Tài liệu BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA MỤC LỤC Bất ñẳng thức Cauchy..............................................................................................2 Bất ñẳng thức tam giác ............................................................................................13 Dùng phương pháp hàm số ñể chứng minh bất ñẳng thức.......................................16 LIÊN HỆ ðĂNG KÍ VÀ TƯ VẤN HỌC TẬP TẠI: TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA ðỂ THEO HỌC CÁC KHÓA HỌC BỒI DƯỠNG VĂN HÓA 10 – 11- 12 VÀ LUYỆN THI ðẠI HỌC ðịa chỉ: 1137 – 1197 – Ngô Quyền – ðà Nẵng. ðiện Thoại: 05113 987.72.72 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 1 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA BÁÚT ÂÀÓNG THÆÏC CAUCHY A. LYÏ THUYÃÚT: 1. Báút âàóng thæïc Cauchy: Våïi caïc säú khäng ám x1, x2, ... , xn. Ta coï: x1 + x 2 + ... + x n n ≥ x1 x 2 ...x n n Âàóng thæïc xaíy ra khi vaì chè khi: x1 = x2 = ... = xn 2. Hãû quaí: Cho daîy säú dæång a1, a2, ...., an. Ta coï: 1 1 1 (i) ( a1 + a2 + ... + an )  + + ... +  ≥ n 2 an   a1 a2 1 11 1 1 ≤ 2  + + ... +  a1 + a2 + ... + an n  a1 a2 an  B. BAÌI TÁÛP MÁÙU: (ii) Ví dụ 1: Cho ba số không âm x, y, z. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z ≥ 3( x + y + z ) Khi nào ñẳng thức xảy ra? Giải: Áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có: x 2 + x + x ≥ 3x , ñẳng thức xảy ra ⇔ x = 1 y 2 + y + y ≥ 3 y , ñẳng thức xảy ra ⇔ y = 1 z 2 + z + z ≥ 3z , ñẳng thức xảy ra ⇔ z = 1 Cộng vế theo vế ba bất ñẳng thức trên, ta ñược: x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z ≥ 3( x + y + z ) ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Ví dụ 2: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn ñiều kiện: x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≥1 2x + 7 y 2 y + 7 z 2z + 7x Khi nào ñẳng thức xảy ra? Giải: Áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 2 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA 1 2x + 7 y 2 1 2x + 7 y + ≥ , ñẳng thức xảy ra ⇔ = ⇔ 2x + 7 y = 3 2x + 7 y 9 2x + 7 y 9 3 1 2 y + 7z 2 1 2 y + 7z + ≥ , ñẳng thức xảy ra ⇔ = ⇔ 2 y + 7z = 3 2y + 7z 9 3 2y + 7z 9 1 2z + 7x 2 1 2z + 7x ≥ , ñẳng thức xảy ra ⇔ ⇔ 2z + 7x = 3 + = 2z + 7x 9 3 2z + 7x 9 Cộng vế theo vế ba bất ñẳng thức trên, ta ñược: ⇒ 1 1 1 + + ≥ 2 − ( x + y + z) 2x + 7 y 2 y + 7 z 2z + 7x 1 1 1 + + ≥1 2x + 7 y 2 y + 7 z 2z + 7x 1 ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = . 3 Ví dụ 3: Cho ba số không âm x, y, z thoả mãn ñiều kiện: x2 + y2 + z2 ≥ 3. Chứng minh rằng 3 x6 y6 z6 + + ≥ ( y 2 + 1)( z 2 + 1) ( z 2 + 1)( x 2 + 1) ( x 2 + 1)( y 2 + 1) 4 Khi nào ñẳng thức xảy ra? Giải: Ta có: x6 y2 +1 z 2 +1 3 2 + + ≥ x . 8 8 4 ( y 2 + 1)( z 2 + 1) x6 y2 + 1 z2 + 1 = = ðẳng thức xảy ra ⇔ 2 ( y + 1)( z 2 + 1) 8 8 y6 z 2 +1 x2 +1 3 2 + + ≥ y . 8 8 4 ( z 2 + 1)( x 2 + 1) (1) (2) y6 z2 + 1 x2 + 1 = = ðẳng thức xảy ra ⇔ 2 ( z + 1)( x 2 + 1) 8 8 z6 x2 + 1 y2 + 1 3 2 + + ≥ z . ( x 2 + 1)( y 2 + 1) 8 8 4 ðẳng thức xảy ra z6 x2 + 1 y2 + 1 = = ðẳng thức xảy ra ⇔ 2 ( x + 1)( y 2 + 1) 8 8 Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta ñược: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 3 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA x6 y6 z6 1 3 + 2 + 2 ≥ (x2 + y 2 + z 2 ) − 2 2 2 2 4 ( y + 1)( z + 1) ( z + 1)( x + 1) ( x + 1)( y + 1) 2 x6 y6 z6 3 + + ≥ ⇒ 2 ( y + 1)( z 2 + 1) ( z 2 + 1)( x 2 + 1) ( x 2 + 1)( y 2 + 1) 4 ðẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 Ví dụ 4: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn ñiều kiện: x2 + y2 + z2 = 3. Chứng minh rằng 9 − x4 x y +z 2 2 + 9 − y4 x z +x 2 + 2 9 − z4 x x +y 2 ≥ 12 2 2 Khi nào ñẳng thức xảy ra? Giải:  x 2 < 3 9 − x 4 > 0  2  4 2 2 2 ⇒ y < 3  9 − y > 0 Ta có: x, y, z > 0 và x + y + z = 3 nên : z 2 < 3 9 − z 4 > 0   Áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có : 2x 2 + y 2 + z 2 (9 − x 4 ) 2 2 (9 − x 4 ) x y +z ≤ ⇒ ≥ 2 2 2 2x + y 2 + z 2 2 2 x y +z 2 2 (9 − x 4 ) 2 2 (9 − x 4 ) (9 − x 4 ) ⇒ ≥ ⇒ ≥ 2 2 (3 − x 2 ) 2 x +3 x y2 + z2 x y2 + z2 (1) ðẳng thức xảy ra ⇔ y2 + z2 = 2x2 x2 + 2 y2 + z2 (9 − y 4 ) y z +x ≤ ⇒ ≥ 2 2 (3 − y 2 ) 2 2 y z2 + x2 2 2 (2) ðẳng thức xảy ra ⇔ x2 + z2 = 2y2 z x2 + y2 ≤ x2 + y 2 + 2z 2 (9 − z 4 ) ⇒ ≥ 2 2 (3 − z 2 ) 2 2 2 2 z x +y (3) ðẳng thức xảy ra ⇔ x2 + y2 = 2z2 Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta ñược: 9 − x4 x y +z 2 2 + 9 − y4 x z +x 2 2 + 9 − z4 x x +y 2 2 [ ≥ 2 2 9 − (x2 + y2 + z 2 ) ] 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 4 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA ⇒ 9 − x4 x y2 + z2 + 9 − y4 x z2 + x2 + 9 − z4 x x2 + y2 ≥ 12 2 ðẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn ñiều kiện: 1 1 1 + + = 1 . Chứng minh x y z rằng 1 1 1 1 + + ≤ x + 2 y + 3 z 3x + y + 2 z 2 x + 3 y + z 6 Khi nào ñẳng thức xảy ra? Giải: Áp dụng bất ñẳng thức cauchy cho n số dương a1, a2, ..., an ta có: a1 + a2 + ... + an ≥ nn a1a2 ...an 1 1 1 1 + + ... + ≥ nn a1 a2 an a1a2 ...an 1 1 1 1 1 ⇒ a + a + ... + a ≤ n 2 ( a + a + ... + a ) . ðẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an 1 2 n 1 2 n Áp dụng kết quả vừa chứng minh, ta có: 1 1 1 1 2 3 = ≤ 2 + +  (1) x + 2 y + 3z x + y + y + z + z + z 6  x y z  ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z. 1 1 3 1 2 ≤ 2( + + ) 3x + y + 2 z 6 x y z (2) ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z. 1 1 2 3 1 ≤ 2( + + ) 2x + 3y + z 6 x y z (3) ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z. Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta ñược: 1 1 1 1 6 6 6 + + ≤ 2( + + ) x + 2 y + 3 z 3x + y + 2 z 2 x + 3 y + z 6 x y z 1 1 1 1 + + ≤ ⇒ x + 2 y + 3 z 3x + y + 2 z 2 x + 3 y + z 6 ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 3. 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 5 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA Ví dụ 6: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn ñiều kiện: xy + yz + zx = 3xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= y z x + 2 + 2 2 2 x + y + y y + z + z z + x2 + x 2 Giải: 1 1 1 Ta có: xy + yz + zx = 3xyz ⇒ + + = 3 x y z 2 2 2 2 Lại có: x + y ≥ 2 xy ⇒ x + y + y ≥ (2 x + y ) y ⇒ y 1 ≤ 2 x + y + y 2x + y 2 ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y. Do ñó : 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 + + ≤ ( + )+ ( + )+ ( + ) 2x + y 2 y + z 2z + x 9 x y 9 y z 9 z x 1 1 1 1 ⇒P≤ ( + + ) 3 x y z ⇒ P ≤1 P≤ ñẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy maxP = 1 ⇔ x = y = z = 1 Ví dụ 7: Cho ba số không âm x, y, z thoả mãn ñiều kiện: xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 3y2 + 3z2 Giải : Áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có : 4 y 2 + x 2 ≥ 2 xy 4 z 2 + x 2 ≥ 2 xz 2 y 2 + 2 z 2 ≥ 2 yz 2 2 2 2 2 2 ⇒ 2 x + 6 y + 6 z ≥ 2( xy + yz + xz ) ⇒ x + 3 y + 3z ≥ 1 Vậy minP = 1 ⇔  2 x=  x = 2 y 5  x = 2z  1  ⇔ y =  5 y = z   xy + yz + xz = 1  1 z = 5  1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 6 TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC Ví dụ 8: (ðề thi tuyển sinh ñại học khối B - 2007). Cho ba số không âm thay ñổi x, y , z. Tìm GTNN của biểu thức: x 1  y 1  z 1  P = x +  + y +  + z +   2 zx   2 xy   2 yz  Giải: Ta có: x2 x y2 y z2 z P= + + + + + 2 yz 2 zx 2 xy Áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có: x2 y2 z 2 3 3 2 2 2 + + ≥ x y z , ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z 2 2 2 2 x y z 1 + + ≥ 33 yz zx xy xyz , ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z Suy ra: 3 1   P ≥  3 x 2 y 2 z 2 + 23 , ðẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z 2 xyz  Lại áp dụng bất ñẳng thức cauchy, ta có: 1 1 1 3 x 2 y 2 z 2 + 23 = 3 x2 y 2 z 2 + 3 +3 ≥ 3, xyz xyz xyz ðẳng thức xảy ra ⇔ xyz = 1 9 P ≥ Do ñó: , ñẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 1. 2 9 , khi x = y = z = 1. 2 Ví dụ 9: Cho hai số không âm a, b thay ñổi luôn thỏa mãn ñiều kiện a2 + b2 + 2ab ≤ a + b + 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Vậy, minP = P = a+b+ 3125 2 3 a b 108 Ta có a2 + b2 + 2ab ≤ a + b + 6 ⇔ (a + b)2 – (a + b) – 6 ≤ 0 ⇔ 0≤a+b≤3 Lại có: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 7 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA a a b b b  + + + +  3152 2 3 a a b b b a b = 3125( . . . . ) ≤ 3125 2 2 3 3 3  108 2 2 3 3 3 5       3125 2 3 ⇒ a b ≤ ( a + b) 5 108 125 2 3 ⇒ a b ≤ 35 108 ⇒ P = a+b+ 5 3125 2 3 a b ≤ 3 + 35 108 ⇒ P ≤ 246 6  a = a + b = 3   5 ⇔ a b  Vậy maxP = 246 khi:  = b = 9 2 3  5 1 Ví dụ 10: Cho ba số a, b và c thuộc  0;  thỏa mãn ñiều kiện  2 a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 27 a( 2b + 2c − 1) b( 2c + 2a − 1) c(2a + 2b − 1) Giải • Với 1 a ∈(0 ; 2 ) và a + b + c = 1, áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có : 1 1 ≥ a 2 ⇔ a 2 (1 − 2a ) ≤ 27 27 1 1 ⇔ 2 ≥ 27 ⇔ ≥ 27 a a (1 − 2a ) a (1 − 2a ) 1 1 ⇔ ≥ 27 a (1) ðẳng thức xảy ra khi a = a ( 2b + 2c − 1) 3 a3 + a3 + • Tương tự, ta có : 1 ≥ 27b b(2c + 2a − 1) 1 ≥ 27c c(2a + 2b − 1) 1 3 1 (3) ðẳng thức xảy ra khi c = 3 (2) ðẳng thức xảy ra khi b = 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 8 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta ñược : 1 1 1 + + ≥ 27 a(2b + 2c − 1) b(2c + 2a − 1) c(2a + 2b − 1) 1 ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 B. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG: Bài 1: Cho x, y, z là các số không âm. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 3 + x + y + z ≥ ( x + y + z) 2 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 2: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoa maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Chæïng minh ràòng: x3 y3 z3 1 + + ≥ ( y + z ) 2 ( z + y) 2 ( x + y) 2 4 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 3: Cho ba säú dæång x, y vaì z . Chæïng minh ràòng: x3 y3 z3 1 + + ≥ (x 2 + y 2 + z 2 ) x+ y y+z z+x 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 4: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Chæïng minh ràòng: x4 y4 z4 3 + + ≥ y +1 z +1 x +1 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 5: Cho 3 säú dæång x, y, z .Chæïng minh: x2 +1 + y y2 +1 + z z2 +1 ≥3 2 x khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 6: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Chæïng minh ràòng: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 9 TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC x3 y3 z3 3 + + ≥ (1 + y )(1 + z ) (1 + x)(1 + z ) (1 + x)(1 + y ) 4 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 7: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Chæïng minh ràòng: 3 x4 y4 z4 + + ≥ (1 + y )(1 + z ) (1 + x)(1 + z ) (1 + x)(1 + y ) 4 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 8: Cho ba säú dæång x, y vaì z . Chæïng minh ràòng: ( 2 y + z − 1) x + ( 2 z + x − 1) y + (2 x + y − 1) z ≤ 2( xy + yz + xz ) khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 9: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x2 + y2 + z2 = 3 . Chæïng minh ràòng: x y2 +1 + y z2 +1 + z x2 +1 ≤ 3 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 10: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x2 + y2 + z2 = 3 . Chæïng minh ràòng: (1 + x) y 2 + z 2 + (1 + y ) z 2 + x 2 + (1 + z ) x 2 + y 2 ≤ 6 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 11: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn xyz = 1 . Chæïng minh ràòng: 2 x −1 2 y −1 2 z −1 + + ≤ x2 + y2 + z2 yz zx xz khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 12: Cho ba säú khäng ám x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Chæng minh ràòng: 1 1 1 3 + + ≥ x +1 y +1 z +1 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 10 TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC Baìi 13: Cho ba säú khäng ám x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc 1 1 1 P= + + 2 x +1 2 y +1 2 z +1 Baìi 14: Cho ba säú khäng ám x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x2 + y2 + z2 = 1. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc 1 1 1 P= + + x+ y y+z z+x Baìi 15: Cho ba säú khäng ám x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 1. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc 1 1 1 P= + + x + y + 2z y + z + 2x z + x + 2 y Baìi 16: Cho ba säú khäng ám x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn 1 1 1 + + = 1 . Tçm GTNN cuía biãøu thæïc: P = x + y + z x +1 y + 2 z + 3 1 1 1 Baìi 17: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoa maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 3 . Chæïng minh ràòng 1 1 1 3 + + ≤ x +1 y +1 z +1 2 khi naìo âàóng thæïc xaíy ra? Baìi 18: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn xyz =1. Chæïng minh ràòng: 1 1 1 1 + + ≤ ( xy + yz + zx ) x+ y y+z z+x 2 Baìi 19: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoa maîn âiãöu kiãûn xy+ yz + zx = 3xyz. Tçm GTLN cuía biãøu thæïc 1 1 1 P= + + x + 2 y + 3z y + 2 z + 3x z + 2 x + 3 y 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA 1 1 1 + + Baìi 20: Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn xy yz zx = 3 . Tçm GTLN cuía biãøu thæïc 1 1 1 + + x 2 + 2 y 2 + 3z 2 y 2 + 2 z 2 + 3x 2 z 2 + 2 x 2 + 3 y 2 Baìi 21: Cho a ≥ 1, b≥ 2 vaì c ≥ 3. Tçm giaï trë låïn nháút cuía biãøu thæïc: P= P= 2 a −1 3 b − 2 4 c − 3 + + a b c Baìi 22: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi A - 2005) Cho ba säú dæång x, y vaì z thoa maîn âiãöu kiãûn 1 1 1 + + = 4 . Chæïng minh x y z ràòng: 1 1 1 + + ≤1 x + 2 y + z y + 2z + x z + 2x + y Baìi 23: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi D - 2005) Cho ba säú dæång x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn xyz =1. Chæïng minh ràòng: 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥3 3 xy yz zx Baìi 24: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi B - 2005) x x x  12   15   20  x x x Chæïng minh ràòng våïi moüi x ∈ R ta coï:   +   +   ≥ 3 + 4 + 5 5 4  3  khi naìo âàóng thæïc xaíy ra? Baìi 25: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi A - 2006) Cho hai säú x ≠ 0, y ≠ 0 thoaí maîn âiãöu kiãûn (x + y)xy = x2 + y2 - xy. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc P= 1 1 + x3 y3 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 12 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA BÁÚT ÂÀÓNG THÆÏC TAM GIAÏC A. LYÏ THUYÃÚT : 1. Báút âàóng thæïc tam giaïc: Våïi hai säú báút kyì x vaì y ta coï:  x + y ≤  x +  y Âàóng xaíy ra khi xy ≥ 0. 2. Hãû quaí: Våïi hai vectå x, y vaì z ta coï: x+ y+z ≤ x + y + z Âàóng thæïc xaíy ra khi hai vectå x , y , z cuìng hæåïng. B. BAÌI TÁÛP MÁÙU: Ví dụ 1: Cho ba số dương a, b , c thoả mãm ñiều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 2 2 P = a2 + + b + + c + (b + c) 2 (c + a ) 2 ( a + b) 2 Giải: 1 1 1 ), v = (b; ), w = (c; ) b+c c+a a+b 1 1 1 u + v + w = ( a + b + c ; + + ) Ta có: a+b b+c c+a Áp dụng bất ñẳng thức tam giác ta có: | u | + | v | + | w |≥| u + v + w | ðặt u = (a; 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a + + b + + c + ≥ ( a + b + c ) + ( + + ) ⇔ a +b b + c c + a (b +c)2 (c + a)2 (a +b)2 ðẳng thức xảy ra khi u, v, w cùng hướng. Áp dụng bất ñẳng thức schwarz, ta có: 1 1 1 (1 + 1 + 1) 2 3 + + ≥ = a + b b + c c + a 2( a + b + c ) 2 ðẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c. Từ (1) và (2) suy ra: 3 P ≥ 3 +  2 2 2 ⇒ P≥ (1) (2) 3 5 2 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 13 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA Do ñó minP = 3 5 khi u, v, w cùng hướng và a = b = c ⇔ a = b = c = 1. 2 Ví dụ 2: Cho ba số dương a, b , c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 P= + + c2 a2 b2 Giải: a b b c c a ( ; ), ( ; ), ( ; ) u = v = w = ðặt c c a a b b a b c b c a u + v + w = ( + + ; + + ) Ta có: c a b c a b Áp dụng bất ñẳng thức tam giác ta có: | u | + | v | + | w |≥| u + v + w | 2 a b c b c a ⇔ P ≥  c + a + b +c + a + b     2 (1) ðẳng thức xảy ra khi u, v, w cùng hướng. Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy, ta có: a b c b c a + + ≥ 3, + + ≥3 c a b c a b ðẳng thức xảy ra khi a = b = c. Từ (1) và (2) suy ra: (2) P ≥ 32 + 32 = 3 2 Do ñó minP = 3 2 khi u, v, w cùng hướng và a = b = c ⇔ a = b = c = 1. C. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG: Baìi 1: Cho ba säú khäng ám a, b, c. Chæïng minh: a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 ≥ 6(a + b + c) khi nào ñẳng thức xảy ra? Baìi 2: Cho ba säú x, y vaì z. Chæïng minh: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 ≥ x 2 + xz + z 2 Baìi 3: Cho ba säú x, y vaì z. Chæïng minh: ( x − y)2 + z 2 + ( x + y)2 + z 2 ≥ 2 x 2 + z 2 Baìi 4: Cho ba säú x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 1. Chæïng minh: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 14 TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC ( x − y ) 2 + z 2 + ( y − z ) 2 + x 2 + ( z − x) 2 + y 2 ≥ 1 Baìi 5: Cho ba säú x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z = 1. Chæïng minh: x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ 3 Baìi 6: Cho x, y laì caïc säú thæûc thay âäøi thoaí âiãöu kiãûn x + y ≥ 3. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc A= y 2 + 2 y + 2 + x2 − 2x + 2 Baìi 7: (Âãö thi tuyãøn sinh âaûi hoüc khäúi A - 2003) Cho ba säú x, y vaì z thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y + z ≤ 1. Chæïng minh: x2 + 1 1 1 2 2 + y + + z + ≥ 82 x2 y2 z2 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA DU NG PHÆÅNG PHAÏP HA DUNG HAM SÄÚ CHÆÏNG MINH CAÏC BÁÚT ÂÀÓNG THÆÏC A. LYÏ THUYÃÚT: + Duìng tênh âån âiãûu cuía haìm säú. + Duìng GTLN vaì GTNN cuía haìm säú trãn mäüt khoaíng hoàûc âoaûn. + Âãø chæïng minh BÂT: A ≥ B ta thæåìng xeït haìm säú: f(x) = A - B vaì chæïng minh ràòng minf(x) ≥ 0. B. BAÌI TÁÛP MÁÙU: Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn ñiều kiện x2 + y2 = 1.Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 + y 2 + 2 xy P= 2 (1) x + 2 xy + 1 Giải x 2 + y2 + 2 xy Thay x + y = 1 và (8), ta có: P = 2 x 2 + 2 xy + y2 2 2 + Khi y = 0, ta có: x2 = 1 ⇔ x = ± 1. Khi ñó P = 1 . 2 2 x x   + 2 + 1 y y x P=  2 , ðặt t = , ta có : + Khi y ≠ 0, ta có : x x y 2  + 2 + 1 y  y t 2 + 2t + 1 P= 2 ,t∈ R 2t + 2t + 1 −2 t 2 − 2 t ⇒P' = , p’ = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = -1 2 2 ( 2t + 2t + 1) Bảng biến thiên: x y’ y -∞ 1 2 -1 0 0 + 0 +∞ - 1 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA 0 1 2 So sánh hai trường hợp ta có: x 2 + y 2 = 1 x = 1  x = −1  ⇔ ∨ x    minP = 0 khi t = -1 ⇔ = −1 y = − 1  y = 1 y  x 2 + y 2 = 1 x = 0 x = 0  ⇔ ∨ maxP = 1 khi t = 0 ⇔  x = 0 = − 1 y  y =1 y  x + y = 2 Ví dụ 2: Cho caïc säú dæång x, y thoaí  2 . Tçm GTLN vaì GTNN 2  x − 6 xy + 8 y ≤ 0 x2 cuía biãøu thæïc: P = 1 + y 3 (2 x − 9 y ) 2 x x x 2 2 Ta coï x - 6xy + 8y ≤ 0 ⇔   − 6 + 8 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ ≤ 4 y y  y 3 2 x x x     + 1 2 − 9 1 + ( 2 x − 9 y ) =  y P= 3 y    y 2 Âàût t = x , ta coï: P = 2t3 - 9t2 + 1 y Xeït haìm säú f(t) = 2t3 - 9t2 + 1 , 2 ≤ t ≤ 4 ta coï: f'(t) = 6t2 - 18t f'(t) = 0 ⇔ t = 0 (loaûi) hoàûc t = 3 Ta coï: f(2) = -19, f(3) = - 26, f(4) = -15. Do âoï: - 26 ≤ f(t) ≤ -15 ⇒ - 26 ≤ P ≤ -15 Váûy MaxP = – 15 ⇔ MinP = –26 ⇔ x 8 2 = 4 vaì x + y = 2 ⇔ (x; y) =  ;  . y 5 5 x 3 1 = 3 vaì x + y = 2 ⇔ (x; y) =  ;  . y 2 2 B. BAÌI TÁÛP VÁÛN DUÛNG: Baìi 1: Cho  x < 1 vaì n ∈ N*. Chæïng minh ràòng: (1 + x)n + (1 - x)n < 2n Baìi 2: Cho ba säú a, b vaì c thoaí âiãöu kiãûn: a2 + b2 + c2 = 1. Chæïng minh ràòng: 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA a b c 3 3 + 2 + 2 ≥ 2 2 2 b +c a +c a +b 2 khi nào ñẳng thức xảy ra? 2 Baìi 3: Cho hai số khác không x, y thay ñổi. Timg GTNN của biểu thức:  x2 y2   x y  P = 3 2 + 2  − 8 +  + 2 x   y x y Baìi 4: Chæïng minh ràòng våïi moüi a, b ta coï: a+b a b ≤ + 1+ a + b 1+ a 1+ b Baìi 5: Cho hai säú thæûc x, y thoaí x2 + y2 + 2xy ≤ x + y + 12. Tçm GTLN cuía biãøu thæïc: P = x + y + x2y Baìi 6: Cho hai säú khäng ám x, y thoaí maîn âiãöu kiãûn x + y = 1. Tçm GTLN vaì x y + GTNN cuía biãøu thæïc P = y + 1 x + 1  x 2 ≤ 2 y Baìi 7: Cho hai säú x, y thoaí maîn âiãöu kiãûn   y ≤ −2 x 2 + 3 x . Chæïng minh ràòng: x2 + y2 ≤ 2. Baìi 8: Cho ba säú khäng ám x. y, z. Tçm giaï trë nhoí nháút cuía biãøu thæïc P = ( x + y + z ) 2 + 3 xyz − 273 xyz Baìi 9: Cho hai số thực x, y thoả mãn ñiều kiện x2 + xy + y2 = 1.Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – xy + y2. Baìi 10: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi D - 2007) b  a 1   b 1  Cho a ≥ b > 0. Chæïng minh ràòng  2 + 2 a  ≤  2 + 2b      a Baìi 11: (Âãö thi tuyãøn sinh âaûi hoüc khäúi B - 2006) Cho x, y laì caïc säú thæûc thay âäøi. Tçm GTNN cuía biãøu thæïc A= ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y − 2 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 18 TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC Baìi 12: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi B - 2007) Cho hai số thực x, y thoả mãn ñiều kiện x2 + y2 = 1.Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2( x 2 + 6 xy ) P= 2 2 y + 2 xy + 1 Baìi 13: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi B - 2009) Cho các số thực x, y thay ñổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1 Baìi 12: (Âãö thi âaûi hoüc khäúi D - 2009) Cho các số thực không âm x, y thay ñổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy. 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 19