Tài liệu Bài toán đếm trong tổ hợp, xác suất, nhị thức Newton

GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan CHUYÊN ĐỀ 5: TỔ HỢP, XÁC SUẤT, NHỊ THỨC NIUTƠN A. BÀI TOÁN ĐẾM I. KIẾN THỨC NỀN TẢNG Sau đây là sơ đồ tổng quan về “Bài toán đếm”: Ví dụ 1. Một hộp đựng 5 bi trắng, 6 bi đỏ và 7 bi vàng. Có bao nhiêu cách 1. Chọn 1 viên bi từ hộp trên. 2. Chọn 3 viên bi từ hộp đảm bảo có đủ 3 màu. 3. Chọn 6 viên bi mà số bi các màu khác nhau và số bi vàng luôn nhiều nhất, số bi trắng luôn ít nhất. 4. Chọn 4 viên bi trong đó có ít nhất 1 viên bi đỏ. Giải: 1. Chọn 1 viên bi từ hộp trên có 3 khả năng : Chọn 1 viên từ 5 bi trắng, hoặc 1 viên từ 6 bi đỏ , hoặc 1 viên từ 7 bi vàng. Suy ra số cách chọn: 5  6  7  18 (cách) 2. Chọn 3 viên bi từ hộp đảm bảo có đủ 3 màu, nghĩa là 3 viên được chọn có 1 viên trắng và 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng. Suy ra số cách chọn: 5.6.7  210 (cách). 3. Ta có : 6  0  1  5  0  2  4  1  2  3 Do đó để chọn 6 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó ta có các trường hợp sau: GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ và 5 bi vàng, suy ra số cách chọn: C61 .C75  126 Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ và 4 bi vàng, suy ra số cách chọn: C62 .C74  525 Trường hợp 3: Chọn 1 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi vàng, suy ra số cách chọn: C51.C62 .C73  2625 Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là: 126  525  2625  3276 . 4. Với câu hỏi này ta có hai hướng tiếp cận. Hướng 1 (Trực tiếp): 1 3 Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ và 3 bi không đỏ, số cách chọn: C6 .C12  1320 Trường hợp 2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi không đỏ, số cách chọn: C62 .C122  990 1 Trường hợp 3: Chọn 3 bi đỏ và 1 bi không đỏ, số cách chọn: C63 .C12  240 4 Trường hợp 4: Chọn 4 bi đỏ, số cách chọn: C6  15 Vậy số cách chọn thỏa mãn đề bài là: 1320  990  240  15  2565 Hướng 2 (Gián tiếp): Số cách chọn 4 bi sao cho không có bi đỏ là: C124  495 4 Số cách chọn 4 bi từ 18 bi là: C18  3060 Vậy số cách chọn 4 bi, trong đó có ít nhất một bi đỏ là: 3060  495  2565 Ví dụ 2. Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Giải: Số cách chọn 2 chữ số chẵn từ các chữ số 2, 4, 6 và 2 chữ số lẻ từ các chữ số 1, 3,5 là: C32 .C32  9 Ứng với một bộ 4 số được chọn ta có: 4! cách xếp thỏa mãn điều kiện đề bài Vậy tổng các số cần tìm là 9.4!  216 (số). Chú ý: *) Ta có thể giải theo cách sau: Số cách chọn 2 chữ số chẵn từ các chữ số 2, 4, 6 và xếp vào 2 vị trí trong 4 vị trí cần xếp là: A32 .C42 (cách) Số cách chọn 2 chữ số lẻ từ các chữ số 1, 3,5 và xếp vào 2 vị trí còn lại : A32 .C22 2 2 2 2 Vậy tổng các số cần tìm là A3 .C4 . A3 .C2  216 (số). *) Độ khó của bài toán sẽ tăng lên nếu bài toán cho thêm chữ số 0. Nghĩa là bài toán được phát biểu lại là: “Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.” Khi để giải quyết được bài toán này ta phải xử lí được chữ số 0 bằng cách dùng phần bù như sau: GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Gọi số phải tìm có dạng abcd  Ta sẽ đi tính các số thỏa mãn điều kiện có hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ trong đó có thể a  0 Tương tự cách làm ở bài toán trên ta được đáp số là: C42 .C32 .4!  432  Ta đi tính số có dạng 0bcd , lúc này số cách chọn là: C31.C32 .3!  54 Vậy có 432  54  378 số thỏa mãn bài toán. Ví dụ 3. Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Trong đại hội chi bộ của lớp, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 3 học sinh làm cán bộ lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư. Giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà bí thư phải là học sinh nữ và cán bộ lớp phải có nam. Giải: 1 Số cách chọn 1 nữ làm bí thư là : C15  15 Việc chọn 2 bạn gồm 1 lớp trưởng và 1 lớp phó, xảy ra các trường hợp sau:  Trường hợp 1: Chọn 1 nam, 1 nữ và hai người này có thể hoán đổi chức vụ (lúc này còn lại 14 nữ) 1 1 Số cách chọn là: 2.C10 .C14  280  Trường hợp 2: Chọn 2 nam và hai người này có thể hoán đổi chức vụ Số cách chọn là: 2.C102  90 Suy ra số cách chọn 2 bạn gồm 1 lớp trưởng và 1 lớp phó là : 280  90  370 Vậy số cách chọn thỏa mãn điều kiện bài toán là: 15.370  5550 Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên đường thẳng d1 có 6 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt ( n  2) . Biết rằng có 288 tam giác có đỉnh được tạo nên từ n  6 điểm đã cho. Tìm n . Giải: Cách 1: Vì d1 // d 2 nên số tam giác được tạo thành từ n  6 điểm đã cho gồm hai khả năng sau: *) Một điểm trên d1 và hai điểm trên d 2 , suy ra số cách chọn: C61 .Cn2 *) Hai điểm trên d1 và một điểm trên d 2 , suy ra số cách chọn: C62 .Cn1 1 2 2 1 Theo đề ra ta có: C6 .Cn  C6 .Cn  288 n!  15n  288  3n(n  1)  15n  288 (n  2)!.2!  n 2  4n  96  0  n  8 hoặc n  12 (loại) . Vậy n  8  6. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Cách 2: 3 *) Số cách chọn 3 trong n  6 điểm là: Cn  6 (bao gồm cả ba điểm thẳng hàng) *) Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng từ 6 điểm trên d1 và n điểm trên d 2 là: C63  Cn3 3 3 3 *) Vậy số tam giác tạo thành từ n  6 điểm là: Cn  6  (C6  Cn ) 3 3 3 *) Theo đề ra ta có: Cn 6  (C6  Cn )  288 , tiếp tục giải ta được đáp số n  8 . An41  3 An3 , (n  1)! 2 2 2 2 * biết rằng: Cn 1  2Cn  2  2Cn  3  Cn  4  149 với n   . Ví dụ 5. Tính giá trị của biểu thức M  Giải: n  3 Điều kiện  n   2 2 2 2 Ta có Cn 1  2Cn  2  2Cn 3  Cn  4  149 (n  1)! (n  2)! (n  3)! (n  4)!  2 2   149 2!(n  1)! 2!n ! 2!(n  1)! 2!(n  2)! (n  1)n.(n  1)! (n  2)(n  1).n ! (n  3)(n  2).(n  1)!     2.(n  1)! n! (n  1)! (n  4)(n  3)(n  2)!   149 2.(n  2)! ( n  1)n (n  4)(n  3)   ( n  2)( n  1)  ( n  3)(n  2)   149 2 2 * n 3   n*  n  5  n 2  4n  45  0    n  5.  n  9 A4  3 A53 3 Khi đó M  6  . 6! 4 Ví dụ 6. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn, gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chữ số chính giữa luôn là 2. Giải: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng: ab 2cd Theo yêu cầu bài toán, suy ra d  0;4;6;8 GV: THANH TÙNG  0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Trường hợp 1: d  0 , khi đó ab 2c có số cách chọn là: A83  336 (chọn 3 số a, b, c từ 8 số 1,3,4,5,6,7,8,9 và có quan tâm tới thứ tự)  Trường hợp 2: d  4;6;8 : 3 cách chọn, khi đó: a có 7 cách chọn , b 2c có A72  42 cách chọn Suy ra có 3.7.42  882 (số) trong trường hợp 2. Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 336  882  1218 số. Ví dụ 7. Cho tập hợp A  0;1;2;3;4;5;7;9 . Từ A có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau thỏa mãn số đó lớn hơn 2016 . Giải: Gọi n  abcd là số cần tìm với a, b, c, d  A , khi đó n  abcd  2016  a  2;3;4;5;7;9 Trường hợp 1: a  3; 4;5;7;9 , suy ra a có 5 cách chọn Khi đó số cách chọn cho bcd là: A73  210 Suy ra số các số lập được trong trường hợp 1 là: 5.210  1050 (số) Trường hợp 2: a  2 , khi đó n  2bcd  2016  b  0;1;3;4;5;7;9  Với b  1;3; 4;5;7;9 : có 6 cách chọn cho b Khi đó số cách chọn cho cd là: A62  30 Suy ra các số lập được: 6.30  180 (số)  Với b  0 , khi đó n  20cd  2016  c  1;3; 4;5;7;9  Với c  3;4;5;7;9 : có 5 cách chọn cho c Khi đó d có 5 cách chọn. Suy ra các số lập được: 5.5  25 (số)  Với c  1 , khi đó n  201d  2016  d  7;9 : có 2 cách chọn cho d hay ta lập được 2 số Vậy với b  0 ta lập được: 25  2  27 (số) Suy ra số các số lập được trong trường hợp 2 là: 180  27  207 (số) Vậy số các số lập được thỏa mãn bài toán là: 1050  207  1257 . Ví dụ 8. Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016, mỗi thí sinh có thể dự thi tối đa 8 môn : Toán, Lí, Hóa, Sinh, Văn, Sử, Địa và Tiếng Anh. Một trường đại học dự kiến tuyển sinh dựa vào tổng điểm của ba môn trong kì thi chung và có ít nhất một trong hai môn là Toán hoặc Văn. Hỏi trường đại học đó có bao nhiêu phương án tuyển sinh. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Giải: Cách 1 (Trực tiếp) Trường hợp 1: Trong 3 môn thi có 1 Toán, 1 Văn và 1 môn còn lại không phải Toán, Văn. Suy ra số cách chọn: C11.C11.C61  6 Trường hợp 2: Trong 3 môn thi có 1 Toán và 2 môn còn lại không phải Toán, Văn. Suy ra số cách chọn: C11.C62  15 Trường hợp 3: Trong 3 môn thi có 1 Văn và 2 môn còn lại không phải Toán, 1 2 Văn. Suy ra số cách chọn: C1 .C6  15 Vậy trường đại học có 6  15  15  36 phương án tuyển sinh. Cách 2 (Gián tiếp) Số cách chọn 3 môn tùy ý từ 8 môn là: C83  56 3 Số cách chọn 3 môn không có Toán và Văn là: C6  20 Vậy trường đại học có 56  20  36 phương án tuyển sinh. Ví dụ 9. Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật. Giải: Trường hợp 1: Mỗi người nhận được 2 đồ vật. Số cách chia là: C62 .C42 .C22  90 Trường hợp 2: Một người nhận 4 đồ vật, hai người còn lại mỗi người nhận 1 đồ 4 1 1 vật. Số cách chia là: 3.C6 .C2 .C1  90 Trường hợp 3: Mỗi người nhận các đồ vật lần lượt là 1, 2 và 3 Số cách chia là: 3.C61 .2.C52 .C33  360 Vậy số cách chia thỏa mãn bài toán là 90  90  360  540 (cách). Ví dụ 10. Có 5 hành khách lên một toa tàu gồm 4 toa, mỗi toa đều có ít nhất 5 chỗ (các toa được đánh số thứ tự : toa 1, toa 2…). Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu của những hành khách trên, sao cho không có đúng 3 hành khách nào lên cùng 1 toa. Giải:  Mỗi khách có 4 cách chọn toa tàu, do đó số khả năng chọn toa của 5 hành khách một cách bất kì là: 4.4.4.4.4  45  1024  Ta sẽ đi tính số cách xếp 3 hành khách lên cùng 1 toa Số trường hợp 3 khách lên cùng 1 toa tương ứng với số cách phân tích: 3  2  3 11  Trường hợp 1: Có 1 toa 3 khách và 1 toa 2 khách. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan +) 3 khách lên cùng 1 toa, số cách: C53 ; số cách chọn tọa cho 3 khách này là: 4. +) Số cách xếp cho 2 khách còn lại lên 1 toa: 3 Suy ra số cách xếp cho trường hợp 1 là: C53 .4.3  120 (cách)  Trường hợp 2: Có 1 toa 3 khách và 2 toa mỗi toa 1 khách. +) 3 khách lên cùng 1 toa, số cách: C53 ; số cách chọn tọa cho 3 khách này là: 4. 2 +) Số cách xếp cho 2 khách còn lại lên 3 toa (1 khách 1 toa): A3 Suy ra số cách xếp cho trường hợp 2 là: C53 .4. A32  240 (cách)  Vậy số cách chọn thảo mãn điều kiện bài toán là: 1024  (120  240)  664 (cách). II. CÁC DẠNG TOÁN ĐẾM DẠNG 1: BÀI TOÁN XẾP VỊ TRÍ 1. Một số chú ý khi giải bài toán xếp vị trí  Cần trả lời được 2 câu hỏi sau: “ bài toán có thứ tự hay không có thứ tự ? ; các phần tử lặp hay không lặp ? ”. Xếp n phần tử phân biệt thành 1 dãy liên tiếp thì có Pn  n !  hoán vị. Có n vật trong đó có n1 vật giống nhau từ hộp A1 và n2 vật giống  nhau từ hộp A2 ( n  n1  n2 ). Khi đó số cách xếp n vật trên thành một hàng ngang là:  n n1 !n2 ! Khi xếp n đối tượng theo 1 vòng tròn với hai cách xếp khác nhau sinh ra bởi 1 phép quay được coi là một, thì ta có thể xếp 1 đối tượng bất kì trước để làm “mốc”. Sau đó tính số cách xếp cho n  1 đối tượng còn lại. Khi đó, có ( n  1)! cách xếp theo vòng tròn khép kín. 2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Có 4 nam và 4 nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp: 1) Nam nữ ngồi tùy ý. 2) Hai người ngồi đối diện nhau phải khác giới tính. Giải: GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 1) Nam nữ ngồi tùy ý. Cách 1: Tổng cộng có 8 người và 8 ghế +) Số cách chọn 4 người từ 8 người xếp vào 1 dãy ghế (gồm 4 ghế) là: 2.C84 .4! (có 2 cách chọn 1 dãy ghế ; C84 cách chọn 4 người từ 8 người và có 4! cách xếp 4 người vào 1 dãy ghế) +) Số cách chọn 4 người còn lại vào 1 dãy ghế còn lại là: 4! Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 2.C84 .4!.4!  80640 Có 2 cách nối 2 ghế thành dãy ghế gồm 8 vị trí Có 8! cách xếp 8 người vào 8 vị trí. Suy ra số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 2.8!  80640 . 2) Hai người ngồi đối diện nhau phải khác giới tính. Bước 1: Xếp 4 nam vào 1 dãy thì có: 4! cách Bước 2: Xếp 4 nữ vào dãy còn lại có: 4! cách Bước 3: Đổi chỗ 4 cặp nam nữ ngồi đối diện ta có: 2.2.2.2  24 cách Cách 2: Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 4!.4!.24  9216 (cách). Chú ý: Từ bài toán trên,ta có thể đưa ra kết quả tổng quát sau:  Số cách xếp n nam và n nữ ngồi vào 2 dãy ghế đối diện, mỗi dãy n ghế là: 2.(2n)!  Số cách xếp n nam và n nữ ngồi vào 2 dãy ghế đối diện, mỗi dãy n 2 n ghế sao cho nam và nữ ngồi đối diện là: ( n !) .2 . Ví dụ 2. Một hội nghị bàn tròn có 5 phái đoàn các nước. Ban tổ chức bố trí 17 chiếc ghế cho 17 đại biểu ngồi. Trong đó, nước Anh: 3 người , nước Nga: 5 người, nước Mỹ :2 người, nước Pháp: 3 người và nước Việt Nam: 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi: 1) cho mọi thành viên. 2) cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau. Giải: 1) Sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên. Bước 1: Xếp 1 người vào 1 vị trí bất kì, số cách xếp : 1 (cách) (vị trí đầu tiên sẽ đóng vai trò là điểm “mốc” vì đây là hoán vị đường tròn). Bước 2: Xếp 16 người còn lại vào 16 ghế, số cách xếp: 16! (cách) Vậy số cách xếp chỗ cho mọi thành viên là: 1.16!  20922789888000 (cách).  Có 1 câu hỏi vui lúc này là : “Nếu mỗi lần xếp vị trí để chụp ảnh cho 17 vị đại biểu trên mất 10’, hỏi để chụp được toàn bộ mọi khả năng xếp vị trí ngồi của các thành viên thì mất bao lâu”. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Giải: Một ngày chụp được số tấm ảnh (số vị trí): 24.60.6  8640 Thời gian để chụp được toàn bộ mọi khả năng xếp vị trí ngồi của các thành viên là: 16!  2421619200 (ngày)  6, 7 (triệu năm). 8640 Một con số khủng khiếp !!!. 2) Sắp xếp chỗ cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau. Bước 1: Số cách xếp phái đoàn ngồi theo quốc gia : 1.4!  24 (cách) Bước 2: Bây giờ ta đi tính số cách xếp vị trí trong nội bộ từng phái đoàn. +) Phái đoàn Anh: 3!  6 (cách xếp) +) Phái đoàn Nga: 5!  120 (cách xếp) +) Phái đoàn Mỹ: 2!  2 (cách xếp) +) Phái đoàn Pháp: 3!  6 (cách xếp) +) Phái đoàn Việt Nam: 4!  24 (cách xếp) Theo quy tắc nhân ta có số cách xếp vị trí thỏa mãn bài toán là: 24.6.120.2.6.24  4976640 (cách). Ví dụ 3. Một học sinh có 12 cuốn sách khác nhau gồm 2 Toán, 4 Văn và 6 Anh Văn. Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách trên lên kệ dài mà sách cùng loại liền kề nhau. Giải: Trước tiên để xếp số sách cùng loại liền kề nhau. Ta chia giá sách thành 3 khoảng (mỗi khoảng xếp 1 loại sách). Khi đó số cách đưa 3 loại sách Toán, Văn, Anh Văn vào 3 khoảng trên là: 3! (cách) Bây giờ ta xét cách xếp “nội bộ” của từng loại sách: Số cách xếp 2 cuốn sách Toán là: 2! (cách) Số cách xếp 4 cuốn sách Văn là: 4! (cách) Số cách xếp 6 cuốn sách Anh Văn là: 6! (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 3!.2!.4!.6!  207360 cách. Ví dụ 4. Trong một toa tàu có hai ghế xalông đối mặt nhau, mỗi ghế có 4 chỗ ngồi. Trong số 8 hành khách thì 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, còn hai người muốn ngồi theo hướng ngược lại, 3 người còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi để thỏa mãn các yêu cầu của khách. Giải: Số cách xếp 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy vào 4 vị trí theo hướng tàu chạy là: A43  24 (cách) Số cách xếp 2 người ngồi theo hướng ngược tàu chạy vào 4 vị trí theo hướng ngược tàu chạy là: A42  12 (cách) Số cách xếp cho 3 vị khách “dễ tính” vào 3 vị trí còn lại là: 3! = 6 (cách) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 24.12.6  1728 (cách) Ví dụ 5. Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự 1 đến 5 cạnh nhau. Có bao nhiêu cách xếp để: 1) các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau. 2) các phiếu chia thành 2 nhóm chắn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 1, 5, 3, 4 , 2) Giải: 1) các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau. Ta xếp các số 1, 2,3,5 vào 4 vị trí, số cách xếp: 4!  24 (cách) Ta xếp số 4 vào vị trí cạnh số 2 , số cách xếp : 2 (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 24.2  48 (cách) 2) các phiếu chia thành 2 nhóm chẵn, lẻ riêng biệt (chẳng hạn 1, 5, 3, 4 , 2). Trước tiên để chia thành hai nhóm chẵn, lẻ riêng biệt. Ta có 2 cách chia (nhóm chẵn bên phải hoặc bên trái) Bây giờ ta xét cách xếp “nội bộ” của nhóm: Số cách xếp 2 số chẵn vào 2 vị trí: 2! (cách) Số cách xếp 3 số lẻ vào 3 vị trí là: 3! (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 2.2!.3!  24 (cách). Ví dụ 6. Một người có 8 pho tượng khác nhau và muốn bày 6 pho tượng trong số đó vào 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp. Giải: Số cách chọn 6 pho tượng từ 8 pho tượng là: C86  28 (cách) Ứng với mỗi bộ 6 pho tượng ta có số cách xếp vào 6 chỗ trống trên kệ là: 6!  720 (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 28.720  20160 (cách) Chú ý: Ta có thể làm trực tiếp luôn, vì số cách xếp thỏa mãn đề bài chính là việc chọn 6 phần tử từ 8 phần tử có quan tâm tới thứ tự, nên đáp số sẽ là: A86  20160 (cách) Ví dụ 7. Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hàng dọc vào lớp. Có bao nhiêu cách xếp để học sinh nữ đứng đầu hàng. Giải: Số cách xếp học sinh nữ ở đầu hàng : 3 (cách) Số cách xếp cho 8 người còn lại là: 8! (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 3.8!  120960 (cách) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 8. Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh thành hàng một hàng ngang để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau. Giải: Bước 1: Ta coi 5 em định trước đứng kề nhau là 1 vị trí, khi đó ta có 8 vị trí để xếp cho 12 học sinh (có 1 vị trí cho 5 học sinh). Số cách xếp là: 8 ! (cách) Bước 2: Số cách xếp “nội bộ” cho 5 học sinh định trước là: 5! (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 8!.5!  4838400 (cách). Ví dụ 9. Một nhóm lớp học có 10 nam và 6 nữ chụp hình lưu niệm cuối năm cùng thầy giáo theo một dãy hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí sao cho mỗi bạn nữ luôn có 2 nam đứng cạnh 2 bên. (Biết rằng thầy giáo là nam ). Giải: Bước 1: Xếp 11 nam (gồm cả thầy giáo) theo 1 dãy hàng ngang, số cách xếp : 11! (cách) Bước 2: Giữa 11 nam sẽ có 10 khoảng trống. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Lúc này, ta sẽ xếp 6 bạn nữ này vào 10 khoảng trống (1 khoảng trống xếp không quá 1 nữ), 6 Số cách xếp là: A10 (cách) Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 11!. A106  6035420160000 (cách) Ví dụ 10. Có tổng cộng 10 viên bi trong đó có 3 bi trắng, 2 bi đỏ và 5 bi vàng. Biết các viên cùng màu giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 viên bi trên thành một dãy hàng ngang. Giải: Trong 10! cách xếp 10 viên bi thành hàng ngang ta tính cả trường hợp số bi cùng màu khi đảo lại sinh ra cách mới. Song trên thực tế, do các viên bi cùng màu giống nhau nên khi đảo lại chúng không tạo ra cách xếp mới. Ta có số hoán vị các viên bị cùng màu: 3!.2!.5! Vậy số cách xếp thỏa mãn bài toán là: 10!  2520 3!.2!.5! GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM SỐ 1. Một số chú ý khi giải bài toán tìm số  Cần đặt ra câu hỏi “số cần lập có các chữ số khác nhau không ? , có mặt chữ số 0 hay không ?”  Số tự nhiên gồm n chữ số có dạng a1a2 ...an với a1  0 (a1  1; 2;3;...;9) và nếu không có điều kiện ràng buộc thì  a2 , a3 ,..., an  0;1; 2;...;9 a1 luôn ở mức ưu tiên cao nhất để ta chọn trước.  Trong bài toán nếu có các từ “có ít nhất” , “có tối đa”, “không quá”, “có mặt”, “không có mặt”, “không bắt đầu bởi”…ta có thể nghĩ tới cách tiếp cận gián tiếp bằng việc sử dụng phần bù.  Phải nắm được các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 9 ( Dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc 5) là chữ số tận cùng chia hết cho 2 n n (hoặc 5) . Tổng quát: “Dấu hiệu chia hết cho 2 (hoặc 5 ) là số đó có n n chữ số tận cùng chia hết cho 2 (hoặc 5n ) ; Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9) là tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9) ; Dấu hiệu chia hết cho 6 là số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3…).  Nếu trong bài toán có các điều kiện như phải có mặt chữ số nào đó, chữ số có mặt n lần ( n  1 ) thì chúng ta có thể tư duy theo góc nhìn minh họa bởi các ô vuông (các bạn sẽ hiểu rõ điều này qua các ví dụ). 2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Với các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên là 1) Số có 4 chữ số 2) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau. 3) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau. 4) Số có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 126 . 5) Số có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Giải: 1) Số có 4 chữ số. Gọi các số cần lập có dạng a1a2 a3 a4 , khi đó: +) a1 : có 6 cách chọn (trừ chữ số 0) 3 +) a2 a3 a4 : có 7.7.7  73 cách chọn Suy ra số các số cần lập là: 6.7  2058 (số) GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 2) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau. Gọi các số cần lập có dạng a1a2 a3 a4 . Ta có a1a2 a3 a4 là số lẻ, suy ra a4  1;3;5 : có 3 cách chọn. Khi đó +) a1 : có 5 cách chọn (trừ chữ số 0 và 1 chữ số do a4 đã chọn) 2 +) a2 a3 : có A5  20 cách chọn (chọn 2 chữ số từ 5 chữ số) Suy ra số các số cần lập là: 3.5.20  300 (số) 3) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau. Cách 1 (Trực tiếp) Gọi các số cần lập có dạng a1a2 a3 a4 . Ta có a1a2 a3 a4 là số chẵn, suy ra a4  0;2;4;6 Trường hợp 1: a4  2;4;6 : có 3 cách chọn, khi đó: +) a1 : có 5 cách chọn (trừ chữ số 0 và 1 chữ số do a4 đã chọn) +) a2 a3 : có A52  20 cách chọn Suy ra trường hợp 1 lập được: 3.5.20  300 (số) Trường hợp 2: a4  0 , khi đó a1a2 a3 : có A63  120 cách chọn Suy ra trường hợp 2 lập được: 120 (số) Suy ra số các số cần lập là: 300  120  420 (số). Cách 2 (Gián tiếp) Theo ý 2) ta có số lẻ có 4 chữ khác nhau có 300 (số) Ta sẽ đi tính số các số có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đề bài cho. Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng a1a2 a3 a4 , khi đó: +) a1 : có 6 cách chọn (trừ chữ số 0) 3 +) a2 a3 a4 : A6  120 cách chọn Suy ra số các số có 4 chữ số khác nhau là : 6.120  720 (số) Khi đó số các số cần lập là: 720  300  420 (số). 4) Số có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 126 .  Gọi số có 5 chữ số khác nhau có dạng a1a2 a3 a4 a5 +) a1 : có 6 cách chọn (trừ chữ số 0) +) a2 a3 a4 a5 : có A64  360 cách chọn Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau là : 6.360  2160 (số)  Gọi số có 5 chữ khác nhau bắt đầu bởi 126 có dạng 126a4 a5 Khi đó a4 a5 : có A42  12 (cách chọn), suy ra số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu bởi 126 có: 12 (số)  Vậy có: 2160  12  2148 (số) thỏa mãn điều kiện bài toán. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 5) Số có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Cách 1 (Trực tiếp) Số các số cần lập chính là việc ta đưa 5 chữ số khác nhau từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vào 5 ô vuông (như hình vẽ) với điều kiện phải có mặt chữ số 5 và ô đầu không có chữ số 0 5 5 5 5 5 TH1 TH2 Trường hợp 1: Chữ số 5 đưa vào ô đầu : 1 cách , suy ra số cách chọn cho 4 ô còn lại là: A64  360 cách Suy ra trường hợp 1 lập được: 360 (số) Trường hợp 2: Chữ số 5 đưa vào một trong bốn ô cuối: 4 cách Số cách chọn ô đầu: 5 cách (bỏ chữ số 0 và 5) ; Số cách chọn ba ô còn lại : A53  60 cách. Suy ra trường hợp 2 lập được: 4.5.60  1200 (số) Khi đó số các số cần lập là: 360  1200  1560 (số). Cách 2 (Gián tiếp)  Gọi số có 5 chữ số khác nhau có dạng a1a2 a3 a4 a5 +) a1 : có 6 cách chọn (trừ chữ số 0) 4 +) a2 a3 a4 a5 : có A6  360 cách chọn Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau là : 6.360  2160 (số)  Gọi số có 5 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5 có dạng a1a2 a3a4 a5 +) a1 : có 5 cách chọn (trừ chữ số 0 và 5) 4 +) a2 a3 a4 a5 : có A5  120 cách chọn Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau mà không có mặt chữ số 5 là : 5.120  600 (số)  Vậy có: 2160  600  1560 (số) thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 2. Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau: 1) Chia hết cho 2 2) Chia hết cho 3 3) Chia hết cho 5 5) Có tổng các chữ số là: a) một số chẵn 6) Có tích các chữ số là : a) một số lẻ 4) Chia hết cho 9 b) một số lẻ b) một số chẵn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Giải: Gọi số có 3 chữ số khác nhau có dạng : a1a2 a3 1) Chia hết cho 2 Ta có a1a2 a3  2  a3  0;2;4  Trường hợp 1: a3  0  a1a2 : có A52  20 cách chọn Suy ra số các số ở trường hợp 1 là : 20 (số)  Trường hợp 2: a3  2; 4 : 2 cách chọn, suy ra a1 : có 4 cách chọn, a2 : có 4 cách chọn Suy ra số các số tạo được ở trường hợp 2 là: 2.4.4  32 Vậy có tất cả 20  32  52 số thỏa mãn bài toán. 2) Chia hết cho 3 Ta có a1a2 a3 3  a1  a2  a3 3  a1 , a2 , a3 được chọn từ các bộ số sau: (0;1; 2), (0;1;5), (0; 2; 4), (1; 2;3), (0; 4;5), (1;3;5), (2;3; 4), (3; 4;5) . Khi đó ta có thể chia các bộ số này thành 2 nhóm theo hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: a1 , a2 , a3 được chọn từ các bộ số (0;1; 2), (0;1;5), (0; 2; 4), (0; 4;5) Ứng với mỗi bộ số trên, ta lập được : 2.2! = 4 (số) dạng a1a2 a3 Vậy số lượng các số lập được ở trường hợp 1 là: 4.4  16 (số)  Trường hợp 2: a1 , a2 , a3 được chọn từ các bộ số (1; 2;3), (1;3;5), (2;3; 4), (3; 4;5) Ứng với mỗi bộ số trên, ta lập được : 3! = 6 (số) dạng a1a2 a3 Vậy số lượng các số lập được ở trường hợp 2 là: 4.6  24 (số) Vậy có tất cả 16  24  40 số thỏa mãn bài toán. 3) Chia hết cho 5 Ta có a1a2 a3  5  a3  0;5  Trường hợp 1: a3  0  a1a2 : có A52  20 cách chọn, suy ra số các số ở trường hợp 1 là : 20 (số)  Trường hợp 2: a3  5 , suy ra a1 : có 4 cách chọn, a2 : có 4 cách chọn Suy ra số các số tạo được ở trường hợp 2 là: 4.4  16 Vậy có tất cả 20  16  36 số thỏa mãn bài toán. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 4) Chia hết cho 9 Ta có a1a2 a3 9  a1  a2  a3  9  a1 , a2 , a3 được chọn từ các bộ số sau: (0; 4;5), (1;3;5), (2;3; 4) . Khi đó ta có thể chia các bộ số này thành 2 nhóm theo hai trường hợp sau:  Trường hợp 1: a1 , a2 , a3 được chọn từ các chữ số 0; 4;5 Suy ra có 2.2!  4 được tạo thành  Trường hợp 2: a1 , a2 , a3 được chọn từ các bộ số (1;3;5), (2;3; 4) Ứng với mỗi bộ số trên, ta lập được : 3! = 6 (số) dạng a1a2 a3 Vậy số lượng các số lập được ở trường hợp 2 là: 2.6  12 (số) Vậy có tất cả 4  12  16 số thỏa mãn bài toán. 5) Có tổng các chữ số là: a) một số chẵn Ta có a1  a2  a3 là một số chẵn, khi đó ta có thể chia thành hai trường hợp:  Trường hợp 1: a1 , a2 , a3 đều là các chữ số chẵn và được được chọn từ các chữ số 0; 2; 4 . Suy ra có 2.2!  4 được tạo thành .  Trường hợp 2: Trong các chữ số a1 , a2 , a3 có một chữ số chẵn và hai chữ số lẻ  Trường hợp 2.1: Chữ số a1 chẵn và a2 , a3 lẻ Khi đó a1  2;4 : 2 cách chọn và a2 a3 : có A3  3 cách chọn 2 Vậy có 2.3  6 số được tạo thành.  Trường hợp 2.1: Chữ số a1 lẻ và a2 , a3 khác tính chẵn lẻ Khi đó a1  1;3;5 : 3 cách chọn và a2 a3 : có 2.3.2  12 cách chọn ( có 2 cách chọn chữ số lẻ cho a2 , 3 cách chọn chữ số chẵn cho a3 và 2 hoán vị của a2 , a3 ). Vậy có 3.12 = 36 số được tạo thành. Vậy có tất cả 4  6  36  46 số thỏa mãn bài toán. b) một số lẻ  Trước tiên ta sẽ đi tính tất cả các số có dạng a1a2 a3 +) a1 : có 5 cách chọn. +) a2 a3 có A52  20 cách chọn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Suy ra có tất cả 5.20  100 số có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 .  Theo ý a) có 46 số có 3 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số là số chẵn  Suy ra số các số có 3 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số là số lẻ là: 100 – 46 = 54 số. 6) Có tích các chữ số là : a) một số lẻ Ta có tích a1a2 a3 là một số lẻ, suy ra a1 , a2 , a3 đều là các chữ số lẻ. Khi đó a1 , a2 , a3  1;3;5 . Suy ra có 3!  6 số thỏa mãn bài toán. b) một số chẵn Theo kết quả ý 5) phần b) ta có 100 số có 3 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 và theo ý 6) phần a) ta có 6 số có 3 chữ số khác nhau mà tích các chữ số là số lẻ. Suy ra có 100  6  94 số thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 3. Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 có thể lập ra được bao nhiêu số tự nhiên 1) lẻ có 6 chữ số, đôi một khác nhau và tổng ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba chữ số cuối một đơn vị. 2) có 5 chữ số trong đó chỉ có mặt ba chữ số 1, 2,3 . Giải: 1) số lẻ có 6 chữ số, đôi một khác nhau và tổng ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba chữ số cuối một đơn vị. Gọi số có 6 chữ số đôi một khác nhau có dạng: A  a1a2 a3 a4 a5 a6 A là số lẻ thỏa mãn : a1  a2  a3  a4  a5  a6  1  2(a1  a2  a3 )  a1  a2  a3  a4  a5  a6  1  16  a1  a2  a3  8 ( Vì a1  a2  a3  a4  a5  a6  5  4  3  2  1  0  15 ) Khi đó ( a1 ; a2 ; a3 ) thuộc bộ các 3 số sau : (0;3;5) , (1; 2;5) , (1;3; 4) *) Với ( a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (0;3;5) , suy ra ( a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (1; 2; 4) (Với a1  0 và a6 là chữ số lẻ ) nên số cách chọn A là : 2.2.1.1.2.1  8 *) Với ( a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1; 2;5) , suy ra ( a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (0;3; 4) (Với a6 là chữ số lẻ ) nên số cách chọn A là : 3!.1.2.1  12 *) Tương tự với ( a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1;3; 4) có số cách chọn A là: 3!.1.2.1  12 Vậy có tất cả : 8  12  12  32 số thỏa mãn điều kiện bài toán. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 2) có 5 chữ số trong đó chỉ có mặt ba chữ số 1, 2,3 . (những bài toán có sự xuất hiện hơn 1 lần của các chữ số ta nên dùng ô vuông để minh họa) Trường hợp 1: Trong ba chữ số 1, 2,3 thì có một chữ số xuất hiện 3 lần, còn hai chữ số còn lại mỗi số xuất hiện 1 lần. Do vai trò các chữ số 1, 2,3 là như nhau nên ta xét một trường hợp cụ thể sau: Chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số 2,3 mỗi chữ số xuất hiện 1 lần 1 3 1 1 2 Số cách chọn là: C53 .2! ( C53 cách cho 3 chữ số 1 vào 5 ô vuông và 2! cách cho 2 chữ số 2,3 vào 2 ô còn lại) Hoán vị vai trò các chữ số 1, 2,3 , suy ra có 3.C53 .2!  60 số trong trường hợp 1. Trường hợp 2: Trong ba chữ số 1, 2,3 thì có 1 chữ số xuất hiện 1 lần, còn hai chữ số còn lại mỗi số xuất hiện 2 lần. Do vai trò các chữ số 1, 2,3 là như nhau nên ta xét một trường hợp cụ thể sau: Chữ số 1 xuất hiện 1 lần, còn các chữ số 2,3 mỗi chữ số xuất hiện 2 lần 3 2 3 1 2 Số cách chọn là: C51.C42 .1 Hoán vị vai trò các chữ số 1, 2,3 , suy ra có 3.C51 .C42 .1  90 số trường hợp 2. Vậy tất cả có 60  90  150 số thỏa mãn bài toán. Ví dụ 4. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn. Giải: Bước 1: Trước tiên ta tính số các số khác nhau gồm 6 chữ số Gọi số có 6 chữ số có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 , khi đó: +) a1 có 9 cách chọn +) a2 a3 a4 a5 a6 có 10.10.10.10.10  105 cách chọn Suy ra có 9.105 số khác nhau gồm 6 chữ số Bước 2: Với mỗi số có 6 chữ số a1a2 a3 a4 a5 a6 ta lập được 10 số có 7 chữ số a1a2a3a4 a5a6 a7 mà trong đó chỉ có 5 số có tổng các chữ số là số chẵn. Do đó số 5 5 các số thỏa mãn bài toán là: 9.10 .5  45.10 số. GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. Giải:  Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10  9000 số.  Trong các số trên ta sẽ loại đi các số mà có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần  Xét chữ số 0 lặp lại đúng 3 lần. Vì số abcd luôn có a  0 , nên nó phải có dạng a000 Do đó có 9 số trong trường hợp này.  Xét chữ số khác 0 lặp lại đúng 3 lần là a +) Dạng xaaa có 8 số vì x  0 và x  a +) Dạng axaa , aaxa, aaax đều có 9 số Mà ta có 9 chữ số a khác 0, do đó ta có (8  9.3).9  315 số trong trường hợp này Vậy ta có các số có 4 chữ số mà có một chữ số lập lại đúng 3 lần là: 9  315  324 (số) Do đó các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 9000  324  8676 số. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CHỌN, RÚT – PHÂN CHIA Ví dụ 1. Một hộp đựng 18 viên bi khác nhau, trong đó có 8 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 4 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra từ hộp 4 viên bi sao cho: 1) Bốn viên bi có đủ cả 3 màu. 2) Luôn có bi màu trắng. 3) Số bi đỏ luôn nhiều hơn số bi trắng. Giải: 1) Bốn viên bi có đủ cả 3 màu. Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng. Số cách chọn: C81.C61 .C42  288 (cách) Trường hợp 1: Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng. Số cách chọn: C82 .C61 .C41  672 (cách) Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng. Số cách chọn: C81.C62 .C41  480 (cách) Vậy số cách chọn thỏa mãn bài toán là: 288  672  480  1440 (cách). GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan 2) Luôn có bi màu trắng (ta làm theo cách gián tiếp thông qua phần bù) 4 Số cách chọn 4 viên bi bất kì từ 18 viên bi là: C18 (cách) Số cách chọn 4 viên bi không có bi trắng từ 12 viên bi (đỏ và vàng) là: C124 (cách) 4 4 Vậy số cách chọn 4 viên bi luôn có bi trắng là : C18  C12  2565 (cách). 3) Số bi đỏ luôn nhiều hơn số bi trắng. Trường hợp 1: Chọn 4 bi không có bi trắng và có ít nhất 1 bi đỏ 4 +) Số cách chọn 4 bi từ 12 bi (không có trắng) là: C12 +) Số cách chọn 4 bi không có bi đỏ: C44 4 4 Số cách chọn thỏa mãn trường hợp 1 là : C12  C4  494 (cách) Trường hợp 2: Chọn 1 bi trắng, suy ra số bi đỏ phải chọn sẽ là 2 hoặc 3  Trường hợp 2.1: Chọn 1 bi trắng, 2 bi đỏ và 1 bi vàng Số cách chọn là: C61 .C82 .C41  672 (cách)  Trường hợp 2.1: Chọn 1 bi trắng, 3 bi đỏ. Số cách chọn là: C61 .C83  336 (cách) Số cách chọn thỏa mãn trường hợp 2 là : 672  336  1008 (cách) Vậy số cách chọn thỏa mãn điều kiện bài toán là: 494  1008  1502 (cách). CHÚ Ý 1: Qua bài toán trên ta nhận thấy trong rất nhiều trường hợp nếu cách tiếp cận trực tiếp phải phân ra nhiều trường hợp hoặc quá phức tạp, ta sẽ nghĩ ngay tới giải pháp tiếp cận bài toán theo cách gián tiếp theo các bước sau: Bước 1: Tính số cách chọn 1 cách bất kì (chưa có điều kiện ràng buộc) Bước 2: Tính số cách chọn không thỏa mãn bài toán. Bước 3: Kết quả cần tìm là hiệu của hai kết quả trên. Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách chia 50 viên bi giống nhau cho 4 đứa trẻ, sao cho mỗi đứa trẻ được ít nhất 5 viên bi. Giải: Bước 1: Ta đem chia trước cho mỗi đứa trẻ 4 viên bi, số cách chia : 1 (cách) (vì các viên bi giống nhau). Lúc này số viên bi còn lại là: 50  4.4  34 viên bi. Bước 2: Bây giờ ta sẽ đem chia 34 viên bi cho 4 đứa trẻ, đảm bảo mỗi đứa ít nhất một viên bi. Khi đó cùng với 4 viên bi nhận trước đó, mỗi đứa trẻ sẽ nhận được ít nhất 5 viên bi, thỏa mãn điều kiện bài toán. Để làm được điều này, ta sẽ thực hiện như sau: Đặt 34 viên bi thành một hàng ngang, giữa chúng sẽ có 33 khoảng trống (như hình vẽ).