Mô tả:
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Mục lục
1
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Lời mở đầu
Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một
trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này
khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc
giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng
giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả
giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời
sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề
của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán.
Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm,
người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học
sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những
sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng
dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng
dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh
hoạt để tự giải được các bài tập Toán.
Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài
giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số
bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung
học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề
cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến
phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất
thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với
phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những
kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài.
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
2
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác
Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng
cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài
giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện
tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác.
Bài giảng số 2: Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin
Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được
sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này
ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và
một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta
biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức
Brahmagupta’s.
Bài giảng số 3: Nhận dạng tam giác
Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh
trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân
chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ
thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác
Bài giảng số 4: Tổng và tích hữu hạn các hàm lượng giác
Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức
lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng
giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng
giác hơn nữa
Bài giảng số 5:Ứng dụng lượng giác
Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5
xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác.
Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá
nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
3
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.
Hà Nội, ngày 19/5/2007
Sinh viên :Nguyễn Thị Thu
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
4
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giảng số 1:
Biến đổi lượng giác
Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận
dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến
đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học
sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết
để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong
các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập:
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
§2:Công thức cộng cung
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
§5: Sử dụng định lý Viet bậc 3
Bài tập
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
5
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§1: Hệ thức cơ bản của lượng giác
1) sin2 α + cos2 α = 1 ∀α
1
2) 1 + tg 2 α =
cos2 α
1
3) 1 + cotg 2 α =
sin2 α
Bài toán 1.1
Biết
sin α + cos α = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau:
1)
A = sin3 α + cos3 α
2)
B = sin7 α + cos7 α
Bài giải
1)
A = sin3 α + cos3 α
Từ giả thiết suy ra:
Ta có
m2 = (sin α + cos α)2 = 1 + 2 sin α. cos α
m2 − 1
⇒ sin α. cos α =
2
A = (sin α + cos α)3 − 3 sin α. cos α(sin2 α + cos2 α)
m2 − 1
)
⇒ A = m − 3(
2
2
2)
B = sin7 α + cos7 α
⇒ B = (sin3 α + cos3 α)(sin4 α + cos4 α) − sin3 α. cos3 α(sin α + cos α)
Ta có
sin4 α + cos4 α = (sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α. cos2 α
= 1 − 2 sin2 α. cos2 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
6
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Vậy
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
1
= 1 − (m2 − 1)2
2
2
1 2
m −1
m2 − 1 3
3
2
)].[1 − (m − 1) ] − m.(
)
B = [m − 3(
2
2
2
∀k ∈ Z +
*Chú ý:
Bài toán 1.2 Biết rằng
Chứng minh rằng
sink α + cosk α đều có thể tính theo m.
(sin α + cos α) hữu tỉ.
∀n ∈ Z +
sinn α + cosn α cũng là hữu tỉ
Bài giải
Chứng minh quy nạp
Với n=1:
(sin α + cos α) hữu tỉ.
Với n=2: (sin2 α + cos2 α) = 1 hữu tỉ.
Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến
n ∈ Z + nghĩa là:
sinn α+cosn α
là hữu tỉ.
Ta chứng minh
sinn+1 α + cosn+1 α
là hữu tỉ.
Thật vậy, ta có:
sinn+1 α + cosn+1 = (sinn α + cosn)(sin α + cos α)−
− sin α. cos α(sinn−1 α + cosn−1 α)
Theo giả thiết quy nạp:
(sin α + cos α); (sinn−1 α + cosn−1 ); (sinn α + cosn ) là các số hữu tỷ
(sin α + cos α)2 − 1
⇒ sin α. cos α là số hữu tỷ
2
sinn+1 α + cosn+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm
Mà sin α. cos α =
Suy ra
Vậy sinn α + cosn α là số hữu tỉ.
Bài toán 1.3 Biết
sin α − cos α = 1. Hãy tính
A = sin3 α + cos4 α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
7
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giải
Từ giả thiết: sin α − cos α = 1 bình phương hai vế ta được:
sin α. cos α = 0
⇔
"
cos α = 0
⇒ sin α = 1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1
sin α = 0 ⇒ cos α = −1 ⇒ sin3 α + cos4 α = 1
Vậy A=1
3 sin4 α + 5 cos4 α = 5. Hãy tính giá trị của
Bài toán 1.4 Biết
B = 5 sin4 α + 3 cos4 α
Bài giải
Từ giả thiết: 3 sin4 α + 5 cos4 α = 5
⇒ 3 sin4 α + 5(1 − sin2 α)2 = 5
⇒ 3 sin4 α + 5 + 5 sin4 α − 10 sin2 α − 5 = 0
⇒ 8 sin4 α − 10 sin2 α = 0 ⇒ sin2 α(4 sin2 α − 5) = 0
5
sin2 α = > 1(loi)
4
⇔
2
2
sin α = 0 ⇒ cos α = 1 ⇒ 5 sin4 α + 3 cos4 α = 5.0 + 3.1 = 3
Vậy B=3
Bài toán 1.5 Biết
1
− tgx = 2. Hãy tính giá trị của
cos x
C=
Ta có
1
+ tgx
cos x
Bài giải
1
1
⇔
− tg 2 α = 1
1 + tg 2 α =
2
2
cos α
cos α
⇔(
1
1
− tgα)(
+ tgα) = 1
cos α
cos α
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
8
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇔(
1
+ tgα) =
cos α
Bài toán 1.6 Ký hiệu
1
(
fk (x) =
1
− tgα)
cos α
=
1
2
1
(sink x + cosk x).
k
Chứng minh
rằng:
f4 (x) − f6 (x) =
1
12
∀x
Bài giải
Ta có:
1
1
f4 (x) = (sin4 x + cos4 x) = [(sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x]
4
4
1 2
1
1 1 2
⇒ f4 (x) = (1 − sin 2x) = − sin 2x
4
2
4 8
1
f6 (x) = (sin6 x + cos6 x)
6
1
= [(sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)]
6
1
1 1
⇒ f6 (x) = (1 − 3 sin2 x cos2 x) = − sin22x
6
6 8
⇒ f4 (x) − f6(x) =
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
9
1
12
∀x
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§2: Công thức cộng cung
1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
4) sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
5) tg(a + b) =
tga + tgb
1 − tgatgb
6) tg(a − b) =
tga − tgb
1 + tgatgb
7) cotg(a + b) =
cotga.cotgb − 1
cotga + cotgb
8) cotg(a − b) =
cotga.cotgb + 1
cotgb − cotga
Bài toán 1.7 Tính giá trị của
π
12
π
2) tg
8
Bài giải
1)
cos
√
π π
π
π
π
π
π
= cos( − ) = cos cos + sin sin =
1) Ta có: cos
12
4 6
4
6
4
6
π
π
π
tg − tg
1 − tg
π π
π
4
8
8
=
2) Ta có: tg = tg( − ) =
π
π
π
8
4 8
1 + tg tg
1 + tg
4 8
8
π
π
π
π
π
⇔ 1 − tg = tg + tg 2 ⇔ tg 2 + 2tg − 1 = 0
8
8
8
8
8
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
10
√
6+
4
2
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
√
√
π
π
π
+ 1)2 − 2 = 0 ⇔ (tg + 1 − 2)(tg + 1 + 2) = 0
8
8
8
√
√
π
π
π
⇔ tg = 2 − 1 hoặc tg = − 2 − 1 (loại vì tg > 0 )
8
8π √
8
Vậy tg = 2 − 1
8
⇔ (tg
Bài toán 1.8 Biết rằng:
sin a + 7 sin b = 4(sin c + 2 sin d)
cos a + 7 cos b = 4(cos c + 2 cos d)
Chứng minh rằng:
2 cos(a − d) = 7 cos(b − c)
Bài giải
Giả thiết suy ra:
sin a − 8 sin d = 4 sin c − 7 sin b)
cos a − 8 cos d = 4 cos c − 7 cos b)
Bình phương các đẳng thức trên và cộng lại ta được:
1 + 64 − 16 cos(a − d) = 16 + 49 − 56 cos(b − c)
⇔ 2 cos(a − d) = 7 cos(b − c)
Bài toán 1.9 Biết rằng
√
tg(a + b) = 5
tg(a − b) = √3
Hãy tính tg2a và tg2b ?
Bài giải
Ta có:
√
√
tg(a + b) + tg(a − b)
5+ 3
√
tg2a = tg[(a + b) + (a − b)] =
=
1 − tg(a + b)tg(a − b)
1 − 15
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
11
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
√
√
tg(a + b) − tg(a − b)
5− 3
√
=
tg2b = tg[(a + b) − (a − b)] =
1 + tg(a + b)tg(a − b)
1 + 15
tg10
Bài toán 1.10 Chứng minh
là số vô tỷ
Bài giải
tg10
Giả sử phản chứng:
là số hữu tỷ
Áp dụng công thức:
tg2α =
2tgα
1 − tg 2 α
ta suy ra
tg20 , tg40 , tg80 , tg160 , tg320
là số hữu tỷ.
Mặt khác ta có:
1
√
+ tg20
0
0
tg30
+
tg2
3
tg320 = tg(300 + 20 ) =
=
0
0
1
1 − tg30 tg2
1 − √ .tg20
3
là số vô tỷ
Suy ra mâu thuẫn với giả thiết
tg320
là số hữu tỷ
Suy ra giả thiết phản chứng là sai
Vậy
tg10
là số vô tỷ
Bài toán 1.11 M ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương. Hãy
tính tgA,tgB,tgC
Bài giải
Giả sử
A≤B≤C
⇒ A ≤ 600
√
⇒ 0 < tgA ≤
3
⇒ tgA = 1 ⇒ A = 450
⇒ B + C = 1350
⇒ −1 = tg(B + C) =
tgB + tgC
1 − tgBtgC
⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2
⇒
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
tgB = 2, tgC = 3
12
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.12 Biết
sin x + sin y + sin z
cos x + cos y + cos z
=
=a
cos(x + y + z)
sin(x + y + z)
Chứng minh rằng:
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a
Bài giải
Ta có:
cos(x + y) = cos(x + y + z − z) = cos(x + y + z) cos z + sin(x + y + z) sin z
Tương tự:
cos(y + z) = cos(x + y + z) cos x + sin(x + y + z) sin x
cos(z + x) = cos(x + y + z) cos y + sin(x + y + z) sin y
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = cos(x + y + z)(cos x + cos y + cos z)+
+ sin(x + y + z)(sin x + sin y + sin z)
Từ giả thiết ta có:
(cos x + cos y + cos z) = a cos(x + y + z)
sin x + sin y + sin z = a sin(x + y + z)
Suy ra
cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a(cos2 (x + y + z) + sin2 (x + y + z))
⇒ cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
13
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§3: Hàm số lượng giác của những góc bội
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a − sin2 a
= 2 cos2 a − 1
= 1 − 2 sin2 a
2tga
tg2a =
1 − tg 2 a
cotg 2 − 1
cotg2a =
2cotga
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a
cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a
3tga − tg 3 a
tg3a =
1 − 3tg 2 a
cotg 3 a − 3cotga
cotg3a =
3cotg 2 a − 1
Hệ quả:
sin2 a =
cos2 a =
tg 2 a =
sin3 a =
cos3 a =
1 − cos 2a
2
1 + cos 2a
2
1 − cos 2a
1 + cos 2a
− sin 3a + 3 sin a
4
cos 3a + 3 cos a
4
Bài toán 1.13 Chứng minh rằng:
∀x :
cos3 x sin x − sin3 x cos x =
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
14
1
sin 4x
4
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài giải
Ta có: cos3 x sin x − sin3 x cos x =
=
1
1
cos2 x. sin 2x − sin2 x. sin 2x
2
2
1
1
1
sin 2x(cos2 x − sin2 x) = sin 2x. cos 2x = sin 4x
2
2
2
Bài toán 1.14 Chứng minh rằng: ∀x :
1.
sin4 x + cos4 x =
3 1
+ cos 4x
4 4
2.
sin6 x + cos6 x =
5 3
+ cos 4x
8 8
Bài giải
1. Ta có:
sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x
1
= 1 − sin2 2x
2
1
= 1 − (1 − cos 4x)
4
3 1
= + cos 4x
4 4
2. Ta có:
sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos2 x)3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x)
= 1 − 3 sin2 x cos2 x
3
= 1 − sin2 2x
4
3
= 1 − (1 − cos 4x)
8
5 3
= + cos 4x
8 8
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
15
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.15 Tính:
1.
2.
π
24
sin 180
cos
Bài giải
1.
Ta có:
cos2
π
=
24
1 + cos
π
12
2
(∗)
Lại có:
√
π
3
√
1
+
cos
1
+
2
+
π
3
6 =
2 =
cos2
=
12
2
2
4
p
√
√
1
1
π
=
2 + 3 = √ (1 + 3)
⇒ cos
12
2
2 2
√
1
√
√
1 + √ (1 + 3)
1
+
2
π
2
+
3
2 2
√
=
=
Thay vào (*) ⇒ cos2
24
2
4 2
s
√
√
1 1+2 2+ 3
π
√
=
⇒ cos
24 2
2
2. Ta có:
sin 540 = cos 360
Suy ra: 3 sin 180 − 4 sin3 180 = 1 − 2 sin2 180
⇔ 4 sin3 180 − 3 sin3 180 − 2 sin2 180 + 1 = 0
⇔ (sin 180 − 1)(4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1) = 0
Vì sin 180 <√1 suy ra: 4 sin2 180 + 2 sin 180 − 1 = 0
√
−1
±
−1
+
5
5
mà sin 180 > 0 nên sin 180 =
⇔ sin 180 =
4
4
√
5
−
1
Vậy sin 180 =
4
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
16
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
Bài toán 1.16 Chứng minh rằng:
1
8
π
2π
3π
1
2. cos . cos . cos
=
7
7
7
8
0
0
0
0
3. tg5 .tg55 .tg65 .tg75 = 1
cos 200 . cos 400 . cos 800 =
1.
Bài giải
1.
Ta có:
1
. sin 200 . cos 200 . cos 400 . cos 800
0
sin 20
1
=
sin 400 . cos 400 . cos 800
0
2 sin 20
1
1
=
sin 800 . cos 800 =
. sin 1600
0
4 sin 20
8 sin 200
1
1
0
=
.
sin
20
=
8 sin 200
8
cos 200 . cos 400 . cos 800 =
2. Ta có:
2π
3π
1
π
2π
4π
π
π
=−
sin . cos . cos . cos
cos . cos . cos
π
7
7
7
7
7
7
7
sin
7
2π
4π
1
2π
=−
π sin 7 . cos 7 . cos 7
2 sin
7
4π
1
4π
.
cos
=−
sin
π
7
7
4 sin
7
1
1
8π
=
=−
sin
π
7
8
8 sin
7
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
17
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
3. Ta có:
3.tgx − tg 3 x tgx(3 − tg 2 x)
tg3x =
=
1 − 3tg 2 x
1 − 3tg 2 x
√
√
tgx.( 3 − tgx)( 3 + tgx)
√
√
=
(1 + 3tgx)(1 − 3tgx)
tg600 + tgx
tg600 − tgx
.
= tgx.
1 + tg600 tgx
1 − tg600 tgx
= tgx.tg(60 − x).tg(60 + x)
Suy ra:
tg50 .tg550 .tg650 .tg750 = tg50 .tg(60 − 5)0 .tg(60 + 5)0 .tg750
= tg(3.5)0 .tg750 = tg150 cotg150 = 1
Bài toán 1.17 Biết rằng:
cos x + cos y + cos z = 0
cos 3x + cos 3y + cos 3z = 0
Chứng minh rằng:
cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Bài giải
Ta có:
0 = cos 3x+cos 3y+cos 3z = 4(cos3 x+cos3 y+cos3 z)−3(cos x+cos y+cos z)
Vì
cos x + cos y + cos z = 0
suy ra:
cos3 x + cos3 y + cos3 z = 0
Từ giả thiết suy ra: cos x + cos y = − cos z
Lập phương hai vế được:
cos3 x + cos3 y + 3 cos x cos ycos x + cos y = − cos3 z
⇒ cos3 x + cos3 y + cos3 z = 3 cos x cos y cos z
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
18
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
⇒ cos x cos y cos z = 0
Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0
⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z
Khi đó:
cos 2x. cos 2y. cos 2z = (2 cos2 x − 1)(2 cos2 y − 1)(2 cos2 z − 1)
= −1(2 cosy −1)2 ≤ 0
Vậy
cos 2x. cos 2y. cos 2z ≤ 0
Bài toán 1.18 Chứng minh rằng:
(4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = tg90
Bài giải
Từ công thức
cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a
⇒ 4 cos2 a − 3 =
cos 3x
cos x
Ta có:
cos 270 cos 810
cos 810
sin 90
(4 cos 9 − 3)(4 cos 27 − 3) =
.
=
=
= tg90
0
0
0
0
cos 9 cos 27
cos 9
cos 9
2 0
2
0
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
19
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
Khóa luận tốt nghiệp
Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác
§4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
1)
Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a + cos b = 2 cos
a−b
a+b
cos
2
2
a−b
a+b
sin
2
2
a−b
a+b
cos
sin a + sin b = 2 sin
2
2
a−b
a+b
sin
sin a − sin b = 2 cos
2
2
sin(a + b)
tga + tgb =
cos a. cos b
sin(a − b)
tga − tgb =
cos a. cos b
sin(a + b)
cotga + cotgb =
sin a. sin b
− sin(a − b)
cotga − cotgb =
sin a. sin b
cos a − cos b = −2 sin
2)
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
2
Bài toán 1.19 Tính các tổng sau:
Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng
20
Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48
- Xem thêm -