Tài liệu Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHƯƠNG I- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  A - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 1) 2) 3) 4) 5) 6) BC 2  AB 2  AC 2 AC 2 CH .BC AB 2 BH .BC AH 2 HB.HC AH .BC  AB. AC 1 1 1   2 2 AH AC AB 2 A c b' c' B b h H a a2 = b2 + c2 b2 = a.b c2 = a.c h2 = b.c h.a = b.c 1 1 1 6) 2  2  2 h b c 1) 2) 3) 4) 5) C 1.1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC, BC, AH, BH, CH hãy tính độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết: a) AB = 15cm; BC = 25 cm b) BH = 18 cm; CH = 32 cm c) AB = 6 cm; BH = 3,6 cm d) AC = 12 cm; AH = 7,2 cm e) AH = 7,2 cm; CH = 9,6 cm f) BC = 25cm; AH = 12cm (AB AC) có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Chứng minh:  cot B  cot C HAC HC   a) tan MAH b) tan  2 2 AH  AC 1.84 ChoABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 8cm. a) Tính BC và diện tích ABC. b) Gọi I là trung điểm của AC. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HI tại K. Chứng minh: AKCH là hình chữ nhật. c) Đường thẳng BI cắt AH tại G và cắt CK tại M. Cmrằng : i. BGH  BMC ii. BG . BC = BM . BH 2 2 2 d) Chứng minh : BG + AH = AC + GH2.  900 ). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ MK  BC tại K. Biết 1.85 Cho hình thang ABCD ( A D AB = 9cm, BC = 25cm, CD = 16cm. a) Tính AD, MB, MC. b) Chứng minh : MBC vuông tại M. c) Tính MK và diện tích MKC. 1.86 Các đường cao của ABC có ba góc nhọn cắt nhau tại H. Trên các đoạn HB, HC lấy điểm M và N sao cho AMC  ANB 900 . Chứng minh : AM = AN. 1.87 Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh: a) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A 1 b) t anA  tan B  tan C t anA.tan B.tan C 1 c) S ABC  AB. AC.sin A 2  1.88 Cho ABC đều, gọi O là trung điểm của cạnh BC, xOy 600 có cạnh Ox, Oy luôn cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh : a) OBM NOC suy ra OB2 = BM . CN   b) OBM ONM suy ra MO, NO lần lượt là tia phân giác BMN và CNM . 1 c) BM . CN = BC2. 4 1.89 Cho ABC cân tại A có H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của H lên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh : a) BIC AOH b) AO  BI 1.90 ChoABC cân tại A có đường cao AH, BK. Chứng minh : 1 1 1  2 . 2 BK BC 4 AH 2 F.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN A: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO 1.1 a) Tính AC,CH,BH,AH? +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có : AC 2 BC 2  AB 2 252  152 400 202  AC 20(cm) +) Áp dụng hệ thức lượng ta có: *) AC2= BC.CH 202= 25 . CH  CH = 400: 25 = 16(cm) *) BH = BC – CH = 25 – 16 = 9(cm) *) AH.BC = AB . AC AH . 25 = 15. 20  AH = 300: 25 = 12(cm) b) Tính BC, AH, AB, AC? *)Ta có : BC = BH + CH = 18 + 32 = 50 (cm) *) AH2 = BH. CH = 18.32 = 576  AH = 24 (cm) *)AB2 = BC . BH = 50. 18 = 900  AB = 30(cm) *)AC2 = BC. CH = 50. 32 = 1600  AC = 40(cm) c) Tính CH, BC, AC, AH? +) AB2 = BC . BH 62 = BC . 3,6  BC = 36 : 3,6 = 10(cm) +)CH = BC - BH = 10 – 3,6 = 6,4(cm) +) AH2 = BH. CH = 3,6. 6,4 = 4,8(cm) +) AC2 = BC . CH = 10 . 6,4 = 64  AC = 8(cm) d) Tính AB, BC, BH, CH? HC 2  AC 2  AH 2 122  7, 22 92,16 9, 62 +)  HC 9, 6(cm) +) AH2 = BH. CH 7,22 = BH.9,6  BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81  AB = 9(cm) e) Tính AB, AC, BH, BC? +) AH2 = BH. CH 7,22 = BH.9,6  BH = 5,4(cm) +) BC = BH + HC = 5,4 + 9,6 = 15(cm) +) AB2 = BC . BH = 15. 5,4 = 81  AB = 9(cm) +) AC2 = BC . CH = 15 . 9,6 = 144  AC = 12(cm) f) Tính AB,AC,BH,CH? Đặt BH = x , CH = y ( ĐK : x < y vì AB< AC) +) BC = BH + CH  x + y = 25  x = 25 – y +)Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH2 = BH. CH  x. y = 144  (25 – y).y = 144 y 2  25 y  144 0  x1 9; x2 16  y1 16; y2 9 Vì x < y nên x = 9; y = 16 hay BH = 9(cm); CH = 16(cm) +) AB = BC . BH = 25. 9 = 225  AB = 15(cm) +) AC2 = BC . CH = 25 . 16 = 400  AC = 20(cm) 2 1.2 Ta có BC = BD + DC = 15 + 20 = 35(cm) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có : AB BD 15 3 AB AC AB 2 AC 2 AB 2  AC 2 BC 2 352           49 AC DC 20 4 3 4 9 16 9  16 25 25 ( Định lý pytago và dãy tỉ số bằng nhau)  Do đó AB = 9 . 49 AB = 21 (cm) 2  AC = 16.49 AC = 28(cm) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: +) AH.BC = AB . AC 21.28 16,8 (cm) AH . 35 = 21 . 28  AH = 35 +) AB2 = BC . BH 212 = 35 . BH  BH = 12,6(cm) Vì BH < BD nên H nằm giữa B và D  HD = BD – BH = 15- 12,6 = 2,4 (cm) +) Áp dụng định lý pytago vào tam giác AHD vuông tại H ta có : 2 AD  AH 2  HD 2  16,82  2, 42 12 2 (cm) 1.3 Giả sử theo gt tam giác ABC vuông tại A có BC – AB = 1 (1) và AB +AC – BC = 4 (2) Từ (1)  BC = 1 + AB thay vào (2) ta được : AB + AC – 1 – AB = 4 Do đó AC = 5 (cm) Mặt khác theo định lý py-ta-go ta có : BC 2  AB 2  AC 2 25  ( BC  AB ).( BC  AB ) 25 Thay BC – AB = 1  BC+ AB = 25 (3) Từ (1) và (3) ta có : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm) Vậy : BC = 13 (cm) ; AB = 12 (cm); AC = 5 (cm) 1.4 A B C H Giả sử tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH vuông góc với BC Theo GT ta có BH = 1; HC = 2  BC = BH + HC = 1 + 2 = 3 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: +) AB2 = BC . BH = 3.1 = 3  AB = 3 +) AC2 = BC . CH = 3. 2= 6  AC = Vậy AB = 3 ; AC = 6 6 ; BC = 3 1.5 A B H C Giải: Cách 1:Xét ∆ABC vuông tại A có AB < AC ; AH = 2; BC = 5 Đặt BH = x ( Điều kiện 0 < x < 2,5 )  HC = 5 - x Theo định lý 2: BH . CH = AH2  x  5  x  22  5 x  x 2 4  x 2  5 x  4 0  x  1 0  x 1   x  1  x  4  0     x  4 0  x 4 x = 1 ( thỏa mãn); x = 4 ( không thỏa mãn) Theo định lý 1 ta có: AB 2 BC.BH 5.1 5  AB  5 Cách 2 Giả sử tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có BC = 5cm, AH = 2 cm Đặt AB = x ; AC = y ( ĐK: x >0; y > 0) *) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: AH.BC = AB . AC  x . y = 10 (1) Áp dụng định lý pytago ta có x 2  y 2 25  ( x  y )2  2 xy 25  ( x  y )2  2.10 25  ( x  y )2 45  x  y 3 5  x 3 5  y Thay x = 3 5  y vào (1) ta có : ( 3 5  y ).y = 10  y 2  3 5 y  10 0 y1 2 5; y2  5 Từ đó x1  5; x2 2 5 Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông là 1.6 5 Xét ∆ABC vuống tại A có AB:AC=3:4 và BC = 125cm A B H Ta có AB:AC=3:4  C AB AC  k ( với k > 0) 3 4  AB = 3k; AC= 4k ∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 (3k)2 + (4k)2 = 1252  9k 2  16k 2 15625  25k 2 15625  k 2 625  k 25 ( vì k > 0) AB = 3.25 =75cm; AC = 4.25 =100cm Theo định lý 1: AB 2 752 AB BC.BH  BH   45cm BC 125 CH = BC - BH=125 - 45 = 80cm 2 1.7 A C H B AB 5 AB AC    k ( với k > 0) AC 6 5 6  AB = 5k; AC= 6k ∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 (5k)2 + (6k)2 = BC2 Ta có  25k 2  36k 2 BC 2  BC 2 61k 2  BC k 61 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH  5k .6k k 61.30  k  61 AB 5 61 (cm); AC 6 61 ( cm) BC  61. 61 61 Theo định lý 1:  5 61 AB 2 AB 2 BC.BH  BH   BC 61 CH = BC - BH=61 - 25 = 36 cm  2 25cm 1.8 A B H C AB 3 AB AC    k ( với k > 0) AC 7 3 7  AB = 3k; AC= 7k ∆ABC vuông tại A. Theo định lý Py ta go ta có: AB2 + AC2 = BC2 (3k)2 + (7k)2 = BC2 Ta có  9k 2  49k 2 BC 2  BC 2 58k 2  BC k 58 Theo định lý 3: AB.AC = BC.AH  3k .7k k 58.42  k 2 58 AB 6 58 (cm); AC 14 58 (cm) BC 2 58. 58 116 (cm) Theo định lý 1: AB 2  6 58  BC.BH  BH  2 116 CH = BC - BH=116 - 18 = 98 cm 1.9: Giải: A D B C 18cm