Tài liệu Bất phương trình kiểu gronwall và ứng dụng đối với phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Phạm Thị Ngọc Huệ BẤT PHƯƠNG TRÌNH KIỂU GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ngọc Huệ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bất phương trình kiểu Gronwall và ứng dụng đối với phương trình tích phân” là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiên cứu của tác giả dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Phạm Thị Ngọc Huệ Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall . . . . . . . . 4 1.2 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Điều kiện về tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4 Điều kiện hội tụ tới 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Ứng dụng đối với phương trình tích phân 49 2.1 Cách đánh giá nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Trường hợp hạch suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Điều kiện về tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4 Điều kiện hội tụ về 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 i Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân là một trong những lý thuyết bắt nguồn từ thực tế. Trong quá trình phát triển, lý thuyết này đã góp phần không nhỏ vào giải quyết nhiều bài toán khoa học thuộc nhiều lĩnh vực như Vật lý, Sinh học, Kinh tế học, lý thuyết toán tử. . . Chúng ta đã biết cách phân loại các phương trình vi phân, từ đó tìm cách giải chúng. Tuy nhiên những phương trình giải được là rất ít. Đại đa số các phương trình (nhất là các phương trình phi tuyến) đều không thể tìm được nghiệm tường minh. Vì vậy, nghiên cứu định tính các phương trình đó và các bài toán tương ứng được đặt ra. Một số vấn đề định tính cơ bản như: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện của bài toán, tính bị chặn,. . . Năm 1919, T. H. Gronwall đã chứng minh một bất phương trình vô cùng quan trọng (xem [6])-sau này chúng ta nhắc tới kết quả đó với cái tên Bất phương trình Gronwall, công trình đó đã giành được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới, như Bellman trong [3] đã khẳng định: các bất phương trình kiểu Gronwall đối với các hàm thực 1 2 một biến đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi tích phân. Cho đến nay bất phương trình Gronwall đã được mở rộng và có nhiều ứng dụng (xem [5], [8], [9] và các tài liệu trong đó). Để tìm hiểu vai trò của các bất phương trình dạng đó, tôi đã chọn đề tài “Bất phương trình kiểu Gronwall và ứng dụng đối với phương trình tích phân” 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số bất phương trình kiểu Gronwall. - Ứng dụng các kết quả vào nghiên cứu tính bị chặn và sự hội tụ về không ở vô cực của các nghiệm của các phương trình tích phân Volterra. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu một số bất phương trình kiểu Gronwall đối với hàm thực một biến với hạch thỏa mãn điều kiện Lipschitz và ứng dụng trong các bài toán về tính bị chặn và sự hội tụ về không ở vô cực của các nghiệm của các phương trình tích phân Volterra. 3 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu về các bất phương trình kiểu Gronwall - Phương trình tích phân Volterra. 5. Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng các kiến thức của Giải tích hàm, Phương trình vi phân, phương trình tích phân. - Thu thập các tài liệu liên quan đến phương trình tích phân. Phân tích, tổng hợp và hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình vi phân 6. Đóng góp của đề tài Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về chủ đề bất phương trình kiểu Gronwall và ứng dụng đối với phương trình tích phân. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này đề cập tới một số bất phương trình tích phân kiểu Gronwall cụ thể cùng với lớp bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch Lipschitz. Nội dung của chương này tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [5] và [8]. 1.1 Bất phương trình tích phân kiểu Gronwall Trong mục này chúng tôi đề cập tới một số bất phương trình tích phân kiểu Gronwall với hạch là các hàm khá cụ thể. Trước hết là một số dạng cổ điển của bất phương trình Gronwall. Năm 1919, T. H. Gronwall [6] đã chứng minh một bất phương trình vô cùng quan trọng sau đây. Định lý 1.1 (Gronwall). Cho x, ψ và χ là hàm liên tục xác định trên [a, b], χ(t) ≥ 0 với t ∈ [a, b]. Giả sử rằng trên đoạn [a, b] ta có bất phương trình: t x(t) ≤ Ψ(t) + χ(s)x(s)ds. a 4 (1.1) 5 Khi đó t x(t) ≤ Ψ(t) + t χ(s)Ψ(s) exp a χ(u)du ds (1.2) a trong đoạn [a, b]. t Chứng minh. Xét hàm y(t) := χ(u)x(u)du, t ∈ [a, b]. Khi đó ta có a y(a) = 0 và b y (t) = χ(t)x(t) ≤ χ(t)ψ(t) + χ(t) χ(s)x(s)ds a ≤ χ(t)ψ(t) + χ(t)y(t), t ∈ (a, b). t Nhân 2 vế với exp − > 0 ta có χ(s)ds a d dt t y(t) exp − t ≤ Ψ(u)χ(u) exp − χ(s)ds χ(s)ds . a a Lấy tích phân trên [a, t], ta có t t y(t) exp − χ(s)ds a ≤ t Ψ(u)χ(u) exp − χ(s)ds du a a từ đó ta có t t y(t) ≤ Ψ(u)χ(u) exp a χ(s)ds du, a Vì x(t) ≤ ψ(t) + y(t) nên định lý được chứng minh. Từ Định lí 1.1 ta có một số hệ quả sau. t ∈ [a, b]. 6 Hệ quả 1.1. Nếu ψ khả vi thì từ (1.1) ta có t x(t) ≤ Ψ(a) t χ(u)du + t exp a χ(u)du Ψ (s)ds a (1.3) s với mọi t ∈ [a, b]. Chứng minh. Dễ thấy rằng t − a d ψ(s) dt t exp χ(u)du ds = s t t = −ψ(s)exp b a X(u)du exp + s t a s t t t = −ψ(t) + ψ(a)exp χ(u)du ψ (s)ds χ(u)du χ(u)du ψ (s)ds exp + a s s với mọi t ∈ [a, b]. Do vậy ta có t Ψ(x)+ t Ψ(u)χ(u) exp a χ(s)ds du = u t = Ψ(a) exp t χ(u)du + t exp a a χ(u)du Ψ (s)ds, t ∈ [a, b] s và hệ quả được chứng minh. Hệ quả 1.2. Nếu ψ là một hàm hằng thì từ t x(t) ≤ Ψ + χ(s)x(s)ds (1.4) a ta có t x(t) ≤ Ψ exp χ(u)du . a Dưới đây là một số mở rộng của bất phương trình Gronwall: (1.5) 7 Định lý 1.2. Cho x : [a, b] → R+ là một hàm liên tục thỏa mãn bất phương trình t x(t) ≤ M + t ∈ [a, b], Ψ(s)ω(x(s))ds, (1.6) a trong đó M ≥ 0, Ψ : [a, b] → R+ là một hàm liên tục, w : R+ → R∗ + liên tục và đơn điệu tăng. Khi đó ta có đánh giá t −1 x(t) ≤ φ φ(M ) + t ∈ [a; b] , ψ(s)ds , (1.7) a trong đó Φ : R → R được cho bởi u Φ(u) := u0 ds , ω(s) u ∈ R. (1.8) Định lý 1.3. Cho x : [a, b] → R là một hàm liên tục thỏa mãn: t 1 2 1 x (t) ≤ x2 + 2 2 0 Ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a, b], (1.9) a trong đó x0 ∈ R và ψ liên tục không âm trên đoạn [a, b]. Khi đó ta có đánh giá t |x(t)| ≤ |x0 | + Ψ(s)ds, t ∈ [a, b]. a Định lý 1.4. Cho x(t) là hàm không âm liên tục sao cho t x(t) ≤ a + [b + cx(s)]ds, t0 t > t0 , (1.10) 8 trong đó a ≥ 0, b ≥ 0, c > 0. Khi đó với t ≥ t0 , x(t) thỏa mãn x(t) ≤ b c (exp(c(t − t0 )) − 1) + a exp c(t − t0 ). Định lý 1.5. Cho hàm liên tục x(t) thỏa mãn t (a |x(s)| + b)e−α(t−s) ds, |x(t)| ≤ |x(t0 )| exp(−α(t − t0 )) + t0 trong đó a, b và α là các hằng số dương. Khi đó |x(t)| ≤ |x(t0 )| exp(−α(t − t0 )) + b(α − a)−1 (1 − exp(−(α − a)(t − t0 ))). Định lý 1.6. Cho x(t)là hàm liên tục thỏa mãn t x(t) ≤ x(τ ) + a(s)x(s)ds, τ với mọi t và τ thuộc (a, b), trong đó a(t) ≥ 0 và liên tục. Khi đó t x(t0 ) exp − t a(s)ds ≤ x(t) ≤ x(t0 ) exp t0 a(s)ds t0 với mọi t ≥ t0 . Định lý 1.7. Cho x(t) liên tục không âm trên [0, h] và thỏa mãn t x(t) ≤ a(t) + [a1 (s)x(s) + b(s)]ds, 0 trong đó a1 (t) và b(t) là các hàm không âm khả tích trên cùng một 9 khoảng mà a(t) bị chặn trên đó. Khi đó, trên [0, h] t x(t) ≤ t b(s)ds + sup |a(t)| exp 0≤t≤h 0 a1 (s)ds . 0 Định lý 1.8. Giả sử x(t) là hàm liên tục không âm trên [0, ∞) sao cho t α β x(t) ≤ ct + mt 0 x(s) ds, s trong đó c > 0, α ≥ 0, β ≥ 0. Ta có ∞ α x(t) ≤ ct 1+ n=1 mn tnβ α(α + β) + ... + (α + (n − 1)β) . Định lý 1.9. Cho x và k liên tục, a và b là các hàm khả tích Rieman trên J = [α,β] với b và k không âm trên J. i) Nếu t x(t) ≤ a(t) + b(t) t ∈ J, (1.11) b(r)k(r)dr ds, t ∈ J. (1.12) k(s)x(s)ds, α thì t x(t) ≤ a(t) + b(t) t a(s)k(s) exp α s Hơn nữa, dấu bằng trong (1.12) xảy ra trên một khoảng con J1 = [α, β1 ] của J nếu dấu bằng xảy ra trong (1.11) với t ∈ J1 . ii) Kết quả vẫn đúng nếu thay ≤ bằng ≥ ở cả (1.11) và (1.12). β t iii) Cả hai (i) và (ii) vẫn đúng nếu được thay bằng α t và t s 10 s được thay bằng . t Định lý 1.10. Nếu n t x(t) ≤ a(t) + a1 (t) ti b1 (s)x(s)ds + a2 (t) t1 bi (s)x(s)ds, ci t1 i=2 với t thuộc [a, b], trong đó a = t0 < ... < tn = b, ci là các hằng số, các hàm xuất hiện đều là hàm thực, liên tục và không âm, và nếu n ti ci i=2 t bi (t) a2 (t) + a1 (t) t b1 (s)a2 (s) t1 a1 (r)b1 (r)dr ds dt < 1 t1 t1 thì x(t) ≤ K1 (t) + M K2 (t), trong đó t K1 (t) = a(t) + a1 (t) t bi (s)a(s) exp a1 (r)b1 (r)dr ds, t1 s t K2 (t) = a2 (t) + a1 (t) t b1 (s)a2 (s) exp a1 (r)b1 (r)dr ds, t1 s và n M= ci i=2 n ti bi (s)K1 (s)ds t1 1− ci i=2 −1 t bi (s)K2 (s)ds . t1 Định lý 1.11. Cho x(t) là hàm thực, liên tục và không âm sao cho 11 với t > t0 t x(t) ≤ c + k(t, s)x(s)ds, c > 0, t0 trong đó k(t, s) là hàm khả vi liên tục theo t và liên tục theo s với k(t, s) ≥ 0 với t > s > t0 . Khi đó s t x(t) ≤ c exp k(s, s) + t0 t0 ∂k (s, r)dr ds . ∂s Định lý 1.12. Cho x(t) là hàm thực, liên tục và không âm trên [c, d] sao cho t x(t) ≤ a(t) + b(t) k(t, s)x(s)ds, e trong đó a(t) ≥ 0, b(t) ≥ 0, k(t, s) ≥ 0 là các hàm liên tục, c ≤ s ≤ t ≤ d. Khi đó t x(t) ≤ A(t) exp B(t) K(t, s)ds c với A(t) = sup a(s), B(t) = sup b(s), K(t, s) = sup k(σ, s). c≤s≤t c≤s≤t s≤σ≤t Định lý 1.13. Cho x và a là các hàm thực, liên tục trên J = [a, b] và k là hàm liên tục không âm trên T : α ≤ s ≤ t ≤ β. Nếu t x(t) ≤ a(t) + k(t, s)x(s)ds, α t∈J (1.13) 12 thì t x(t) ≤ a(t) + (1.14) t ∈ J, R(t, s)a(s)ds, α ∞ i=1 Ki (t, s) trong đó R(t, s) = với (t, s) ∈ T, là hạch giải thức của k(t, s) và Ki (t, s) là các hạch lặp của k(t, s). Tiếp đến là một số mở rộng phi tuyến của bất phương trình Gronwall. Định lý 1.14. Cho u(t) là hàm không âm thỏa mãn bất phương trình tích phân sau t (a(s)u(s) + b(s)uα (s)) ds, u(t) ≤ c + (1.15) c ≥ 0, α ≥ 0, t0 trong đó a(t) và b(t) là hàm liên tục không âm với t ≥ t0 . Với 0 ≤ α < 1, ta có t u(t) ≤ c 1−α exp (1 − α) a(s)ds t0 t +(1 − α) 1 1−α t b(s) exp (1 − α) t0 a(r)dr ds . (1.16) s Với α = 1 ta có t u(t) ≤ c exp (1.17) [a(s) + b(s)]ds t0 và với α > 1 cùng giả thiết bổ sung 1 α−1 t0 +h c< exp (1 − α) a(s)ds t0 1 − α−1 t0 +h (α − 1) b(s)ds t0 (1.18) 13 ta cũng có với t0 ≤ t ≤ t0 + h, với h > 0 t u(t) ≤ c exp (1 − α) a(s)ds t0 −c−1 (α − 1) 1 α−1 t t b(s) exp (1 − α) a(r)dr ds . (1.19) s t0 Chứng minh. Với a = 1 ta có bất phương trình tuyến tính thông thường nên (1.16) thỏa mãn. Giả sử 0 < α < 1. Kí hiệu v là nghiệm của phương trình tích phân t [a(s)v(s) + b(s)v α (s)]ds, v(t) = c + t ≥ t0 . t0 Ở dạng khác, đây là phương trình Bernoulli v (t) = a(t)v(t) + b(t)v α (t), v(0) = c nên tích phân phương trình này ta nhận được v(t) bằng vế phải của (1.16). Với α > 1 ta lại có phương trình Bernoulli và chứng minh là tương tự nhưng ta cần thêm điều kiện (1.18) nếu điều kiện này thỏa mãn trên khoảng bị chặn t0 ≤ t ≤ t0 + h. Định lý 1.15. Nếu t φ(s)uα (s)ds, u(t) ≤ f (t) + c 0 trong đó tất cả các hàm đều là hàm liên tục và không âm trên 14 [0, h], 0 < α < 1, c ≥ 0 thì 1−α t α u(t) ≤ f (t) + cξ0 φ 1 1−α (s)ds 0 trong đó ξ0 là nghiệm duy nhất của ξ = a + bξ α . Định lý 1.16. Nếu t h α u(t) ≤ c1 + c2 φ(s)uα ds, φ(s)u (s)ds + c3 0 0 c1 ≥ 0, c2 ≥ 0, c3 > 0, và các hàm u(t) và ϕ(t) liên tục và không âm trên [0, h], thì với 0 < α < 1 ta có: 1 1−α t 1−α ξ0 + c2 (1 − α) u(t) ≤ φ(s)ds , 0 trong đó ξ0 là nghiệm duy nhất của phương trình c1 c2 c2 + c3 ξ+ c3 c3 Nếu α > 1 và c2 (α−1) 1−α h −ξ 1−α − c2 (1 − α) φ(s)ds = 0. 0 t φ(s)ds 0 < c1−α , thì tồn tại đoạn [0, δ] ⊂ [0, h], 1 trên đó 1 1−α t u(t) ≤ c1 1−α − c2 (α − 1) φ(s)ds . 0 Định lý 1.17. Cho các hàm x, a, b và k liên tục và không âm trên J = [α, β], n là một nguyên dương (n ≥ 2) và a là hàm không tăng. b Nếu t k(s)xn (s)ds, x(t) ≤ a(t) + b(t) α t ∈ J, (1.20) 15 thì 1 1−n t k(s)b(s)an−1 (s)ds x(t) ≤ a(t) 1 − (n − 1) , α ≤ t ≤ βn , α (1.21) trong đó t kban−1 ds < 1 . βn = sup t ∈ J : (n − 1) α Định lý 1.18. Cho u(t) và k(t) là hàm liên tục dương trên [c, d] và a và b là hằng số không âm. Hơn nữa, g(z) là một hàm dương, không giảm với z ≥ 0. Nếu t u(t) ≤ a + b k(s)g(u(s))ds, t ∈ [c; d], c thì t −1 u(t) ≤ G k(s)ds , c ≤ t ≤ d1 ≤ d, G(a) + b c trong đó λ G(λ) = ξ ds , g(s) (ξ > 0, λ > 0) và d1 được xác định sao cho t G(a) + b k(s)ds c thuộc miền xác định của G−1 với t ∈ [c, d1 ]. Định lý 1.19. Giả sử u(t) và β(t) liên tục và không âm trên [to ; ∞) . Cho f (t), g(u) và α(t) là các hàm khả vi với f không âm, g dương 16 và không giảm, và gα không âm và không tăng. Giả sử rằng: t β(s)g (u(s)) ds. (1.22) ≤ 0 trên [t0 , ∞) (1.23) u(t) ≤ f (t) + α(t) t0 Nếu f (t) 1 −1 g(η(t)) với mỗi hàm liên tục không âm η thì t −1 u(t) ≤ G α(s)β(s) + f (s) ds , G(f (t0 )) + (1.24) t0 trong đó δ G(δ) = ε ds ; ε > 0, g(s) δ > 0, (1.25) và (1.24) thỏa mãn với mọi giá trị của t sao cho hàm t δ(t) = G[f (t0 )] + [α(s)β(s) + f (s)]ds t0 thuộc miền xác định của hàm ngược G−1 . Chứng minh. Đặt t V (t) = f (t) + α(s)β(s)g[u(s)]ds. t0 Vì g không giảm và α không tăng, nên từ (1.22) ta nhận được g(u(t)) ≤ g(V (t)). Từ đây ta có được f (t) + α(t)β(t)g [u(t)] ≤ α(t)β(t)g [V (t)] + f (t),