Chuyên đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & MẶT
02.03.1.001.A1072 : Tính tích phân đường
y ds
3
Với C: x = t3 , y = t, 0 ≤ t ≤2
C
Lời giải:
2
2
y ds t
3
C
3
0
2
dx dy
3
dt t
dt dt
0
2
2
3t 1 dt t
2 2
2
3
9t 4 1dt
0
2
3
3
1 2 4
1
2
. 9t 1 . 145 2 1
36 3
0 54
02.03.1.002.A1072 : Tính tích phân đường
xyds
Với C: x = t2, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1
C
Lời giải:
1
2
xyds t . 2t 2t 2 dt t
2
2
C
Đặt
2
0
2
3
4t 4dt 4t 3 t 2 1dt
2
0
t 2 u 1
u t 2 1 du 2tdt
1 u 2
thay vào biểu thức trên ta có
2
1
32
2
2.
u
1
udu
2
u
u
du
1
1
2
2
2 52 2 32
4
2 2
8
2 .u .u 2.
2
2
3 1
3
5 3
5
5
8
15
0
2 1
02.03.1.003.A1072 : Tính tích phân đường
xy ds
4
Với C là cung bên phải của đường tròn x2 + y2 = 16
C
Lời giải:
x 4 cos t
với
t
2
2
y 4sin t
Đặt
/2
xy ds
(4 cos t )(4sin t ) 4 ( 4sin t ) 2 (4 cos t ) 2 dt
4
/2
C
/2
45 cos t sin 4 t 16(sin 2 t cos 2 t ) dt
/2
/2
/2
46.2
1
4 4sin t cos tdt 4 sin 5 t
5
5
/2
/2
5
4
6
02.03.1.004.A1072 : Tính tích phân đường
x sin yds
Với C là đoạn thẳng từ điểm (0,3) đến điểm (4,6)
C
Lời giải:
x 4t
y 3 3t
Đặt
1
với 0 ≤ t ≤1
x sin yds (4t )(3 3t )
C
Đặt
0
1
4 3 dt 20 t sin(3 3t )dt
2
2
0
du dt
u t
1
dv sin(3 3t )dt
v 3 cos(3 3t )
Có
1
1
C x sin yds 20 3 t cos(3 3t ) 9 sin(3 3t ) 0
1
1
1
1
20
20 cos 6 sin 6 0 sin 3 sin 6 3cos 6 sin 3
9
9
3
9
02.03.1.005.A1072 : Tính tích phân đường
(x
2
Với C là cung thuộc đường cong y x từ (1,1) đến
y 3 x )dy
C
(4,2)
Lời giải:
Thay y x , lấy tích phân theo cận x với 1≤x≤4
4
2 3
2
C ( x y x )dy 1 x .
3
x
4
1
1
x
dx ( x 3 1)dx
2 x
21
4
1 1
1
1 243
x 4 x 64 4 1
2 4
4
8
1 2
02.03.1.006.A1072 : Tính tích phân đường
e dx
Với C là cung thuộc đường cong x y 3 từ (-1,-1) đến (1,1)
x
C
Lời giải:
Thay x y 3 , lấy tích phân theo cận y với -1≤y≤1
1
1
e dx e
x
y3
1
C
1
.3 y dy e e1 e 1 e
e
y3
2
1
02.03.1.007.A1072 : Tính tích phân đường
( x 2 y)dx x dy
Với C là đường gấp khúc từ (0,0) đến (2,1) và từ (2,1)
2
C
đến (3,0)
Lời giải:
C C1 C2
1
Với C1 : x x, y x
Với
x x, y 3 x
2
C2
:
dy
1
dx, 0 x 2
2
dy dx, 2 x 3
( x 2 y)dx x dy ( x 2 y)dx x dy ( x 2 y)dx x dy
2
2
C
2
C1
C2
1
1
x 2 x x 2 dx x 2 3 x x 2 1 dx
2
2
0
2
2
3
1
2 x x 2 dx 6 x x 2 dx
2
0
2
2
3
2
3
1
1
1
x 2 x3 6 x x 2 x3
6 0
2
3 2
16
9 22 5
0
3
2 3 2
02.03.1.008.A1072 : Tính tích phân đường
x dx y dy Với C là cung tròn thuộc đường tròn
2
2
x 2 y 2 4 từ (2,0) đến
C
(0,2) nối với đoạn (0,2) đến (4,3)
Lời giải:
C C1 C2
x 2 cos t dx 2sin tdt
x 4t dx 4dt
Với C1 : y 2sin t dy 2 cos tdt , C2 : y 2 t dy dt
0 t 1
0 t
2
x dx y dy x dx y dy x dx y dy
2
2
2
C
C1
/2
2
2
2
C2
1
2 cos t 2sin tdt 2sin t 2 cos tdt 4t 4dt 2 t dt
2
2
2
0
2
0
/2
1
8 cos 2 t sin t sin 2 t cos t dt 65t 2 4t 4 dt
0
0
/2
1
1
83
1
65
1 1 65
8 cos3 t sin 3 t t 3 2t 2 4t 8 2 4
3
3
3
0
3
0
3 3 3
02.03.1.009.A1072 : Tính tích phân đường
xyzds
Với C: x 2sin t , y t , z 2cos t , 0 t
C
Lời giải:
2
xyzds 2sin t t 2cos t
C
0
4t sin t cos t
2cos t
2
2
2
dx dy dz
dt
dt dt dt
1 2sin t dt
2
2
0
2t sin 2t 4 cos 2 t sin 2 t 1dt
0
1
1
2 5 t sin 2tdt 2 5 t cos 2t sin 2t
4
2
0
0
2 5 0 5
2
02.03.1.010.A1072 : Tính tích phân đường
xyz ds
2
Với C là đoạn thẳng từ (-1,5,0) đến (1,6,4)
C
Lời giải:
x 1 2t
y 5 t
Đặt
z 4t
0 t 1
1
2
xyz ds 1 2t 5 t 4t
C
1
2
22 12 42 dt 21 32t 4 144t 3 80t 2 dt
0
0
1
t5
t4
t3
80 236
32
21 32 144 80 21 36
21
4
3 0
3 15
5
5
02.03.1.011.A1072 : Tính tích phân đường
xe
C
Lời giải:
yz
ds
Với C là đoạn thẳng từ (0,0,0) đến (1,2,3)
x t
y 2t
Đặt
z 3t
0 t 1
xe
1
yz
ds te
C
1
14 6
1 2
1 2 3 dt 14 te dt 14 e6t
e 1
2
12
0
0
1
2t 3t
2
0
2
6t 2
2
02.03.1.012.A1072 : Tính tích phân đường
x
2
y 2 z 2 ds
C: x t , y cos 2t , z sin 2t ,0 t 2
C
Lời giải:
2
Có
x
2
2
2
2
dx dy dz
2
1 2sin 2t 2cos 2t 5
dt dt dt
2
y z ds
2
2
t
2
C
2
2
cos 2t sin 2t 5dt 5 t 2 1 dt
2
2
0
0
2
8
1
1
5 t 3 t 5 8 3 2 5
2
3
0
3
3
3
02.03.1.013.A1072 : Tính tích phân đường
xye
yz
C: x t , y t 2 , z t 3 ,0 t 1
dy
C
Lời giải:
1
yz
2
xye dy t t e
C
1
1
t t .2tdt 2t 4et dt 2 et 2 e1 1
2
3
0
5
0
5
5
0
5
02.03.1.014.A1072 : Tính tích phân đường
ydx zdy xdz
C: x t , y t, z t 2 ,1 t 4
C
Lời giải:
1 1/ 2
1 1/ 2 2
2
3/ 2
C ydx zdy xdz 1 t. 2t dt t dt t .2tdt 1 2 t t 2t dt
4
4
4
1
4
1
8 64 128 1 1 4 722
t 3/ 2 t 3 t 5/ 2
3
5
5
3 3 5 15
3
1 3 3
02.03.1.015.A1072 : Tính tích phân đường
z dx x dy y dz
2
2
Với C là đoạn thẳng nối (1,0,0) đến (4,1,2)
2
C
Lời giải:
x 1 3t
y t
Đặt
z 2t
0 t 1
1
1
2
2
2
2
2
z dx x dy y dz 2t .3dt 1 3t dt t .2dt 23t 6t 1 dt
2
C
2
0
0
1
23
35
23
t 3 3t 2 t
3 1
3
3
0 3
02.03.1.016.A1072 : Tính tích phân đường
y z dx x z dy x y dz
Với C là đoạn gãy khúc từ (0,0,0) đến
C
(1,0,1) và từ (1,0,1) đến (0,1,2)
Lời giải:
C C1 C2
x t dx dt
x 1 t dx dt
y 0 dy 0dt
y t
dy dt
Với C1 :
, C2 :
z t dz dt
z 1 t dz dt
0 t 1
0 t 1
y z dx x z dy x y dz
C
y z dx x z dy x y dz y z dx x z dy x y dz
C1
C2
1
1
0 t dt t t .0dt t 0 dt t 1 t dt 1 t 1 t dt 1 t t dt
0
0
1
1
0
0
2tdt 2t 2 dt t 2 t 2 2t 1 1 2
0
0
1
1
02.03.1.017.A1073 : Cho trường vecto F trong hình:
a) Nếu C1 là đoạn thẳng từ (-3,-3) đến (-3,3), xác định xem
F .dr
dương,
C1
âm hay bằng 0.
b) Nếu C2 là vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ tâm tại gốc tọa độ với bán
kính bằng, xác định xem
F .dr
dương, âm hay bằng 0.
C2
Lời giải:
a)Dọc đường thẳng x=-3, vecto của F có thành
phần y dương,
kể từ phần phía trên, tích phân F.T luôn dương.
Vì vậy F .dr F .Tds dương.
C1
C1
b)Tất cả các vecto (trừ vecto 0) dọc theo vòng tròn
bán kính
bằng 3theo chiều kim đồng hồ, được xác định là ngược chiều F,
nên F.T âm. Vì thế
F .dr F .T ds
C2
âm.
C2
02.03.1.018.A1073 : Cho trường vecto F và 2 cung C1 và C2 trong hình,
tích phân đường của F theo C1 và C2 là âm, dương hay bằng 0.
Lời giải:
Các vecto bắt đầu từ điểm C1 trong hốc cùng chiều với C1, nên các thành
phần tiếp tuyến F.T dương. Do đó
F .dr F .Tds
C1
C1
dương. Mặt khác, không có vecto nào bắt đầu từ C2
cùng chiều C2, trong khi một số vecto còn có chiều
ngược lại nên
F .dr F .T ds
C2
C2
âm.
02.03.1.019.A1073 : Tính tích phân đường F .dr theo C là hàm của r(t):
C
F x, y xyi 3 y 2 j , r t 11t 4i t 3 j ,0 t 1
Lời giải:
F r t 11t 4 t 3 i 3 t 3 j 11t 7i 3t 6 j ,
2
r ' t 44t 3i 3t 2 j ,
1
1
F .dr F r t r ' t dt 11t .44t
7
C
0
1
1
3
3t .3t dt 484t 9t dt 44t t 45
6
2
10
0
8
11
0
9
0
02.03.1.020.A1073 : Tính tích phân đường F .dr theo C là hàm của r(t):
C
F x, y, z x y i y z j z 2k , r t t 3i t 2 j tk ,0 t 1
Lời giải:
F r t t 2 t 3 i t 3 t 2 j t 2 k ,
2
r ' t 2ti 3t 2 j 2tk ,
1
1
F .dr F r t r ' t dt 2t
C
0
0
1
3
2t 3t 3t 2t dt 5t 5 t 4 2t 3 dt
4
5
4
5
0
1
1
1 17
5
t5 t5 t4
5
2 0 15
6
02.03.1.021.A1073 : Tính tích phân đường F .dr theo C là hàm của r(t):
C
F x, y, z sin xi cos yj xzk .r t t 3 t 2 j tk ,0 t 1
Lời giải:
1
F .dr
C
1
sin t ,cos t , t . 3t , 2t ,1 dt 3t 2 sin t 3 2t cos t 2 t 4 dt
3
2
4
2
0
0
1
1
6
cos t 3 sin t 2 t 5 cos1 sin1
5 0 5
02.03.1.022.A1073 : Tính tích phân đường F .dr theo C là hàm của r(t):
C
F x, y, z xi yj xyk , r t cos ti sin tj tk ,0 t
Lời giai:
1 2
C F .dr 0 cos t ,sin t ,cos t sin t . sin t ,cos t ,1 0 sin t cos tdt 2 sin t 0
0
02.03.1.023.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân
C
F x, y xy i sin y j
t 2
Với r t e ' i e j
1 t 2
Fdr
Lời giải:
j e
F r t et et i sin et
2
2
t t 2
j
i sin e t
2
r ' t et i 2tet j
2
Khi đó ta được
2
2
t t 2 t
t 2
t 2
C Fdr 1 F r t .r ' t dt 1 e .e sin e . 2te dt,
2
e
1
2 t t 2
2
2
2te t .sin e t dt 1,9633
02.03.1.024.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân
C
Fdr
F x, y, z y sin z i z sinx j x sin y k
Với r t cos t i sin t j sin 5t k
0 t
Lời giải:
F r t sin t sin sin 5t i sin 5t sin cos t j cos t sin sin t k
r ' t sin t i cos t j 5cos 5t k
Khi đó ta được
C
Fdr F r t .r ' t dt
0
sin 2 t.sin sin 5t cos t.sin 5t sin cos t 5cos t.cos5 t.sin si n t dt 0,1363
0
02.03.1.025.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân
C
x sin y z ds
C x, y, z t 2 , t 3 , t 4
Với
0 t 5
Lời giải:
Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau
C
5
x sin y z ds t 2 sin t 3 t 4
2t
2
3t 2 4t 3 dt
2
2
0
5
t 2 sin t 3 t 4 4t 2 9t 4 16t 6 dt 15,0074
0
02.03.1.026.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết quả lấy tới
4 chữ số thập phân
C
C x, y, z t , t 2 , e t
Với
0 t 1
ze xy ds
Lời giải:
Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau
C
1
ze xy ds et et .t
2
1 2t
2
2
et dt
2
0
1
e t t
3
1 4t 2 e2t dt 0,8208
0
02.03.1.027.A1073 : Sử dụng một đồ thị của trường vecto F và cung tròn C để
đoán tích phân đường của F và C là tích cực, tiêu cực hoặc bằng không. Sau đó
tính tích phân đường
F(x, y) = (x – y) i + xy j
Với C là cung của đường tròn x2 + y2 = 4 theo chiều kim đồng hồ từ (2, 0)
đến (0, -2)
Lời giải:
Ta có đồ thị F x, y x y i xyj và đường cong C. Chúng ta thấy rằng hầu hết
các vecto bắt đầu ở điểm C trong khoảng cùng hướng với C, vì vậy trong nhưng
phần đó của C các thành phần tiếp tuyến F.T là tích cực. Mặc dù một số vecto
trong góc phần tư thứ ba bắt đầu ở điểm trên C nhưng có chiều ngược lại với C
và do đó các thành phần tiếp tuyến F.T là tiêu cực. Ở đây, có vẻ như các thành
phần của C chịu nhiều ảnh hưởng hơn bởi các thành phần tích cực. Vì vây có
thể đoán
C
F .dr F .Tds là tích cực
C
Kiểm tra lại ta tính tích phân
C
Fdr
đường cong C có thể được biểu diễn bởi r(t)
= 2cost i + 2sint j, 0≤ t ≤ 3π/2 . Vì vậy
F r t 2cos t 2sin t i 4cos t sin tj
r ' t 2sin ti 2cos tj
F .dr
C
3
2
F r t .r ' t dt
0
3
2
2sin t 2cos t 2sin t 2cos t 4cos t sin t dt
0
3
2
4 sin 2 t sin t cos t 2sin t cos 2 t dt
0
3
2
3
02.03.1.028.A1073 : Sử dụng một đồ thị của trường vecto F và cung tròn C để
đoán tích phân đường của F và C là âm, dương hay bằng 0. Sau đó tính tích
phân đường
F x, y
x
x2 y 2
i
y
x2 y 2
j
Với C là parabol y = 1+ x2 từ (-1, 2) đến (1, 2)
Lời giải
Ta có đồ thị F x, y
x
x2 y 2
i
y
x2 y 2
j và đường cong C. Trong góc phần tư
thứ nhất, mỗi vecto bắt đầu từ điểm trên C trong khoảng cung một hướng với C,
vì vậy các thành phần tiếp tuyến F.T là dương. Trong góc phần tư thứ hai, mỗi
vecto bắt đầu từ điểm trên C trong khoảng ngược hướng với C vì vậy F.T là âm.
Ở đây, có vẻ như các thành phần tiếp tuyến trong góc phần tư thứ nhất và góc
phần tư thứ hai chống lại nhau. Vì vây có thể đoán
C
F .dr F .Tds là bằng
C
không
Kiểm tra lại ta tính tích phân
C
F .dr F .Tds và đường cong C có thể được biểu
C
r t ti 1 t 2 j
diễn bởi
Vì vậy
1 t 1
t
1 t2
F
r
t
i
j
2
2 2
2
2 2
t 1 t
t 1 t
r ' t i 2tj
1
F .dr F r t .r ' t dt
C
1
2t 1 t 2
t
2
2
1 t 2 1 t 2
t 2 1 t 2
1
t 3 2t 2
dt 0
2
4
1 t 3t 1
1
dt
02.03.1.030.A1073 :
a)Tính
tích
phân
F.dr
đường
theo
C
là
hàm
của
r(t):
C
F x, y, z xi zj+yk, r t 2ti 3tj t 2k
b)Minh họa phần a bằng cách sử dụng máy tính vẽ đồ thị C và các vecto
của trường vecto tương ứng với t 1;
1
(như hình 13)
2
Lời giải:
1
1
a) F .dr 2t , t ,3t . 2,3, 3t dt 4t 3t 2 6t dt 2t 2 t 3 1 2
1
2
C
b)Với
1
1
F r t 2t , t 2 ,3t
thì
1
1 3
1
1 3
F r 1 2,1, 3 , F r 1, , , F r 1, , , F r 1 2,1,3
4 2
4 2
2
2
02.03.1.031.A1073 : Tính tích phân
x y zds
3
2
với C là đường cong có
C
phương trình tham số x et cos 4t , y et sin 4t , z et ,0 t 2
Lời giải:
dx
e t sin 4t 4 e t cos 4t e t 4sin 4t cos 4t ,
dt
dy
e t cos 4t 4 e t sin 4t e t sin 4t 4cos 4t
dt
2
2
2
dx dy dz
dt dt dt
e 4sin 4t cos 4t 4cos 4t sin 4t
t 2
2
2
1
et 16 sin 2 4t cos 2 4t sin 2 4t cos 2 4t 1 3 2e t
x y zds
3
Vì thế
2
C
e
t
cos 4t e t sin 4t e t 3 2e t dt
3
2
0
2
2
3
2e 7 t cos3 4t sin 2 4tdt
0
172704
2 1 e 14
5632705
02.03.1.032.A1073 :
a)Tính công thực hiện của trường lực F x, y x 2i xyj làm 1 hạt chuyển
động quanh 1 vòng tròn x 2 y 2 4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
b)Sử dụng máy tính vẽ đồ thị trường lực và đường tròn trên cùng 1 đồ thị.
sử dụng đồ thị để giải thích kết quả câu a.
Lời giải:
a)Giả
đường
sử
tròn
C
phụ
thuộc
r t 2cos ti 2sin tj,0 t 2
Có F r t 4cos 2 t ,4cos t sin t , r t 2sin t ,2cos t
Và W F .dr
C
2
8cos
2
t sin t 8cos 2 t sin t dt 0
0
b) Từ đồ thị, chúng ta thấy mọi vecto trong trường là
vuông góc với đường tròn. Điều đó cho thấy trường
không sinh công trên hạt, nghĩa là bất kì điểm nào trên
C đều có F.T=0 hay tích phân F .dr 0
C
02.03.1.033.A1073 :
Một sợi dây mảnh được uốn cong thành hình bán nguyệt x 2 y 2 4, x 0
Nếu tỉ trọng là hằng số k, tìm khối lượng và trọng tâm của dây.
Lời giải:
x 2cos t
Chúng ta sử dụng phương trình tham số y 2sin t
t
2
2
2
2
dx dy
ds dt
dt dt
m kds 2k
C
x
/2
2sin t
2
2cos t dt 2dt
2
dt 2k
/ 2
1
1
xkds
2 k C
2
1
1
y
ykds
2 k C
2
/2
1
2cos t 2dt 2 4sin t
/2
/2
/2
4
,
/2
2sin t 2dt 0
/ 2
Vì thế x, y ,0
4
02.03.1.034.A1073 :
Một sợi dây mảnh có hình dạng là góc phần tư thứ nhất của đường tròn có
tâm trùng gốc tọa độ và bán kính a. Nếu hàm ty trọng là x, y kxy tìm
khối lượng và trọng tâm sợi dây.
Lời giải:
x a cos t
Chúng ta sử dụng phương trình tham số y a sin t
0 t
2
2
2
dx dy
ds dt
dt dt
a sin t
2
a cos t dt adt
2
m x, y ds kxyds
C
/2
C
k a cos t a sin t adt ka 3
/2
0
cos t sin tdt
0
/2
1
1
ka 3 sin 2 t ka 3
2
2
0
x
1
ka
3
/2
x kxy ds
/2
C
0
2
k a cos t a sin t adt 3 .ka 4
ka
2
/2
cos
2
t sin tdt
0
/2
1 2a
1
2a cos3 t 2a 0
,
3 3
3
0
y
1
y kxy ds
ka 3 / 2 C
2
ka 3
/2
k a cos t a sin t adt
2
0
2
.ka 4
ka 3
/2
sin
2
t cos tdt
0
/2
1
1
2a
2a sin 3 t 2a 0
3
0
3
3
Vậy khối lượng là
1 3
2a 2a
ka và trọng tâm là x, y ,
2
3 3
02.03.1.040.A1074 :
Tính công thực hiện bởi trường lực F x, y x 2i ye x j làm 1 hạt di chuyển dọc
theo đường parabol x = x2 + 1 từ (1, 0) đến (2, 1)
Lời giải
x y2 1
Chọn y như một tham số, đường cong C được xác định bởi y y
0 y 1
Sau đó W C F .dr
1
y
2
1 , ye y
2
2
1
. 2 y,1 dy
0
1
2
2
2 y y 2 1 ye y 1 dy
0
1
3
1 2
1
y 2 1 e y 1
2
3
0
8 1
1 1
e2 e
3 2
3 2
1
1
7
e2 e
2
2
3
02.03.1.041.A1074 :
Tính công thực hiện bởi trường lực F x, y, z x y 2 , y z 2 , z x 2
làm một hạt di chuyển dọc theo đoạn thẳng từ (0, 0, 1) đến (2, 1, 0)
Lời giải
r t 2t , t ,1 t
0 t 1
Ta có
Sau đó W C F .dr
1
2t t 2 , t 1 t ,1 t 2t dt
2
2
0
1
4t 2t 2 t 1 2t t 2 1 t 4t 2 dt
0
1
t 2 8t 2 dt
0
1
1
t 3 4t 2 2t
3
0
7
3
02.03.1.042.A1074 :
Lực tác dụng do 1 hạt điện tích tác dụng lên 1 hạt mang điện tại điểm x, y, z
với vecto r x, y, z là F r
Kr
với K là hằng số. Tính công làm hạt di
| r |3
chuyển theo 1 đường thẳng từ (2,0,0) đến (2,1,5).
Lời giải
r t 2i tj 5tk
Vì thế
0 t 1
Ta có
W F .dr
C
1
0
K 2, t ,5t
3
2 2
4 26t
1
K
0
. 0,1,5 dt
26t
3
2 2
4 26t
dt
1
1
2 2
K 4 26t
0
1
1
K
30
2
02.03.1.043.A1074 :
Tọa độ của 1 vật khối lượng m tại thời điểm t là
r t at 2i bt 3 j ,0 t 1
a)Lực tác dụng lên vật ở thời điểm t là?
b)Công thực hiện của lực trong suốt khoảng thời gian
0 t 1
Lời giải
2
3
a) r t at i bt j
v t r ' t 2ati 3bt 2 j
a t v ' t 2ai 6btj
Và lực tác dụng lên đối tượng với thời gian là
F t ma t 2mai 6mbtj
b) W C F .dr
1
2mai 6mbtj . 2ati 3bt 2 j dt
0
1
4ma 2t 18mb 2t 3 dt
0
1
9
2ma 2t 2 mb 2t 4
2
0
9
2ma 2 mb 2
2
02.03.1.044.A1074 :
Một vật khối lượng m di chuyển với hàm tọa độ
r t a sin ti b cos tj ctk
0 t
2
Lời giải
a) r t a sin ti b cos tj ctk
v t r ' t a cos ti b sin tj ck
a t v ' t a sin ti b cos tj
Và F t ma t amsin ti bm cos tj
W F .dr
C
2
ma sin ti mb cos tj . a cos ti b sin tj ck dt
0
ma 2 sin t cos t mb 2 sin t cos t dt
2
0
1
2 1
m b a sin 2 t m b 2 a 2
2
0 2
2
2
02.03.1.051.A1089 : Tính tích phân đường bằng hai phương pháp
a) trực tiếp
b) sử dụng công thức Green
x y dx x y dy
C
Với C là đường trong có tâm tại gốc tọa độ và có bán kính bằng 2
Lời giải
x 2 cos t
a) Đặt phương trình tham số của C y 2sin t
0 t 2
- Xem thêm -
.PDF 
42 
191 
131 
