Sưu tầm
CÁC BÀI TOÁN
VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
1
Website:tailieumontoan.com
CHUYÊN ĐỀ: ƢCLN, BCNN
BÀI 1: CÁC TÍNH CHẤT VÀ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ƢCLN VÀ BCNN
A. CÁC KÝ HIỆU
1. Ước và Bội của một số nguyên
Với a,b Z và b 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn
nói a là bội của b và b là ước của a.
2. Nhận xét
- Nếu a = b.q thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b q.
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên.
3. Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết.
Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b được số dư là k thì số (a – k) ⋮ b
4. Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Ước chung của các số a, b, c được kí hiệu là ƯC (a, b, c).
5. Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.
Bội chung của các số a, b, c được kí hiệu là: BC (a, b, c).
6. Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất
- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của
các số đó.
- Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong tập hợp các bội
chung của các số đó.
B. CÁC TÍNH CHẤT
- (a,1) 1; a,1 a
- Nếu a b (a, b) b; a, b a
- Nếu a, b nguyên tố cùng nhau (a, b) 1; a, b a.b
- UC (a, b) U (ucln(a, b)); BC (a, b) B(bcnn(a, b))
- Nếu
a dm
10 2.5
( a, b) d ;
(m, n) 1; vd : (10,15) 5;
(2,3) 1
b dn
15 3.5
- Nếu
a, b c;
c am
30 10.3
(m, n) 1; vd : 10,15 30;
(2,3) 1
c
bn
30
15.2
- ab (a, b). a, b
B. BÀI TẬP
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Website:tailieumontoan.com
Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai. Hãy chứng minh
a. Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp thì nguyên tố cùng nhau
b.
2n 5;3n 7
nguyên tố cùng nhau với
n N
Lời giải
a. Gọi hai số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2n + 1 và 2n + 3 ( n N )
Đặt
2n 1 d
d 1
d (2n 1;2n 3)
(2n 3) (2n 1) 2 d
2n 3 d
d 2
Vì 2n + 1 và 2n + 3 là các số lẻ nên d là số lẻ
b. Đặt
d 1
2n 5 d
2n 4 d
d (2n 5;3n 7)
n2 d
1 d d 1 dpcm
3
n
7
d
2
n
5
d
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng = 162 và ƯCLN của chúng bằng 18
Lời giải
Gọi hai số ần tìm là a và b. Giả sử
Ta có:
Đặt
Từ
ab
a b 162;(a, b) 18
a 18m (m, n) 1
b
18
n
m n
a b 162 18(m n) 162 m n 9
Lập bảng:
m
1
2
3
4
n
8
7
6
5
a
18
36
loai
72
b
144
126
90
Do ( m, n ) = 1
Kết luận: Các số cần tìm là:
Bài 3: Cho
(18,144);(36,126);(72,90)
a 4n 3; b 5n 1(n N ), biết rằng a, b không nguyên tố cùng nhau.
Tìm ƯCLN (a,b)
Lời giải
Đặt
(a, b) d d 1
a 4n 3 d
d 1(loai)
d 11 (a, b) 11
5(4n 3) 4(5n 1) d 11 d
b 5n 1 d
d 11(thoa.man)
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
Website:tailieumontoan.com
Bài 4: Cho hai số tự nhiên lớn hơn 100, biết ƯCLN của hai số đó là 45 và số lớn là 270. Hãy
tìm số nhỏ?
Lời giải
a b; a 100;(a, b) 45; b 270
Đặt
a 45m (m,6) 1 m 1(loai)
a 5.45 225
b 45.6 m 6
m 5(tm)
Bài 5: Tìm hai số nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng bằng 90 và ƯCLN là 15
Lời giải
Gọi hai số cần tìm là a, b ( a, b N ; a, b 200 )
Ta có: a b 90;(a, b) 15
Đặt
a 15m (m, n) 1
(m, n) 1
b 15.n 15(m n) 90 m n 6
15m 200 m 13
15n 200 n 13
Lại có: a, b 200
m
n
a
b
13
7
195
105
11
5
65
75
7
1
85
15
Vậy: (a, b) (195,105);(65,75);(85,15)
Bài 6: Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 432 và ƯCLN bằng 6
Lời giải
ab 432;(a, b) 6(a b)
mn 12
Đặt a 6m; b 6n (m, n) 1
m n
m
n
a
b
1
12
6
72
3
4
18
24
Vậy (a, b) (6,72);(18,24)
Bài 7: Cho (a, b) 1; a b.CMR :
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Website:tailieumontoan.com
a. (a, a b) 1
b. (b, a b) 1
c. (ab, a b) 1
d. (a , a b) 1
2
Lời giải
a d
b d d UC (a, b) d U (UC (a ,b )) 1 d d 1
a b d
a. Đặt (a, a b) d (d N )
*
ab d
a b d
c. (ab, a b) d
Giả sử d 1. Gọi p là số ước nguyên tố của d ( 1 số tự nhiên khác 1 bào giờ cũng tồn tại ít
nhất một ước nguyên tố )
ab p
d p
a b p
a b b p
p UC (a, b) p U (ucln(a, b)) 1 p p 1(vo.ly )
b
p
a
p
Ta có: ab p
Vậy d 1 (ab; a b) 1
a 2 p a p b p
a b d
a b p
b p a p
d.
a b d a b p
a b p
2
2
Bài 8: Biết rằng abc là bội chung của ab; ac; bc.CMR :
a. abc là bội của bc
b. abc là bội của 11
Lời giải
a. abc : ab 10ab c ab c ab c 0
( do c có một chữ số, ab có hai chữ số )
abc ac
(100a 10b) 10a b a
c
0
-
Đặt b ak (k N )
*
-
abc ba
100a 10b (10b a) 99a 10b a 99a 10ak a 99 10k 1 10k 1 11 k 1 a b; c 0
c 0; b ak
Vì abc ac abc bc dpcm
b. abc aa0 110a 11 dpcm
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5
Website:tailieumontoan.com
Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN (a, b) 300;UCLN (a, b) 15
Lời giải
Ta có: ab 300.15 4500(1)
Giả sử a b;UCLN (a, b) 15
Đặt
a 15m (m, n) 1
mn 20
;(1) 15m.15n 4500
b 15n m n
m n
Ta có bảng:
m
n
a
b
1
20
15
300
4
5
60
75
Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a và b, biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng bằng
210
Lời giải
Đặt (a, b) d ; gia.su.a b
Đặt
a dm ( m, n) 1
b dn m n
Ta có: ab dm.dn d 2 mn; a, b
ab
d 2 mn
dmn
( a, b)
d
Theo đầu bài a, b 210 dmn 210; d
ab
2940
210
14 mn
15
14
a, b 210
Ta có bảng:
m
n
a
b
1
15
14
210
3
5
42
70
Bài 11: Biết rằng a, b.(a, b) ab
a. a, b 600;(a, b) nhỏ hơn 10 lần (a ,b). Số thứ nhất là 120, tìm số thứ hai
b. (a, b) = 12, [ a, b] lớn gấp 6 lần (a, b). Số thứ nhất là 24, tìm số thứ hai
c. Tổng cuả hai số bằng 60, tổng giữa UCLN và BCNN của chúng là 84. Tìm hai số đó
Lời giải
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6
Website:tailieumontoan.com
a. Ta có: (a, b) 600 :10 60;(a, b). a, b ab 60.60 120.b b 300
b. Số thứ hai là 36
c. Gọi hai số phải tìm là: a và b
(m, n) 1
ab
d 2 .m.n
;
(a, b) d , đặt a dm; b dn
a
,
b
dmn
*
( a, b)
d
m, n N
Có: d dmn 4 d (mn 1) 4(1)
Vì tổng của hai bằng 60 nên d (m n) 60(2)
Từ (1)(2) 1,2,3,4,6,12 d d 12(thoa.man) m 2; n 3 a 24; b 36
Hoặc m 3; n 2 a 36; b 24
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và ƯCLN(a, b) = 16.
Lời giải
Giả sử a ≤ b.
Ta có ƯCLN(a, b) = 16
=> a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1 ; m ≤ n.
Ta có: a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = 8
Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên:
Trường hợp 1có: m = 1, n = 7 => a = 16, b = 112
Trường hợp 2 có: m = 3, n = 5 => a = 48, b = 80
Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và ƯCLN(a, b) = 6.
Lời giải
Giả sử a ≤ b.
Do ƯCLN (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Ta có ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = 6
Vì ƯCLN (m, n) = 1 nên:
Trường hợp 1 có: m = 1, n = 6 => a = 6, b = 36
Trường hợp 2 có: m = 2, n = 3 => a = 12, b = 18.
Bài 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết
a
2,6 a/b và ƯCLN (a, b) = 5.
b
Lời giải
ƯCLN(a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.
Ta có:
Sưu tầm
a m
m 13
2,6 , mà ƯCLN(m, n) = 1
b n
n 5
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7
Website:tailieumontoan.com
=> m = 13 và n = 5 => a = 65 và b = 25.
Bài 4: Tìm a, b biết a + b = 42 và BCNN (a, b) = 72.
Lời giải
Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.
Do đó : a + b = d(m + n) = 42
BCNN (a, b) = mnd = 72
(1)
(2)
=> d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n
=> Chỉ có trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 (thỏa mãn các điều
kiện của m, n).
Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài 5: Tìm a, b biết a - b = 7, BCNN (a, b) = 140.
Lời giải
Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1.
Do đó : a - b = d(m - n) = 7
(1’)
BCNN (a, b) = mnd = 140 (2’)
=> d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}.
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta được kết quả duy nhất :
d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 (thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1)
Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
Bài 6: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, BCNN (a, b) = 60.
Lời giải
Ta có ƯCLN(a, b) = ab/BCNN (a, b) = 180/60 = 3.
Tìm được (a, b) = 3
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.
Bài 7: Tìm a, b biết a/b = 4/5 và BCNN (a, b) = 140.
Lời giải
Đặt ƯCLN(a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , mặt khác ƯCLN(4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
Lưu ý BCNN(a, b) = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
Bài 8: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và ƯCLN (a,b) = 6.
Lời giải
Giả sử a ≤ b.
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8
Website:tailieumontoan.com
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = 6
Vì ƯCLN(m, n) = 1 nên:
Trường hợp 1 có m = 1, n = 6 => a = 6, b = 36
Trường hợp 2 có m = 2, n = 3 => a = 12, b = 18.
Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) =15 và a +15= b.
Lời giải
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :
BCNN 15m; 15n 300 15.20
BCNN m; n 20
(3)
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :
15m 15 15n 15. m 1 15n
m 1 n
(4)
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5
là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75
Bài 10: Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ nhất của a; b là 420, ƯCLN(a;b) = 21 và a + 21 = b
Lời giải
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 21m; b = 21n
(1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:
BCNN 21m; 21n 420 21.20
BCNN m; n 20
(3)
+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:
21m 21 21n 21. m 1 21n
m 1 n
(4)
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có
Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là:
a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
9
Website:tailieumontoan.com
Bài 11: Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các
số đó trong khoảng từ 300 đến 440.
Lời giải
Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b N* , a > b)
Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, qN*và k, q nguyên tố cùng
nhau.
Ta có : a - b = 84 k - q = 3
Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k <16.
Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15.
Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau => q = 11và k = 14.
Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392
Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.
BÀI 2: CHỨNG MINH HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
A. Bài toán và phƣơng pháp giải
Bài toán: Chứng minh hai số a, b nguyên tố cùng nhau: ( a, b) = 1
Phƣơng pháp giải: Giả sử d = ( a, b)
- Cách 1: Chỉ ra d = 1
- Cách 2:
+) Giả sử d 1(d 2) ( phương pháp phản chứng )
+) Gọi p là ước nguyên tố của d
+) Chỉ ra rằng p = 1 ( vô lý)
+) Kết luận: d = 1
B. Bài tập
*
Bài 1: Cho n N .CMR :
a. (n 3;2n 5) 1
b. (3n 3;4n 9) 1
Lời giải
n 3 d
2n 6 d
d 1
2n 5 d
2n 5 d
a. Gọi (n 3;2n 5) d ( d N *)
4(3n 7) 7
d 1
3(4n 9) d
b. (3n 3;4n 9) d
Bài 2: Cho a, b là số tự nhiên lẻ, b N .CMR : (a, ab 128) 1
Lời giải
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10
Website:tailieumontoan.com
27 d
a d
2 d
128 d
d 1
d (a, ab 128) d lẻ
ab 128 d
d : le d : le
Bài 3: Chứng tỏ rằng nếu 17n2 1 6(n N * ) thì (n,2) 1;(m,3) 1
Lời giải
+) Theo đầu bài ta có: 17n2 1 6 17n2 1 2 17n2 1 chẵn n lẻ n / 2 (n,2) 1
+) Vì 17n2 1 6 17n2 1 3 n / 3 (n,3) 1
( nếu n 3 17n2 3 17n2 1 3 loai n / 3)
Bài 4: Cho hai số a, b nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng 13a + 4b và 15a + 7b hoặc
ngyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 31
Lời giải
13a 4b d (1)
91a 28b d
31a d (3)
15a 7b d (2) 60 a 28b d
Gọi d (13a 4b,15a 7b)
- Nếu (d ,31) 1 d 31 ( vì 31 có hai ước là 1 và chính nó, mà
(1, d ) 1 d 31) 31UC (13a 4b;15a 7b)
- Nếu (d ,31) 1 (3) a d. (1) : 4b b (2) : 7b d 2.4b 7b d b d
d UC (a, b) 1 d 1
Bài 5: Cho n N *. Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4
Lời giải
Gọi
2n 1 d (1)
d 1
d (2n 1,9n 4)( d N *)
2(9 n 4) 9(2 n 1) d 17 d
9n 4 d (2)
d 17
- Nếu
d 17 (9n 4) 4(2n 1) n 8 17 n 17 9k( k N ) 9n 4 9(17 k 9) 4 9.17 k 85 17
2n 1 2(17k 9) 1 2.17k 17 17
Vậy nếu n có dạng 17k + 9 ( k N ) thì ƯCLN ( 2n – 1, 9n + 4) = 17
Bài 6: Tìm ƯC LN ( 1 + 2 + 3 + <.+ n, 2n + 1) với n N , n 2
Lời giải
n(n 1)
n(n 1) d
n(n 1)
(
, 2n 1) d 2
2
2n 1 d
2n 1 d
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11
Website:tailieumontoan.com
Giả sử d > 1, p là ước nguyên tố của d
n p
n 1 p
n(n 1) d
(n 1) n 1 p 1 p(vo.ly) d 1
n
1
p
n
p
Bài 7: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b. Chứng tỏ rằng 11a + 2b và 18a + 5b hoặc là
số nguyên tố cùng nhau hoặc có 1 ước chung là 19
Lời giải
d 1
5(11a 2b) 2(18a 5b) 19a d
d (11a 2b,18a 5b) ta chứng minh
d
19
d 19
dpcm
k 19
*
Đặt 19a dk (k N ) d .k 19
- Nếu
2b d
k 19 k 19q 19a dk d .19.q a dq a d
b d d UC( a, b) 1 d 1
5b d
Bài 8:
a) Chứng minh rằng: (a, b) 1 và a, b khác tính chẵn lẻ thì (a m bn , a m bn ) 1m, n N *
và a m bn 0
b. (20172015 20162014 ,20172015 20162014 ) 1
Lời giải
m
n
m
a b d
2a d
a) d (a b , a b ) m
n . Vì a, b khác tính chẵn lẻ nên d lẻ
n
a b d
2b d
m
n
m
n
a m d
n
b d
Giả sử d > 1 d có ít nhất một ước số là số nguyên tố, giả sử ước nguyên tố đó là p
m
a p a p
p UC (a, b); ma : (a, b) 1 1 p p 1 vo.ly
n
b p
b p
Vậy d 1 d 1 dpcm
b. a 2017; b 2016; m 2015; n 2014
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Bài 1: Chứng minh rằng 2 số n + 1 và 3n + 4 (n N) là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12
Website:tailieumontoan.com
n 1 d
3n 3 d
Gọi d = ƯCLN (n + 1; 3n + 4) d N * , nên ta có:
1 d
3n 4 d
3n 4 d
Vậy hai số: n + 1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau với (n N)
Bài 2: Chứng minh rằng 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Gọi d = ƯCLN (2n + 1; 2n + 3) d N *
2n 1 d
Khi đó ta có:
2n 3 2n 1 d 2 d d U 2 1; 2
2n 3 d
Mà ta lại có 2n + 1 d mà 2n + 1 là số lẻ nên d = 2 (loại), do đó d = 1
Vậy hai số 2n + 1 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 3: Chứng minh rằng 14n + 3 và 21n + 4 (n N ) là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Gọi d = ƯCLN (14n + 3; 21n + 4) d N *
14n 3 d
42n 9 d
3 14n 3 d
Khi đó ta có:
=> 42n 9 42n 8 d 1 d
42
n
8
d
2
21
n
4
d
21n 4 d
Vậy hai số 14n + 3 và 21n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 4: Tìm UC của 2n + 1 và 3n + 1 với n N
Lời giải
Gọi d = ƯCLN( 2n + 1, 3n+1) d N *
Khi đó ta có :
2n 1 d
6n 3 d
3 2n 1 d
6n 4 6n 3 d 1 d d U 1 1; 1
6
n
4
d
2
3
n
2
d
3n 2 d
Do đó ƯC( 2n + 1; 3n + 1) là ước của d, hay là ước của 1
Vì ước của 1 hay ước của -1 có chung 1 tập hợp
Vậy ƯC ( 2n + 1; 3n + 1) = U (1) = { 1; -1)
Bài 5: Tìm ƯCLN của 9n + 24 và 3n + 4
Lời giải
Gọi ƯCLN( 9n + 24; 3n + 4) = d d N *
9n 24 d
9n 24 d
9n 24 9n 12 d 12 d
Khi đó ta có:
3n 4 d
9n 12 d
=> d U 12 1; 2; 3; 4; 6; 12
Do 3n + 4 d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d = 3, 6, 13 (loại)
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13
Website:tailieumontoan.com
Do đó d = 1; 2; 4
Để d = 2 thì n phải chẵn
Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
Để d = 1 thì là số lẻ,
Vậy với n = 4k + 2 ( k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 2
Với n = 4k ( k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 4
Với n = 2k + 1 với (k N ) thì ƯCLN (9n + 24; 3n + 4) = 1
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi n N thì các số sau ngyên tố cùng nhau
a) 7n + 10 và 5n + 7
b) 2n + 3 và 4n + 8
Lời giải
a) Gọi d = ƯCLN (7n + 10; 5n + 7) d N *
7n 10 d
35n 50 d
5 7n 10 d
Khi dó ta có:
35n 50 35n 49 d 1 d
35
n
49
d
7
5
n
7
d
5n 7 d
Do đó d = 1
Vậy hai số 7n + 10 và 5n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Gọi d=UCLN(2n+3 ; 4n+8) d N *
2 2n 3 d
2n 3 d
4n 6 d
4n 8 4n 6 d 2 d d 1;2
Khi đó ta có:
4n 8 d
4n 8 d
4n 8 d
Vì 2n + 3 d, mà 2n + 3 là 1 số lẻ nên d = 2 (loại)
Khi đó d = 1, Vậy hai số 2n + 3 và 4n + 8 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 7: Cho 2 số 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm UCLN (3n + 1;
5n + 4)
Lời giải
Gọi ƯCLN (3n + 1; 5n + 4) = d => 7 d => d = 7 hoặc d = 1
Mà d # 1 nên d = 7
Bài 8: Tìm số chia và thương của 1 phép chia, có số bị chia là 145, số dư là 12 biết rằng
thương khác 1
Lời giải
Gọi x là số chia, a là thương, ta có: 145 = a.x + 12 (x > 12) => 145 - 12 = 133 = a.x => x là
Ư(133)
Lại có 133 = 7. 19 => x U(133) = 1;7;19;133 mà x > 12 => x = 19 hoặc 133
- Nếu x 19 thuong. 7
- Nếu x 133 thuong. 1(loai )
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14
Website:tailieumontoan.com
Bài 9: Cho ƯCLN(a, b) = 1, tìm ƯCLN (11a + 2b; 18a + 5b)
Lời giải
11a 2b d
18(11a 2b) d
Gọi d = ƯCLN (11a + 2b; 18a + 5b) nên
19b d
11(18a 5b) d
18a 5b d
d 1
Và 5(11a 2b) 2(18a 5b) d 19a d
d 19
Bài 10: Cho n là số tự nhiên, Tìm ƯCLN của
a) 21n + 5 và 14n + 3
b) 18n + 2 và 30n + 3
c) 24n + 7 và 18n + 5
Lời giải
a) Gọi d = ƯCLN (21n + 5; 14n + 3) d N *
14n 3 d
42n 9 d
3 14n 3 d
Khi đó ta có:
=> 42n 9 42n 8 d 1 d
42
n
8
d
2
21
n
4
d
21n 4 d
Vậy ƯCLN (21n; 14n + 3) = 1
b) Gọi ƯCLN (18n + 2, 30n + 3) d N *
18n 2 d
90n 10 d
5 18n 2 d
Khi đó ta có:
1 d
30n 3 d
90n 9 d
3 30n 3 d
Vậy ƯCLN (18n + 2, 30n + 3) = 1
c) Gọi d = ƯCLN (24n + 7, 18n + 5) d N *
24n 7 d
72n 21 d
3 24n 7 d
Khi đó ta có:
1 d => d=1
72
n
20
d
4
18
n
5
d
18n 5 d
Vậy ƯCLN (21n, 14n + 3) = 1
Bài 11: Cho m là số tự nhiên lẻ, n là số tự nhiên. CMR: m và m.n + 4 là hai số nguyên tố
cùng nhau
Lời giải
Giả sử m và (m.n + 4) cùng chia hết cho số tự nhiên d, khi đó ta có:
m d
m.n d
4 d d 2; 4;1 , do m d và m lẻ => d = 2 hoặc d = 4 loại
m.n 4 d
m.n 4 d
Vậy d = 1
Khi đó m và m.n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 12: Cho (a,b) = 1. Chứng tỏ rằng (8a + 3) và (5b + 1) là nguyên tố cùng nhau
Lời giải
Gọi ƯCLN( 8a + 3; 5b + 1) = d d N *
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15
Website:tailieumontoan.com
8a 3b d
5(8a 3b) d
40a 15b d
7b d
8(5a b) d
40a 8b d
5a b d
8a 3b d
8a 3b d
và
15a 3b 8a 3b d 7a d
3 5a b d 15a 3b d
Vì (a, b) =1 nên d = 1 hoặc d = 7
Bài 13: Biết (a, b) = 95. Tìm (a + b, a - b)
Lời giải
Gọi ƯCLN( a+ b, a - b) = d d N *
a b d
2b d d Ư(2) hoặc d Ư(b)
a b d
a b d
2a d d U (2) hoặc d Ư(a)
và
a b d
mà ƯCLN( a, b) = 95, nên d = 95 hoặc d = 2
Vậy ƯCLN (a + b; a - b) = 2 hoặc 95
Bài 14: Tìm n để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau (n N)
Lời giải
Gọi ƯCLN( 9n + 24; 3n + 4) = d, Khi đó ta có:
9n 24 d
9n 24 d
9n 24 9n 12 d 12 d
3n 4 d
9n 12 d
=> d U 12 1; 2; 3; 4; 6; 12
Do 3n + 4 d, mà 3n + 4 không chia hết cho 3, nên d = 3, 6, 13 (loại)
Do đó d = 1; 2; 4
Để d = 2 thì n phải chẵn
Để d = 4 thì n phải chia hết cho 4
Để d = 1 thì n là số lẻ,
Vậy để 9n + 24 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau thì n lẻ
Bài 15: Tìm n để: 18n + 3 và 21n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải
Gọi ƯCLN (18n + 3, 21n + 7) = d d N *
18n 3 d
7 18n 3 d
Khi đó ta có:
126n 42 126n 21 d 21 d
21n 7 d
6 21n 7 d
d U 21 1; 3; 7; 21
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16
Website:tailieumontoan.com
Do 21n + 7 d, mà 21n + 7 không chia hết cho 3, nên d = 1 hoặc d = 7
Để hai số 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyen tố thì d khác 7 hay
18n+3 7 =>18n+3-21 7=>18n-18 7=>18( n-1) 7=>n-1 7=>n-1 7k=>n 7k+1
Vậy n 7k +1 với k là số tự nhiên thì 18n+3 và 21n+7 là hai số nguyên tố
Bài 16: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau
a. 4n + 3 và 2n + 3
b. 7n + 13 và 2n + 4
c. 9n + 24 và 3n + 4
d. 18n + 3 và 21n + 7
Lời giải
a) Gọi ƯCLN( 4n + 3, 2n + 3) = d d N *
4n 3 d
4n 3 d
4n 6 4n 3 d 3 d d 1;3
4n 6 d
2n 3 d
Để 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n 3 3 2n 3 n 3 n 3k (k N )
Vậy n 3k (k N ) thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
b, Gọi ƯCLN( 4n + 3, 2n + 3) = d d N *
4n 3 d
4n 3 d
4n 6 4n 3 d 3 d d 1;3
4n 6 d
2n 3 d
Để 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyê tố cùng nhau thì d khác 3 hay
2n 3 3 2n 3 n 3 n 3k (k N )
Vậy n 3k (k N ) thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau
9n 24 d
c, Gọi d UCLN 9n 24;3n 4
12 d d 1; 2; 3; 4; 6; 12
3n 4 d
Nếu d 2; 4; 6; 12 9n 24 chẵn và, 3n 4 chẵn => d 2; 4; 6; 12 loại
Nếu d 3 3n 4 3 Vô lý => d = 3(loại)
Nếu d = 1=> 9n 24,3n 4 là số lẻ => 9n + 24 lẻ=> n lẻ và 3n + 4 lẻ => n lẻ
Vậy n lẻ
Bài 17: Cho m,n là hai số tự nhiên, Gọi A là tập hợp các ước số chung của m và n, B là tập
hợp các ước số chung của 11m 5n và 9m 4n , CMR: A = B
Lời giải
Gọi d = UCLN( 11m + 5n, 9m + 4n) d N *
9 11m 5n d
11m 5n d
99m 45n d
Khi đó ta có :
n d
99
m
44
n
d
11
9
m
4
n
d
9m 4n d
(1)
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
17
Website:tailieumontoan.com
11m 5n d
44m 20n d
4 11m 5n d
Tương tự ta có :
m d
9m 4n d
45m 20n d
5 9m 4n d
(2)
Từ (1) và (2) ta có : d UC (m; n) d U ( A)
và B U(d) = U(A), Vậy A = B
Bài 18: Cho n là số tự nhiên, Tìm ƯCLN và BCNN của: n và n + 2
Lời giải
Gọi d = ƯCLN (n; n+2) => d N *
n d
d 1
n 2 n d 2 d
n 2 d
d 2
Để d = 2 thì n 2 => n chẵn, d = 1 thì n lẻ
Ta có: ƯCLN (a; b). BCNN (a, b) = a.b
TH1: Nếu d = 1 thì BCNN (n ;n+2) =n(n+2)
TH2: Nếu d = 2 thì BCNN( n; n+2) =
n n 2
2
Bài 19: Cho 2 số 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau, tìm ƯCLN (3n + 1;
5n + 4)
Lời giải
Gọi ƯCLN (3n + 1, 5n + 4) = d d N *
3n 1 d
15n 5 d
d 1
5 3n 1 d
15n 12 15n 5 d 7 d
5n 4 d
15n 12 d
d 7
3 5n 4 d
Vì 3n + 1 và 5n + 4 là hai số không nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN của chúng là 7
Vậy ƯCLN( 3n + 1, 5n + 4) = 7
BÀI 3: CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM ƢCLN, BCNN
A. Lý thuyết
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18
Website:tailieumontoan.com
1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Muốn tìm ƯCLN, BCNN của hai hay
nhiều số ta làm như sau
- Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố với số mũ tương ứng
- Bước 2: Tìm các thừa số chung và riêng
- Bước 3: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất
2. Thuật toán EUCLIDE để tìm ƯCLN
Muốn tìm ƯCLN của a và B ( giả sử a b)
- Bước 1: Chia a cho b có số dư là r
- Bước 2:
+) Nếu r = o thì ( a, b) = b
+) Nếu r 0 tat hay thế a bởi b, b bởi r và thực hiện phép chia trong bước 1: a, b
ab
( a, b)
Bài 1: Cho a = 24, b = 70, c = 112. Tìm ( a, b), ( a, b, c), [ a, b], [ a, b, c]. từ đó kiểm tra công
thức UCLN (a, b, c) UCLN (UCLN (a,b), c ); BCNN (a ,b, c ) BCNN (BCNN (a ,b ),c )
Lời giải
a 24 23.3; b 70 2.5.7; c 112 24.7;(a, b) 2;(a, b, c) 2; a, b 23.35.7 840; a, b, c 24.3.5.7 1680
UCLN (a, b, c) 2;UCLN (a, b) 2 UCLN (UCLC(a, b), c) UCLN (2,112) 2
BCNN (a, b, c) 1680; BCNN ( BCNC (a, b), c) BCNN (840,112) 1680
Bài 2: Tìm ƯCLN, BCNN của các số sau
a) 793016,308,3136
b) 1323,19845,1287,315
Lời giải
793016 23.73.17 2
2
2
6 3
2
a. 308 2 .7.11
UCLN 2 .7 28; BCNN 2 .7 .11 17
3136 26.7 2
19845 34.5.7 2
2
4
2
b.
UCLN 3 9; BCNN 3 .5.7 .11.13
2
1287 3 .11.13
315 32.5.7
1323 33.7 2
Bài 3: Tìm ƯCLN của ( 58005, 2835) bằng thuật toán Euclide
Lời giải
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19
Website:tailieumontoan.com
Có:
58005 20.2835 1305 (58005,2835) (2835,1305);2835 2.1305 225;1305 5.225 180
225 1.180 45;180 4.45 UCLN 45
Bài 4: Bằng thuật toán Euclide, hãy tìm ƯCLN của các số sau
a) 252,4068
b) 345,13225
c) 286,10530
Lời giải
a) 36
b) 115
c) 26
Bài 5: Biết số A gồm 2015 chữ số 2 và B gồm 8 chữ số 2. Hãy tìm ƯCLN ( A, B)
Lời giải
A 22...2 2.2.....20....0 2.2......2
2015
7
2008
7.chu . so.2
Vì 2.2.....20....0 2.2.....2 ( A, B) (2.2.....2,2.2.....2)
7
2008
8
8
7
Ta có: 2.2.....2 2.2.....20 2 (2.2.....2, 2.2.....2) (2.2.....2, 2) 2 ( A, B) 2
8
7
8
7
7
Bài 6: Số X gồm 2002 chữ số 9, Y gồm 9 chữ số 9. Tìm ƯCLN ( X, Y)
Lời giải
Có: 2002 222.9 4; X 99....9 99....90000 9999; X BS (Y ) 9999(1)
2002
1998
4
4
Y 9999....9 9999....90 9 Y BS (9999) 9(2);9999 BS (9)(3)
9
8
1
Từ (1)(2)(3) UCLN ( X , Y ) 9
Bài 4: BÀI TOÁN QUY VỀ TÌM ƢCLN, BCNN
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
- Xem thêm -
.PDF 
27 
1 
53 
