Tài liệu Bí kíp giải hệ phương trình bằng máy tính casio

Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt Chia sẻ bí kíp giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học bằng máy tính CASIO 570ES PLUS *Giới thiệu: Chào các em, anh tên là Nguyễn Thế Lực hiện đang là sinh viên Bách Khoa Hà Nội đồng thời là CTV Toán tại Hocmai Online, nick của anh tuvantoanhoc nên nếu trong quá trình làm việc có gì sai sót thì các em bỏ qua cho anh nhé. * Chia sẻ: Anh cũng từng như các em, từng hoang mang về kiến thức và về trường thi. Ngày xưa, năm đầu tiên thi thì anh đỗ cả y Hà Nội và Đại Học Công Nghệ - ĐHQGHN vì bố mẹ anh rất thích y nên anh đã đi học bỏ dở ước mơ làm kĩ sư của mình, sau một học kì anh đã quyết định thi lại và bố mẹ đã đồng ý vì anh rất thích công nghệ, năm đó anh đã đỗ BKHN bây giờ thì anh đang rất vui vì được theo đuổi đam mê của mình. Nên lời khuyên của anh là hãy theo đuổi ước mơ của mình nhé!!! Nếu có mọi thắc mắc gì về tuyển sinh thì các em cứ hỏi anh Minh nhé, ngày xưa anh ấy cũng động viên anh rất nhiều Năm nay thi xong mới chọn trường nên các em đỡ cuống hơn rồi nhưng lại thi sớm 1 tháng nên thành ra không cuống không tăng tốc thì không được. * Lý do anh viết chuyên đề này: Anh trả lời trên phần trao đổi bài của Học Mãi, thấy rất nhiều em kêu hệ phương trình khó, rồi tại sao lại có cách làm như vậy. Ngày xưa anh cũng như các em thôi, “tự dưng ta có” đã trở thành câu cửa miệng mỗi bài toán :D Với kĩ năng sử dụng máy tính của mình anh đã biến nó trở thành vũ khí đắc lực của mình khi đi thi. Ý tưởng anh giới thiệu với các em dưới đây không phải là 1 phương pháp thay thế cho giải hệ phương trình nhưng nó là kim chỉ nam mang tính chất định hướng cách làm đặc biệt nó rất mạnh cho việc phân tích 1 phương trình thành tích và hỗ trợ cho phương pháp hàm số Đây là ứng dụng của tính năng SOLVE trên máy tính nhưng thường thì các em chỉ giải phương trình 1 ẩn hôm nay anh sẽ hướng dẫn sử dụng 1 tính năng khác của nó. Hi vọng các em sẽ đón nhận *Yêu cầu chung: Các em nắm được các phương pháp giải hệ cơ bản như + Thế + Đặt ẩn phụ + Hàm số +Đánh giá ..... Sau đây chúng ta đi vào các ví dụ, các em sẽ hiểu rõ hơn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt * Các ví dụ Khởi động 1 bài đơn giản trước đã nhé !!!  x 2 + xy + y 2 = 7 Ví dụ 1: (CĐ-2014) Giải hệ phương trình sau  2 2  x − xy − 2y = − x + 2y (x, y ∈ R) * Nhận xét chung: Hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn, điều đặc biệt là ở chỗ 1 phương trình có thể biến đổi được còn 1 hệ thì không có gì mà biến đổi :D, nhìn qua thì các em thấy như vậy Vậy dàn ý chung là: từ pt biến đổi được đưa ra mối quan hệ x và y rồi thế vào pt ko biến đổi được Bằng giác quan ta sẽ tìm các nào đó để xử lý phương trình số 2, các em đa số là sẽ cứ viết dùng đủ mọi cách nhóm và rồi tự dưng nó ra Nhưng anh sẽ trình bày 1 phương pháp để lấy căn cứ biến đổi như sau: Sử dụng tính năng Solve: Nhập nguyên phương trình số 2: X 2 − XY − 2Y 2 = − X + 2Y Ấn trên máy: Alpha X x 2 - Alpha X Alpha Y – 2 Alpha Y x 2 Alpha = ( dấu = màu đỏ nhé) - alpha X + 2 alpha Y Giải thích “Alpha X, Alpha Y” là gọi biến X, biến Y nhưng với máy tính thì mặc định X là biến, Y là tham số Sau đó các em bấm: Shift Solve Máy hiện : Y?
tức là thím ấy hỏi ban đầu cho y bằng mấy đẻ còn tìm X Các em khởi tạo giá trị ban đầu cho Y là 0 bằng cách nhập: 0 = Nếu máy hỏi “ Solve for X” thì các em ấn dấu “=” nhé Bây giờ hắn sẽ xử lý, việc của mình là đợi chờ là hạnh phúc Máy hiện: X= 0 tứ là khi y=0 thì có nghiệm x=0 ( có em sẽ được nghiệm -1 nhưng không sao) -R= 0 sai số của nghiệm là 0 Rồi vậy là được Y=0 thì X=0 Tiếp theo các em ấn “mũi tên chỉ sang trái” để quay trở về phương trình Lại bắt đầu khởi tạo giá trị ban đầu Y=1 Thì máy lại tính ra X = 2 * cứ như vậy tới Y=5 thì được các kết quả như sau: Y X 0 0 hoặc -1 1 2 hoặc -2 2 3 4 5 -3 -4 -5 -6 Các kết quả này hoàn toàn là do máy, từ khi Y = 2 tới Y=5 anh thấy nó xuất hiện 1 quay luật gì đó Rồi quay trởi lại thử Y = 1 thì nó cho ra 1 kết quả nghiệm khác vẫn của pt cũ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt Vì tính năng Solve là tính năng dò nghiệm theo công thức Newton nên nó sẽ tìm nghiệm gần với giá trị biến hiện tại của X ( anh nói thêm thôi) Từ Y=2 anh thấy nó xuất hiện 1 quy luật gì đó, dễ dàng nhận thấy là x+y+1 = 0 Vậy anh sẽ biến đổi phương trình 2 theo xem được không: x 2 − xy − 2y 2 = − x + 2y ⇔ x 2 − xy − 2y 2 + x − 2y = 0 ⇔ x(x + y + 1) − 2xy − 2y 2 − 2y = 0 ⇔ x(x + y + 1) − 2y(x + y + 1) = 0 ⇔ (x − 2y)(x + y + 1) = 0 Vậy nghiệm vừa nãy bị nhiễu là do x-2y =0 Còn lại thì dễ dàng rồi nào:  x = 2y  x = −( y + 1) thế vào phương trình đầu tiên  * x=2y thì: 4 y 2 + 2 y 2 + y 2 = 7 ⇔ y = ±1 * x= -(y+1) thì các em tự xử lý nhé Anh nói thì dài thôi chứ lúc làm thì nhanh lắm!!! Như vậy là anh vừa trình bày chi tiết cách giải 1 bài hệ bằng máy tính casio fx-570 ES Plus nhưng bài trên là 1 bài dễ và chưa sử dụng một ứng dụng chính của Solve là tìm nghiệm phương trình 1 ẩn dù nó có phức tạp tới đâu. Tiếp tục nhé, nâng level nên nào (1 − y) x − y + x = 2 + (x − y − 1) y Ví dụ 2: (ĐH-B-2014) Giải hệ phương trình  2 2y − 3x + 6y + 1 = 2 x − 2y − 4x − 5y − 3 (x, y là các số thực) * Nhận xét chung Thấy ngay cái phương trình số 2 rất chuối khó biến đổi, phương trình 1 thì có vẻ ngon ăn hơn, vậy ta thử xem nào Làm tương tự nhé anh cho kết quả luôn, à nhà Đặt luôn điều kiện nhé Y 0 1 2 X 1 1 Can’t solve ☺ 3 Can’t solve( vô nghiệm) Lúc đầu anh cũng nói ôi mẹ ơi, có lẽ ca này tạch rồi ( năm ngoái anh cũng đi thi cả khối A và B mà) Trấn tĩnh lại thì thấy có 4 khả năng sau: Y=0, X=1 thì có thể suy ra được x+y =1 hoặc x-y=1 trong phương trình trên lại có Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 x− y - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt  x − y −1 = 0 Vậy anh đoán là   x − y − 1 = 0 Y=1, X=1 thì có lẽ là X=Y Nhưng khi Y=0, Y=1 thì X vẫn bằng 1 nên anh cũng nghĩ X=1 là 1 nghiệm nhưng mà nghĩ đi nghĩ lại đề đại học ko cho ăn luôn như vậy đâu, điểm 9 cơ mà :D  x − y −1 = 0  Vậy có 3 hướng chính:  x − y − 1 = 0  x= y  Vậy là đầu tiên anh đi theo hướng “x-y-1=0” trước vì vế phải có sẵn rồi kìa, chỉ cần biến đổi những số còn lại xem có được không là chuyển hướng luôn (1 − y) x − y + x = 2 + (x − y − 1) y ⇔ (1 − y) x − y + x − 2 − (x − y − 1) y = 0 ⇔ (1 − y) x − y + (x − y − 1) + (y − 1) − (x − y − 1) y = 0 ⇔ (1 − y)  x − y − 1 + (x − y − 1) 1 − y  = 0 Tới đây tự nhủ sao mà may thế :D có lẽ là ý trời pt ⇔ (1 − y )( x − y − 1)  1 + y +  ( ) ( x − y +1  = 0  )  x − y −1 = 0 x = y +1 ⇔ ⇔  y =1  1 − y = 0 Thế vào phương trình 2 trồi xử tiếp nào: Với y=1 thì 9-3x =0  x=3 Với y=x-1 2 y 2 − 3( y + 1) + 6 y + 1 = 2 1 − y − 1 − y ⇔ 2 y2 + 3y − 2 = 1− y Tới đây suýt khóc cái vì cái phương trình siêu chuối này nghĩ về ước mơ anh lại đã huy động mọi thứ thấy từ nãy giờ cái điều kiện chưa động đến y ≥ 0 mà bây giờ lại có y ≤ 1 Vậy y ∈ [ 0;1] Dễ thấy VP đồng biến với điều kiện trên, VT thì nghịch biến, các em tính đạo hàm ra sẽ thấy nên nếu pt có nghiệm thì sẽ là nghiệm duy nhất Thử bấm máy coi nào: 2 alpha X x 2 + 3 alpha X -2 Alpha = (màu đỏ) 1- alpha X Sau đí bấm Shift solve = Phải dùng biến X nhé mà máy nó mặc định như vậy rồi Ta đang tìm X trong khoảng [0;1] mà nên phải khởi tại giá trị ban đầu X = 0,5 chẳng hạn được X=0,618033….. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt Nếu x nguyên thì xong rồi đó nhưng đằng này Tới đây buồn toàn tập rồi các em ạ Thôi thì biến đổi linh tinh tí vậy, bởi vậy các em cần có một số kĩ năng giải pt vô tỷ đặc biệt là nhân liên hợp, thấy có căn, có dấy trừ trước căn là phải nghĩ ngay tới liên hợp 2 y2 + 3 y − 2 = 1 − y ⇔ 2( y 2 + y − 1) + y − 1 − y = 0 y 2 − (1 − y ) =0 y + 1− y ⇔ 2( y 2 + y − 1) + ⇔ ( y 2 + y − 1)(2 + y2 + y −1 )=0 y + 1− y  5 −1 5 +1 (tm) → x = y = 2 2 ⇔ y2 + y −1 = 0 ⇔   5 +1 y= (loai )   2 Các em tự kết luận nhé! Ví dụ cuối nào: Do thời gian có hạn nên tạm thời anh minh họa 3 ví dụ trong để cao đẳng và đại học năm trước thôi nhé. 2   x 12 − y + y(12 − x ) = 12 Ví dụ 3: (AA1 14) Giải hệ phương trình  (x, y là số thực)  x 3 − 8x − 1 = 2 y − 2 *Nhận xét chung: Vẫn thấy phương trình 1 dễ xơi hơn, chứ phương trình 2 khó biến đổi 2 ≤ y ≤ 12 Cứ đặt điều điện cho lịch sự đã :D  2  x ≤ 12 * Anh cho bảng kết quả bấm máy luôn Y 2 3 X 3,16 3 4 5 2,828 2,64 6 12 0 2,44 0 3,464= 12 Nhận xét chung là Y tăng thì X giảm Với Y=2, Y=4, Y=5, Y=6 thì kết quả xấu quá ta thử bình phương lên xem có sử dụng được không Y X2 2 9,9999 3 4 9 5 8 7 6 6 12 0 0 12 Tính tới 2,3 kết quả đầu đã thấy số mình may rồi :D Các cụ phù hộ thì phải khác chứ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt Nhận thấy y + x 2 = 12 Căn cứ vào phương trình 1 thì sẽ là y = 12 − x 2 Làm sao để chứng minh điều này, dễ thấy không thể phân thích thành nhân tử như bài trước được Giờ chỉ còn hàm số và đánh giá mà thôi Hàm số thì có tích x nhân y thế kia thì khó, chia đi thì vướng số 12 bên vế phải Vậy thử đánh giá, mà có 2 cái tích thì chỉ có Cô-si thôi Thế ta dùng máy thử luôn cho nhanh nhé Chúng ta dùng mình năng CALC là chồng của SLOVE :D Các em nhập nguyên vế trái vào: x 12 − y + y(12 − x 2 ) Alpha X 12 – alpha Y + alpha Y – (12 – alpha X x 2 ) Sau đó các em bấm CALC Em máy hỏi là X? cho X bằng mấy ? em nhập 1 = Em máy lại hỏi Y? cho Y bằng mấy ? em nhập vào là 11 hoặc tùy ý X 1 1 2 2 3 3 Y 10 11 10 11 8 11 Giá trị hàm 11,9 12 11,7 11,38 10,89 8,7 4 error Ta nhận thấy VT ≤ 12 = VP vậy đánh giá là phương pháp đúng đắn, hehe Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta được: x 12 − y + y(12 − x 2 ) ≤ x 2 + (12 − y) y + (12 − x 2 ) + = 12 2 2  x = 12 − y  x≥0 Dấu “=” xảy ra khi  ⇔ 2 2  y = 12 − x  y = 12 − x Thế vào phương trình 2 ta được: x3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 Lại bấm máy xem có nghiệm nguyên không nào, có thì coi như xong Các em bấm như sau: Alpha X Shift x 2 -8 Alpha X -1 = 2 10 – alpha X x 2 Sau đó ấn Shifl Solve = = ( ko cần khởi tạo giá trị đầu đâu nhé) Ra được x=3, tới đây có thể mỉm cười được rồi, các cụ phù hộ cho con cháu :D Ta sẽ biến đổi theo x-3 = 0 x3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 ⇔ ( x3 − 8 x − 3) + 2(1 − 10 − x 2 ) = 0 Anh ghép 1 với 10 − x 2 vì khi nhân liên hợp nó xuất hiện x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nguyễn Thế Lực – tuvantoanhoc – Hocmai Online Chuyên đề đặc biệt Tới đây các em vào máy giải phương trình bậc 3 kia xem được nghiệm gì nhé, đừng nói là em ko biết bấm máy cái này Được x=3 và 2 nghiệm xấu òm nhưng ko sao vậy là oke rồi Em tiến hành chia x3 − 8 x − 3 cho (x-3) được x 2 + 3 x + 1 Vậy ta có: ( x − 3)( x 2 + 3 x + 1) + 2(1 − 10 − x 2 ) = 0 ⇔ ( x − 3)( x 2 + 3 x + 1) + 2. x2 − 9 1 + 10 − x 2  2( x + 3) ⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 + 1 + 10 − x 2  =0  =0  ( trong video anh bị nhầm dấu + thành dấu – quay xong rồi nên không làm sao sửa được) Ta có x ≥ 0 nên cái hàm cồng kềnh này x 2 + 3 x + 1 + 2( x + 3) 1 + 10 − x 2 ≥0 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x=y=3 Trong tài liệu ad đã sử dụng 99% kiến thức của mình để truyền đạt cho các em dễ hiểu nhất cùng những ngôn từ vui nhộn để các em đỡ thấy nhàm chán trong quá trình học, hãy luôn coi máy tính như người bạn của mình nhé. Với tài liệu này hi vọng các em sẽ có 1 cái nhìn khác trước 1 bài hệ, hi vọng các em đón nhận tài liệu này, để động viên anh làm các tài liệu chia sẻ các bí kíp khác ở các môn khác. Nhớ chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé như vậy biết đâu lại phát triển thêm cái gì hay hơn Tài liệu này được đính kèm video tại đây : https://www.youtube.com/playlist?list=PL3i7_86mUo2pALzkv00A9F6TPbRqwIUp0 Em xin được chân thành cảm ơn anh Thiệu và anh Hà, anh Minh, Tổ toán Hocmai Online nói riêng, phòng nội dung và công ty Hocmai nói chung đã cổ động và tạo điều kiện để em có thời gian làm tài liệu cũng như động viên tinh thần làm cho em đỡ ngại khi thực hiện video này Ad: tuvantoanhoc Hà Nội, ngày 18/3/2015 Nguyễn Thế Lực, Sinh viên Bách khoa, (đã từng là sinh viên y Hà Nội – luôn tự hào là vậy), học sinh trường THPT Quang Trung, Ninh Giang, Hải Dương. (thông tin thêm: Em nào ở Hà Nội muốn anh gia sư ôn thi Đại Học thì liên hệ vào số 0977543462 nhé) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | -