän A3
Bµi 10. Cho biÓu : A4 = (
b) T×m gi¸ trÞ cña A khi x= 3 8
3
a a 1
a a
a a 1
a a
):
c) T×m x khi A3 =
5
a2
a2
a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A kh«ng x¸c ®Þnh.
b) Rót gän A .
c) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ tù nguyªn ?
4
4
4
x
Bµi 11. Cho biÓu thøc: B1 =
x 1
2x x
x x
a) Rót gän B
b) TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x=3+ 8
c) T×m x ®Ó B > 0 ? B < 0? B =0
1
1
1
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
1
1
-7-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bµi 12. Cho biÓu thøc: B2 =
a 3
2 a 6
a) Rót gän B
2 a 6
b) T×m a ®Ó B < 1? B > 1?
2
2
2
Bµi 13. Cho biÓu thøc: B3= ( 1+
a) Rót gän B
3 a
x
1
2 x
):(
)
x 1
x 1 x x x x 1
b) T×m x ®Ó B3 > 3?
3
x
Bµi 14. Cho biÓu thøc: B4 = (
x 1
1
1
):(
x x
x 1
c) T×m x ®Ó B3 =7.
2
)
x 1
a) Rót gän B
b) TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x=3+2
c) Gi¶i ph-¬ng tr×nh B = 5
4
4
2
4
a
Bµi 15. Cho biÓu thøc: B5 = (
a b
a
a
a a
):(
)
ba
a b a b 2 ab
a) T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó B x¸c ®Þnh. b) Rót gän B .
c) BiÕt r»ng khi a/b = 1/4 th× B5 = 1, t×m gi¸ trÞ cña b.
5
5
Bµi 16. Cho biÓu thøc: C1 = x 4 x 4 x 4 x 4
a) Rót gän C
b) T×m x ®Ó C = 4
1
a
Bµi 17. Cho biÓu thøc: C2 =
a) Rót gän C
ab b
b
ab a
ab
1
ab
2
b) TÝnh gi¸ trÞ cña C khi a = 4 2 3 , b = 4 2 3
c) Chøng minh r»ng nÕu a/b = a+1/b+5 th× C cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi
2
2
2 a 3 b
Bµi 18. Cho biÓu thøc: C3 =
6 ab
ab 2 a 3 b 6
ab 2 a 3 b 6
a) Chøng minh r»ng b 0 th× C cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc vµo b
3
b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh C = -2.
c) T×m a ®Ó C < 0? C > 0?
d) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó C cã gi¸ trÞ nguyªn.
e) Chøng minh r»ng nÕu C = b+81/b-81,
khi ®ã b/a lµ mét sè nguyªn chia hÕt cho 3.
3
3
3
3
3
Bµi 19. Cho biÓu thøc: C4 = (
x 2
x 2
x 2 2x 1
).
x 1
2
x 2 x 1
a) X¸c ®Þnh x ®Ó C tån t¹i.
b) Rót gän C
c) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× C > 0.
d) T×m gi¸ trÞ cña C khi x = 0,16.
e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña C .
g) T×m x thuéc Z ®Ó C thuéc Z.
4
4
4
4
4
4
x x y xy 2 y 3
Bµi 20. Cho biÓu thøc: C5 = 3
x x 2 y xy 2 y 3
3
2
a) Rót gän C .
b) TÝnh gi¸ trÞ cña C khi x = 3 , y =
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× C = 1.
5
5
2.
5
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
-8-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bµi 21. Cho biÓu thøc: D1 = (
x2
x x 1
x
1
x x 1 1 x
):
x 1
2
a) Rót gän D .
b) Chøng minh D > 0 víi x 0, x 1.
1
1
x 3 y 3 ( x y ) 2 xy
xy
Bµi 22. Cho biÓu thøc: D2 = (
):
yx
x y
x y
a) X¸c ®Þnh x, y ®Ó D cã nghÜa.
b) Rót gän D .
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña D .
d) So s¸nh D vµ
e) TÝnh gi¸ trÞ cña D khi x = 1,8 vµ y = 0,2.
2
2
2
2
D2 .
2
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
-9-
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ò 2: Hµm sè bËc nhÊt y=ax+b
Kiến thức:
Cho hµm sè y=ax+b (a≠0)
- Hµm sè ®ång biÕn khi a>0; nghÞch biÕn khi a<0
- NÕu to¹ ®é (x0;y0) cña ®iÓm A tho¶ m·n hµm sè y=f(x) th× ®iÓm A thuéc ®å thÞ hµm sè nµy.
- Ng-îc l¹i, nÕu ®iÓm A(x0;y0) n»m trªn ®å thÞ cña hµm sè y=f(x) th× to¹ ®é (x0;y0) cña A tho¶
m·n hµm sè y=f(x).
- Cho hai ®-êng th¼ng (d1): y=ax+b & (d2): y= a1.x+b1 (a ≠ 0 ; a1 ≠ 0)
+ (d1) // (d2) a=a1 & b≠ b1
+ (d1) (d2) a= a1 & b= b1
+ (d1) c¾t (d2) a≠ a1 & b≠ b1
+ (d1) ┴ (d2) a.a1=-1
Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1:Cho hµm sè y= mx-2m+5.CMR hµm sè lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m.
Bµi 2: Cho ®-êng th¼ng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m
Bµi 3: Cho c¸c ®-êng th¼ng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) vµ
(d2): y= (2m-3)x +(m2-1) (m≠ 3/2):
a) CMR: (d1) & (d2) kh«ng thÓ trïng nhau víi mäi m.
b) T×m m ®Ó (d1) // (d2); (d1) c¾t (d2); (d1) ┴ (d2)
Bµi 4: CMR: 3 ®-êng th¼ng sau ®©y ®ång quy: (d1): y=-3x (d2): y=2x+5 (d3): y=x+4
Bµi 5: T×m m ®Ó ba ®-êng th¼ng sau ®ång quy:(d1):y=x-4; (d2): y= -2x-1;(d3): y= mx+2
Bµi 6: TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi c¸c ®-êng th¼ng :(d1): y=
1
x ;(d2):y=-3x ;(d3): y=-x+4
3
Bµi 7: Cho ®-êng th¼ng (d1):y=4mx - (m+5) & (d2): y= (3m2+1)x+m2-4
a) CMR: (d1) lu«n ®i qua ®iÓm A cè ®Þnh vµ (d2) lu«n ®i qua ®iÓm B cè ®Þnh
b) TÝnh kho¶ng c¸ch AB.
; c) T×m m ®Ó (d1) // (d2)
Bµi 8. Cho hai hµm sè : y = (k + 1 )x + 3 vµ y = (3-2k)x +1
Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ®å thÞ cña hai hµm sè c¾t nhau? Song song víi nhau? Hai ®-êng trªn cã thÓ
trïng nhau ®-îc kh«ng ?
1 5
2 2
Bµi 9. ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng: a. Cã hÖ sè gãc b»ng 3 vµ ®i qua ®iÓm P( ; )
b. Cã tung ®é gèc b»ng -2,5 vµ ®i qua ®iÓm Q(1,5 ; 3,5)
c. §i qua hai ®iÓm®iÓm M(1 ; 2 ) vµ N (3 ; 6 )
1 4
3 3
d . Song song víi ®-êng th¼ng y = 2x - 3 vµ ®i qua ®iÓm ( ; )
Bµi 10.Cho 3 ®-êng th¼ng :
y=2x+1(d1) ;
y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)
a. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®-êng th¼ng (d1) & (d2)
b. X¸c ®Þnh m ®Ó 3 ®-êng th¼ng ®· cho ®ång quy
Bµi 11. a. VÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)
b. Gäi c¸c giao ®iÓm cña ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh (3) víi c¸c ®-êng th¼ng (1), (2) thø tù
lµ A, B; T×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A,B.
c.TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c OAB.
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 10 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ò 3:Ph-¬ng tr×nh vµ hÖ ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt
BÊt ph-¬ng tr×nh
I.Ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt 1 Èn sè
Ph-¬ng ph¸p: ax+b=0 ax=-b x=-b/a
NÕu ph-¬ng tr×nh kh«ng cã d¹ng tæng qu¸t th× cÇn biÕn ®æi ®-a
vÒ d¹ng tæng qu¸t råi tÝnh
* VÝ dô:
Bµi 1:Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh:
a) x 32 2 x x 2
b)
x 1x 5 x 2x 5 x 2x 1
1
2x 1
3
2
0
c)
2x 2 x x 1 2x 2
* Ph-¬ng tr×nh d¹ng f ( x) g ( x) (1)
3
12
4
g ( x) 0(2)
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x) (3)
S¬ ®å gi¶i:
Gi¶i (3) råi ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn(2) ®Ó lo¹i nghiÖm kh«ng thÝch hîp,
nghiÖm thÝch hîp lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô:
b) x 2 x 1 2 x
Bµi 2:Gi¶i ph-¬ng tr×nh: a) 3x 8 7
c)
* Ph-¬ng tr×nh d¹ng
2 3x
2
3x 1
f ( x ) g ( x ) h( x )
S¬ ®å gi¶i:- §Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh:
f ( x) 0
g ( x) 0
h( x ) 0
-
B×nh ph-¬ng 2 vÕ , rót gän ®-a vÒ d¹ng(1)
VÝ dô:
Bµi 3:Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
a) 5 x 1 x
c) 22 x 10 x 2
Bµi 4:Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
a) 5 x 1 x
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
b) 1 x 1 x
d) 3x 1 x 1 2
b)
3x 1 10 x 1 5
- 11 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
* Ph-¬ng tr×nh d¹ng
f ( x) g ( x ) h( x )
S¬ ®å gi¶i:
- §Æt ®k cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh
f ( x) 0
g ( x) 0
h( x ) 0
-B×nh ph-¬ng hai vÕ(cã thÓ chuyÓn vÕ hîp lÝ råi b×nh ph-¬ng) sau ®ã cÇn ph¶i
®èi chiÕu nghiÖm võa t×m ®-îc víi ®iÒu kiÖn!
*VÝ dô:
Bµi 5:Gi¶i ph-¬ng tr×nh
a) x 5 x 3 2x 7
b)
x 1 x 7 12 x
IV. BÊt ph-¬ng tr×nh
*D¹ng 1: BÊt ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a.x+b>0 hoÆc a.x+b<0
+ Ph-¬ng ph¸p: ax+b>0 ax>-b
x>-b/a nÕu a>0
x<-b/a nÕu a<0
+ VÝ
dô:
Bµi 6: Cho ph-¬ng tr×nh: 2 x 5
x 1 6x 1 x
3
2
3
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh
b) T×m nghiÖm nguyªn ©m cña bÊt ph-¬ng tr×nh.
D¹ng 2: BPT ph©n thøc
A
>0 , BPT tÝchA.B>0
B
*C¸ch gi¶i: Mçi bÊt ph-¬ng tr×nh t-¬ng ®-¬ng víi 2 hÖ bpt :
A 0
B 0
A 0
B 0
*VÝ dô:
Bµi 6: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:
x2 x
1
x2 x 1
f ( x) a
*D¹ng 3: f ( x) a
f ( x) a
1)2x(3x-5) <0
Bµi 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
2)
3)(x-1)2-4 <0
x 4 x 1
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 12 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f ( x) a
hoÆc
f ( x) a
*D¹ng 4: f ( x) a
f ( x) a a f ( x) a
x 2 4x
1
x2 x 2
Bµi 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
V. HÖ ph-¬ng tr×nh
* Ph-¬ng ph¸p:
*VÝ
dô: Cho hÖ ph-¬ng tr×nh
a) Gi¶i (1) khi m=
1
2
3x my 2
(1)
9x 6 y 1
b)T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm duy nhÊt
c) T×m m ®Ó (1) cã v« nghiÖm
x 0
y 0
d) T×m m ®Ó (1) cã nghiÖm
Bµi t©p:
Bµi 1.Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vµ bÊt ph-¬ng tr×nh sau:
2 x 12 1 x 2 7 x 1
b)
x5 x5
20
2
a)
x 5 x 5 x 25
c) x 36 8
2
4
d) x 2 x 2 1
2
2
d)
e) x 3x 2 x 12
f) x 1 x 2 1 g) x 4 x 2 4 x 1 5
Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh sau
a)
d)
1
x2
2
x2
x2 x
x
1
1
y 1
3
1
y 1
2
e)
b)
1 1
1
x y
3 4
5
x y
c)
x 1 y 5 1
y 5 x 1
2( x y ) 2 3( x y ) 5 0
5( x y ) 2 3( x y ) 8
f)
x y 5 0
3x 3 y 12
mx y 3
x my 3
Bµi 3.Cho hÖ pt:
a)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm(x;y)=(-2;5)
b)T×m m ®Ó hÖ cã v« sè nghiÖm; v« nghiÖm?
; c) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
x 0
y 0
mx my m
(m: lµ tham sè)
mx y 2m
Bµi 4. Cho hÖ ph-¬ng tr×nh:
a)Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph-¬ng tr×nh; b)T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hÖ cã nghÖm tháa m·n x>0;y<0.
mx y 5
cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn: x>0; y<0
2 x 3my 7
Bµi 5.T×m m ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh sau :
Bµi 6) T×m a ®Ó hÖ ph-¬ng tr×nh:
x ay 3
cã n0 tháa m·n x>1; y>0.
a·x 4 y 6
Bµi 7)T×m a ®Ó 3 ®-êng th¼ng sau: (d1) 2x +y =5 (d2) 3x-2y =4 (d3) a x +5y =11 ®ång quy?
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 13 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 x 3 y 8
&
3x y 1
Bµi 8)Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
4 x 3 y 2
x y 3
x y y x 30
b)
x x y y 35
x y xy 5
2
2
x y 5
Bµi 9) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau: a)
c)
xy 64
1 1 1
x y 4
d)
x xy y 11
2
2
x y xy 30
x 2 y 2 xy 19
e) 2 2
x y xy 7
x y 2
3 x y 1
2 x y 0
3 x y 1
4 x y2
8 x 3 y 5
2
2
1
1
x y 1
3 4 5
x
y
x y 5
x y 3
1
5
x 1 36
y
5
x 63
y
4
x y2
1 1 9
x y 4
Bµi 10. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau :
y
x 7 1
4
x y 3 0
x 2 2y 5
2x y 1 10
2x 3y 1
x 3y 2
x 1 2 y1 1 1
x 2 2 y3 1 1
2 ( x y ) 3 ( x y ) 5 0
x y 5 0
2
Bµi 11. Gi¶i c¸c hÖ ph-¬ng tr×nh : a.
1
1
x y x y 3
2
3
x y x y 1
5( x y ) 3( x y ) 8
2 x 3 y 12
2
b.
2 x ay b (1)
Bµi 12. Cho hÖ ph-¬ng tr×nh :
ax by 1( 2 )
a. X¸c ®Þnh a,b ®Ó hÖ cã nghiÖm x= 2 ;y= 3 ; b. T×m a,b ®Ó hÖ v« sè nghiÖm
( a 1) x y 3
Bµi 13. Cho hÖ ph-¬ng tr×nh : ax y a
a. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh víi a=- 2
b. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y>0
x ay a
Bµi 14. Cho hÖ ph-¬ng tr×nh
ax y 1
;
a. Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh víi a= 2 -1
b. Chøng minh hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi a
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 14 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c. T×m a sao cho hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x>0; y>0
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 15 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ò 4: ph-¬ng tr×nh bËc hai- §Þnh lÝ vi Ðt vµ øng dông
I.Ph-¬ng tr×nh bËc hai:
1) Ph-¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt:
* Ph-¬ng ph¸p: Ph©n tÝch vÕ ph¶i thµnh nh©n tö, råi ®-a vÒ d¹ng ph-¬ng tr×nh tÝch.
* VÝ dô: Gi¶i ph-¬ng tr×nh sau:
a) 2x2-50x =0
b) 54x2 =27x
c)
3x 2 5
x2 2
4
d)
x 2 1 x 2 2 2x 2 1
2
3
4
2) Ph-¬ng tr×nh d¹ng ®Çy ®ñ:
* Ph-¬ng ph¸p: Gi¶i theo c«ng thøc nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai:
* VÝ
a)
dô:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x
x 1
20
x 1
x
b)
2x
1
2
x 1
x 1
c)
2
1
1
7
x 7 x 12 2 x 6 40
2
3)Ph-¬ng tr×nh gi¶i ®-îc b»ng c¸ch ®Æt Èn sè phô:
* VÝ dô: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh
a) (x2+2x)2 -2(x2+2x) -3 =0
c) 4x4 +12x3-47x2+12x+4=0
b) x4-5x2-6 =0
Bµi tËp
d) x2+
5
3
x - =0
2
2
: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:
a)(6x2-7x)2- 2(6x2-7x) -3 =0
1
x
1
x
; b)(x+ )2-4,5(x+ ) +5=0
2
c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16
x
; d) x
8
x 1
2
II.§iÒu kiÖn nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c =0:
Ph-¬ng ph¸p:
Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2+bx+c = 0 (1)
a 0
0
+ §K ®Ó (1) v« nghiÖm:
a 0
0
+ §K ®Ó (1)Cã nghiÖm kÐp:
a 0
+ §K ®Ó (1)Cã nghiÖm:
0
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
a 0
0
+ §K ®Ó (1)Cã 2 nghiÖm pb:
+ §K ®Ó (1)Cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu: a.c<0
0
+ §K ®Ó (1) cã 2n0 d-¬ng: S 0
P 0
- 16 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
+ §K ®Ó (1) cã 2n0 ©m: S 0
P 0
0
P 0
+ §K ®Ó (1)cã 2n0 cïng dÊu:
(Khi ®ã nÕu Tæng 2n0 d-¬ng th× 2n0 mang dÊu d-¬ng vµ ng-îc l¹i)
VÝ dô:
Bµi 1:Cho ph-¬ng tr×nh: (m-1)x2 -2(m+1x + m-2=0 (1)
a) T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt
b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh khi m= 5
Bµi 2: Cho ph-¬ng tr×nh :(m+2)x2 + 6mx + (4m +1)=0. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp?
Bµi 3: Cho ph-¬ng tr×nh :m2x2 + mx +4 =0 . T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm?
Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh :x2 -2(k-1)x + 2k -5 =0
a)CMR: Ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm?
b)T×m k ®Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu.Khi ®ã 2n0 mang dÊu g×?
Bµi 5: X¸c ®Þnh k ®Ó pt :3x2 - (2k+1)x +k2- 4 =0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu?
Bµi 6: X¸c ®Þnh k ®Ó pt :x2- 2kx +2k -3 =0 cã hai nghiÖm ph©n bÞªt cïng dÊu?
Bµi 7:Cho pt : 2x2 +14x +2m-3 =0
a)T×m m ®Ó pt cã 1 nghiÖm b»ng - 3 .T×m nghiÖm thø hai?
b) T×m m ®Ó pt cã hai nghiÖm tr¸i dÊu? NghiÖm nµo cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n?
Bµi 8: Cho pt: x2-2mx+2m-1=0
a) m=? ®Ó ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
b) m=? ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu.Khi ®ã 2 n0 mang dÊu g×?
III.Bµi to¸n liªn quan gi÷a nghiÖm ph-¬ng tr×nh vµ hÖ thøc Vi-Ðt:
Ph-¬ng ph¸p:
NÕu pt bËc 2 :ax2+bx+c = 0
b
x1 x2 a
cã 2 nghiÖm x1, x2 th× tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm ®ã lµ:
x .x c
1 2 a
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc II cã nghiÖm tháa m·n mét ®iÒu kiÖn cho tr-íc. NÕu
®k cho tr-íc cã chøa biÓu thøc x12+x22 hoÆc x13+x23 th× cÇn ¸p dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí:
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
x13+x23=(x1+x)3-3x1x2(x1+x2).
TÊt nhiªn c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®k , ph¶i tháa m·n ®k 0
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 17 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VÝ dô:
Bµi 1:Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai: x2- 2(m+1)x + m2 +3 =0 (1)
a) T×m m ®Ó (1) cã 2 n0 d-¬ng?
b) T×m m ®Ó (1) cã 2 n0 x1,x2 tháa m·n
7 x1 7 x2
22
x2
x1
Bµi 2:Cho ph-¬ng tr×nh : x2 +2kx+2-5k =0 (2) k: tham sè
a) T×m k ®Ó pt(2) cã n0 kÐp?
b) T×m k ®Ó (1) cã 2 n0 x1,x2 tháa m·n x12+x22=10
Bµi 3: Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 (1)
a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi x.
b) T×m m ®Ó pt cã mét nghiÖm gÊp ®«i nghiÖm kia?
Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh: x2-2(m+2)x +m+1 =0 (x lµ Èn)
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu?
b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó: x1(1-2x2)+x2(1-2x2)=m2.
Bµi 5:Cho ph-¬ng tr×nh mx2-(m-4)x +2m =0.
T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: 2(x12+x22)-x1.x2=0.
Bµi 6:Cho ph-¬ng tr×nh x2-(m-1)x +5m-6=0.
T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: 4x1+3x2=1
Bµi 7:Cho ph-¬ng tr×nh x2-2(m+1)x+m2+3=0.
T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n : 2(x1+x2)-3x1.x2+9=0.
T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè?
Ph-¬ng ph¸p: Tõ biÓu thøc cña ®Þnh lÝ Vi - Ðt ,ta tiÕn hµnh khö tham sè ®Ó thu ®-îc biÓu
thøc kh«ng phô thuéc vµo tham sè
VÝ dô
:
Bµi 1:Cho ph-¬ng tr×nh: x2-(k-3)x +2k+1 =0 cã c¸c nghiÖm lµ x1,x2. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
nghiÖm ®éc lËp víi k.
Bµi 2:Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai: x2- (2m+3)x + m -3 =0 cã c¸c nghiÖm lµ x1,x2. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ
gi÷a c¸c nghiÖm ®éc lËp víi k.
Bµi 3: Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai: (m+1)x2-2(m-1)x+m =0. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm ®éc
lËp víi m?.
Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh bËc hai: (m-1)x2-2(m-2)2x +m+3=0. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm
®éc lËp víi m?.
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 18 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
LËp ph-¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm cña chóng
Ph-¬ng ph¸p:
- LËp tæng x1+x2
- LËp tÝch x1x2
- Ph-¬ng tr×nh cÇn t×m lµ X2-SX+P =0.
* VÝ
dô:
Bµi 1:LËp ph-¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ:a)
1 1
vµ ;b) 3 vµ 5 ; c) 5 2 vµ 5 2
3 2
Bµi 2: Cho ph-¬ng tr×nh: x2+px+q =0(1)
a) Kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh, h·y tÝnh biÓu thøc: A
1
1
theo p vµ q
2
2
22 x1 3
22 x2 3
b)Kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh, h·y lËp ph-¬ng tr×nh bËc 2 theo y cã hai nghiÖm lµ:
y1
x1 1
x 1
; y2 2
x1 1
x2 1
c)Chøng minh r»ng nÕu ph-¬ng tr×nh (1) vµ ph-¬ng tr×nh x2+mx+n=0
cã nghiÖm chung th× :(n-q)2+(m-p)(mq-np)=0
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho ph-¬ng tr×nh x2-mx +m-1 =0(1)
a)CMR: (1) cã nghiÖm víi mäi m.T×m nghiÖm kÐp nÕu cã cña (1) vµ gi¸ trÞ t-¬ng øng cña m.
b)§Æt A= x12+x22-6x1x2.
- CMR : A=m2-8m +8.
- T×m m ®Ó A=8
Bµi 2:Cho ph-¬ng tr×nh : (m-4)x2-2mx+m-2=0
a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh khi m=18
b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
c) TÝnh x13+x23 theo m?
Bµi 3: Cho ph-¬ng tr×nh : x2-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh khi m=-3/2
b) T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh.T×m m ®Ó x1(1-2x2)+x2(1-2x1)=m2.
Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh : x2- 2mx+2m-1=0
a) CMR: Ph-¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.
b) §Æt A= 2(x12+x22)-5x1x2
1.CMR: A= 8m2-18m+9
2. T×m m ®Ó A=27
3. T×m m sao cho ph-¬ng tr×nh nghiÖm nµy gÊp hai lÇn nghiÖm kia?
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 19 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ò 5:
Mèi t-¬ng quan gi÷a ®å thÞ
hµm sè bËc nhÊt vµ hµm sè bËc hai
Ph-¬ng ph¸p:
Cho Parabol (P): y=ax2 vµ ®-êng th¼ng (d): y=mx+b
- §K ®Ó (d) c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt ph-¬ng tr×nh ax2=mx+b cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
>0 (nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh chÝnh lµ hoµnh ®é cØa hai giao ®iÓm)
- §K ®Ó (d) Kh«ng c¾t (P) ph-¬ng tr×nh ax2=mx+b v« nghiÖm <0.
- §K ®Ó (d) tiÕp xóc víi (P) ph-¬ng tr×nh ax2=mx+b cã nghiÖm kÐp
=0
(nghiÖm kÐp t×m ®-îc ®ã chÝnh lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm).
Bµi tËp:
Bµi 1: VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè y=
x2
2
.
T×m a vµ b ®Ó ®-êng th¼ng y=ax+b ®i qua ®iÓm (0;-1) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 2: Cho hµm sè y=ax2 cã ®å thÞ (P) ®i qua ®iÓm A(-2;4) vµ tiÕp xóc víi ®å thÞ (T) cña hµm sè y= (m1)x- (m-1).
a) T×m a , m vµ to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
b) VÏ (P) & (T) víi a, m võa t×m ®-îc trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 3:Cho ®-êng th¼ng (d): y=k(x-1) vµ Parabol (P): y= x2-3x+2
a) CMR: (d) & (P) lu«n cã mét ®iÓm chung.
b) Trong tr-êng hîp (d) tiÕp xóc (P), t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 4: Cho hµm sè y=
-1 2
x
2
(P)
a) VÏ (P).
b) T×m m ®Ó ®-êng th¼ng y= 2x+m c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A & B.
T×m to¹ ®é 2 ®iÓm A vµ B ®ã.
Bµi 5: Cho Parabol (P): y=3x2. LËp ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng
() song song víi ®-êng th¼ng (d): y=-2x vµ tiÕp xóc víi (P).
1
2
Bµi 6: Cho (P): y= x 2 vµ hai ®-êng th¼ng (d1): y=2x-2 vµ (d2): y= ax-1.
a) VÏ (P) & (d1) trªn cïng mÆt ph¼ng to¹ ®é vµ t×m to¹ ®é giao ®iÎm cña chóng
b) BiÖn luËn theo a sè giao ®iÓm cña (P) & (d2)
c) T×m a ®Ó 3 ®å thÞ trªn cïng ®i qua mét ®iÓm.
d) Chøng tá r»ng ®-êng th¼ng ®i qua A(-1;2) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt.
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 20 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chuyªn ®Ò 6:
T×m GTLN >NN cña mét biÓu thøc
Ph-¬ng ph¸p 1:
BiÕn ®æi biÓu thøc ®· cho sao cho cã chøa sè h¹ng lµ lòy thõa bËc ch½n
( lµ mét biÓu thøc kh«ng ©m) råi tïy theo dÊu tr-íc biÓu thøc ®ã lµ d-¬ng
(hay ©m) mµ biÓu thøc ®· cho lµ nhá nhÊt (hay lín nhÊt).
Ch¼ng h¹n:
A=(ax+b)2+m m th× minA=m khi vµ chØ khi x=
b
a
A=-(ax+b)2+M M th× maxA =M khi vµ chØ khi x=
b
a
VÝ dô 1: T×m GTNN cña biÓu thøc A= m2-6m+11.
Ta cã: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 . Do =(m-3)2 0 nªn A==(m-3)2+2 2
dÊu ‚=‛ x°y khi m-3=0 m=3.
VËy GTNN cña A lµ 2 khi m=3.
VÝ dô 2: T×m GTLN cña biÓu thøc B= -4x2-8x+5
Ta cã: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6]=- (2x+1)2+6 6
VËy GTLN cña B lµ 6 khi 2x+1=0 x=-1/2.
Ph-¬ng ph¸p 2: Ph-¬ng ph¸p t×m miÒn gi¸ trÞ cña mét hµm sè
VÝ dô: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc:
§Æt y=
x2 1
x2 x 1
x2 1
, ta cÇn t×m GTNN>LNcña y?
x2 x 1
y(x2+x+1)=x2+1 (y-1)x2+yx+y-1=0 (1) - §©y lµ ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn x
+) y-1=0 y=1: (1) cã d¹ng:x=0 (kh«ng cã GTLN hay GTNN)
+) y -1 0 y 1: §Ó tån t¹i GTNN & GTLN th× (1) ph¶i cã nghiÖm 0.
= y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2) 0
Khi ®ã x=
2
y2
3
GTNN lµ
2
GTLN lµ 2.
3
y
y
víi y=2/3 th× x=1
2( y 1) 2(1 y)
víi y=2 th× x=-1
VËy:
2
GTNN lµ
3
Khi x=1 ;
GTLN lµ 2 Khi x=-1
Ph-¬ng ph¸p 3: Ph-¬ng ph¸p dïng bÊt ®¼ng thøc C«si:
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
- 21 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ab
ab DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
2
S
S2
S2
HÖ qu¶: + NÕu a+b =S th× ab ab
. VËy ab ®¹t GTLN lµ
ab
2
4
4
+ NÕu ab =P th× a+b 2 P .VËy a+b ®¹t GTNN lµ 2 P a b
+ víi a 0; b 0 ta cã
VÝ dô: Cho biÓu thøc P
8
x 35 x
víi -30. §Æt E=
XÐt (x+3)+(5-x)=8 (h»ng sè)
P
8
x 3 5 x
x 35 x
8
4 dÊu‘=’khi (x+3)=(5-x) x=1(TM).
2
8
2 . GTLN cña P lµ 2 vµ ®¹t ®-îc khi x=1
4
*Bµi tËp:
Bµi 1: T×m GTLN>NN nÕu cã cña c¸c biÓu thøc sau:
a) -x2+2x+5
b) 2x2-x+3
c)
1
d)
x x 1
2
5
2 x 1
Bµi 2: T×m x,y,z ®Ó c¸c biÓu thøc sau ®¹t GTNN. T×m GTNN ®ã
a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15
b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2
Bµi 3: Cho biÓu thøc : Q
x 2 72
víi x>0. T×m x ®Ó Q ®¹t GTNN.T×m GTNN ®ã.
3x
3
Bµi 4: T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc: y=
2 2x x 2 7
Bµi 5: Gi¶ sö x1vµ x2 lµ hai nghiÖm cu¶ ph-¬ng tr×nh x2-2(m-1)x+m2-m -0 (1)
T×m GTNN cña tæng S= x12+x22
Bµi 6: Cho ph-¬ng tr×nh : x2- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).
a) CMR (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
b) Gäi x1vµ x2 lµ hai nghiÖm cu¶ ph-¬ng tr×nh.T×m GTNN cña tæng S= x12+x22.
Bµi 7: Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh 2x2-3mx-2 =0
T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó x12+x22 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt?
Bµi 8: T×m GTLN>NN nÕu cã cña c¸c biÓu thøc sau:
A= x2 +3x+4
B=-3x2+4x+1
C=
5
3x 2 2
Bµi 9: T×m GTNN cña biÓu thøc: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5
Bµi 10:T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc:
a) y
x 2 2 x 2007
;
x2
b) y
x2 x 1
;
x2 x 1
c) y
1
3 1 x2
Bµi 11: Cho 2 biÕn sè d-¬ng x vµ y. BiÕt x+y=6. T×m GTNN cña Q
*** Võ Duy Mộng - Quế Cường - Quế Sơn - QN ***
2 2
x y
- 22 -
- Xem thêm -
.PDF 
60 
126 
106 
