Tài liệu Bài tập vật lí lí thuyết. tập 2, cơ học lượng tử vật lí thống kê

N G U Y Ễ N HỮU MÌNH (chủ biên) TẠ D U Y LỢI - Đ Ỗ Đ Ì N H T H A N H - LÊ T R Ọ N G T Ư Ờ N G » Bài tập V Ậ T L í L í T H U Y Ế T Tập hai (Cơ học lượng tử - Vật lí thống kê) (Tái bản lần thứ ba) N H À X U Ấ T B Ả N G IÁ O D U C V IÊ T N A M -\V‘v ■ 4. Tìm bước s ó n g Đ ơ Brơi ch o các trường hợp sau : a) Electron bay qua các hiệu điện thế IV, 100V, 1000V b) E le c tr o n b ay với vận tốc V = 10 8 cm /s c) E le c tro n c h u y ể n đ ộ n g với n ă n g lượng 1 M e V . d) Quả cầu c ó khối lượng lg chuyển động với vận tốc V = lm /s. 5. D ùn g điều kiện lượng tử hoá Bo (ỳpdq = nh (q là t o ạ độ suy rộng tương ứng với x u n g lượng suy rộng p, n là s ố ng uy êm n = 1, 2, 3... và h là h ằ n g số P lă n g ) (P la n c k ) để tìm : a) Bán k ính q u ỹ đ ạ o Bo th ứ n h ất và th ứ hai c ủ a ê l e c t r ồ n Itrong n g u y ê n tử hiđrô và c á c vận tốc của nó trên các q u ỹ đạo đó. b) Các m ức n ă n g lượng c ủ a e le c tro n trong n g u y ê n tử h i đ r ồ xạc định giá trị mức năng lượng của electron trên quỹ đạo Bo thứ nhất. c) Bước s ó n g c ủ a vạch q u a n g p h ổ khi ê l e c tr ô n tr o n g nguytên tử h iđ rồ c h u y ể n từ q uỹ đạ o lượng tử thứ tư (n = 4) về q u ỹ đ ạ o hượng tử thứ hai (n = 2 ). 6. D ù n g điều kiện lượng tử hóa Bo để tìm c á c mức năng hượng của dao đ ộ n g tử điều hoà m ột ch iểu với tần s ố 00 . 7. Hàm s ó n g của hạt trong g iế n g thế một c h ié u c ó d ạ n s : V|/n(x) = A s in / Ĩ17ĨX trong đó 0 < X < d với n = 1, 2, 3, 4... Xác định A từ điều kiện chuẩn hoá hàm són£. 8. Trạng thái của hạt được mô tả bàng hàm s ó n g : *2 + ikx ■„ Vị/(x) = A e 2a2 trong đó A , a, k là những hằng số. 4 a) Từ điéu kiện ch u ẩn hoá hàm sóng xác định A. b) Xác định X để c h o mật độ xác suất tìm thấy hạt c ó trị lớn nhất. c ) Tìm x á c suất để hạt nàm trong k h o ả n g từ - a đến + a trên trục X. Cho biết : -GO 9 . Hàm s ó n g củ a electro n trong n g u y ê n tử hiđrô ở trạng thái c ơ bản (trạng thái c ó mức năng lượng thấp nhất) c ó dạng : cp(r) = A e a trong đó a = 0 , 5 2 9 . 1 0 10m là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất. a) D ù n g điểu kiện ch u ẩ n hoá hàm s ó n g xác định A. b) Xác định r để c h o mật độ xác suất theo bán kính c ó giá trị lớn nhất. §2. T O Á N TỬ 10. Chứng minh rằng : 1 1. C hứng minh rằng nếu các toán tử Ẵ và B là những toán tử tu yến tính thì toán tử ( Ầ + B ) và toán tử A B c ũ n g là những toán tử tuyến tính. 5 12. Chứng tỏ rằng nếu các toán tử A và B là n hữn g toáíni tử ecm it thì các toán tử ( A + B ) và ( A B + B A ) là n hữn g toáín tử ecmit. Với điều kiện nào thì A B hoặc BA là toán tử e c m i t ? 13. Chứne; tỏ rằng các toán tử sau đây là e c m i t : X = X, ỳ = y, z = z, p x = a) õx , ổ A ., õ Py = ~in Ĩ T ’ Pz = - ^ t : õy 2 2 OZ 2 ^ Px + Pv + Pz b) H = — y + U (x,y,z) 2m (m là khối lượng của hạt, u là t h ế năng của hạt) /V ) Ỵ Lz A A A A /\ * A A = xpy - ypx , A /N A Ỵ A A L y = z p x- x p z , L x A A = y p z- z p y L2 = L2x + L y + L2z 14. C h ứ n e m i n h rằ n g nếu A , B là những to án tử e c m i t thì XV yv /V A A /V -A . [ A , B ] = A B - BA = i c trong đó c là toán tử ecmit. 15. C h ứ n g m i n h rằnơ n ế u Ẫ, B là n h ữ n g to á n tử ecimit, f Ẩ , B ] = i C và a là s ố thực thì : J Ì ( a Ầ - i B ) i | / ( x ) | 2 dx = J \|/* (x ) (a 2 A 2 + a C + B 2 )\|/(x)dx 16. Toán tử tịnh tiến một v ec tơ vô c ù n g bé ã được k í hiệui là Tã và được đ ịnh n g h ĩa n h ư sau : Tãi|/(r) = i ị / ( f + ã) Tìm dạnc toán tử tịnh tiến Tà và biểu diễn nó qua toán tử xung lượng P= = -i /?v - \ h ỡx dy dz 1 7 . T ì m t o á n t ử q u a y m ộ t 2 ÓC ôcp rất b é q u a y h ư ớ n g biếu diẻn nó qua toán tử mômen xung lượng L = [r A n ơ và p]. Cho biết toán tử quay một góc bé ỗ(p = n 0 ỗ(p được kí hiệu là R(ỗcp) và được đ ịn h n e h ĩa như sau : R(ftộ)ụ(?) = Vị/(r + ỗr) tr a n g đó 8 r = [Sep A r ] . 18. Toáĩ> tử A + được gọi là toán tử liên hiệp ecmit với toán tử Ẩ mếu : j\ị/(x)(A+cp(x)) dx = Jcp (x)Ai|/(x)dx Chứng minh rằng : a ) T o á n tử A là t o á n tử e c m i t n ế u A + = Â b) (A B )+ = B+ A + c ) JẨ,B]+ = [ B + , A Ĩ ] 19. Chứng minh rằng ta có các hẹ thức eiao hoán giữa các toán tử sau : a) ỵ p x - PxY = ° ’ z Px - b ) x L x - Lxx = -i/?z, ... tro»n2 đ ) p x = - i n — õ ổx z Ly C' _ ^ Pxz = ° ’ — Lxz = ì hy , Lx = ypz - ^ zpy . x Px - Pxx = Phần I I I Cơ HỌC LƯỢNG TỬ A - ĐE BAI §1. N H Ữ N G C ơ SỞ V Ậ T LÍ CỦA c ơ H Ọ C LƯ Ợ N G TỬ M Ẩ U N G U Y ÊN T Ử R O Z E P H O (R U TH E FO R D ) L Ị T H U Y Ế T 130 ( B O H R ) 1. Xác định năns; lượng, khối lượng và xung lượnơ của phôtôn có bước sóng tương ứng với : a) Anh sáng trông ihấy có X = 0,7 Ịim b) Bức xạ Rơnghen có X = 0 ,25Ả c) Bức xạ gamma có X = 0 , 0 16Ả 2. Ánh sáng có bước sóng X = 4,2.10 7m được chiếu trên mặt kiiĩìi loại kali. Công thoát của electron từ mặt kim loại kali bằng 3,2.. 10 19 J. Xác định vận tốc cực đại của electron bay ra từ mặt kirm loại kali. 3. Tìm công thức để tính bước sóng Đơ Brơi (DeBroglie) cho hat tương đối tính. 3 2 0 . Đ ặt L+ = L x + i L y , L _ = L x - iLy chứng m in h ràng : â) u L-f L-t- —/? L-f b) LZL_ - L_LZ = - hL_ c) Q C C ) - ( C C ) C = o d) L2 = C C + L 2z + Í ' e) L^L2 - L 2 L ^ = 0 , L^L2 - L 2 L^ = 0 , Q l 2 - L 2 L^ = 0 tron g đ ó L 2 = L X + L y + . 2 1 . Chứn-g m in h rằng ta c ó c á c hệ thức g ia o h o á n sau : a) pxf ( x ) - f ( x ) p x = - \ h —~ ơx b) pA(x,y,z) - A(x,y,z)p = - ih d iv A õ trong đ ó p x p = -ifìV , f ( x ) là hàm của X ' và A lả vcc: tơ ỡx phụ th u ộ c và o X, y , z. c) Êt - tÊ = i tì với Ê = ih — và ỡt t là thời gian. 2 2 . T ìm h à m riên g và trị riên g của c á c toán tử sau đây : X a) K = - i Va2 d 4- —— với a = con st. dx b) L x = - in — . x ãp. c) Px = - \ h — nếu hàm r iên g của p x là V|/(x) thoả mãn điều dx k iện Vj/(x) = V|/(x + a) với a = c o n s t . L2 d) T = — = 21 21 acp2 trong đó I = c o n s t (I là m ômen quán tính và T là toán tử đ ộ n g năng của rôtato p h ả n g ). 23. Toán tử H a m in tơ n H của hạt ở trong g i ế n g t h ế v u ô n g g ó c m ột chiêu c ó d ạ n g : 0 khi 0 < X < d trong đó U (x) = 00 k h i X > d v à X < 0 T ìm hàm r i ê n g đ ã c h u ẩ n hoá và trị r i ê n s c ủ a to á n tử H . 24. Gọi L z là trị riêng c ủ a toán tử Lz và L 2 là trị riê n g c ủ a toán tử ]} . a) Chứng m inh r ằ n g L 2 - l \ > 0. b) Chứng tỏ rằng nếu V|/m(cp) là hàm riêng của toán tử L z tương ứng với trị riêng mh thì L V|/m(cp) và L_i|/m( biết: 00 Z n=l,3,5 n 1 1 4 tt - 4 TC QA * 96 1 o o 1 ' 2 n= l,3,5...n IX 2 C 8 3 5 . Thiết lập q u y tắc lấy đạo hàm theo thời g ia n c ủ a tích hai toán tử 3 6 . Chứng tỏ rằng trị trung bình của x u n g lượng ở trạnig thái d ừ n c c ó phổ gián đoạn bằng không. 3 7. Giá trị trung bình của đại lượng L ở thời đ i ể m t đượíc xác định như sau : L = JV*(r,t)Lvị/(r,t)dV trong đó L k h ô n g phụ thuộc rõ vào thời gian. a) C hứng m in h rằng nếu ta c ó ? '( t ) = S- 1(t)LS(t) với :o>ái tử t ắ ( t ) được xác định bằng hệ thức S(t)iị/(f,0) = Vj/(r,t) thì : L = J i|/* (f,0) n t ) i |/ ( r ,0 )d V . b) C h ứ n g m in h r ằ n e ta có hệ thức : 12 tr o n g đó •'/?' = s 1HS. //-.//!/' = l i ' c ) C h ứ n g m in h rằng nếu : L M - M L = iN thì t r o n g đó * ĩ/ = S " 1MS, . r = S_1N S và a, y < 0, y > b, z < 0, z > c Tìm hàm s ó n g và n ã n s lượng của hạt. 51. Hạt c ó khối lượng m c h u y ể n đ ộ n g trong trường thế : Uo U 0 khi X < 0 U (x) = 0 khi 0 < X < d I U 0 khi k h i X > dd III II 0 d X ; Hình 3.1 ị Tìm phương trình xác định phổ nãng lượng E trong m iề n E < u 0. Lập luận về tính gián đoạn của pttiổ năng lượng (h .3 .1 ). 52. Hạt c ó khối lượng m ch u y ể n * đ ộ n g trong trường t h ế c ó dạng : U Ư (x)=<Ị0 ị khi X < 0 k h iO < x < d U 2 khi X > d với U | < Ui II II! ___ 0 d X Hình 3.2 u 2. Tìm phương trình xác định năng lượng E củ a hạt trong vòn g E < Uj ( h .3 .2 ) . 5 3 . Hạt c ó khối lượng m, c ó năng lượng E > 0 c h u y ể n đ ộ n g từ trái san e phải trone t r ư ờ n ơ thế c ó dạng : 16 58. X á c đ ịn h các m ức n ă n g lượng và h à m s ó n g c ù a e le c tro n c h u y ể n đ ộ n g trong từ trường đều có cảm ứng từ B hướng d ọ c th e o trục Oz. 5 9 . Tìm mức năng lượng và hàm s ó n g của dao đ ộ n g tử lượng tử một c h iề u dưới tác dụng của điện trường k h ô n g đối 8 đặt d ọ c theo phương dao đ ộ n g Ox. Cho biết k hối lượng của hạt là m và điện t í c h c ủ a nó là e. 6 0 . Hai hạt c ó khối lượng m J và m 2 với m đ ộ n g d ọ c theo trục O x và liên hệ với nhau bởi đàn hồi p. N g o à i ra m ỗ i hạt liên hệ Ị = m2 = m ch u y ển lực đàn hồi c ó hệ s ố với g ố c toạ độ ( đ iể m bằng lực đàn hồi với hệ s ố đàn hổi a . X X ác định c á c mức năng lượng và hàm s ó n g của hệ hai hạt. 6 1 . Tìm mức năng lượng và hàm s ó n g của rôtato lượng tử đối x ứ n g với to án từ H a m in t ơ n có dạn g : trong Lx , Ly , Lz là những toán tử hình c h iế u m ô m e n xung lượng I ị , I2, I3 ( l ị = I2) là m ô m e n quán tính củ a co n quay đối với trục O x , O y , O z đi qua khối tâm. 6 2 . T im các mức năng lượnơ và c á c hàm s ó n g của hạt ở trong trường t h ế C ưlông ( C o u lo m b ) một chiều có dạng : e2 ƯW = - 7 - , Ix I 6 3 . T im các mức năng lượng và c á c hàm s ó n g củ a hạt ở trong trường t h ế U (x ) = U 0 ( e “2ax - 2 e _ocx) trong đó U ơ và a là những hằng s ố ( t h ế M o (M ore)). 18 = 0) 64. Tim các mức nănơ lượng và các hàm sóng của hạt ờ trong trường thế U(x) = ------ ^ — ch trong đó UQ và a là những hằne số. (ax) 65. Tìm các hàm sóng và các mức năng lượng tương ứng của hạt trone trường thế có dạng : với X > 0 , A = const. U (x)= u 0 \ X A 6 6 . X á c định c á c m ứ c năng lượng và cá c h àm s ó n g tương ứng của hạt trong trường thế U ( x ) ‘= U 0 cotg 2 í nx } — V d ) , (0 < X < d). Tìm hàm sóng ở trạng thái cơ bản (không tính đến chuẩn hoá). 6 7 . T rạn g thái c ủ a hạt ở trong trường x u y ê n tâm biểu diễn U(r) được b ằ n g h à m s ó n g trong toạ đ ộ cầ u : V|/(r, 0 cp)*= R(r)Y(0, cp) a) Tìm phương trình vi phân xác định hàm bán kính R(r). b) T im m ứ c n ă n g lư ợ n g và hàm bán kính R (r) c h ư a ch u ẩ n h oá khi trường thế U(r) có dạng U(r) = 68 . Electron Ze 2 r chuyển động trong trường Culồng của hạt nhân . Ze2 với thê năng U(r) = -------- . r Xác định thừa số chuẩn hoá của hàm sóng bán kính Rn/(r). 69. Electron trong nguyên tử hiđrô ở trạng thái dừng được mồ tả bởi hàm sóng đối xứng cầu V|/(r) = A(1 + ar)eaỉ (A, a, a là những hằng số). Từ phư ơ nơ trình Srôđingơ xác định các hằng số a, a và tìm năng lượns của electron. Xác định các số lượng tử tương ứng của trạng thái electron. 19 ,