Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y f x xác định trên K , hàm số y F x được gọi
là nguyên hàm của hàm số y f x trên K khi và chỉ khi:
x K , ta có: F ' x f x
Kí hiệu:
f x dx F x .
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y x 4 x
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y 2sin x
ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y F x là nguyên hàm của hàm số y f x thì hàm số
y F x c cũng là nguyên hàm của hàm số y f x .
Khi đó ta có:
f x dx F x c
với c là hằng số.
ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số u u x , v v x xác định trên K . Khi đó ta có:
1.
u v dx udx vdx
2. kvdx k vdx , với k là hằng số.
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Hàm số
1
k
x
1
x
1
2 x
Nguyên hàm
xc
kx c
1 1
x
c
1
Hàm số
ax b
x c
1
ax b 1 c
a 1
1
ax b
1
2 ax b
ln x c
Nguyên hàm
1
ln ax b c
a
1
ax b c
a
1
cos ax b c
a
1
sin ax b c
a
sin x
cos x c
sin ax b
cos x
sin x c
cos ax b
1
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
1
1
tan x c
sin 2 x
1
sin
cos x
ex
ax b
1
cot x c
2
2
cos
2
ax b
e axb
ex c
1 x
a c
ln a
Trong đó: c là hằng số.
a x
ax
1
tan ax b c
a
1
cot ax b c
a
1 ax b
e
c
a
1
a x c
ln a
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
◙ PHƯƠNG PHÁP 1 : Đổi biến số.
Dấu hiệu nhận biết khi dùng phương pháp đổi biến số.
1.
f x g x dx , trong đó : g ' x f x . Đặt t g x
2.
f u x v x dx , trong đó : u ' x v x . Đặt t u x
3.
f x, m f x dx , đặt t m f x
4.
f ln
x,
6. f x,
7. f x,
5.
f
1
x, dx , đặt t ln x
x
a
x a dx , đặt x
sin t
x a dx , đặt x a tan t
a 2 x 2 dx , đặt x a sin t hoặc x a cos t
2
2
2
2
◙ PHƯƠNG PHÁP 2 : Từng phần
Khi không có dấu hiệu nào của đổi biến số, ta dùng công thức từng phần.
Công thức của từng phần : udv uv vdu
Một số dấu hiệu cơ bản khi dùng phương pháp từng phần.
1.
u f x
f x sin xdx , đặt
dv sin xdx
2.
u f x
f x cos xdx , đặt
dv cos xdx
2
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
u f x
3. f x e dx , đặt
x
dv e dx
x
x
x
5. e
4. e
u e x
cos xdx , đặt
dv cos xdx
x
6. e
u e x
sin xdx , đặt
dv sin xdx
u ln x
ln xdx , đặt
x
dv e dx
u ln x
f x ln xdx , đặt
7.
dv f x dx
B. TÍCH PHÂN
b
Công thức Newton – leibnizt:
b
f x dx F x a F b F a
a
b
b
b
Tích phân từng phần: udv uv a vdu
a
a
b
c
b
a
a
c
Định lí quan trọng: f x dx f x dx f x dx với a c b
b
a
a
b
f x dx f x dx
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của
nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập.
Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác,
hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ –
hàm số logarit.
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2x4 3
1. f x
x2
2.
x
f x
3
2
1
x2
2
3. f x
1
2
3
x
x
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
4. f x 2 sin 2
x
2
5. f x tan x cot x
16.
2
1 x2
f x
2
19. f x cos x
cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
x
x
9. f x 2a 3
11. f x
x 1
x2
6. f x
e x
f x ex 2
8.
cos 2 x
7. f x 2 sin 3 x cos 2 x
10. f x
2
2
5
x 3x 2
12. f x sin 7 x cos5 x cos x
17. f x
x 1
3
x
2
18. f x tan x
20. f x
1
sin x cos 2 x
2
2
x
x
21. f x 2sin 3 x cos 2 x 22. f x e e 1
21. f x sin 3 x
3 x 1
23. f x e
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn điều kiện:
1. f x 2 x 2 , F 2
7
3
2. f x 4 x x, F 4 0
x3 3x 2 3x 1
1
, F 1
4. f x
2
x 2x 1
3
3
2
3. f x 4 x 3x 2, F 1 3
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔI BIẾN SỐ
Tính I f u x u ' x dx . Đặt t u x dt u ' x dx , khi đó:
I f u x u ' x dx f t dt
PHƯƠNG PHÁP 2: TỪNG PHẦN
Công thức: I u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx
Hay I udv uv vdu
Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết cách đặt đã được nêu ở phần trên. HS cần nắm vững
các dạng thường gặp để vận dụng vào việc giải bài tập.
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
2 x
2
1 xdx
7
2.
x
3
5 x 2 dx
4
4
3.
x
x 2 1dx
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
x
dx
4. 2
x 5
7.
x 1 x
2
dx
sin x
dx
5
x
e
ln 3 x
dx
8.
x
9.
xe
12.
cos
5 2x
10.
cos
13.
dx
sin x
14.
3
dx
11. cot xdx
16.
ex
e 3
x
dx
1
dx
1
6.
5.
1
3x 2
dx
cos x
15.
e tan x
17. 2 dx
cos x
x
x 2 1
dx
tan x
dx
2
x
e
x
dx
x
3
2
18. cos x sin xdx
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2.
x
4. x cos 2 xdx
5.
xe dx
7. x ln xdx
2
8. ln xdx
1.
x
10.
2
5 sin xdx
x
cos
2
x
2
2 x 3 cos xdx
9.
x
13. e cos xdx
14.
x e
x
16. 2 xdx
17.
x lg xdx
19.
ln x 1
x 2 dx
3 x2
x sin 2 xdx
6. ln xdx
x
11. sin xdx
dx
3.
dx
ln x
dx
x
2
12. ln x 1 dx
15.
x ln x
1 dx
18. 2 x ln x 1 dx
2
20. x cos 2 xdx
DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN
Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dưới dấu tích phân.
Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân.
Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
5
2
Chuyên đề: Tích Phân
1
1.
0
4
4.
x x 1 dx
2
1
16
2.
x x
3
8
x x x 1 dx
2
1
1 x
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
3.
2
dx
5
2x2 x 5
dx
7.
x3
4
4
x3
dx
10. 2
x 3x 2
3
2
2
x 1
13.
dx
x 3
1
x2 5x 3
3 x dx
1
4
3
dx
5.
5x 3
1
6.
2x 1
1 x
dx
2
5
5
2x 3
dx
8. 2
x 3x 2
4
9.
x
2
4
5
1
dx
3x 2
5
3
dx
11. 2
x 6x 9
4
x
12.
2
4
2x 1
dx
6x 9
1
x3
dx
14. 2
x 1
0
Bài tập 2: Tính các tích phân sau:
2
1. cos3 x cos xdx
0
2
4. sin 2 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
dx
7. 2
sin x cos 2 x
6
2
2. sin 2 x sin xdx
0
2
3. cos x sin 3 xdx
0
3
2
5. cos 4 xdx
6.
sin
6
0
2
1
dx
x cos 2 x
4
x
8. e x 3 e
cos2 x dx
0
Bài tập 3: Tính các tích phân sau:
8
1.
3
x
dx
1 x
1
2.
4.
0
1 x dx
8
3.
0
ln 2
e x 1dx
x
1
15
2
5.
x
1
1
x
x
0
3/2
dx
6.
1 x2
dx
dx
x
1 x2
1/2
Bài tập 4: Tính các tích phân sau:
1
1. e
0
2
x 2
xdx
2
1
2. e1 2 sin x cos xdx
0
6
e x
3. e e dx
0
x
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
2
e
eln x dx
4.
x
1
etgx
cos2 xdx
0
5.
Bài tập 5: Tính các tích phân sau:
2
e2
1
4.
dx
e x e x
0
ln 2
0
5.
1
x
x
3. e sin e dx
0
dx
x 1 x
3
4
6. cos xdx
0
/2
2 ln 2
cos x
8. 3 dx
sin x
/6
dx
x
e e x
7.
27
ex
1
1
dx
2.
x ln x
e
sin x
1.
1 2cos x dx
0
ex 1
ln 2
2
/2
sin 3 x
dx
10. 3
sin x cos3 x
0
dx
9.
cos3 x
sin 3 x cos3 x dx
0
11.
Bài tập 6: Tính các tích phân sau:
/2
/2
e
1.
x
cos xdx
0
1
e
4. x ln 1 x dx
2
5.
0
ln x
e
2
7. x sin xdx
8.
0
0
dx
/6
2
e
dx
9.
ln x dx
1/ e
1
sin xdx
11.
0
x sin x
1 cos x dx
6.
e2
1
x
x sin x
dx
2
x
cos
/2
1 ln x
/2
e
2
3.
0
/2
10.
x
2. 2 dx
sin x
/4
x ln 1 x dx
12.
0
1
ln
e
2
x
1
dx
ln x
Bài tập 7: Tính các tích phân sau:
a
1. x
2
a x dx
2
2
a 0
1
2.
0
2 /2
1
4.
0
1 x2
dx
x2
e
3.
x 2 x 3dx
1
dx
5.
9 x2
0
7
4 ln 2 x
1
3
2
dx
x
1
6.
x
1
2
1
dx
2x 5
Chuyên đề: Tích Phân
3
7.
x
1
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
1
1
2
4 x
2
2
2
8. x 1 x dx
dx
0
2
9.
x
1
1
2
4 x2
dx
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH
1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y f x và hai đường thẳng
x a; x b được tính bởi công thức:
b
S f x dx
a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y f x ; y g x và hai đường
thẳng x a; x b được tính bởi công thức:
b
S f x g x dx
a
2. THỂ TÍCH VẬT THỂ
Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong y f x và hai đường thẳng x a; x b
khi quay quanh trục Ox được tính theo công thức:
b
VOx f 2 x dx
a
Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong y f x ; y g x và các đường thẳng
x a; x b khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức:
b
VOx f 2 x g 2 x dx
a
Thể tích vật thể giới hạn bởi đường cong x f y và hai đường thẳng y c; y d
khi quay quanh trục Oy được tính theo công thức:
d
VOy f 2 y dy
c
8
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
Thể tích vật thể giới hạn bởi 2 đường cong x f y ; x g y và các đường thẳng
y c; y d khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức:
d
VOy f 2 y g 2 y dy
c
Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:
1. y x 2 2 x, x 1, x 2, Ox
2. y xe x , y 0, x 1, x 2
3. y x 2 4 x, x 1, x 3
4. y tgx, x 0, x
5. y
ln x
, y 0, x 1, x 2
x2
,y 0
3
6. x 1, x e, y 0, y
x 2 3x 1
, x 0, x 1, y 0
7. y
x 1
ln x
2 x
8. y sin 2 x cos3 x, y 0, x 0, x
2
Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:
1. y x 1 , y e x , x 0, x 1
5
2. y
1
1
,y
,x ,x
2
2
sin x
cos x
6
3
2
3. y 2 sin x, y 1 cos x, x 0;
x2
4. Tìm b 0 sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y 2
và các
x 1
đường thẳng y 1, x 0, x b bằng
.
4
Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đồ thị sau:
1. y x 2 2 x, y x 2 4 x
2. y x 2 2 x và y 3x
3. y 2 2 y x 0 và x y 0
4. y 2 x 5 0 và x y 3 0
5. y x 4 x 3 và y x 3
x2
x2
6. y 4
và y
4 2
4
2
Bài tập 11:
9
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: D y tgx, y 0, x 0, x
3
a) Tính diện tích hình phẳng D .
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox .
2
2. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: P : y 8 x và x 2 . Tính thể tích khối tròn
xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox .
3. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các
2
1
đường: x 1; x 2; y ; y .
x
x
4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y 4 x 2 và y x 2 2 . Quay D xung quanh Ox
ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này.
Bài tập 12:
2
1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi: D y tg x, y 0, x 0, x
4
a) Tính diện tích hình phẳng D .
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox .
2. Tính VOx , biết D y x ln x, y 0, x 1, x e
x3
VOx , biết D y , y x 2
3. Tính
3
4
4
4. Tính VOx , biết D y 0; y 1 sin x cos x ; x 0; x
2
2
5. Tính VOx , biết D x y 5 0; x y 3 0
2
6. Tính VOx , biết D y 2 x ; y 2 x 4
2
2
7. Tính VOx , biết D y x 4 x 6; y x 2 x 6
2
8. Tính VOx , biết D y x ; y x
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
10
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU
1. y x e x ; Ox; x 1; x 2
6. y tgx; y 0; x 0; x
2. y ln x; x 1; x 2; Ox
4
7. y 2 x 3 ; y 0; x 1; y sin 2 x
3. y x3 1; Ox; Oy; x 1
8. y 0; x 0; x
4. y 1 x ; y 0
2
x
9. y xe 2 ; y 0; x 0; x 1
5. y cos x; y 0; x 0; x
10. y x 2 2 x; Ox
TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU
e
ln 3 x
1. 3 dx
x
1
2. x ln xdx
4. x ln xdx
x cos x sin xdx
5.
0
7. ln x x dx
1
8.
x cos xdx
xdx
9.
/4
/2
10.
x tan
0
ln x
x
5
dx
1
/2
1
11.
1 dx
1
6. x ln xdx
x
1
2
2
2
e
/3
2
x ln x
0
/2
1
2
3.
1
e
2
1
e
xe dx
x
12.
0
e
x
cos xdx
0
TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU
1.
xe
3x
dx
0
/2
4.
x sin 2 xdx
0
3
7. 4 x ln xdx
1
/6
/2
1
2.
x 1 cos xdx
3.
0
e
0
e
5. x ln xdx
6.
2
8. x ln 3 x dx
9.
0
1
0
11
2 x sin 3xdx
1 x ln xdx
2
1
2
x
1
2
1 e x dx
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
10. x cos xdx
0
2
13.
ln x
x
5
11.
dx
14.
1
25.
x 1
2
2x
e dx
2
dx
1/ e
28. x ln 1 x dx
2
2 x 7 ln x 1 dx
0
0
/3
2
x 2cos x 1 dx
0
e
23.
x ln x
2
2
2 x sin xdx
x sin x
dx
cos 2 x
18.
21.
ln 1 x
x 2 dx
1
0
/4
20.
x
x
15. e sin xdx
2
/2
dx
24.
2
26. x tan xdx
cos x ln 1 cos x dx
0
1
27.
0
1
31.
xdx
1
1
ln x
x 1
0
2
2
1
2
x sin x cos xdx
0
e
x cos
12.
0
1
2
17. x ln xdx
sin xdx
0
1
22.
cos xdx
0
e
0
19.
x
2
0
/2
2
16.
/2
/2
x 2 e
2x
/2
e
ln x
dx
29.
x
1
30.
x cos x sin xdx
3
0
3
2
32. ln x x dx
2
12
dx
0
Chuyên đề: Tích Phân
GV: Trần Thanh Tú
ĐT:01675.124.105 hoặc 0188.512.08.08
13
- Xem thêm -
.DOC 
13 
247 
111 
