Tài liệu Bài tập ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính có lời giải

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 04.01.1.001 1 2  4 3 Cho A=  , B=  2 1 . So sánh AB, BA.  3 4     Lời giải: 1 2  4 3 1.4  2.2 1.3  2.1  8 5  AB=    2 1  3.4  4.2 3.3  4.1   20 13 3 4         4 3 1 2  4.1  3.2 4.2  3.4 13 20 BA=   3 4   2.1  1.3 2.2  1.4    5 8  2 1        Vậy AB  BA. Bài 04.01.1.002 a b  1 2 Cho A=  , B=    Với a  c  d , 2c  3b . Chứng minh AB=BA 3 c d 4     Lời giải: 1 2  a b   a  2c b  2d  AB=     3 4  c d  3a  4c 3b  4d   a b  1 2  a  3b 2a  4b  BA=      c d  3 4 c  3d 2c  4d  a  c  d  AB=BA Với  2c  3b Bài 04.01.1.003 Sử dụng công thức cos      cos cos  sin  sin  , sin      sin  cos   sin  cos Chứng minh: cos  sin    sin   cos  cos   sin   sin   cos      sin        cos    sin     cos      Lời giải: Có cos  sin    sin   cos  cos   sin   sin   cos cos   sin  sin   cos   sin  cos   sin  cos  cos sin   sin  cos   cos cos   sin  sin   cos      sin        sin     cos      Bài 04.01.1.004 Lũy thừa của ma trận được tính là A2  AA, A3  AAA, … 0 1 Cho A   . Tính A2 , A3 , A4 , A100 .  1 1 Lời giải: 0 1 0 1  1 1  A2    1 1   1 0  1  1       1 1  0 1 1 0  A3  A2 A    1 1  0 1   I  1 0      A4  AA3  AI  A A100  AA99  A  A3   A  I   A 33 33 Bài 04.01.1.005 e a b  Cho A=  , B= g   c d  f i , C= k h   Chứng minh  AB  C  A  BC  j l  Lời giải: Ta có: af  bh   i cf  dh   k  ae+bg ce  dg  AB  C   j l   ae  bg  i   af  bh  k    ce  dg  i   cf  dh  k  ae  bg  j   af  bh l   ce  dg  j  cf  dh l   a  ei  fk   b  gi  hk  a  ej  fl   b  gj  hl      a  ei  fk   d  gi  hk  c  ej  fl   d  gj  hl    a b   ei  fk    c d   gi  hk ej  fl  gj  hl   A  BC  (dpcm) Bài 04.01.1.006 a 0  Chứng minh ma trận giao hoán với A    là ma trận đường chéo, a  d . 0 d  Lời giải: x Với ma trận bất kì B=  z y có: w   ax ay   ax dy  AB=  và BA=     dz dw  az dw dz  az Có AB = BA khi  mà a  d  y  z  0 . dy  ay  Vậy B là ma trận đường chéo. Bài 04.01.1.007 Chứng minh  AB    BT  AT  T Lời giải: a ' b '  a b  Chọn A   , B   c ' d '   c d    aa ' bc' ab ' bd '  aa ' bc ' ca ' dc '  T Có AB     AB       cc ' dc' cb ' dd '   ab ' bd ' cb ' dd ' Mặt khác: a ' c '  a c   a ' a  c ' b a ' c  c ' d   b d   b ' a  d ' b b ' c  d ' d  d '       B  A   b ' T T Vậy  AB    BT  AT  T Bài 04.01.1.008 a)Chứng minh kết quả của hai ma trận quay cũng là một ma trận quay. b)Chứng minh kết quả của hai ma trận nghịch đảo là một ma trận quay. c)Kết quả của một ma trận nghịch đảo với một ma trận quay? Lời giải: Trước hết, nếu A và B là hai ma trận nghịch đảo hoặc quay, ta có:  AB  AB  T  AB  BT  AT   A  BBT  AT  AAT  I Vì AB cũng là một ma trận nghích đảo hoặc quay. Ta sử dụng công thức: det  AB    det A  det B . a) Ta có : det  AB    1 1  1 nên AB là ma trận quay. b) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB là ma trận quay. c) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB là ma trận nghịch đảo. Bài 04.01.1.009 Tìm ma trận A với A2  I , A không phải là ma trận nghịch đảo. Lời giải: 1 b  Có rất nhiều ma trận thỏa mãn, ví dụ   với mọi b  0 . 0  1   Công thức tổng quát là: a 2  bc  1 a b   c a  với    b  c Bài 04.01.1.010 Giả sử A là một ma trận quay hoặc ma trận nghịch đảo. Chứng minh AT  A1 Lời giải: a b  Nếu A   là ma trận quay thì det  A  a 2  b 2  1  b a  1  a b Ta có: A1    AT  1  b a  a b  Nếu A   là ma trận nghịch đảo thì det  A   a 2  b 2  1  b  a  Ta có: A1  1  a b  a b  T  A 1  b a  b a  Bài 04.01.1.011 Đúng hay sai? a) det  xA  x det  A b) det  A  B   det  A  det  B  Lời giải: a)Sai. Ngay cả với ma trận giống nhau. Đúng phải là det  xA  x 2 det  A  b) Sai. Ví dụ đơn giản A = I, B = -I. Bài 04.01.1.012 Cho A,B là ma trận vuông thực cấp 2001 thỏa mãn A2001  0 A và AB  A  B . Chứng minh: det(B) = 0 Lời giải: Từ giả thiết A2001  0  A2001  E 2001   E   A  E   A2001  A1999  ...  A  E    E  A  E  0  A  E không suy biến. Mặt khác từ: AB  A  B   A  E  B  A Suy ra rank  B   rank  A vì det  A  0  rank  A  2000  rank  B   2000  det  B   0 (dpcm) Bài 04.01.1.013 Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A2003  0 . Chứng minh rằng với mọi nguyên dương n ta luôn có: rank  A  rank  A  A2  A3  ...  An  (1) Lời giải: Đặt B  E  A  A2  ...  An 1 Dễ có: AB  A  A2  A3  ...  An Do đó để chứng minh (1) ta chỉ cần chứung minh det  B   0 Thật vậy ta có: B  A  E   An  E vì A2003  0  An 2003  E n 2003   E    An  E   A n  2002   ...  E   E  det  An  E   0  det  B  A  E    0  det B  0 Vậy rank  A  rank  A  A2  A3  ...  An  Bài 04.01.1.014 Tìm a thỏa mãn : 1 3 4   4 3 6  7 12 6  a    0 1 1   6 4 2  2 1  1       Lời giải: 7 12 6  1 3 4   4 3 6   a  6 4 2  2 1 1   0 1 1         a 3a 4a   4 3 6     0 1 1  2 a a  a      4  a 3  3a 6  4a   1 a 1  a   2a a3 Bài 04.01.1.015 Tìm a thỏa mãn: 3 1 4 1 2 1  a  2 0    3 2   1 2        1 4   0 1   2 6  Lời giải: 2 1   3 1   4 1   3a a   4 1  3a  4 a  1  1 2   a  2 0    3 2    2a 0    3 2   2a  3 2               2 6  1 4   0 1   a 4a   0 1   a 4a  1 a  2   7  không có a thỏa mãn. a   4 Bài 04.01.1.016 Tìm a, b thỏa mãn: 1 2   2 1  1 4 a  b   3 1   6 1  4 1       Lời giải:  1 4 1 2  2 1  a  2b 2a  b  Có :   a  b      4a  3b a  b  6 1 4 1 3 1         Ta có hệ: a  2b  1  2a  b  4 a  3    4a  3b  6 b  2 a  b  6 Bài 04.01.1.017 1 0 0  Cho ma trận A  0 2 0 .   0 0 3 Tìm A2 , A3 , A4 . Tìm dạng tổng quát của An với mọi n nguyên dương. Lời giải: 1 0 0  1 A2   0 2 0   0   0 0 3  0 1 0 3 2 A  AA  0 2  0 0 0 0  1 0 0  2 0   0 4 0     0 3  0 0 9  0  1 0 0  1 0 0  0  0 4 0   0 8 0      3 0 0 9  0 0 27  1 0 0  1 0 0  1 0 0  A  AA  0 2 0  0 8 0   0 16 0       0 0 3 0 0 27  0 0 81 4 3 1 0 Dễ dàng nhận thấy dạng tổng quát A  0 2n  0 0 0 0  với mọi n nguyên dương  3n  n Bài 04.01.1.001 Tính định thức D  a b c 1 b c a 1 c a b 1 bc 2 ca 2 ab 1 2 Lời giải: D abc b c 1 bca c a 1  cab 1  a b 1 a b c 1 b c a 1 c a bc 2 ca 2 b ab 1 2 c1c 3 c 2 c1 abc ca 2 ab 1 2 1 b c 1 1 c a 1 a b 1  0 do có 2 cột giống nhau.  a  b  c 1 1 ca 2 ab 1 2 Bài 04.01.1.002 2 3 4 1 Tính định thức D  4 2 3 a b 3 1 4 2 c d 3 Lời giải: 2 3 4 1 Có: D  4 2 3 2 d3  (1)3 1  a M 31  b M 32  c M 33  d M 34  c d a b 3 1 4 3 3 4 1 M 31  2 3 2  27  8  8  3  24  24  8 1 4 3 2 4 1 M 32  4 3 2  18  24  16 – 9 – 16 – 48  15 3 4 3 2 3 1 M 33  4 2 2  12  18  4  6  4  36  12 3 1 3 2 3 4 M 34  4 2 3  16  27  16  24  6  48  19 3 1 4 Vậy D  8a  15b  12c  19d Bài 04.01.1.003 Tính định thức D  5 a 2 1 4 b 4 3 2 c 3 2 4 d 5 4 Lời giải: Có: D  5 a 2 1 4 b 4 3 2 c 3 2 4 d 5 4 c2    1 2 1  a M 21  b M 22  c M 23  d M 24  4 4 3 M 12  2 3 2  48  32  30  36  40  32  2 4 5 4 5 2 1 M 22  2 3 2  60  16  10  12  50  16  8 4 5 4 5 2 1 M 32  4 4 3  80  24  20  16  75  32  1 4 5 4 5 2 1 M 42  4 4 3  40  12  12  8  45  16  5 2 3 2 Vậy D    2a  8b  c  5d   2a  8b  c  5d Bài 04.01.1.004 1 Tính định thức D  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Lời giải: 1 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 2  d 1 d 2 d 3  d 1 d 3 d 4  d 1 d 4   1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2  1  (2)  (2)  (2)  8 Bài 04.01.1.005 0 1 1 1 Tình định thức D  1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Lời giải: 0 1 1 1 D 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 c1 c 2   1 1 1 0 1 1  1  1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1   1  1  1  3 d 3  d 1 d 3   d 4  d 1 d 4 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 Bài 04.01.1.006 Tình định thức D  2 5 1 3 7 1 4 3 9 2 7 4 6 1 2 2 Lời giải: D 2 5 1 3 7 1 4 3 9 2 7 4 6 1 2 2  1  1 1 2 c1 c 3   1 5 2 1 7 3 4 2 9 3 7 1 6 4 2 1 6 1 3    3  12  6  12   3 2 0 Bài 04.01.1.007 Tình định thức D  Lời giải: 3 3 5 8 3 2 4 6 2  5 7 5 4 3 6 5 2 d 2  d 1 d 2 d 3 2 d 1 d 3 d 4  d 1 d 4   1 5 2 0 2 1 6 0 1 1 3 0 1 2 2 0 D 3 3 5 8 3 2 4 6 2 5 7 5 4 3 5 6 2 4 12  1   5  7 3 d 1 d 4  d 1  0 0 2 3 2 4 6 2 5 7 5 4 3 6 5 2 6 9  1  2   5  7 9 1 14 5 1 3 1 0 0 2 0 2 4 12 0 5 7 0 3 1 4 0 4 0 7 1 9 d 2 3 d 1 d 2 d 3  2 d 1 d 3 d 4 4 d 1 d 4   5 9 14 14 5  2  98  54  150  126  45  140   2   9   18 Bài 04.01.1.008 Tình định thức D  3 9 3 6 5 8 2 7 4 5 3 2 7 8 4 5 Lời giải: D 3 9 3 6 5 8 2 7 4 5 3 2 7 8 4 5 7 1 d 1 d 3  d 1 d 2  d 3 d 2   d 4  d 3  d 4 1 4 0 4 1 3 1 5 4 5 3 2 3 3 1 3 9  1 21 3 18 15 1 15  315  270  189  405  126  315  18 d 2  d 1 d 2 d 3 4 d 1 d 3   d 4 3 d 1 d 4 0 21 3 18 0 15 1 15 Bài 04.01.1.009 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 Tình định thức D  1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 Lời giải: 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 D 1 2 1 0 0 2 0 1  1 1  1  1 0 1 0 2 0 0 2 1 4 1 1 1 1 1 0 1 2 3 1 h 2 2 h1 h 2   h 4  h1 h 4 1 h 3  h1 h 3 h 4  h1 h 4 h 5  h1 h 5 1 2 0 2 3 1 0 2 1 4 0 1 2 4 2 3 1  1 2 1 4 1 2 4  8  12  4  1  16  24  1 Bài 04.01.1.010 0 0 5 0 0 0 2 0 2 0 Tình định thức D  1 3 18 6 2 4 17 9 15 2 19 20 24 3 5 Lời giải: 0 1 1 2 1 2 0 1 1 0 2 1 4 1 2 3 0 0 0 5 0 0 1 3 18 6 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 D 1 3 18 6 h1 h 3  0 2  0 5 0 0 4 17 9 15 2 17 9 19 20 24 3 4 5 19 20 24 1 3 18 6 2 0 2 0 2 0 h 4 4 h1 h 4   0 h 5 19 h1 h 5 0 5 0 0  1  0 5 63 9 6 2 2  (1) 2 1 0  9 6  5 M 22   5  5 37 117 33  5  594  444  1404  330   5  36  180 Bài 04.01.1.011 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 Tình định thức D  0 0 0 5 3 7 9 0 2 3 7 0 0 3 15 Lời giải: 3 5 2 0 2 0 0 5 0 0 5 63 9 6 37 318 117 33 0 37 318 117 33 h2 15 2 1 2 1 4 10 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 0 5 1 1 7 D 0 5 3 7 h 2  h1 h 2 0 9  5 3 7 9  1 0 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 0 3 15 0 0 0 3 15 5 1 1 7 h 2  h1 h 2   0 2 6 16 0 2 3 7 h 3  h 2  h 3   0 0 3 15 5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0 3 5 1 1 7 5 3 7 9 0 2 3 7 0 0 3 15 h 4  h3 h 4  15 5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0 0 6  5  2  (3)  6  180 Bài 04.01.1.012 7 Tình định thức D  3 2 6 8 9 4 9 7 2 7 3 5 3 3 4 Lời giải: 7 D 3 2 6 8 9 4 9 7 2 7 3 7 h 2  h1 h 2 h 3  h1 h 3   h 4  h1 h 4 5 3 3 4 1 12 h 2 7 h1 h 2 h 4  2 h1 h 4   2 2 6 1 12 2 3 0 5 5 3 2 6 1 2 3 12 15 0 87 0 5 5 3 0 30 5 4 3 87 1 h1 2   12 15 12 2 3 7 3 2 0 5 5 3 2 6 1 2 29 6 4 5  1   5 5  3  3   5 5 3 30 5 4 30 5 4  3  580  360  125  750  435  80   3  (50)  150 Bài 04.01.1.013 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 Tính định thức D  0 0 0 5 3 7 9 0 2 3 7 0 0 3 15 Lời giải: 1 2 1 4 10 1 2 1 4 10 1 3 2 5 3 0 5 1 1 7 D 0 5 3 7 d 2  d 1 d 2 0 9  5 3 7 9  1 0 0 2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 0 3 15 0 0 0 3 15 5 1 1 7 d 2  d 1 d 2   0 2 6 16 0 2 3 7 d 3  d 2  d 3   0 0 3 15 5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0 3 15 5 1 1 7 5 3 7 9 0 2 3 7 0 0 3 15 d 4  d 3 d 4  5 1 1 7 0 2 6 16 0 0 3 9 0 0  5  2  (3)  6  180 Bài 04.01.1.014 a b Tính b c c a trong đó a, b, c là nghiệm của phương trình x3  px  q  0 a b c Lời giải: Theo định lí Vi-et ta có: a  b  c  0 0 6 Cộng cột 1, cột 2 vào cột 3 ta có: a b abc a b c b c a  b c a b c a b 0 c bca  b c a cab a 0 c 0 0 Bài 04.01.1.015 a1  b1 b1  c1 c1  a1 Tính a2  b2 a3  b3 b2  c2 c2  a2 b3  c3 c3  a3 Lời giải: a1  b1 b1  c1 c1  a1 2a1 b1  c1 c1  a1 c1 c 2  c 3  c1 a2  b2 b2  c2 c2  a2  2a 2 b2  c2 c2  a2 a3  b3 b3  c3 c3  a3 c3  a3 a1 b1  c1 c1  a1 a1 b1  c1 c1  2 a2 b2  c2  c1 c 3  c 3 c2  a2  2 a2 b2  c2 c2 a3 b3  c3 c3  a3 b3  c3 c3 2a 3 a3 a1 b1 c1   2 a2 b2 c2 a3 b3 c3  c 3 c 2 c 2 b3  c3 Bài 04.01.1.016 Tính định thức Lời giải: 1  a1 a2 a3 an a1 1  a2 a3 an a1 a2 1  a3 an a1 a2 a3 1  an