Tài liệu Bài tập trị riêng vecto riêng có lời giải

Trị riêng và vector riêng Bài 04.04.1.001 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A: 3 0 1)    8 1 10 9  2)    4 2   0 3 3)   4 0 Giải: 1) Phương trình đặc trưng của ma trận là 3 0 8 1   0 1  3 nên A có 2 trị riêng là 3 và -1.   3    1     0   2  1  3    x1  0 Vecto riêng ứng với trị riêng  là x   x1 , x2  thỏa mãn:  8 x1  1    x2  0 0 x  0 Với   1  3, ta có hệ  1  x2  2 x1 , x1 tùy ý 8 x  4 x  0  1 2 x  x  1  Nên x   1    1   x1   do đó vecto riêng là 1,2  2  x2   2 x1  4 x  0 Với   2  1, ta có hệ  1  x1  0, x2 tùy ý 8 x1  0 x2  0  x  0  0  Nên x   1      x2   do đó vecto riêng là  0,1 1   x2   x2  2) Phương trình đặc trưng của ma trận là 10   9 4 2   0     4   0  1  2  4 là trị riêng bội 2. 2 Vecto riêng ứng với trị riêng 4 là x   x1 , x2  thỏa mãn hệ  6 x1  9 x2  0 3 10  4  x1  9 x2  0 hay   x1  x2 , x2 tùy ý  2 4 x1  6 x2  0  4 x1   2  4  x2  0  x1   3 / 2  x2  3 / 2  Do đó x        x2   x2   1  x2   3  Vậy vecto riêng là  ,1 ứng với trị riêng là 4. 2  3) Phương trình đặc trưng của ma trận là  3 4    2  12  0 Dễ dàng suy ra A có hai trị riêng 1  12, 2   12  3  Với 1  12 có vecto riêng tương ứng là  ,1  12   3  Với 2   12 có vecto riêng tương ứng là   ,1  12  Bài 04.04.1.002 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:  2 7  1)   1 2 0 0  2)   0 0  1 0  3)   0 1  Giải: 1) Phương trình đặc trưng của A là 2   7 1 2   2  3  0 (1) Phương trình (1) không có nghiệm thực, đo đó A không có trị riêng thực. Nếu xét các trị riêng phức thì A có 2 trị riêng 1  i 3, 2  i 3    2  i 3 x1  7 x2  0  Với 1  i 3, ta có:   x1  2  i 3 x2 , x2 tùy ý. x  2  i 3 x  0  1 2         2  i 3   x1   2  i 3 x2    x2  x   nên có vecto riêng là 2  i 3,1 1   x2   x2         2  i 3 x1  7 x2  0   x1  2  i 3 x2 , x2 tùy ý. Với 1  i 3, ta có:   x1  2  i 3 x2  0         2  i 3   x1   2  i 3 x2    x2  x   nên có vecto riêng là 2  i 3,1 x 1    2  x2    2) Phương trình đặc trưng của A là   0 0   2  0 A có trị riêng bội hai là 1  2  0. 0 x  0 x2  0 Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2  thỏa mãn  1 nên x1, x2 tùy ý. 0 x1  0 x2  0 1  0   0  0   0 Hai vecto 1,0  và  0,1 là ĐLTT vì         0    0 1  0    0   0 Vậy có hai vecto riêng ĐLTT là 1,0  và  0,1 3) Phương trình đặc trưng của A là 1  0 0 1   1     0 2  Do đó A có trị riêng bội hai là 1  2  1 0 x  0 x2  0 Hệ phương trình xác định vecto riêng x   x1 , x2  tương ứng là:  1 0 x1  0 x2  0 Hệ phương trình này trùng hệ phương trình ý 2) nên ta cũng có kết quả tương tự Vậy ứng với trị riêng 1  2  1 có hai vecto riêng là 1,0  và  0,1 Bài 04.04.1.003 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:  2 1 2  1)  5 3 3     1 0 2   4 5 2  3)  5 7 3     6 9 4   0 1 0 2)  4 4 0     2 1 2  Giải: 1) Phương trình đặc trưng là 2 1 2 5 3   3 1 0 2     1     0 3 Do đó A có một trị riêng bội ba là   1. Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2 , x3    2   1  x1  x2  2 x3  0  thỏa mãn: 5 x1   3   1  x2  3 x3  0   x1   2   1  x3  0  Hệ này có nghiệm x1  0, x3   x2 , x2 tùy ý. Do đó  x1  0   0 x   x2    x2   x2  1    x3    x2   1 Vậy ứng với trị riêng bội ba   1 có một vecto riêng là  0,1, 1  1 0 2) Phương trình đặc trưng của A là 4 4   2 1      2  0 3 0 2 Do đó A có một trị riêng bội ba là   2. Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2 , x3  2 x1  x2  0  thỏa mãn: 4 x1  2 x2  0  2 x  x  0 1 2  Hệ này có nghiệm x2  2x1, x1, x3 tùy ý. Do đó  x1   x1  1  0 x   x2    2 x1   x1  2   x3 0       x3   x3  0  1  Vậy ứng với trị riêng bội ba   2 có 2 vecto riêng 1,2,0  và  0,0,1 3) Phương trình đặc trưng của A là 4 5 2 5 7   3 6 9 4   2 1     0 có hai trị riêng 1  2  0 bội hai và 3  1 đơn. Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2 , x3  thỏa mãn: 4 x1  5 x2  2 x3  0  Với 1  2  0 có hệ 5 x1  7 x2  3 x3  0 6 x  9 x  4 x  0 2 3  1 Hệ thuần nhất này có nghiệm không tầm thường x2  2 x1, x3  3x1, x1 tùy ý.  x1   x1  1  Do đó x   x2    2 x1   x1  2   x3   3 x1  3  Vậy ứng với trị riêng bội hai 1  2  0 có vecto riêng là 1,2,3 3x1  5 x2  2 x3  0  Với 3  1, ta có hệ 5 x1  8 x2  3x3  0  x2  x3 , x1  x3 , x3 tùy ý 6 x  9 x  3 x  0 2 3  1  x1   x3  1 Do đó x   x2    x3   x3 1   x3   x3  1 Vậy ứng với trị riêng 3  1 có vecto riêng là 1,1,1 Bài 04.04.1.004 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:  1 3 3  1)  2 6 13    1 4 8   1 3 4  2)  4 7 8     6 7 7   7 12 6  3) 10 19 10    12 24 13 Giải: 1  3 6   1) Phương trình đặc trưng của A là 2 1 4 3 13  1     0 3 8 Do đó A có một trị riêng bội ba là   1. Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2 , x3   1  1 x1  3x2  3x3  0  thỏa mãn 2 x1   6  1 x2  13x3  0    x1  4 x2   8  1 x3  0 Hệ thuần nhất này có nghiệm x1  3x3 , x2  x3 , x3 tùy ý. Do đó  x1  3x3   3 x   x2    x3   x3 1     x3   x3  1  Vậy ứng với trị riêng bội ba   1 có vecto riêng là  3,1,1 1  3 4 4 7   8 6 7 7 2) Phương trình đặc trưng của A là      1    3  0 2 Do đó A có hai trị riêng là 1  2  1 bội và 3  3 đơn. Vecto riêng tương ứng là x   x1 , x2 , x3  thỏa mãn hệ 1  1 x1  3x2  4 x3  0  Với 1  2  1 ta có hệ 4 x1   7  1 x2  8 x3  0  x1  x3 , x2  2 x3 , x3 tùy ý.  6 x1  7 x2   7  1 x3  0 Do đó  x1   x3  1      x   x2    2 x3   x3  2     x3   x3  1  Vậy ứng với trị riêng bội hai 1  2  1 có vecto riêng là 1,2,1 1  3 x1  3x2  4 x3  0  Với 3  3 ta có hệ 4 x1   7  3 x2  8 x3  0  x2  2 x1 , x3  2 x1 , x1 tùy ý  6 x1  7 x2   7  3 x3  0 Do đó  x1   x1  1      x   x2    2 x1   x1  2     x3   2 x1   2  Vậy ứng với trị riêng 3  3 có vecto riêng là 1,2,2  3) Phương trình đặc trưng của A là 7 12 6 10 19   10 12 24 13        1    1  0 2 Do đó A có hai trị riêng khác nhau 1  2  1 bội hai và 3  1 đơn. Vecto riêng ứng với 1  2  1 là x   x1 , x2 , x3  thỏa mãn hệ:   7  1 x1  12 x2  6 x3  0  10 x1   19  1 x2  10 x3  0  x1  2 x2  x3 , x2 , x3 tùy ý.   12 x1  24 x2  13  1 x3  0  x1   2 x2  x3   2 x2    x3  2  1 x2    x2    0   x2 1   x3 0  Do đó x   x2            x3     0  1  x3   0   x3  Vậy ứng với trị riêng bội hai 1  2  1 có 2 vecto riêng là  2,1,0 và  1,0,1 Vecto riêng ứng với 3  1 là x   x1 , x2 , x3  thỏa mãn hệ:   7  1 x1  12 x2  6 x3  0  1 5 10 x1   19  1 x2  10 x3  0  x1  x3 , x2  x3 , x3 tùy ý. 2 6  12 x  24 x  13  1 x  0   3 1 2  Do đó  x1   1 / 2  x3  3    1 x   x2    5 / 6  x3   x3 5  6     x3   6  x3   Vậy ứng với trị riêng 3  1 có một vecto riêng là  3,5,6  Bài 04.04.1.005 Tìm trị riêng và vecto riêng của ma trận A:  3 1 1 1 2)  3 0   4 1  4 5 7  1)  1 4 9     4 0 5  0 0 0  5 3   3 1 0 1 0 3)  1  0 0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 1 Giải: 1) Phương trình đặc trưng của A là 4    1   4 5 7  4   9   1      2  4  13  0  0 5    Do đó A có một trị riêng thực 1  1 và hai trị riêng phức 2  2  3i, 3  2  3i   4  1 x1  5 x2  7 x3  0  Với 1  1 ta có hệ  x1   4  1 x2  9 x3  0  x1  x3 , x2  2 x3 , x3 tùy ý.  4 x1   5  1 x3  0  Do đó  x1   x3  1  x   x2    2 x3   x3  2     x3   x3  1  Vậy ứng với trị riêng 1  1 có vecto riêng là 1,2,1   2  3i  x1  5 x2  7 x3  0  x  3  3i x 3  1  4 Với 2  2  3i ta có hệ  x1   6  3i  x2  9 x3  0   và x3 tùy ý. 5  3 i  x  x3  4 x  3  3 i x  0   1 3   2 4 Do đó  x1  3  3i  x3    x   x2   5  3i    4  x3   4  Vậy ứng với trị riêng 2  2  3i có vecto riêng  3  3i,5  3i,4  Tương tự với trị riêng 3  2  3i có vecto riêng  3  3i,5  3i,4  0 3   1  1 1  0 2) Phương trình đặc trưng của A là   3 0 5  1 3  4  0       2 4  0 3   1    0 Do đó A có một trị riêng bội 4 là   2. Vecto riêng x   x1 , x2 , x3 , x4   4 ứng với trị riêng   2 thỏa mãn:   3  2  x1  x2  x1  1  2  x2   3x1   5  2  x3  3 x4  4 x  x  3x   1  2  x 3 4  1 2 0 0 0  x1   x3  x4 x2   x3  x4 và x3 , x4 tùy ý. 0  x1    x3  x4    x3   x4   1 1   x   x  x   x     1 1  x4  2 3 4 3            x3  x4   Do đó x   x3    1 0  x3   x3   0              x4   0   x4   0 1   x4   Vậy ứng với trị riêng bội bốn   2 có hai vecto riêng 1,1, 1,0  và 1,1,0,1 1    0 3) Phương trình đặc trưng của A   1   0 0  0 0 0  0 0    1   2  2  0  0   0 1  0 Do đó A có hai trị riêng 1  0 bội hai và 2  1 bội hai. Vecto riêng ứng với 1  0 là x   x1, x2 , x3 , x4  x1  0   0 x2  0  thỏa mãn   x1  0 x3  0  x4  0 Hệ này có nghiệm x1  0, x4  0, x2, x3 tùy ý.  x1   0  0  0  0 0  x   x    0  1  0 x2 2 2             x2  x3   Do đó x   x3   x3  0   x3  0 1              0 0  x4   0  0  0  Vậy ứng với trị riêng bội hai 1  0 có hai vecto riêng  0,1,0,0  và  0,0,1,0  Vecto riêng ứng với 2  1 là x   x1, x2 , x3 , x4   1  1 x1  0   x2  0  thỏa mãn   x1  x3  0 1  1 x  0 4  Hệ này có nghiệm x2  0, x3  x1, x1, x4 tùy ý.  x1   x1   x1  0  1  0 x          0  0 0 0 0 2 Do đó x              x1    x4    x3   x1   x1  0  1  0             0  1   x4   x4  0   x4  Vậy ứng với trị riêng bội hai 2  1 có hai vecto riêng 1,0,1,0 và  0,0,0,1 Bài 04.04.1.006 1 6   6  3 Cho ma trận A   , u  , v       . u , v có là vecto riêng của A? 5 2   5   2  Giải: Xét 1 6   6  24  6 Au      4      5  4u 5 2  5  20   1 6   3  9  3 Av           2 5 2   2   11   Vậy u là một vecto riêng ứng với trị riêng -4, v không là vecto riêng của A do Av không biểu diễn được theo v. Bài 04.04.1.007 3 2    2 có là trị riêng của A    3 8  Giải: Để 2 là trị riêng của A khi và chỉ khi Ax  2 x có nghiệm không tầm thường. Nghĩa là  A  2I  x  0 ta tính: 3 2   2 0  1 2  A  2I      3 8   0 2  3 6  Các cột của A phụ thuộc tuyến tính, nên  A  2I  x  0 có nghiệm không tầm thường, do đó 2 là một trị riêng của A. Bài 04.04.1.008 7 3    2 có là trị riêng của    3 1 Giải: Để -2 là trị riêng của A khi và chỉ khi Ax  2 x có nghiệm không tầm thường. Nghĩa là  A  2I  x  0 ta tính: 7 3   2 0  9 3     3 1  0 2 3 1  A  2I    Các cột của A phụ thuộc tuyến tính, nên thường, do đó -2 là một trị riêng của A. Bài 04.04.1.009  A  2I  x  0 có nghiệm không tầm 1   3 1 Vecto   có là vecto riêng của A    không? 4  3 8     Nếu có, hãy tìm trị riêng tương ứng. Giải:  3 1 1   1 1  Ta xét          4 .  3 8  4   29   1  Vậy vecto   không là vecto riêng của A. 4 Bài 04.04.1.010  1  2  2 1 Vecto   có là vecto riêng của A    không? 1 4 1     Nếu có, hãy tìm trị riêng tương ứng. Giải:  1  2   2 1   1  2   1  2 2    3  2 Ta xét         1  3  2  1 1 4       1  2  Dễ dàng nhận thấy vecto   là một vecto riêng của A, 1   ứng với trị riêng là 3  2. Bài 04.04.1.011  3 7 9  4   Vecto 3 có là vecto riêng của A   4 5 1  không?      2 4 4   1 Nếu có, tìm trị riêng tương ứng. Giải:  3 7 9   4  0  Ta xét  4 5 1   3  0        2 4 4   1 0   4 Vậy Vecto  3 là vecto riêng của A, ứng với trị riêng là 0.    1 Bài 04.04.1.012  3 0 1   4 có là một trị riêng của A   2 3 1  không?    3 4 5  Nếu có, hãy tìm vecto riêng tương ứng. Giải:  3 0 1  4 0 0   1 0 1 Có A  4 I   2 3 1    0 4 0    2 1 1         3 4 5   0 0 4   3 4 1  Để biết   4 có là trị riêng của A, ta xét:  A  4I  x  0 có nghiệm không tầm thường hay không, có:  1 0 1 0   1 0 1 0   1 0 1 0   2 1 1 0    0 1 1 0    0 1 1 0         3 4 1 0   0 4 4 0   0 0 0 0  Phương trình  A  4I  x  0 có nghiệm không tầm thường, nên   4 là một trị riêng. Mọi nghiệm khác 0 của pt  A  4I  x  0 đều là trị riêng tương ứng.  x1  x3  0 Từ biến đổi trên ta được  với x3 khác 0 tùy ý.  x2  x3  0 Do đó ta chọn x3  1 ta được vecto riêng là  1, 1,1 Bài 04.04.1.013 1 2 2    3 có là một trị riêng của A   3 2 1  không?   0 1 1  Nếu có, hãy tìm vecto riêng tương ứng. Giải: 1 2 2   3 0 0   2 2 2  Có A  3I  3 2 1   0 3 0    3 5 1        0 1 1  0 0 3  0 1 2  Để biết   3 có là trị riêng của A, ta xét:  A  3I  x  0 có nghiệm không tầm thường hay không, có:  2 2 2 0  1 1 1 0  1 0 3 0   3 5 1 0   0 1 2 0   0 1 2 0         0 1 2 0  0 2 4 0  0 0 0 0  Phương trình  A  3I  x  0 có nghiệm không tầm thường, nên   3 là một trị riêng. Mọi nghiệm khác 0 của pt  A  3I  x  0 đều là trị riêng tương ứng.  x  3x3  0 Từ biến đổi trên ta được  1 với x3 khác 0 tùy ý.  x2  2 x3  0 Do đó ta chọn x3  1 ta được vecto riêng là  3,2,1 Bài 04.04.1.014 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau: 5 0 A  ,  =1,5. 2 1   Giải:  5 0   1 0   4 0 Với   1: A  1I       2 1   0 1   2 0 4 0 0 Ma trận của phương trình  A  I  x  0 là   2 0 0 Do đó x1  0, x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường của  A  I  x  0 là e2 , 0  với e2    và là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với trị riêng   1. 1   5 0  5 0  0 0  Với   5 : A  5I       2 1   0 5   2 4  Phương trình  A  5I  x  0 dẫn đến 2 x1  4 x2  0  x1  2 x2 ,  x  2 x  2 nghiệm tầm thường là  1    2   x2   . 1   x2   x2  2 Vậy   là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với trị riêng   5. 1  Bài 04.04.1.015 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau: 10 9 A  ,  =4. 4  2   Giải: 10 9  4 0  6 9 Với   4 : A  4 I      0 4    4 6  4  2        6 9 0  1 9 / 6 0  Ma trận của phương trình  A  4I  x  0 là   0 0   4 6 0  0 Do đó x1  3 x2 , với x2 tùy ý. 2  x1   3 / 2  x2  3 / 2   x Nghiệm tầm thường là      2  x2   1  x2   3 / 2  Vậy một cơ sở của không gian riêng tương ứng với   4 là    1 Bài 04.04.1.016 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau:  4 2  A  ,  =10.  3 9  Giải:  4 2 10 0   6 2 Với   10 : A  10I       3 9   0 10  3 1  6 2 0  1 1 / 3 0  Ma trận của phương trình  A  10I  x  0 là     3 1 0 0 0 0  1 Do đó x1   x2 , x2 tùy ý. 3  x1   1 / 3 x2   1 / 3  x Nghiệm tầm thường là      2 1 x2    x2    1 / 3 Một cơ sở của không gian riêng ứng với   10 là  . 1   Bài 04.04.1.017 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau: 7 4 A  ,  =1,5.  3  1   Giải:  7 4  1 0  6 4  Với   1: A  I       3 1  0 1  3 2  6 4 0  1 2 / 3 0  Ma trận của phương trình  A  I  x  0 là    0  3  2 0 0 0     2 Do đó x1   x2 , x2 tùy ý. 3  2 / 3  2  Một cơ sở của không gian riêng tương ứng   1 là  hay    1   3  7 4   5 0  2 4  Với   5 : A  5I      0 5    3  6   3  1        2 4 0  1 2 0  Ma trận của phương trình  A  5I  x  0 là    0 0 0   3  6 0     x   2  Do đó x1  2 x2 với x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường là  1   x2    1  x2   2  Một cơ sở của không gian riêng tương ứng   5 là    1 Bài 04.04.1.018 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với các trị riêng sau:  4 0 1 A   2 1 0  ,  =1,2,3.    2 0 1  Giải:  4 0 1   1 0 0   3 0 1 Với   1: A  I   2 1 0   0 1 0    2 0 0        2 0 1   0 0 1  2 0 0 3x  x  0 Phương trình  A  I  x  0 dễ dàng suy ra được  1 3 nên x1  x3  0, và  2 x  0  1 x2 tùy ý. Nghiệm tầm thường của phương trình  A  I  x  0 là x2e2 với e2   0,1,0  và là một cơ sở không gian riêng.  4 0 1   2 0 0   2 0 1 Với   2 : A  2 I   2 1 0   0 2 0   2  1 0        2 0 1   0 0 2  2 0 1  2 0 1 0   2 0 1 0  1 0 1 / 2 0    A  2 I  0    2 1 0 0    0 1 1 0   0 1 1 0         2 0 1 0   0 0 0 0  0 0 0 0  1 Do đó x1   x3 , x2  x3 , x3 tùy ý. 2  1 / 2  Nghiệm tầm thường của phương trình  A  2I  x  0 là x3  1    1  1 Vậy cơ sở không gian riêng tương ứng là  2  .    2  0 1  4 0 1   3 0 0  1 Với   3 : A  3I   2 1 0   0 3 0   2  2 0         2 0 1   0 0 3  2 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0  1 0 1 0        A  3I  0   1 2 0 0  0 2 2 0  0 1 1 0         2 0 2 0  0 0 0 0  0 0 0 0   1 Do đó x1   x3 , x2  x3 , x3 tùy ý. Cơ sở không gian riêng tương ứng là  1 .    1 Bài 04.04.1.019 Tìm cơ sở của không gian riêng ứng với trị riêng sau: 1 0 1 A  1 3 0  ,  =  2    4 13 1  Giải: Với   2, ta xét:  3 0 1 0  1 0 1 / 3 0  1 0 1 / 3 0       A  2 I  0   1 1 0 0  0 1 1 / 3 0  0 1 1 / 3 0         4 13 3 0  0 13 13 / 3 0  0 0 0 0  1 1 Do đó x1  x3 , x2  x3 , x3 tùy ý. 3 3 1 / 3 Nghiệm tầm thường của phương trình  A  2I  x  0 là x3 1 / 3    1