Tài liệu Bài tập tích phân kép, tích phân bội có lời giải

TÍCH PHÂN KÉP, BỘI Bài 02.02.1.040.A995: Vẽ ví dụ về 1 vùng có: (a).Cả loại I và loại II (b).Không phải loại I và loại II Lời giải: (a)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện: có cả loại I và loại II. (b)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện: không phải loại I và loại II. Bài 02.02.1.041.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả loại II. Tính giá trị tích phân kép  xdA , D khép kín bởi đường y  x, y  0, x  1 D Lời giải: Với vùng miền loại I, D nằm giữa ranh giới thấp hơn y  0 và cao hơn ranh giới y  x với 0  x  1 , bởi vậy D   x, y  / 0  x  1,0  y  x  . Nếu chúng ta mô tả D như vùng miền loại II, D nằm giữa đường biên bên trái x  y và đường biên bên phải x  1 với 0  y  1 , bởi vậy D   x, y  / 0  y  1, y  x  1 . 1 x Như vậy 1 1 1 3 1 1 1 2  x   1  0   xdA  xdydx  xy dx  x dx    D    y 0 0 3 3 3 0 0 0 0 yx Hoặc: x 1 1 1 1 3  1  1   1 1 2 2 xdA  xdxdy  x dy  1  y dy  y  y    1    0     D     2   2 2 3  0 2  3   3 x y 0 y 0 0 1 1 1 1 1 Bài 02.02.1.042.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả loại II. Tính giá trị tích phân kép  xydA , D khép kín bởi đường cong y  x 2 , y  3x D Lời giải: Đường cong y  x 2 và y  3x giao nhau tại điểm  0,0  ,  3,9  .Với vùng miền loại I, D khép kiến bởi giới hạn dưới y  x 2 và giới hạn trên y  3x với 0  x  3 , bởi vậy D   x, y  / 0  x  3, x 2  y  3x  . Nếu chúng ta mô tả D với vùng miền loại II, D được đóng kiến bới đường biên trái x  đường biên phải x  y với 0  y  9 ,bởi vậy y   D   x, y  / 0  y  9,  x  y  . 3   Như vậy: y 3 x 1  1 2 2 4 D xydA  0 2 xydydx  0  x. 2 y  y x2 dx  2 0 x  9 x  x  dx x 3 3x 3 3 1 1 1 1  1  9 1   243    9 x3  x5  dx  9. x 4  x 6    .81  .729   0   20 2 4 6  0 2  4 6 8   3 3 y và 3 Hoặc : 9 y  xydA    0 y 3 D x y 1  1  1  1  1  xydxdy    x 2 y  dy    y  y 2  ydy    y 2  y 3  dy 2 2 0 9  2 0 9   x y 0 9 9 9 3 1 1 1 1  1  1 1   243   y 3  . y 4    .729  .6561  0   2 3 9 4  0 2  3 36 8   9 Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau đó tính giá trị tích phân kép bằng phương pháp dễ nhất và giải thích tại sao dùng nó.  ydA ,D là tạo thành bởi y  0, y  x2 , x  1 D Lời giải: Các đường cong y  x  2 hoặc x  y  2 và x  y 2 cắt nhau khi y  2  y 2  y 2  y  2  0   y  2  y  1  0  y  1, y  2 ,bởi vậy giao điểm 1, 1 và  4,2 .nếu chúng ta mô tả D với miền loại I, giới hạn trên là đường cong y  x nhưng giới hạn dưới bao gồm 2 phần y   x với 0  x  1 và y  x  2 với1  x  4 . Như vậy: D  x, y  / 0  x  1,    x  y  x   x, y  / 1  x  4, x  2  y  x  1 Và x  ydA    0 x D 4 ydydx   x  ydydx . Nếu chúng ta mô tả D với miền loại 1 x 2 II, D được khép kín bởi đường biên trái x  y 2 và đường biên phải x  y  2 với 1  y  2 ,bởi vậy D   x, y  / 1  y  2, y 2  x  y  2 và 2 y2  ydA    ydxdy .Trong cả 2 trường hợp, tích phân lặp không quá khó 1 y 2 D để tính nhưng với miền loại II sẽ đơn giản hơn 2 y 2  ydA    1 y 2 D 2 2 ydxdy    xy x y 2 dy    y  2  y 1 x y 2 1 2 2  ydy    y 2  2 y  y 3  dy 1 2 1  1 9 1 8   1   y3  y 2  y 4     4  4      1    4  1  3 4 4 3   3 Bài 02.02.1.043.A995: Thiết lập tích phân lặp sau đó tính giá trị tích phân kép bằng phương pháp dễ nhất và giải thích tại sao dùng nó.  y e 2 xy dA ,D là tạo thành bởi y  x, y  4, x  0 D Lời giải: Với miền loại I, D   x, y  / 0  x  4, x  y  4 và  y e 4 4 2 xy dA   y 2e xy dydx D .Với miền loại II, 0 x 4 y D   x, y  / 0  y  4,0  x  y và  y e dA   y 2e xy dxdy .Đánh giá 2 xy D y e 2 xy dy đòi hỏi phải tính y e 2 xy 0 0 dx là không dễ, bởi vậy tích tích phân lặp theo miền loại II 4 y 4 2 xy xy  y e dy   y e dxdy    ye  2 xy D 0 0 x y x 0 0 4   dy   ye y  y dy 2 0 4 17 1 2 1   1  1  1   e y  y 2    e16  8     0   e16  2 0  2 2 2  2  2 Bài 02.02.1.044.A995: Tính tích phân kép 1.  x cos ydA ,D xác định bởi y  0, y  x2 , x  1 D 2.   x 2  2 y  dA , D xác định bởi y  x, y  x3 , x  0 D 3.  y 2 dA ,D là miền tam giác với các đỉnh  0,1 , 1,2 ,  4,1 D 4.  xy 2 dA ,D khép kín bởi x  0 và x  1  y 2 D 5.   2 x  y  dA ,D được xác định bởi đường tròn tâm là gốc và bán kính 2 D 6.  2 xydA ,D là miền tam giác với các đỉnh  0,0 , 1,2 , 0,3 D Lời giải: 1. 1 x2 1 1 1 1 2 2 1   x cos ydA  x cos ydydx  x sin y dx  x sin x dx   cos x    D 0 0 0 0 y 0  0 2 1  cos1 2 y  x2 2.   x D 1 x 2 1  2 y  dA     x  2 y  dydx    x 2 y  y 2  2 0x 3 yx y  x3 dx 0 1 1 1 1  1 1 1 1 23 1    x  x  x  x  dx   x 4  x 3  x 6  x 7       3 6 7  0 4 3 6 7 84 4 0 1 3 2 5 6 3. 2 7 3 y  y dA    2 1 y 1 D 2 x  7 3 y 2 y dxdy    xy  dy    7  3 y    y  1 y 2dy  x  y 1 2 2 1 1 2 8 11 8  64    8 y  4 y  dy   y 3  y 4    16   1  3 3 3 1 3 1 2 2 3 4. 1 1 y 2  xy dA    2 1 D 0 x  1 y 2 1  xy dxdy   y  x 2   2  x 0 1 1 2 2 1 1 dy   y 2 1  y 2  dy 2 1 1 1 1 1 1  11 1 1 1 2    y 2  y 4  dy   y 3  y 5         2 1 2 3 5  1 2  3 5 3 5  15 1 5. 4 x 2 2  2  y  4 x 2 1 2  2 x  y dydx  2 xy  y    2 2  2  y  4 x 2 dx 4 x 2 1 1      2 x 4  x 2   4  x 2   2 x 4  x 2   4  x 2   dx 2 2  2  2 2 3  4 2 2 2   4 x 4  x dx     4  x    0  3  2 2 2 6.  2 xydA  D 1 3 x  1  2 xydydx    xy 0 20 0 2 y 3 x 1 2 2  dx   x  3  x    2 x   dx y 2 x   0 1 9  3 9 7  3    3 x 3  6 x 2  9 x  dx    x 4  2 x 3  x 2     2   2 0 4 2 4  4 0 1 Bài 02.02.1.045.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Nằm dưới mặt phẳng x  2 y  z  1 và nằm trên vùng xác định bởi x  y  1 và x2  y  1 Lời giải: 1 3 x V   1 0 2x 1 y 1 x 2 1  x  2 y  dydx    y  xy  y 2  y 1 x dx 0        1  x 2   x 1  x 2   1  x 2   1  x   x 1  x   1  x 2   dx   0 1    x 4  x 3  3x 2  x  2    2 x 2  4 x  2   dx 0 1 1 5 3  1    x  x  5 x  3x  dx   x 5  x 4  x 3  x 2  4 3 2 0 5 0 1 1 5 3 17      5 4 3 2 60 1 4 3 2 Bài 02.02.1.046.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Nằm dười bề mặt z  1  x 2 y 2 và nằm trên vùng khép kín bởi x  y 2 và x4 Lời giải: x 4 1   V    1  x y  dxdy    x  x3 y 2  dy 3  x y2 2 y 2 2  2 4 2 2 2 2 61 1  61 1 9 488 512 488 512 2336      4  y 2  y 8  dy   4 y  y 3  y  8  8   3 3 9 27 9 27 9 27 27      2 2 2 Bài 02.02.1.047.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Nằm dười bề mặt z  xy và nằm trên vùng tam giác với các đỉnh 1,1 ,  4,1, 1,2  Lời giải: 2 7 3 y V   1 1 x  7 3 y 1  xydxdy    x 2 y  2  x1 1 2 2 1 dy    48 y  42 y 2  9 y 3  dy 21 2 1 9  31   24 y 2  14 y 3  y 4   2 4 1 8 Bài 02.02.1.048.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Kèm theo parabol z  x 2  3 y 2 và các đường thẳng x  0, y  1, y  x, z  0 Lời giải: 1 1  5 1 V    x  3 y  dydx    x y  y  dx    x  1  2 x  dx   x3  x  x 4   yx 2 0 6 3 0 x 0 0 1 1 1 2 2 2 3 y 1 1 2 3 Bài 02.02.1.049.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Được hình thành bởi việc phối hợp các đường thẳng và mặt phẳng 3x  2 y  z  6 Lời giải: 2 3 3 x 2 0 0 V   2 3 y x  6  3x  2 y  dydx   6 y  3xy  y 2  y 02 dx 0 2 2   3  3   3    9    6  3  x   3 x  3  x    3  x   dx    x 2  9 x  9  dx 2  2   2   4   0 0   2 2 9 3    x3  x 2  9 x   6  0  6 2 4 0 Bài 02.02.1.050.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Được xác định bởi các đường thẳng z  x, y  x, x  y  2 và z  0 Lời giải: 1 2 x V  1  xdydx   x  y  0 x y  2 x yx 0 1 2  1  dx    2 x  2 x  dx   x 2  x3   3 0 3  0 1 2 Bài 02.02.1.051.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Được xác định bằng các trụ z  x 2 , y  x 2 và các đường thẳng z  0, y  4 Lời giải: 2 1  4 V    x dydx   x  y  y  x2 dx    4 x  x  dx   x 3  x 5  5  2 3 2 x 2 2 2 2 4 2 2  2 y 4 2 2 4 32 32 32 32 128     3 5 3 5 15 Bài 02.02.1.052.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Được xác định bằng các trụ y2  z2  4 x  2 y, x  0, z  0 trong mặt góc phần tư I và các đường thẳng Lời giải: 2 2y V  2 x 2 y 0 0 2 4  y dxdy    x 4  y 2  dy   2 y 4  y 2 dy   x 0 0 0 2 2 3  2 16 16 2 2    4  y    0   3 3  3 0 Bài 02.02.1.053.A996: Tìm thể tích của vật rắn. x 2  y 2  1 và các đường thẳng Được xác định bằng các trụ y  z, x  0, z  0 trong góc phần tư thứ I Lời giải: 1 1 x 2 V   0 0 y  1 x 2  y2  ydydx     2  y 0 0 1 1  x2 1 1  1 dx   dx   x  x 3   2 2 3 0 3 0 1 1 Bài 02.02.1.054.A996: Tìm thể tích của vật rắn. Được xác định bằng các trụ x2  y 2  r 2 và y 2  z 2  r 2 Lời giải: Bằng phép đối xứng, nên thể tích V sẽ gấp 8 lần thể tích V1 trong góc phần tư thứ I r V1   0 r 2  y2  0 r x r 2  y2 r  y dxdy    x r 2  y 2    x 0 0 2 2 r dy    r 2  y 2 dy 0 r 1  2   r 2 y  y3   r 3 3 0 3  Bởi vậy V  16 3 r . 3 Bài 02.02.1.055.A996: Tìm thể tích của vật rắn bằng cách trừ hai thể tích Vật rắn được bao bọc bởi các trụ parabol y  1  x 2 , y  x 2  1 và các mặt phẳng x  y  z  2,2 x  2 y  z  10  0 Lời giải: 2 đường cong y  1  x 2 , y  x 2  1cắt nhau tại  1,0  với 1  x 2  x 2  1 trên  1,1 . Trong vùng này, các mặt phẳng z  2 x  2 y  10 ở trên mặt phẳng z  2  x  y , bởi vậy: 1 1 x 2 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 V   2 x  2 y  10  dydx     2  x  y  dydx 2 1 1 x 2    2 x  2 y  10   2  x  y   dydx 1 x 1 2 1 1 x 2 y 1 x 2 3       3 x  3 y  8  dydx   3 xy  y 2  8 y  dx 2 2 2   y  x 1 1 x 1 1 1 2 3 3     3 x 1  x 2   1  x 2   8 1  x 2   3 x  x 2  1   x 2  1  8  x 2  1  dx 2 2  1  1 16  3     6 x  16 x  6 x  16  dx  x 4  x 3  3x 2  16 x  3 2  1 1 3 16 3 16 64     3  16    3  16  2 3 2 3 3 1 1 3 2 Bài 02.02.1.056.A996: Tìm thể tích của vật rắn bằng cách trừ hai thể tích Vật rắn được bao bọc bởi các trụ parabol y  x 2 và các đường thẳng z  3 y, z  2  y Lời giải: 2 đường thẳng giao nhau tại y  1, z  3 , bởi vậy vùng giao điểm là vùng khép kín bởi parabol y  x 2 và đường thẳng y  1 . chúng ta có 2  y  3 y với 0  y  1 , bởi vậy vùng chưa chất rắn bị chặn trên bởi z  2  y và chặn dưới bởi z  3 y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 _1 x 2 1 x 2 1 x 2 V     2  y  dydx     3 y  dydx     2  y  3 y  dydx     2  2 y  dydx 1 2 1  16     2 y  y  2 dx   1  2 x  x  dx   x  x3  x5   yx 3 5  1 15  1 1 1 2 y 1 1 2 4 Bài 02.02.1.057.A996: Phác thảo chất rắn bằng việc sử dụng phép lặp không thể thiếu: 1 1 x   1  x  y  dydx 0 0 Lời giải: Chất rắn nằm bên dưới mặt phẳng z  1  x  y và x  y  z  1 và nằm trên vùng D   x, y  / 0  x  1,0  y  1  x trong mặt phẳng xy. Vật rắn là 1 tứ diện. Bài 02.02.1.058.A996: Phác thảo chất rắn bằng việc sử dụng phép lặp không thể thiếu: 1 1 x 2   1  x  dydx 0 0 Lời giải: Chất rắn nằm dưới đường thẳng z 1 x và nằm trên vùng D   x, y  / 0  x  1,0  y  1  x 2  trong mặt phẳng xy Bài 02.02.1.059.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích của chất rắn: Nằm dưới mặt phẳng z  x3 y 4  xy 2 và nằm trên vùng xác định bởi y  x3  x và y  x2  x với x  0 Lời giải: Hai đường cong y  x3  x và y  x2  x cắt nhau tại gốc và x  2 , với x 2  x  x3  x trên  0,2 .Sử dụng CAS, chúng ta tính được thể tích là: 2 x2  x V   0 x3  x 2 x2  x zdydx    x y 0 x3  x 3 4  xy 2  dydx  13,984,735,616 14,549,535 Bài 02.02.1.060.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích của chất rắn: Nằm giữ 2 parabol z  2 x2  y 2 và z  8  x 2  2 y 2 và và bên trong trụ x2  y 2  1 Lời giải: Với x  1 và y  1 , 2 x2  y 2  8  x2  2 y 2 .Ngoài ra, các trụ được miêu tả bằng sự bất bình đẳng 1  x  1,  1  x 2  y  1  x 2 . Bởi vậy thể tích được tính : 1 V 1 x 2   1  1 x 2  8  x 2  2 y 2    2 x 2  y 2   dydx  13   2 ( sử dụng CAS ) Bài 02.02.1.061.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích của chất rắn: Xác định bởi z  1  x 2  y 2 và z  0 Lời giải: Hai bề mặt giao nhau trong vòng tròn x2  y 2  1, z  0 và vùng giao nhau là đĩa D : x 2  y 2  1 . Sử dụng CAS, thể tích là : V   1  x  y  dA  2 D 2 1 1 x 2   1  x 1  1 x 2 2  y 2  dydx   2 Bài 02.02.1.061.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích của chất rắn: Xác định bởi z  x 2  y 2 và z  2 y Lời giải: Chiếu lên mặt phẳng xy , giao điểm 2 bề mặt là vòng tròn x 2  y 2  2 y  x 2  y 2  2 y  0  x 2   y  1  1 , bởi vậy vùng giao 2 điểm cho bởi 1  x  1,1  1  x 2  y  1  1  x 2 . Trong miền này, 2y  x 2  y 2 so với sử dụng CAS, thể tích là 1 1 1 x 2 V   1 1 1 x 2  2 y   x 2  y 2  dydx     2 Bài 02.02.1.062.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự của chúng. 1 y  f  x, y  dxdy 0 0 Lời giải: Bời vì khu nhập : D   x, y  / 0  x  y,0  x  1   x, y  / x  y  1,0  x  1 1 y 1 1 Chúng ta có:  f  x, y  dxdy   f  x, y  dA   f  x, y  dydx 0 0 D 0 x