Tài liệu Bài tập tích phân hay 2017

s EBOOKTOAN.COM Bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức 2 Câu 1. x2 I =ò 2 1 x - 7 x + 12 dx 2 2 æ 16 9 ö · I = ò ç1 + ÷dx = ( x + 16 ln x - 4 - 9 ln x - 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 - 16 ln 3 . x -4 x -3ø è 1 2 Câu 2. dx I =ò x5 + x3 1 1 · Ta có: =- x 3 ( x 2 + 1) 1 1 x + + x x3 x2 + 1 é ù2 1 1 3 1 3 Þ I = ê - ln x + ln( x 2 + 1)ú = - ln 2 + ln 5 + 2 2 2 2 8 2x ë û1 5 Câu 3. 3x 2 + 1 I =ò 3 2 x - 2 x - 5x + 6 4 dx 2 3 · I = - ln 4 13 7 14 + ln + ln 2 3 15 6 5 Dạng 2: Đổi biến số Câu 4. I =ò ( x - 1)2 (2 x + 1)4 Câu 5. dx ( 7 x - 1)99 1 I =ò 101 0 ( 2 x + 1) 1 æ 7x - 1 ö · I = òç ÷ è 2x + 1 ø 0 99 1 æ x -1 ö · Ta có: f ( x ) = . ç ÷ 3 è 2x + 1 ø 0 (x 4 Câu 7. 5x I =ò I= 3 ò 1 Câu 8. I= 3 ò 1 2 2 + 4) 99 æ 7x - 1 ö 1 1 æ 7x - 1 ö = òç dç ÷ ÷ ( 2 x + 1)2 9 0 è 2 x + 1 ø è 2 x + 1 ø dx 100 Câu 6. 3 æ x - 1 ö¢ 1 æ x -1 ö .ç ÷ ÞI = ç ÷ +C 9 è 2x + 1 ø è 2x + 1 ø dx 1 1 æ 7x - 1 ö = × ç ÷ 9 100 è 2 x + 1 ø 1 2 dx 1 dx x ( x 4 + 1) 1 é 100 ù 1 = ë2 - 1û 0 900 · Đặt t = x 2 + 4 Þ I = · Đặt t = x 2 Þ I = dx x 6 (1 + x 2 ) Trang 1 1 2 3 1 8 æ1 t ö 1 3 ò ç t - t 2 + 1 ÷dt = 4 ln 2 1 è ø EBOOKTOAN.COM Bài tập Tích phân · Đặt : x = 1 Þ I =t 3 3 ò 1 t6 dt = t2 + 1 1 æ 4 2 117 - 41 3 p 1 ö + çt - t +1- 2 ÷ dt = 135 12 t + 1 è ø 3 ò 3 2 Câu 9. I =ò 1 x7 Câu 10. I = ò 0 (1 + 2 Câu 11. I = ò 1 x 2 )5 1 - x7 x (1 + x 7 ) 2 1 (1 + 2 x 4 .dx 5 dx · Đặt t = 1 + x 2 Þ dt = 2 xdx Þ I = dx · I =ò x 2001 Câu 12. I = ò 1 1 32 dt · I =ò . Đặt t = x Þ I = ò 5 10 2 2 5 1 t (t + 1)2 1 x .( x + 1) x.( x10 + 1)2 1 · I =ò 2 dx x 2 )1002 2 1 128 1 - t dx . Đặt t = x 7 Þ I = ò dt 7 7 7 t (1 + t ) x .(1 + x ) 1 1 x 3 (1 + x 2 )1002 Cách 2: Ta có: I = (1 - x 7 ).x 6 .dx 2 x 2004 1 2 (t - 1)3 1 1 dt = . ò 5 21 t 4 25 1 1 2 .dx . Đặt t = + 1 Þ dt = dx . 1002 2 3 x x æ ö 1 3 1 x ç 2 + 1÷ èx ø .dx = ò 11 x 2000 .2 xdx . Đặt t = 1 + x 2 Þ dt = 2 xdx ò 2 2000 2 2 2 0 (1 + x ) (1 + x ) 1000 1 2 (t - 1)1000 1 2æ 1ö Þ I= ò dt = ò ç 1 - ÷ 2 1 t1000t 2 2 1è t ø æ 1ö 1 d ç1 - ÷ = è t ø 2002.21001 1 Câu 13. I = ò x 5 (1 - x 3 )6 dx 0 · Đặt t = 1 - x 3 Þ dt = -3x 2dx Þ dx = Câu 14. I = ò -dt 3x 2 ÞI = 11 6 1 æ t 7 t8 ö 1 t (1 t ) dt = ç - ÷= ò 30 3 è 7 8 ø 168 xdx 1 0 ( x + 1)3 x x + 1-1 1 1 · Ta có: = = ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 Þ I = ò éë( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ùûdx = 3 3 0 8 ( x + 1) ( x + 1) 2 Câu 15. I = ò 1 + x2 11+ · Ta có: 3 2 Þ I=ò 1 x4 1+ x 2 1+ x4 dt t2 - 2 dx 1+ = = 1 x 2 . Đặt t = x - 1 Þ dt = æ 1 + 1 ö dx ç ÷ 1 x x2 ø è x2 + 2 x 1 2 3 2æ 1 òç 2 t1è 2 - æ 2 -1ö ö 1 t - 2 3/ 2 1 .ln = ln ç ÷ ÷ dt = 2 2 t+ 2 1 2 2 çè 2 + 1 ÷ø t+ 2ø 1 Trang 2 Bài tập Tích phân 2 1 - x2 Câu 16. I = ò 11+ x4 1- x dx 1 2 5 2 -1 æ 1 1 ö dt = x . Đặt t = x + Þ dt = ç 1 - ÷ dx Þ I = - ò . 2 2 1 x 2 1+ x x t + 2 è ø 2 x + 2 x du 5 5 Đặt t = 2 tan u Þ dt = 2 ; tan u = 2 Þ u1 = arctan 2; tan u = Þ u2 = arctan 2 2 2 cos u · Ta có: 2 4 u2 2 Þ I= 2 1 u1 x4 + 1 Câu 17. I = ò dx 6 0 x +1 x4 + 1 · Ta có: x6 + 1 1 1 Þ I =ò x2 + 1 0 2 Câu 18. I = ò = 1- x 2 1 0 Câu 20. I = 4 ò x 4 - x2 + 1 I= 2 3 3 ò 0 · I= 3 3 ò 0 +1 x4 -1 x 1 x2 + 1 = 1 1 dt 11 = 2 0ò t 2 + t + 1 2 0ò + x2 x6 + 1 dt 2 æ 1ö æ 3ö ÷ çt + ÷ + ç è 2ø è 2 ø x2 + 1 x2 1 x2 . Đặt t = x -1 . Đặt t = tan u Þ dt = x2 x6 + 1 = dx 1+ x4 - x2 + 1 0t x2 1 · Đặt t = x 2 Þ I = . x2 + 1 dt ( x 2 + 1)( x 4 - x 2 + 1) + -1 2 1 4 x · Ta có: I = ò dx . Đặt t = x + Þ I = ln 1 x 5 1 +x x 2 x +1 1 x4 - x2 + 1 2 dx 2 · Ta có: = 1 1 d (x3 ) p 1p p dx = + = ò 3 0 ( x 3 )2 + 1 4 34 3 x + x +1 1 Câu 21. x6 + 1 xdx 1+ 5 2 Þ I =ò ( x 4 - x 2 + 1) + x 2 dx + 3 1x+x Câu 19. I = ò ö 2 2æ 5 (u2 - u1 ) = ç arctan - arctan 2 ÷ 2 2 è 2 ø ò du = æ 1 1 ö Þ dt = ç 1 + ÷ dx x x2 ø è p 4 du cos2 u Þ I = ò du = 0 p 4 dx 2 ( x 2 - 1)( x 2 + 1) dx = 1 2 3 3 æ ò 0 1 1 ö 1 p + dx = ln(2 - 3) + ç 2 ÷ 4 12 è x - 1 x2 + 1 ø Trang 3 2 = p 6 3 Bài tập Tích phân TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 x I =ò Câu 1. dx 2 3x + 9 x - 1 x · I =ò dx = ò x (3x - 9 x 2 - 1)dx = ò 3 x 2dx - ò x 9 x 2 - 1dx 2 3x + 9 x - 1 2 3 + I1 = ò 3x dx = x + C1 3 1 1 + I 2 = ò x 9 x - 1dx = ò 9 x 2 - 1 d (9 x 2 - 1) = (9 x 2 - 1) 2 + C2 18 27 2 3 Þ I= x2 + x I =ò Câu 2. · 1 (9 x 2 - 1) 2 + x 3 + C 27 ò x2 + x 1+ x x x2 dx = ò x2 + I1 = ò Þ 1+ x x dx 1+ x x 1+ x x x 1+ x x Vậy: I = 4 9 ( 4 dx = 1+ x x 2x + 1 Câu 3. I =ò Câu 4. I =ò Câu 5. I = ò x 3 1 - x 2 dx 01+ 2x + 1 6 ) 3 dx + 1 + 4x + 1 0 Câu 6. I =ò 1+ x 01+ x ( 1+ x x ) 3 - 4 1 + x x + C1 3 +C 1 1 dx . 2 d (1 + x x ) 4 = 1 + x x + C2 ò 3 3 1+ x x dx 2 2x 1+ x x dx . Đặt t= 1 + x x Û t 2 - 1 = x x Û x 3 = (t 2 - 1)2 Û x 2dx = 4 2 4 3 4 4 ò 3 (t - 1)dt = 9 t - 3 t + C = 9 + I2 = ò x dx + ò · Đặt t = 2 x + 1 . I = 3 t2 ò 1 + t dt =2 + ln 2 . 1 3 1 · Đặt t = 4 x + 1 . I = ln 2 12 1 · Đặt: t = 1 - x 2 Þ I = ò ( t 2 - t 4 ) dt = 0 2 . 15 dx 1 3 1 æ t +t 2 ö 11 · Đặt t = x Þ dx = 2t.dt . I = 2ò dt = 2 ò ç t 2 - t + 2 - 4 ln 2 . ÷dt = t +1 1+ t ø 3 è 0 0 3 Câu 7. I =ò x -3 dx 3 x + 1 + x + 3 0 Trang 4 4 2 t(t - 1)dt 3 Bài tập Tích phân 2 2t 3 - 8t 1t 2 · Đặt t = x + 1 Þ 2tdu = dx Þ I = ò Câu 8. 0 I= òx 3 + 3t + 2 2 2 1 3 dt = -3 + 6 ln t +1 2 1 dt = ò (2t - 6)dt + 6 ò 1 x + 1dx -1 1 1 æ t7 t4 ö 9 · Đặt t = x + 1 Þ t = x + 1 Þ dx = 3t dt Þ I = ò 3(t - 1)dt = 3 ç - ÷ = 28 è 7 4 ø0 0 3 3 Câu 9. 5 x2 + 1 1 x 3x + 1 I =ò 2 3 dx 2 æ t2 - 1 ö ç ÷ +1 4ç 3 ÷ 2tdt 2tdt ø · Đặt t = 3x + 1 Þ dx = Þ I =òè . 3 3 t2 - 1 2 .t 3 4 4 2æ1 3 ö t -1 100 9 = ç t - t ÷ + ln = + ln . 9è3 t + 1 2 27 5 ø2 3 Câu 10. I = ò 2x2 + x - 1 x +1 0 = 4 24 2 dt ( t 1) dt + 2 ò ò 2 92 2 t -1 dx x + 1 = t Û x = t 2 - 1 Þ dx = 2tdt · Đặt 2 2(t 2 - 1)2 + (t 2 - 1) - 1 Þ I =ò 2tdt t 1 1 2 2 æ 4t 5 ö 54 = 2 ò (2t 4 - 3t 2 )dt = ç - 2t 3 ÷ = è 5 ø1 5 1 x 2dx Câu 11. I = 2 ò 0 ( x + 1) x +1 · Đặt t = x + 1 Þ t 2 = x + 1 Þ 2tdt = dx ÞI = 2 ò (t 2 - 1)2 t3 1 4 Câu 12. I = ò 0 .2tdt =2 2 ò 1 x +1 2 1 + 2x ) (1 + 2 2 æ t3 æ 1ö 1ö 16 - 11 2 t dt = 2 ç - 2t - ÷ = ç ÷ t ø1 3 è tø è3 dx t 2 - 2t · Đặt t = 1 + 1 + 2 x Þ dt = Þ dx = (t - 1)dt và x = 2 1 + 2x dx Ta có: I = 1 4 (t 2 - 2t + 2)(t - 1) 1 4 t 3 - 3t 2 + 4t - 2 1 4æ 4 2ö dt = dt = t - 3 + - ÷dt ç ò ò ò 22 22 2 2è t t2 ø t2 t2 = Câu 13. I = 8 ò 3 1 æ t2 2ö 1 ç - 3t + 4 ln t + ÷ = 2 ln 2 2 çè 2 t ÷ø 4 x -1 2 x +1 dx Trang 5 Bài tập Tích phân ( 8 ) æ x 1 ö é ù · I= òç dx = ë x 2 + 1 - ln x + x 2 + 1 û ÷ ç 2 ÷ x2 + 1 ø 3 è x +1 8 3 = 1 + ln ( 3 + 2 ) - ln ( 8 + 3) 1 Câu 14. I = ò ( x - 1)3 2 x - x 2 dx 0 1 3 · I = ò ( x - 1) 0 2 Câu 15. I = ò 2 x - x dx = ò ( x 2 - 2 x + 1) 2 x - x 2 ( x - 1)dx . Đặt t = 2 x - x 2 Þ I = 0 2 x3 - 3x 2 + x x2 - x + 1 0 1 2 2 . 15 dx 2 3 ( x 2 - x )(2 x - 1) 4 dx . Đặt t = x 2 - x + 1 Þ I = 2 ò (t 2 - 1)dt = . 3 0 x2 - x + 1 1 · I =ò 2 Câu 16. I = ò 0 x 3dx 3 4 + x2 3 · Đặt t = 4 + x 2 Þ x 2 = t 3 - 4 Þ 2 xdx = 3t 2dt Þ I = ö 3 2 4 3æ8 (t - 4t )dt = - ç + 4 3 2 ÷ ò 23 2è5 ø 4 Câu 17. I = 1 dx ò x + 1 + x2 -1 1 + 1 1 1 + x - 1 + x2 1 1æ1 ö 1 + x2 · Ta có: I = ò dx = ò dx = ò ç + 1÷ dx - ò dx 2 2 2x 2 -1 è x ø 2x -1 (1 + x ) - (1 + x ) -1 -1 + I1 = + I2 = 1 1 + x - 1 + x2 1 1æ1 ö 1 1 ç + 1 ÷ dx = éë ln x + x ùû |-1 = 1 ò 2 -1 è x ø 2 1 ò -1 1 + x2 dx . Đặt t = 1 + x 2 Þ t 2 = 1 + x 2 Þ 2tdt = 2 xdx Þ I2= 2x Vậy: I = 1 . 2 ò t 2dt 2 2 2(t - 1) =0 Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1 . Câu 18. I = 1 ò 1 3 2 Câu 19. I = ò 1 1 3 3 -x (x ) x4 4 - x2 1 ò 3 dx 4 - x2 dx x · Ta có: I = ò ÞI= 1 æ 1 ö3 1 1 · Ta có: I = ò ç - 1÷ . dx . Đặt t = -1 Þ I = 6 . 2 3 2 x x x è ø 1 3 2 0 1 t(-tdt ) 4 - t2 x 2 0 xdx . Đặt t = t2 0 4 - x 2 Þ t 2 = 4 - x 2 Þ tdt = - xdx æ t-2 ö = ò dt = ò (1 + )dt = ç t + ln ÷ 2 2 t+2 ø t 4 t 4 è 3 3 4 Trang 6 0 æ 2- 3 ö ÷ = - ç 3 + ln ç ÷ 2 + 3 3 è ø Bài tập Tích phân Câu 20. I = Câu 21. I = 2 5 x 2 ( x 2 + 1) x 2 + 5 ò 27 x -2 ò 3 x+ x 1 3 1 x2 + x + 1 0 dx · Đặt t = x + x + x + 1 Þ I = 1+ 3 1+ 2dt = ln(2t + 1) 1 2t + 1 ò 1 3 x2 1 + x )2 (2 + 1 + x )2 0 (1 + -4 3 = ln 3+ 2 3 3 dx 4 æ 42 36 ö 4 · Đặt 2 + 1 + x = t Þ I = ò ç 2t - 16 + - ÷ dt = -12 + 42 ln t 3 t2 ø 3è 3 x2 Câu 24. I = ò 0 2( x + 1) + 2 x + 1 + x x + 1 2 2t (t 2 - 1)2 dt · Đặt t = x + 1 Þ I = ò t(t + 1)2 1 Câu 25. I = 3 2 2 ò x - x 3 + 2011x x4 1 · Ta có: I = 3 2 2 ò 1 M= 3 2 2 ò 1 N= 2 2 2 x x3 2011 ò x3 1 Þ I= 1 1 x2 x3 dx + 2 2 ò dx = ò 1 2 2 2 = 2 ò (t - 1)2 dt = (t - 1)3 = 1 3 3 1 3 2011 x3 1 -1 2 2 2 dx -1 dx . Đặt t = dx 1 x2 dx = M + N -1 Þ M = - 3 2 - 7 2 ò t 3dt = - 0 2 2 é 2011 ù 2011x dx = ê ú ë 2 x2 û 1 -3 3 = 14077 16 3 14077 21 7 . 16 128 1 dx Câu 26. I = ò 0 (1 + 3 x 3 ). 1 + x 3 3 3 3 = 1 15 ln . 4 7 3 æ é 2 2 ö 5p 2t 1 ù dt = 5 ò ê1 - + dt = 5 ç 3 - 1 + ln ÷ ú 3 ø 12 t t2 + 1 t 2 + 1û è t(t 2 + 1) 1 ë 2 Câu 23. I = ò 2 t3 - 2 1 Câu 22. I = ò 3t dt dx 2 · Đặt t = 6 x Þ I = 5 ò 1 5 · Đặt t = x 2 + 5 Þ I = ò dx · Đặt t = 1 + x Þ I = 2 ò t2 2 1 4 3 t .(t - 1) 3 3 dt = 2 ò 1 dt 2 t .(t Trang 7 3 2 - 1) 3 213 7 128 Bài tập Tích phân 3 = 2 dt ò 1 3 ò = 2 öù 3 1 é æ 1 t 2 . êt 3 ç 1 - 3 ÷ ú ë è t øû Đặt u = 1 - Câu 27. I = 2 2 ò 3 1 t3 2 Þ du = 3dt t4 3 dt = 2 ö3 Þ I=ò 2 u 3 0 ò 1 æ 1 t 4 ç1 - 3 ÷ è t ø 1 2 2 3 æ 1ö ç1 - 3 ÷ è t ø t4 du = - 2 3 dt 1 2 -2 u 3 du 1 3 ò0 æ 1 1 ç u3 1 ö2 ÷ = ç ÷ 3ç 1 ÷ ç ÷ è 3 ø0 1 1 2 = u3 = 0 1 3 2 x4 dx æ 1ö 2 ç x - x ÷ x +1 è ø · Đặt t = x 2 + 1 3 Þ I =ò 2 (t 2 - 1)2 t2 - 2 dt = 3 4 ò t - 2t 2 + 1 t2 - 2 2 3 3 2 2t dt = ò t 2 dt + ò 1 2 -2 dt = 19 2 æ4+ 2 ö + ln ç ÷ 3 4 çè 4 - 2 ÷ø Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 1æ ö 2 x ln 1 + x ( ) ÷÷ dx ç 1+ x ø 0è Câu 28. I = ò ç 1- x 1 1- x · Tính H = ò 1+ x 0 dx . Đặt é pù p x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 2 ë 2û 1 ìu = ln(1 + x ) 1 · Tính K = ò 2 x ln(1 + x )dx . Đặt í Þ K= 2 î dv = 2 xdx 0 Câu 29. I = 2 5 ò (x + x 2 ) 4 - x 2 dx -2 ·I= 2 ò (x 5 2 + x ) 4 - x dx = -2 òx 5 2 4 - x dx + 2 òx 2 4 - x 2 dx = A + B. -2 òx 5 4 - x 2 dx . Đặt t = - x . Tính được: A = 0. òx 2 4 - x 2 dx . Đặt x = 2sin t . Tính được: B = 2p . -2 2 + Tính B = 2 -2 2 + Tính A = 2 -2 Vậy: I = 2p . Trang 8 Bài tập Tích phân (3 - 2 Câu 30. I = ò ) 4 - x 2 dx 2x4 1 2 · Ta có: I = ò 2 3 4 1 2x 2 3 + Tính I1 = ò 1 2x 2 + Tính I 2 = ò 1 Þ I2 = p 12 8ò p 6 Vậy: I = 4 4 - x2 2x 4 2 cos tdt 4 sin t 0 4 - x6 Câu 31. I = ò dx . 3 2 -4 7 x dx = . ò 21 16 dx . Đặt x = 2sin t Þ dx = 2 cos tdt . = p 12 cot 8ò 1( 7 - 2 3) . 16 x 2dx 2x4 1 dx = 1 4 - x2 dx - ò p 6 2 p 12 æ 1 ö 3 tç dt = - ò cot 2 t.d (cot t ) = 2 ÷ 8p 8 è sin t ø 6 · Đặt t = x 3 Þ dt = 3 x 2 dx Þ I = 1 1 dt . 3 ò0 4 - t 2 p 6 é pù 1 p Đặt t = 2sin u, u Î ê 0; ú Þ dt = 2 cos udu Þ I = ò dt = . ë 2û 30 18 2 Câu 32. I = ò 2- x dx x+2 1 x 2dx 0 Câu 33. I = ò 0 · Ta có: I = ò 0 Þ I =- ò 2p 3 1 2 Câu 34. ò 0 t · Đặt x = 2 cos t Þ dx = -2sin tdt Þ I = 4 ò sin2 dt = p - 2 . 2 0 3 + 2x - x2 1 p 2 p 2 x 2dx 22 - ( x - 1)2 2 . Đặt x - 1 = 2 cos t . (1 + 2 cos t ) 2sin t 4 - (2 cos t )2 1 - 2 x 1 - x 2 dx dt = 2p 3 ò ( 3 + 4 cos t + 2 cos2t ) dt = p 2 p 6 p 3 3 + -4 2 2 · Đặt x = sin t Þ I = ò (cos t - sin t )cos tdt = 0 Trang 9 p 3 1 + 12 8 8 Bài tập Tích phân Dạng 3: Tích phân từng phần Câu 35. I = 3 ò x 2 - 1dx 2 ì x ìïu = x 2 - 1 ïdu = dx · Đặt í Þí 2 x 1 ïîdv = dx ïv = x î Þ I = x x2 - 1 =5 2- 3 ò 2 Þ I= 3 2 - 3 ò x. 2 x 2 - 1dx - x x2 - 1 3 ò 2 dx = 5 2 - dx x2 - 1 é 2 ê x -1 + ë 2ê 3 ò ù ú dx 2 x - 1 úû 1 = 5 2 - I - ln x + x 2 - 1 5 2 1 - ln ( 2 + 1) + ln 2 2 4 Chú ý: Không được dùng phép đổi biến x = 3 2 1 vì éë 2;3ùû Ï [ -1;1] cos t Trang 10 Bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu 1. I =ò 8cos2 x - sin 2 x - 3 dx sin x - cos x (sin x - cos x )2 + 4 cos 2 x dx = ò éë( sin x - cos x - 4(sin x + cos x ) ùûdx sin x - cos x = 3cos x - 5sin x + C . cot x - tan x - 2 tan 2 x Câu 2. I = ò dx sin 4 x 2 cot 2 x - 2 tan 2 x 2 cot 4 x cos 4 x 1 · Ta có: I = ò dx = ò dx = 2 ò 2 dx = +C sin 4 x sin 4 x 2sin 4 x sin 4 x æ pö cos2 ç x + ÷ 8ø è Câu 3. I = ò dx sin 2 x + cos 2 x + 2 æ pö 1 + cos ç 2 x + ÷ 1 è 4 ø dx · Ta có: I = ò 2 2 1 + sin æ 2 x + p ö ç ÷ è 4ø æ ö ç cos æ 2 x + p ö ÷ ç ÷ 1 ç dx ÷ è 4 ø = dx + ò çò ÷ 2 2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö é æ æ pö p öù ÷ ç ÷ êsin ç x + ÷ + cos ç x + ÷ ú ÷ è 4ø ç 8ø 8 øû ø è ë è è · I =ò æ ö æ pö cos ç 2 x + ÷ ç ÷ 1 ç dx è 4 ø dx + 1 ÷ = ò 2ò 2æ 3p ö ÷ 2 2 ç 1 + sin æ 2 x + p ö sin ç x + ç ÷ ÷÷ ç è 4ø 8 øø è è æ æ 1 æ pö 3p ö ö = ç ln 1 + sin ç 2 x + ÷ - cot ç x + ÷÷ + C è 4ø 8 ø ÷ø è 4 2 çè Câu 4. I= · I= Câu 5. p ò 2+ p 3 p dx 3 sin x - cos x dx 1 1p dx = I= ò = . æ 4p pö 4 3 2æ x p ö 1 - cos ç x + ÷ 2sin ç + ÷ 3ø 3 3 è è2 6ø 1 2 pò I= p 6 1 ò 2 sin x 0 1 · Ta có: I = 2 p 6 ò 0 3 dx 1 p sin x - sin 3 dx = p 6 ò 0 1 2 p sin x - sin 3 dx Trang 11 Bài tập Tích phân ææ x p ö æ x p öö cos ç ç + ÷ - ç - ÷ ÷ è è 2 6 ø è 2 6 ø ø dx =ò dx = ò p æ ö æ ö 0 sin x - sin 0 2 cos x + p .sin x - p ç ÷ ç ÷ 3 è2 6ø è2 6ø p 6 = 1 2 cos p 6 p 3 æx pö æx pö p cos ç - ÷ sin ç + ÷ 6 è 2 6 ødx + 1 è 2 6 ø dx = ln sin æ x - p ö ç ÷ ò æx pö 20 æx pö è2 6ø sin ç - ÷ cos ç + ÷ è2 6ø è2 6ø p 6 ò 0 p 6 0 æx pö - ln cos ç + ÷ è2 6ø p 6 0 p 2 Câu 6. I = ò (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx . 0 · Ta có: (sin 4 x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) = 33 7 3 33 + cos 4 x + cos8 x Þ I = p. 64 16 64 128 p 2 Câu 7. I = ò cos2 x(sin 4 x + cos4 x )dx 0 p 2 p 1 2æ æ 1 ö ö 1 · I = ò cos2 x ç 1 - sin2 2 x ÷ dx = ò ç 1 - sin2 2 x ÷ d (sin 2 x ) = 0 2 0è 2 è 2 ø ø 0 p 2 Câu 8. I = ò (cos3 x - 1) cos2 x.dx 0 ·A = B= p 2 p 2 0 0 5 ò cos xdx = p 2 ò cos 2 x.dx = 0 Vậy I = 2 2 ) ( 1 sin x d (sin x ) ò p 12 (1 + cos 2 x ).dx 2ò 0 = = 8 15 p 4 8 p – . 15 4 p 2 Câu 9. I = ò cos 2 x cos 2 xdx 0 p 2 p 12 0 0 · I = ò cos2 x cos2 xdx = 1 p 2 (1 + cos 2 x ) cos2 xdx = ò (1 + 2 cos2 x + cos 4 x )dx 2ò 4 0 p 2 1 1 p = ( x + sin 2 x + sin 4 x ) = 4 4 8 0 p 3 2 4sin x dx 0 1 + cos x Câu 10. I = ò Trang 12 = ..... Bài tập Tích phân · 4sin3 x 4sin3 x (1 - cos x ) = = 4sin x - 4sin x cos x = 4sin x - 2sin 2 x 1 + cos x sin2 x p 2 (4sin x - 2 sin 2 x )dx 0 2p ÞI =ò Câu 11. I = ò =2 1 + sin xdx 0 · I= 2 2p 2p 2p æ æx pö x xö x x ç sin + cos ÷ dx = ò sin + cos dx = 2 ò sin ç + ÷ dx è 2 2ø 2 2 è2 4ø 0 0 ò 0 é 3p ù 2p ê2 æx pö æx pö ú = 2 ê ò sin ç + ÷dx - ò sin ç + ÷ dx ú = 4 2 è2 4ø è2 4ø ú ê0 3p êë úû 2 Câu 12. I = p 4 ò 0 dx 6 cos x p 4 · Ta có: I = ò (1 + 2 tan2 x + tan 4 x )d (tan x ) = 0 28 . 15 Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 sin 2 xdx 3 + 4sin x - cos2 x 2sin x cos x 1 · Ta có: I = ò . Đặt t = sin x Þ I = ln sin x + 1 + +C dx sin x + 1 2sin 2 x + 4 sin x + 2 dx Câu 14. I = ò 3 sin x.cos5 x dx dx · I =ò 3 = 8ò 3 3 2 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x æ ö 3 1 3 1 Đặt t = tan x . I = ò ç t 3 + 3t + + t -3 ÷ dt = tan 4 x + tan 2 x + 3ln tan x +C t 4 2 è ø 2 tan 2 x 2t Chú ý: sin 2 x = . 1 + t2 dx Câu 15. I = ò sin x.cos3 x dx dx dx 2t · I =ò . Đặt t = tan x Þ dt = = 2ò ; sin 2 x = 2 2 2 sin x.cos x.cos x sin 2 x.cos x cos x 1 + t2 dt t2 + 1 1 t2 tan 2 x Þ I = 2ò =ò dt = ò (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t t t 2 2 Câu 13. I = ò 1 + t2 Trang 13 Bài tập Tích phân Câu 16. I = ò 2011 sin2011 x - sin2009 x sin5 x cot xdx 1 2011 1 - sin2 x cot xdx = ò sin 4 x · Ta có: I = ò Đặt t = cot x Þ I = ò 2 2011 t (1 + t 2 )tdt 4024 2011 - cot 2 x sin 4 x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 = t + t +C 4024 8046 8046 2011 2011 = cot 2011 x + cot 2011 x + C 4024 8046 Câu 17. I = p 2 sin 2 x.cos x dx 1 + cos x 0 ò p 2 2 sin x.cos2 x (t - 1)2 dx . Đặt t = 1 + cos x Þ I = 2 ò dt = 2 ln 2 - 1 1 + cos x t 0 1 · Ta có: I = 2 ò Câu 18. I = p 3 2 ò sin x tan xdx 0 p 3 · Ta có: I = ò sin2 x. 0 sin x dx = cos x p 3 (1 - cos2 x )sin x dx . Đặt t = cos x ò cos x 0 1 2 1 - u2 3 du = ln 2 u 8 1 Þ I = -ò Câu 19. I = p ò sin 2 x(2 - 1 + cos2 x )dx p 2 p p p 2 p 2 · Ta có: I = ò 2 sin2 xdx - ò sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K p 2 p + H = ò 2sin xdx = ò (1 - cos 2 x )dx = p p 2 p p 2 p p = 2 2 p p p 2 p 2 + K = ò sin2 x 2 cos2 x = - 2 ò sin2 x cos xdx = - 2 ò sin2 xd (sin x ) = p 2 ÞI = p 2 2 3 Trang 14 2 3 Bài tập Tích phân Câu 20. I = p 3 dx ò sin2 x.cos4 x p 4 p 3 · I = 4. ò p 4 I= 3 ò dx 2 2 sin 2 x.cos x (1 + t 2 )2 dt t2 1 Câu 21. I = p 2 3 ò = 1 . Đặt t = tan x Þ dt = dx cos2 x . 3 æ 1 æ1 t3 ö 8 3-4 2ö ç 2 + 2 + t ÷ dt = ç - + 2t + ÷ = 3 ø1 3 è t èt ø sin 2 x ò ( 2 + sin x ) dx 2 0 · Ta có: I = p 2 p 2 sin 2 x 0 3 Þ I = 2ò 2 Câu 22. I = p 6 sin x cos x ò (2 + sin x )2 dx = 2 ò (2 + sin x )2 dx . Đặt t = 2 + sin x . t-2 t2 0 3 3 æ1 2 ö æ 2ö 3 2 dt = 2ò ç - ÷ dt = 2 ç ln t + ÷ = 2 ln t t2 ø t ø2 2 3 è 2è sin x ò cos 2 x dx 0 · I= p 6 p 6 sin x sin x ò cos 2 x dx = ò 2 cos2 x - 1 dx . Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx 0 0 Đổi cận: x = 0 Þ t = 1; x = Ta được I = - 3 2 ò 1 Câu 23. I = p 2 1 2 2t - 1 p 3 Þt= 6 2 dt = 1 2 2 2 sin x 3 ò e .sin x.cos x. dx ln 2t - 2 2t + 2 1 3 2 = 1 2 2 ln 3-2 2 5-2 6 · Đặt t = sin2 x Þ I = 0 p 2 1 Câu 24. I = ò sin x × sin2 x + dx 2 p 6 Câu 25. I = p 4 ò 0 sin 4 x sin6 x + cos6 x · Đặt t = cos x . I = dx Trang 15 11 t 1 e (1 - t )dt = e - 1 . ò 20 2 3 (p + 2) 16 Bài tập Tích phân · I= p 4 sin 4 x ò 3 1 - sin2 2 x 4 0 Câu 26. I = p 2 ( sin x + 0 4 2 1 ö ò ç - 3 t ÷dt = 3 t ø 1è 3 dx . Đặt t = 1 - sin 2 2 x Þ I = 4 sin x ò 1 4æ 3 cos x ) 3 1 1 4 = 2 . 3 dx æ pö · Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos ç x - ÷ ; 6ø è ææ æ pö pö 3 æ pö 1 pö sin x = sin ç ç x - ÷ + ÷ = sin ç x - ÷ + cos ç x - ÷ 6ø 6ø 2 6ø 2 6ø è è èè æ p pö sin ç x - ÷ dx 6ø 3 3 1 2 dx è ÞI= = + ò ò 16 0 æ æ 6 p ö 16 0 pö cos3 ç x - ÷ cos2 ç x - ÷ 6ø 6ø è è p 2 Câu 27. I = p 4 ò - ò - =- p 3 0 sin x cos2 x 2 sin x ò - cos2 x p 3 p 4 · I= sin x 1 - cos2 x p 3 cos2 x Câu 28. I = p 6 0 p 4 1 - cos2 x .dx = ò - p 4 dx + ò ò sin x + dx 0 sin2 x cos2 x 1 3 cos x dx = p 3 sin x cos2 x 0 sin x dx = ò - p 3 sin x cos2 x sin x dx + p 4 dx æ pö sin ç x + ÷ 1 1 1 3 ø dx . è · I=ò dx = ò dx = ò 20 æ 20 æ pö pö 0 sin x + 3 cos x sin ç x + ÷ 1 - cos2 ç x + ÷ 3ø 3ø è è p 6 1 2 æ æ pö pö 1 1 1 Đặt t = cos ç x + ÷ Þ dt = - sin ç x + ÷ dx Þ I = ò dt = ln 3 2 3ø 3ø 2 0 1- t 4 è è Câu 29. I = p 2 ò 1 - 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx 0 Trang 16 sin x 2 -0 cos x 7p - 3 -1. 12 p 16 p 6 ò sin x dx EBOOKTOAN.COM · I= p 2 ò sin x - 3 cos x dx = I = 0 Câu 30. I = p 2 p 3 ò sin x - Bài tập Tích phân 3 cos x dx + 0 p 2 ò sin x - 3 cos x dx = 3 - 3 p 3 sin xdx ò (sin x + cos x )3 0 · Đặt x = Þ 2I = p - t Þ dx = -dt Þ I = 2 p 2 cos tdt 0 cos xdx 0 p 4 1 p 1 = - cot( x + ) = 1 Þ I = p 2 4 0 2 0 sin 2 ( x + ) 4 dx dx ò (sin x + cos x )2 = 2 ò p 2 p 2 ò (sin t + cos t )3 = ò (sin x + cos x )3 p 12 0 Câu 31. I = p 2 7sin x - 5cos x ò (sin x + cos x )3 dx 0 · Xét: I1 = Đặt x = p 2 ò 0 sin xdx ( sin x + cos x ) I2 = ò 0 cos xdx 3 ( sin x + cos x ) . p - t . Ta chứng minh được I1 = I2 2 Tính I1 + I2 = p 2 ò 0 Þ I1 = I 2 = Câu 32. I = 3 ; p 2 p 2 dx ( sin x + cos x ) 2 = p 2 ò 0 dx p 2 cos2 ( x - ) 4 = 1 p p tan( x - ) 2 = 1 2 4 0 1 Þ I = 7I1 – 5I 2 = 1 . 2 3sin x - 2 cos x ò (sin x + cos x )3 dx 0 · Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = 2 Þ 2I = I + I = p 2 3sin x - 2 cos x Câu 33. I = p 2 3cos t - 2sin t 3cos x - 2sin x ò (cos t + sin t )3 dt = ò (cos x + sin x )3 dx 0 0 p 2 3cos x - 2sin x p 2 1 ò (sin x + cos x )3 dx + ò (cos x + sin x )3 dx = ò (sin x + cos x )2 dx = 1 Þ 0 p p 2 0 0 x sin x ò 1 + cos2 x dx 0 p · Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = ò 0 (p - t )sin t 2 1 + cos t p dt = p ò Trang 17 sin t 2 0 1 + cos t dt - I I= 1 . 2 Bài tập Tích phân p p æp pö p2 Þ 2I = p ò dt = -p ò =p ç + ÷Þ I = 2 2 è4 4ø 8 0 1 + cos t 0 1 + cos t Câu 34. I = p 2 sin t d (cos t ) cos4 x sin x ò cos3 x + sin3 x dx 0 0 4 p sin t cos t · Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = - ò dt = 3 3 2 p cos t + sin t p 2 sin 4 x cos x ò cos3 x + sin3 x dx 0 2 Þ 2I = p 2 ò 4 cos x sin x + sin x cos x 3 3 sin x + cos x 0 Þ I= 4 dx = p 2 ò 3 3 sin x cos x(sin x + cos x ) 0 3 3 sin x + cos x dx = p 12 1 sin 2 xdx = 2ò 2 0 1 . 4 p 2 é ù 1 2 tan (cos x ) ê ú dx ò cos2 (sin x ) ê ûú 0ë p · Đặt x = - t Þ dx = -dt 2 Câu 35. I = p 2 p 2é é ù ù 1 1 Þ I=òê - tan2 (sin t )ú dt = ò ê - tan2 (sin x )ú dx 2 ê cos2 (cos t ) ûú ë cos (cos x ) ûú 0ë 0ê p 2 p 2 é ù 1 1 Do đó: 2I = ò ê + - tan2 (cos x ) - tan2 (sin x )ú dx = 2 ò dt = p ê cos2 (sin x ) cos2 (cos x ) ûú 0ë 0 p Þ I= . 2 Câu 36. I = p 4 ò 0 cos x - sin x 3 - sin 2 x dx · Đặt u = sin x + cos x Þ I = 2 ò 1 Câu 37. I = p 3 ò 0 sin x cos x 3 + sin2 x · Đặt t = 3 + sin2 x = I= p 3 ò 0 sin x cos x 3 + sin2 x du 4 - u2 . Đặt u = 2sin t Þ I = p 4 p 4 2 cos tdt ò 4 - 4sin2 t p 6 = ò dt = p 6 p . 12 dx 4 - cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 - t 2 và dt = .dx = p 3 ò 0 sin x.cos x cos2 x 3 + sin 2 x dx = Trang 18 15 2 ò 3 dt 4 - t2 = 1 4 sin x cos x 2 3 + sin x 15 2 æ ò 3 dx . 1 1 ö ç ÷dt èt+2 t-2ø Bài tập Tích phân 15 2 1 t+2 = ln 4 t-2 3 2p 3 p 3 sin3 x + sin2 x x · I =ò p 2p dx = 3 1 + sin x òp 3 +4-2 3. 3 sin 2 x cos2 x + 4sin2 x ò Câu 40. I = 0 2 æ pö tan ç x - ÷ è 4 ødx cos2 x p 6 ò 0 ò dx 2sin x cos x 0 · I= 2p dx dx = òp3 =4 - 2 3 æp ö xö 2æp 1 + cos ç - x ÷ 3 2 cos ç - ÷ è2 ø è 4 2ø 2 udu 22 2 dx . Đặt u = 3sin2 x + 1 Þ I = ò 3 = ò du = u 31 3 3sin2 x + 1 1 p 2 p 6 dx . 1 + sin x x p 2 · I= dx ìu = x p ï ìdu = dx dx Þ í Þ I1 = dx . Đặt í dv = îv = - cot x 3 sin2 x ïî sin 2 x + Tính I 2 =ò 0 ) 2p 3 p 3 2p 3 p 3 I=ò ( dx + ò + Tính I1 = ò Câu 39. 2p 3 p 3 3+2 ö 1 ( ÷ = ln 15 + 4 ) - ln ( 3 + 2 ) . 2 3 - 2 ÷ø 2 sin x Vậy: I = 1æ 15 + 4 ç ln - ln 4ç 15 4 è x + ( x + sin x )sin x Câu 38. I = ò 2p 3 p 3 = p æ pö tan ç x - ÷ 2 6 è 4 ødx = - tan x + 1 dx . Đặt t = tan x Þ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx ò (tan x + 1)2 cos 2 x cos2 x 0 1 Þ I =- Câu 41. I = 3 ò 0 p 3 1 dt 2 (t + 1) = 1 3 1- 3 = . t +1 0 2 cot x dx æ ö p p sin x.sin x + ç ÷ è 4ø 6 ò p 3 · I = 2ò p 6 Þ I= 2 cot x 2 sin x (1 + cot x ) 3 +1 ò 3 +1 dx . Đặt 1 + cot x = t Þ t -1 dt = 2 ( t - ln t ) t 3 +1 3 +1 3 1 sin 2 x dx = - dt æ 2 ö = 2ç - ln 3 ÷ è 3 ø 3 Trang 19 Bài tập Tích phân Câu 42. I = p 3 dx ò sin2 x.cos4 x p 4 p 3 · Ta có: I = 4. ò p 4 dx 2 2 sin 2 x.cos x . Đặt t = tan x Þ dx = dt 1 + t2 3 (1 + t 2 )2 dt 3 1 1 t3 = ò ( + 2 + t 2 )dt = (- + 2t + ) Þ I= ò 2 t 3 t2 1 1 t 1 Câu 43. I = p 4 3 = 8 3-4 3 sin x ò 5sin x.cos2 x + 2 cos x dx 0 p 4 tan x 1 ò 5tan x + 2(1 + tan2 x ). cos2 x dx . Đặt t = tan x , · Ta có: I = 0 1 1 1æ 2 1 ö 1 2 Þ I =ò dt = ò ç ÷ dt = ln 3 - ln 2 2 3 0 è t + 2 2t + 1 ø 2 3 0 2t + 5t + 2 t p sin 2 xdx 4 Câu 44. I = ò - p cos4 x (tan 2 x - 2 tan x + 5) 4 · Đặt t = tan x Þ dx = 1 ò Tính I1 = Câu 45. I = -1 t p 2 ò p 6 · I= dt 2 - 2t + 5 dt 1 + t2 . Đặt Þ I= t -1 2 t 2 dt 1 ò -1 t 2 - 2t + 5 = tan u Þ I1 = 1 2 = 2 + ln 0 ò - du = p 2 3 1 -3ò dt -1 t 2 - 2t + 5 p 2 3p . Vậy I = 2 + ln . 8 3 8 4 sin2 x dx . sin 3 x p 2 p 2 2 sin x sin x ò 3sin x - 4sin3 x dx = ò 4 cos2 x - 1 dx p 6 p 6 Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = - 0 ò 3 2 p 2 p 4 Câu 46. I = ò sin x - cos x 1 + sin 2 x dt 2 4t - 1 = dx Trang 20 1 4 3 2 ò 0 dt t2 - 1 4 = 1 ln(2 - 3) 4