Mô tả:
VAÁN ÑEÀ 6
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARITMUÕ VAØ HEÄ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH
LOGARIT-MUÕ
121
Vaán ñeà 6
Baát phöông trình Logarit-Muõ vaø heä
baát phöông trình Logarit-Muõ
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
I. Giaû söû f(x) vaø g(x) laø hai haøm soá xaùc ñònh treân moät taäp con D
cuûa R, khi ñoù :
a) Neáu a > 1 thì baát phöông trình logaf(x) > logag(x)
⎧g ( x ) > 0
⎪
(1) töông ñöông vôùi heä baát phöông trình ⎨ f ( x ) > g ( x )
⎪
⎩( x ∈ D )
b) Neáu 0 < a < 1 thì baát phöông trình (1) töông ñöông vôùi heä baát
phöông trình :
⎧ f ( x) > 0
⎪
⎨ f ( x) < g( x)
⎪
⎩( x ∈ D )
II. Giaû söõ f(x) , g(x) vaø α(x) laø höõng haøm soá treân moät taäp hôïp con
D cuûa R .Khi ñoù baát phöông trình logα(x)f(x) > logα(x)g(x) töông
ñöông vôùi 2 heä baát phöông trình :
⎧α ( x ) > 1
⎧0 < α ( x ) < 1
⎪
⎪
⎪g ( x ) > 0
⎪ f ( x) > 0
hay ⎨
⎨
⎪ f ( x) > g( x)
⎪ f ( x) < g( x)
⎪ x∈D
⎪ x∈D
)
)
⎩(
⎩(
122
B. BAØI TAÄP COÙ HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI .
Baøi 1
Giaûi baát phöông trình sau : log x (3 x ) ≤
( )
log 3x 3
Giaûi
Ñieàu kieän x > 0 vaø x ≠ 1
⎡⎧log3x < 0
(1)
⎢⎨
3
⎢⎩log(3x ) ≥ 0
Bpt ⇔ ⎢
log 3x ≥ 0
⎢⎧⎪ x
(2)
⎨
⎢⎪[log x (3x )]2 ≤ log x (3x 2 )
⎣⎩
⎧log x 3 x < log x 1
⎧(x − 1)(3 x − 1) < 0
⇔ ⎨
⇔x>
Giaûi (1) ⇔ ⎨
3
3
⎩(x − 1)(3 x − 1) < 0
⎩log(3x ) ≥ log x 1
3
1
(a)
3
⎧x > 0
⎪
Giaûi (2) ⇔ ⎨(x − 1)(3 x − 2 ) > 0
⎪
2
⎩(log x 3 + 1) ≤ log x 3 + 3 (*)
(*) ⇔ log 2x 3 + log x 3 − 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ logx ≤ 1
1
⎧
⎪0 < x < ∨ x > 1
(2) ⇔ ⎨
3
⎪⎩− 2 ≤ log x 3 ≤ 1
⎡⎧
1
<
<
0
x
⎢
⎪⎪
⎡⎧
1
3
⎢⎨
⎢⎪0 < x < 3
⎢⎪ 1 ≥ 3 ≥ x
⎢⎨
⎪
−
2
≤
log
3
≤
1
⇔ ⎢⎩
⇔
⇔ ⎢⎪⎩ x 2
x
⎢
⎢
⎢⎧ x > 1
⎢⎧ x > 1
⎨
⎢⎪⎨ 1
⎢⎣⎩− 2 ≤ log x 3 ≤ 1
⎢⎪ 2 ≤ 3 ≤ x
⎣⎩ x
⎡
1
⎢0 < x ≤
3
⎢
⎢⎣ x ≥ 3
(b )
(c )
Hôïp (a) vaø (b) vaø (c) ta coù x > 0
Baøi 2
123
log2(1 + log 1 x – log9x) < 1
Giaûi baát phöông trình sau :
9
Giaûi
Ñieàu kieän : x > 0
⇔ 1 – log9x – log9x < 1 (vôùi x > 0) ⇔ 1 – 2log9x < 1
⇔ log9x > −
1
1
1
⇔ log 9x > − log33 ⇔ x >
2
2
3
Baøi 3
Giaûi baát phöông trình sau : 3 lg x + 2 < 3 lg x
Giaûi
Ñieàu kieän : x > 0
(1) ⇔ 3lgx.9 < 32lgx.35 – 2 (vôùi x > 0)
ñaët t = 3lgx
2
+5
− 2 (1)
⎡ 1
⎢t > 9
2
2
bpt ⇔ 9t < 243t – 2 ⇔ 243t – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢
⎢t < − 2
27
⎣⎢
1
• Vôùi t >
:
9
1
⎛1⎞
3 > ⇔⎜ ⎟
9
⎝3⎠
− lg x
2
⎛1⎞
> ⎜ ⎟ ⇔ -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10
⎝ 3⎠
1
⇔ x > 10-2 ⇔ x >
100
2
:
• Vôùi t < −
27
2
3lgx < −
: baát phöông trình voâ nghieäm
27
1
KL : nghieäm cuaû baát phöông trình laø : x >
100
lgx
124
Baøi 5
Giaûi baát phöông trình : log7x > log3(2 +
x ) (**)
Giaûi
Ñieàu kieän x > 0 , ñaët log7x = t ⇔ x = 7t
Baát phöông trình (**)
t
⇔ t > log3(2 +
t
⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ 7 ⎞⎟
t
7 ) ⇔ 3 > 2 + 7 ⇔ 1 > 2. ⎜ ⎟ + ⎜
= f(t)
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎟⎠
t
t
Do f(t) laø haøm nghòch bieán treân R , f(2) = 1
neân baát phöông trình (**) ⇔ f(t) < f(2) ⇔ t > 2 ⇔log7x > 2
⇔ x > 72 = 49 .
Baøi 6
Giaûi baát phöông trình :
2-x
Xeùt f(x) = 3
32− x + 3 − 2x
≥ 0 (*)
4x − 2
(Ñaïi hoïc luaät 1996)
Giaûi
- 2x + 3 nghòch bieán treân R , f(2) = 0 , g(x) = 4x – 2 ñoàng
⎛1⎞
⎝2⎠
bieán treân R , g ⎜ ⎟ = 0
Baát phöông trình (*) ⇔
f (x)
≥0
g( x )
⎧⎧f ( x ) ≥ 0 = f (2)
⎧⎧ x ≤ 2
⎪⎪
⎪⎪
1
⎪⎨g( x ) > 0 = g⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎪⎨
x>
⎪
⎪⎪⎪⎩
2
⎝ ⎠ ⎪⎩
1
2
⇔ ⎨
⇔⎨
⇔ 0 (*) , ∀x ∈ R
1
• m = -1 : 0.x2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > 2
⎛ 1
⎞
⎜ − ,+∞ ⎟ ⊂ R neân khoâng thoûa yeâu caàu (*) ñuùng ∀x ∈ R.
⎝ 2
⎠
⎧⎪m 2 + m + 1 < 0
⎧m ∈ ∅
⎧∆ ' < 0
• m ≠ -1 (*) ⇔ ⎨
⇔ ⎨
⇔ ⎨
⎪⎩m > −1
⎩m + 1 > 0
⎩m > −1
⇔m∈∅
Keát luaän : m ∈ ∅
Baøi 8
Giaûi baát phöông trình :
2
(
x 4 − 8e x −1 > x x 2 e x −1 − 8
)
(Ñaïi Hoïc Xaây Döïng 2001)
(
)
Giaûi
x 4 − 8e x −1 > x x 2 e x −1 − 8 ⇔ x(x3 + 8) – ex-1(x3 + 8) > 0
⇔ (x3 + 8) (x – ex-1) > 0
(*)
Xeùt haøm soá : f(x) = x – ex-1
f’(x) = 1 – ex-1 = 0 ⇔ x = 1
Baûng bieán thieân :
1
+∞
x
-∞
f’(x)
+
0
f(x)
0
+∞
-∞
Baûng bieán thieân cho :
f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1)
Deå thaáy x = 1 khoâng thoûa (*)
Vaäy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi ñoù : (*) ⇔ x3 + 8 < 0 ⇔ x < -2
126
Baøi 9
Tìm m sao cho baát phöông trình sau ñaây ñöôïc nghieäm ñuùng vôùi moïi x
logm (x2 – 2x + m + 1) > 0
(Ñaïi hoïc Ñaø Naúng )
Giaûi
Ta coù : Logm (x2 – 2x + m + 1) > 0
⎡⎧0 < m < 1
⎢⎨ 2
⎢⎩x − 2 x + m + 1 < 1
⇔ ⎢
m >1
⎢⎧⎨
⎢⎣⎩x 2 − 2 x + m + 1 < 1
⎡⎧0 < m < 1
(1)
⎢⎨ 2
⎢⎩x − 2 x + m < 0
⇔ ⎢
m >1
⎢⎧⎨
( 2)
⎢⎣⎩x 2 − 2 x + m > 0
Xeùt (1) : ta thaáy x2 –2x +m < 0 khoâng theå xaûy ra vôi moïi x
Xeùt (2) :x2 – 2x + m > 0 nghieäm ñuùng vôùi moïi x thuoäc R
⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1
Vaäy: m > 1 thì baát phöông trình ñaõ cho nghieäm ñuùng vôùi moïi x.
Baøi 10
Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa x thoaû x > 1 nghieäm ñuùng baát phöông trình
sau : log 2( x2 + x ) ( x + m − 1) < 1 vôùi moïi giaù trò cuûa m : 0 < m ≤ 4
m
(Ñaïi hoïc Giao thoâng vaän taûi )
Giaûi
Vì x > 1 ⇒ 2(x2 + x) > 4 ; cuøng vôùi 0 < m ≤ 4
⇒
2( x 2 + x )
> 1 vaø x + m – 1 > 0.
m
Baát phöông trình ñaõ cho ñöôïc vieát thaønh :
127
x+ m –1 <
2( x 2 + + x )
m
⇔ 2x2 + (2 – m) x – m2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0
⇔x>m–1
( vì 2x + m > 0)
Vì x > 1 vaø 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3
Baøi 10
Giaûi baát phöông trình : 2x + 23-x ≤ 9
(Ñaïi hoïc Kyõ thuaät coâng ngheä thaønh phoá Hoà Chí Minh , khoái A
naêm1998 – 1999)
Giaûi
Ñaët t = 2x vôùi t > 0 ta ñöôïc : t2 – 9t + 8 = 0
Tam thöùc baäc hai theo t aáy coù 2 nghieäm laø 1 vaø 8 .Tam thöùc aáy aâm khi
vaø chæ khi 1 ≤ t ≤ 8
Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa baát phöông trình laø 0 ≤ x ≤ 3
Baøi 11
a) Giaûi baát phöông trình 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1)
b) Ñònh m ñeå moïi nghieäm cuûa baát phöông trình (1) cuõng laø nghieäm
cuûa baát phöông trình :
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0
(Ñaïi hoïc An ninh – Ñaïi hoïc caûnh saùt , khoái G naêm 1998 – 1999)
Giaûi
a) Ta coù : 22x+1 – 9.2x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.22x = 9.2x + 4 ≤ 0
Ñaët t = 2x > 0 , ta seõ coù : (1) ⇔ 2t2 – 9t + 4 ≤ 0
1
vaø 4.
2
1
Tam thöùc aâm hoaëc baèng 0 khi :
≤t≤4
2
1
≤ 2x ≤ 4 hay 2-1 ≤ 2x ≤ 22
Do ñoù ta coù :
2
Nghieäm cuûa tam thöùc theo t laø
Ñaùp soá : –1 ≤ x ≤ 2
b) (m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2)
128
⇔ (m2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0
Ñaët f(x) = (m2 + m + 1)x + 3m + 1
Moïi nghieäm cuûa (1) laø nghieäm cuûa (2) khi vaø chæ khi f(x) > 0,
∀x ∈ [-1 , 2]
⎧ f (− 1) > 0
⇔0 0
⇔ ⎨
Ñaùp soá : 0 < m < 2
Baøi 12
Giaûi baát phöông trình : log x 3
x−5
6x
≥−
1
3
(Ñaïi hoïc An ninh – Ñaïi hoïc caûnh saùt , khoái A naêm 1998 – 1999)
Giaûi
Ta phaûi coù ñieàu kieän x > 0 vaø x ≠ 1
log x 3
Tröôøng hôïp 0 < x < 1
(1) ⇔
x−5
6x
≤
x−5
6x
≥−
1
1
= log x3
(1)
3
x
1
⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1)
x
Tröôøng hôïp x > 1
⎡ x ≤ −1
⎣ x ≥ 11
(1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢
Do ñoù ta coù 0 < x < 1 hay x ≥ 11
Baøi 13
Tìm tham soá a sao cho 2 baát phöông trình sau ñaây töông ñöông :
⎧(a − 1)x − a + 3 > 0
⎨
⎩(a + 1)x − a + 2 > 0
(Cao ñaúng Haûi quan naêm 1998)
Giaûi
Xeùt a = -1.
Hai baát phöông trình ñaõ cho seõ coù daïng –2x > -4 ; Ox > -3 .
Hai baát phöông trình aáy khoâng töông ñöông
129
Xeùt a > 1 : Nghieäm cuûa baát phöông trình thöù nhaát laø x >
nghieäm cuûa baát phöông tình thöù hai laø x >
a−2
a +1
a−3
vaø
a −1
Muoán cho 2 baát phöông trình ñoù töông ñöông thì phaûi coù :
a−3 a−2
=
⇒a=5
a −1 a +1
Baèng caùch töông töï khi a < -1 hay –1 < a < 1 ta coù hai phöông trình
khoâng töông ñöông .
Keát luaän : Hai baát phöông trình töông ñöông khi a = 5
Baøi 14
Giaûi baát phöông trình : log2x + log3x < 1 + log2x.log3x
(Ñaïi hoïc ngoaïi thöông , khoái A naêm 1998 – CSII)
Giaûi
Baát phöông trình töông ñöông vôùi :
log2x(1 – log3x) – (1 - log3x) < 0 ; (x > 0)
⇔ (1 - log3x)(log2x – 1) < 0
Coù theå xaûy ra 2 tröôøng hôïp :
•
⎧1 − log 3 x > 0
⇔03
⎨
⎩log 2 x − 1 > 0
⎡0 < x < 2
⎣x > 3
Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình laø : ⎢
130
Baøi 15
Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa tham soá m sao cho baát phöông trình sau ñaây
ñöôïc thoaû maõn vôùi moïi x ≤ 0 ; x ≥ 1
2
2
m. 4 x − x + (m+1). 10 x − x - 251+ x − x
2
>0
Giaûi
Ta coù :
2
2
m. 4 x − x + (m+1). 10 x − x - 251+ x − x
⎛5⎞
⇔ m + (m + 1). ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛5⎞
Ñaët : y = ⎜ ⎟
⎝2⎠
x−x2
⎡⎛ 5 ⎞ x − x
- 25 ⎢⎜ ⎟
⎢⎣⎝ 2 ⎠
2
⎤
⎥
⎥⎦
2
>0
2
>0
x−x2
>0
Khi x ≥ 1 , x ≤ 0 , ta coù : x – x2 ≤ 0 . Vaäy 0 < y ≤ 1 .
Ta ñöa veà baøi toaùn : Tìm m ñeå baát phöông trình
f(y) = 25y2 - (m + 1) y – m < 0 thoaû maõn vôùi moïi y sao cho 0 < y ≤ 1
⇔ f(y) coù 2 nghieäm y1 ; y2 thoaû y1 ≤ 0 < 1 < y2
⎧f (0) ≤ 0
⎩f (1) < 0
⇔ ⎨
⎧− m ≤ 0
⎩− 2m + 24 < 0
⇔ ⎨
⇔ m > 12
131
Baøi 16
1. Giaûi baát phöông trình :
log 21 ( x − 5) + 3 log 5 5 ( x − 5) + 6 log 1 ( x − 5) − 4 log 25 ( x − 5) + 2 ≤ 0
5
25
2. Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì baát phöông trình treân vaø baát phöông trình
sau:
(x – m)(x – 35) ≥ 0 chæ coù moät nghieäm chung duy nhaát .
Giaûi
2
1/ log1 (x − 5) + 3log5 5 (x − 5) + 6 log 1 (x − 5) − 4 log25 (x − 5) + 2 ≤ 0 (1)
5
25
⇔
log 52 ( x − 5) + 2 log 5 ( x − 5) − 3 log 5 ( x − 5) − 2 log 5 ( x − 5) + 2 ≤ 0
Ñaët y = log5(x – 5) .
(1) ⇔
y2 – 3y + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 2
Vaäy 1 ≤ log5(x – 5) ≤ 2 ⇔ 5 ≤ x – 5 ≤ 25 ⇔ 10 ≤ x ≤ 30
2/ (x – m)(x – 35) ≥ 0
(1)
• Tröôøng hôïp 1 : khi m ≥ 35
⎡x ≥ m
⎣ x ≤ 35
(khoâng thoaû)
(1) ⇔ ⎢
• Tröôøng hôïp 2 : khi m < 35
⎡x ≤ m
⎣ x ≥ 35
(1) ⇔ ⎢
(1) coù nghieäm duy nhaát trong [10;30] ⇔ m = 10
132
Baøi 17
Giaûi baát phöông trình :
log2
log2
(x
2
(x
2
)
+ 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0
Giaûi
)
+ 3 − x 2 − 1 + 2 log 2 x ≤ 0
⎧⎪ x 2 + 3 − x 2 − 1 > 0
⎪⎩x > 0
Ñieàu kieän cuûa nghieäm: ⎨
Khi ñoù : log2x < 0 vaø
⇒ log2
(x
2
⇔ 0 1
(1) ⇔
Giaûi
Log2(2x – x + 2m – 4m2) = log2(x2 + mx – 2m2)
2
⎧⎪2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = x 2 + mx − 2m 2
⎪⎩x 2 + mx − 2m 2 > 0
⇔ ⎨
⎧ ⎡ x = 2m
⎧⎪x 2 − (m + 1) x + 2m(1 − m) = 0
⎪⎢
⇔ ⎨ 2
⇔ ⎨⎣ x = 1 − m
2
⎪⎩x + mx − 2 x > 0
⎪ 2
2
⎩x + mx − 2m > 0
Ñieàu kieän cuûa baøi toaùn :
133
⎧4 m 2 > 0
⎧(2m) 2 + m(2m) − 2m 2 > 0
⎪
⎪
− 2m 2 − m + 1 > 0
2
2
⎪
(
1
m
)
m
(
1
m
)
2
m
0
−
+
−
−
>
⎪
⎪
⇔ ⎨
⇔ ⎨5m 2 − 2m > 0
2
2
⎪(2m) + (1 − m) > 1
⎪
⎪2 m ≠ 1 − m
⎪m ≠ 1
⎩
⎪⎩
3
⎡− 1 < m < 0
⇔ ⎢2
⎢ 0)
(1)
⇔ t 2 − 2mt + 3 − 2m ≤ 0
⇔
t2 + 3
≤ 2m
t +1
Ñaët : f (t) =
t2 + 3
t1
f '(t) = 0 ⇔
t=1
vaäy :
f (t) ≤ 2m
(t > 0)
Ta coù : f '(t) =
∀t > 0 ⇔ 2 ≤ 2m
t 2 + 2t − 3
(t + 1) 2
⇔ 1≤ m
Löu yù :
Daïng 1 : g(T) ≤ m, T ∈ Dg (*), luoân coù nghieäm khi m ≥ Ming(T)T ∈ Dg
Daïng 2 : g(T) ≥ m, T ∈ Dg (*) lu6n coù nghieäm) ⇔ m ≤ Maxg(T), T ∈ Dg
134
Baøi 20
Cho baát phöông trình :
2
2
2
m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ 0
Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá m ñeå baát phöông trình coù nghieäm .
Giaûi
2
2
2
m.92x − x − (2m + 1).62x − x + m.42x − x ≤ 0
⎛3⎞
(1) ⇔ m ⎜ ⎟
⎝2⎠
2x 2 − x
⎛3⎞
− ( 2m + 1) ⎜ ⎟
⎝2⎠
2x 2 − x
(1)
+m≤0
⎧g ( x ) = 2x 2 − x
⎪⎪
g( x )
Ñaët : ⎨
⎛3⎞
⎪t = ⎜ ⎟
⎩⎪ ⎝ 2 ⎠
⎛
1⎤
⎡1
⎞
Ta khaûo saùt y = g ( x ) vôùi x ∈ ⎜ −∞, − ⎥ ∪ ⎢ , +∞ ⎟
2⎦ ⎣2
⎝
⎠
g ' ( x ) = 4x − 1
Ta coù : x ≥
o
1
⎛3⎞
⇒ g(x) ≥ 0 ⇒ t ≥ ⎜ ⎟ = 1
2
⎝2⎠
(1) ⇔ mt 2 − ( 2m + 1) t + m ≤ 0
(
)
⇔ m t 2 − 2t + 1 ≤ t ⇔ m ≤
t
( t − 1)2
∀t > 1
Baïn ñoïc coù theå laøm töông töï nhö baøi treân …….
Baøi 21
Giaûi baát phöông trình :
log a2 + log a x + 2
> 1 (cô soá a döông vaø khaùc 1 .)
log a x
(Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi )
Giaûi
log a2 +
log a x + 2
> 1 ( a > 0 ; a ≠ 1)
log a x − 2
135
⎧x > 0
log a x ≠ 2 ⇔ ⎨x ≠ a 2
⎩
Ñaët t = log a x , ta coù baát phöông trình theo t :
t2 + t + 2
t2 + 4
>1⇔
>0 ⇔t–2>0⇔ t>2
t−2
t−2
2
⎡
a >1
Vaäy log a x > 2 ⇔ ⎢ x > a
2 neáu
0 < x <1
<
<
0
x
a
⎣
Baøi 22
Tìm nghieäm cuûa phöông trình : sin4x + cos4x = cos2x thoaû maõn baát
phöông trrình :
1 + log 1 (2 + x − x 2 ) > 0
2
(Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi )
Giaûi
1 2
sin 2x = cos2x ⇔ cos22x – 2cos2x + 1 = 0
2
⇔ cos2x = 1 ⇔ x = k π; k ∈ Z
⎧⎪2 + x − x 2 > 0
2
⎧
(2) ⇔ ⎨log 1 (2 + x − x 2 ) ≥ −1 ⇔ ⎨2 + x 2− x > 0
⎩x − x ≤ 0
⎪⎩ 2
⎧⎪− 1 < x < 2
⇔ ⎨⎡ x ≥ 1
⇔ ⎧⎨− 1 < x ≤ 0
⎩1 ≤ x < 2
⎪⎩⎢⎣ x ≤ 0
(1) ⇔ 1 −
Nghieäm cuûa (1) thoaû maõn (2) khi ⎡ − 1 < kπ ≤ 0 ⇔ k = 0
⎢⎣1 ≤ kπ ≤ 2
Vaäy x = 0 .
136
Baøi 23
Giaûi caùc baát phöông trình :
b)
x − x −1
⎛1⎞
≥⎜ ⎟
⎝3⎠
log 2 ( x + 1) 2 − log 3 ( x + 1) 3
a) 3
x 2 −2 x
x 2 − 3x − 4
> 0
(Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi )
Giaûi
a) Ñieàu kieän cuaû nghieäm : x2 – 2x ≥ 0 ⇔ ⎡ x ≥ 2
⎢⎣ x ≤ 0
3
⇔
x 2 −2x
⎛1⎞
≥⎜ ⎟
⎝ 3⎠
x − x −1
⇔ 3
x 2 −2 x
≥3
x −1 − x
x 2 − 2x ≥ − x + x − 1 (**)
Vì ( x – 1)2 = x2 –2x + 1 > x2 – 2x
⇒
x − 1 > x 2 − 2x ∀x ≥ 2 hoaëc x ≤ 0
Vì theá (**) khoâng theå xaûy ra , khi − x ≥ 0 hay x ≤ 0
Vaäy phaûi coù x > 0 ,do ñoù x > 2 .
Luùc ñoù , (**) trôû thaønh :
x 2 − 2x ≥ − x + x − 1 = − 1 , laø hieån nhieân ñuùng .
Vaäy nghieäm cuûa (*) laø : x ≥ 2.
Caùch khaùc :
Xeùt x > 1 : ñöa veà daïng
A ≥ B hoaëc A ≤ B
Xeùt x < 1 : baïn haõy töï giaûi , raát deã seõ ⇒ ñaùp soá
b) Ñieàu kieän x + 1 > 0 . Neáu x + 1 = 1 thì töû thöùc baèng 0 , voâ lyù ;
Neân phaûi coù x + 1 ≠ 1. Luùc ñoù :
2 log x +1 3 − 3 log x +1 2
2
3
log2(x +1)2 – log3(x + 1)3 =
−
=
log x +1 2 log x +1 3
log x +1 2. log x +1 3
⎛9⎞
log x +1 ⎜ ⎟
⎛9⎞
⎝8⎠
= log 3 ⎜ ⎟. log 2 ( x + 1)
=
(log x +1 2)(log x +1 3)
⎝8⎠
137
Do ñoù :
log 2 ( x + 1) 2 − log 3 ( x + 1) 3
x 2 − 3x − 4
> 0 (1) trôû thaønh :
⎛9⎞
⎡⎧x > 4
log 3 ⎜ ⎟. log x +1 2
⎢⎨x + 1 > 1
⎝8⎠
⇔ ⎡x > 4
> 0 ⇔ (x – 4)logx+12 > 0 ⇔ ⎢⎩
⎢⎣ x < 0
x
<
4
⎧
( x + 1)( x − 4)
⎢⎨x + 1 < 1
⎣⎩
Ñoái chieáu ñieàu kieän − 1 < x ≠ 0 ta coù nghieäm cuûa (1) laø :
x > 4 hoaëc − 1 < x < 0.
Baøi 24
Giaûi baát phöông trình :
1
log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
2
3
3
(Ñeà ÑH Baùch Khoa Haø Noäi )
Giaûøi
⎧⎡ x > 3
⎧x 2 − 5x + 6 > 0 ⎪⎢⎣ x < 2
⎪
⎪
Ñieàu kieän : ⎨x − 2 > 0
⇔ ⎨x > 2 ⇔ x > 3
⎪x > −3
⎪⎩x + 3 > 0
⎪⎩
Vôùi ñieàu kieän treân :
1
log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
2
3
3
1
1
1
⇔ 2 log 3 ( x − 2)( x − 3) − 2 log 3 ( x − 2) > − 2 log 3 ( x + 3)
⎡ ( x − 2)( x − 3) ⎤
⇔ log 3 ⎢
⎥ + log 3 ( x + 3) > 0
x−2
⎣
⎦
⇔ log 3 ( x − 3) + log 3 ( x + 3) > 0 ( vì x > 3 )
⇔ log 3 ( x − 3)(x + 3) > 0 ⇔ x2 – 9 > 0
⇔ x > 10 ⇔ x > 10
Ñaùp soá : x > 10
138
( vì x > 3 )
Baøi 25
Tìm m ñeå baát phöong trình log 1 ( x 2 − 2 x + m) > −3 coù nghieäm.
2
Giaûi
log 1 ( x 2 − 2x + m) > −3
2
⎧ 2
⇔ log 2 ( x 2 − 2x + m) > 3 ⇔ ⎨x 2 − 2x + m > 0
⎩x − 2 x + m < 8
⎧m > 2 x − x 2 = f 1 ( x )
⇔ ⎨
2
⎩m < x + 2 x + 8 = f 2 ( x )
Xeùt caùc ñieåm M(x,m) thuoäc mieàn trong cuûa (f2) vaø mieàn ngoaøi cuûa
(f1).
Do f2(x) > f1(x) ∀ x neân (f1) ôû beân trong (f2) , vì vaäy ñeå baát phöông
trình treân coù nghieäm caàn vaø ñuû laø :
m < max(f2) ⇔ m < 9
Vaäy khi m < 9 thì : log 1 ( x 2 − 2 x + m) > −3 coù nghieäm .
2
Baøi 26
Giaûi baát phöông trrình sau :
4 x 2 + x .2 x
1-\ 4x + x.2
2
x 2 +1
+ 3.2
x2
2
+1
2
2
+ 3.2 x > x 2 .2 x + 8x + 12
Giaûi
> x .2 + 8x + 12
2
x2
2
2
⇔ 4( x − 2x − 3) + 2 x (2 x + 3 − x 2 ) > 0
[
⇔ ( x 2 − 2 x − 3) 4 − 2 x
2
]
⎡⎧x 2
⎢⎨x 2
> 0 ⇔ ⎢⎩ 2
⎢⎧x
⎢⎣⎨⎩x 2
− 2x − 3 > 0
<2
− 2x − 3 < 0
>2
139
⎡⎧⎡ x > 3
⎢⎪⎨⎢⎣ x < −1
⎢⎪
− 2 2
⎢⎪⎢ x < − 2
⎣⎩⎣
Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø : (− 2 ;−1) U ( 2 ;3)
Baøi 27
Vôùi 0 < x <
π
, chöùng minh :
2
3
2 2 sin x + 2 tgx > 2 2
x +1
(Ñeà Ñaïi Hoïc Döôïc Haø Noäi )
Giaûi
2 2 sin x + 2 tgx > 2 2 2 sin x + tgx =
2 sin x + tgx
+1
2 2
Ta xeùt haøm f(x) = 2sinx + tgx – 3x
f’(x) = 2cosx +
0 0
2
cos x
=
⇒ f(x) laø haøm taêng , f(x) > f(0) = 0 vôùi 0 < x <
Suy ra
Baøi 28
2
2 sin x
+2
tgx
>
3
x +1
22
(ñpcm).
⎛ 2x − 1 ⎞
Giaûi baát phöông trình sau : log x ⎜
⎟ > 1
⎝ x −1 ⎠
Giaûi
2
x
−
1
2
x
−
1
⎛
⎞
> log x x
log x ⎜
⎟ > 1 ⇔ log x
x −1
⎝ x −1 ⎠
140
π
2
- Xem thêm -