Tài liệu Bài toán tương giao hai đồ thị

24/9/2016 Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO ........................................................................................................ ä Khi làm các bài toán về xét sự tương giao trong đồ thị hàm số ta cần lưu ý các điều sau: ã Một là, từ khóa "cắt" trong bài toán tương giao là một giợi ý cực kì quan trọng. Tương tự với bài toán cực trị, khi cần tìm tung độ giao điểm ta có thể cho giao điểm thuộc đường cong (C) hoặc đường thẳng d. Tuy nhiên việc cho các giao điể có tung độ theo đường thẳng d giúp ta thuận tiện trong việc tính toán. ã Hai là, khi giải bài toán liên quan đến hàm y = ax + b , ta cần chú ý điều kiện "Mẫu thức khác cx + d d 0" nghĩa là x 6= − . c ã Ba là, một số bài toán tương giao yêu cầu ta chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phận biệt. Với bài toán này thay vì biện luận dẫn đến ∆ > 0 từ phương trình hoành độ giao điểm thì ta lại phải xét ∆ và chứng minh ∆ > 0. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán 1 2x + 1 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y = 2x − m cắt đồ thị (C) tại hai x−1 điểm phân biệt A,B nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị. Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Xét phương trình hoành độ giao điểm gữa (d) và (C): 2x − m = 2x + 1 x−1 ⇔ 2x2 − (m + 4)x + m − 1 = 0 (1), ∀x 6= 1 Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B   ∆ > 0 ⇒ pt(1) có 2 nghiệm phân biệt   f (1) 6= 0 ⇔    (m + 4)2 − 8(m − 1) > 0   2 − m + 4 + m − 1 6= 0 ⇔ ∆ = m2 + 25 > 0, ∀m ∈ R Để 2 giao điểm  nằm về hai phía của đồ thị thì x1 < 1 < x2   x1 − 1 < 0 Do đó ta có: ⇒ (x1 − 1)(x2 − 1) < 0   x2 − 1 > 0 m−1 m+4 ⇔ x1 x2 − (x1 + x2 ) + 1 < 0 ⇔ − + 1 < 0 ⇔ −3 < 0 (luôn đúng) 2 2 Vậy mọi giá trị của m đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453 1 24/9/2016 Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8 Bài toán 2 x+2 (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng d : y = x + m luôn x−2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị (C). Cho hàm số y = Hướng dẫn giải x+2 = x + m, (x 6= 2) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x−2 ⇒ x2 + (m − 3)x − 2m − 2 = 0 ∆ = (m − 3)2 + 8m + 8 = (m + 1)2 + 16 > 0 ∀m Yêu cầu bài toán ⇔ pt(1) có hai nghiệm phân biệt x1 < 2 < x2 ⇔ af (2) < 0 ⇔ 4 + 2(m − 3) − 2m − 2 = 0 ⇔ −8 < 0 (luôn đúng) Vậy với mọi giá trị của m đều thỏa mãn bài toán Bài toán 3 x+2 và đường thẳng d : y = 2mx − 1. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt x−1 (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Cho hàm số y = Hướng dẫn giải x+2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: = 2mx − 1 (x 6= 1) x−1 ⇒ 2mx2 − 2(m + 1)x − 1 = 0 (1) Yêu cầu bài toán ⇔ pt(1) có hai nghiệm phân biệt 1 < x1 < x2 hoặc x1 < x2 < 1, điều này tương đương với    ∆ > 0 ⇔   af (1) > 0 ⇔ m < −2 −    ∆ = (m + 1)2 + 2m = m2 + 4m + 1 > 0   2m(−3) > 0 √  √    m > 2 + 3       √ ⇔ m < −2 − 3       m < 0 3 √ Vậy m < −2 − 3 là giá trị cần tìm Bài toán 4 Tìm m để đường thẳng qua A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = 2x − 1 tại hai điểm x+1 thuộc hai nhánh phân biệt. Hướng dẫn giải Đường thẳng qua A(-2;2) và có hệ số góc m bất kì có phương trình: d : y = mx + 2m + 2. Phương trình hoành độ giao điểm : 2x − 1 = mx + 2m + 2 (x 6= −1) ⇒ mx2 + 3mx + 2m + 3 = 0 x+1 Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453 2 24/9/2016 Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu trên 8 Đặt f (x) = mx2 + 3mx + 2m + 3 có ∆ = m2 − 12m Đồ d tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:  thị hàm số cắt         m = 6 0 m 6= 0          m > 12 ⇔ m2 − 12m > 0 ⇔  ∆ > 0     m<0         f (−1) 6= 0 3 6= 0 2m + 3 m Khi đó đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị khi và chỉ khi 2m + 3 (x1 + 1)(x2 + 1) < 0 ⇔ x1 + x2 + x1 x2 + 1 < 0 ⇔ −3 + +1<0⇔m<0 m Vậy m < 0 là giá trị thỏa mản yêu cầu bài toán. Giả sử đồ thị hàm só cắt d tại hai điểm phân biệt x1 ; x2 ta có: x1 + x2 = −3, x1 x2 = Bài toán 5 Tìm hai điểm trên đồ thị hàm có y = x−2 có khoảng cách bé nhất. x−1 Hướng dẫn giải     x1 − 2 x2 − 2 Lấy M1 x1 ; , x1 < 1 và M2 x2 ; , x2 > 1 là hai điểm thược hai nhánh của đồ thị. x1 − 1 x − 1 2     −−−−→ x2 − x1 x2 − 2 x1 − 2 − = x2 − x1 ; Ta có: M1 M2 = x2 − x1 ; x2 − 1 x1 − 1 (x2 − 1)(x1 − 1 1 Do đó ta có: (M1 M2 )2 = (x2 − x1 )2 1 + (x1 − 1)2 (x2 − 1)2  1 = (x2 − 1 + 1 − x1 )2 1 + 2 (x1 − 1) (x2 − 1)2  1 ≥ 4(x2 − 1)(x1 − 1) 1 + 2 2 (x1 − 1) (x2 − 1)   1 = 4 (x2 − 1)(x1 − 1) + ≥8 (x2 − 1)(x1 − 1)     x − 1 = x − 1 x = 2   2 1 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔   1   (x2 − 1)(x1 − 1) = x 1 = 0 (x2 − 1)(x1 − 1) √ Vậy M1 M2 đạt gái trị nhỏ nhất bằng 8 khi M1 (0; 2) và M2 (2; 0) Nhận gia sư ở TPHCM. Liên hệ sđt 0931438453 3