Tài liệu Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải p2

Chuyên đề : Chuỗi số và chuỗi hàm 2 Bài 01.04.1.111.A.127 Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc trong khoảng cho trước : Lời giải: Ta có : liên tục trong khoảng  0,1 Lại có :  1  0  1 Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0 Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình : Bài 01.04.1.112.A.127 Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc trong khoảng cho trước : 1 Lời giải: Ta có : tương đương với phương trình : liên tục trong khoảng  0,1  Lại có :  2  0  e  1 Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0 Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình : Bài 01.04.1.113.A.127 Sử dụng các định lý giá trị trung gian để chỉ ra rằng có 1 phương trình gốc trong khoảng cho trước : Lời giải: Ta có : 2 tương đương với phương trình : liên tục trong khoảng 1,2  Lại có :  sin1  0  sin 2  2 Như vậy tồn tại 1 số c trong 1,2  để f  c   0 Vậy có tồn tại phương trình gốc của phương trình : Bài 01.04.1.114.A.127 (a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực (b) Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực Lời giải: (a) Ta có : liên tục trong khoảng  0,1 Lại có : 3  0.46  0  1 Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0 Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình : trong khoảng  0,1 (b) Ta có : Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng  0.86,0.87  Bài 01.04.1.115.A.127 (a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực (b) Sừ dụng máy tính để tính 1 khoảng độ dài 0.01 chứa nghiệm thực Lời giải: (a) Ta có : liên tục trong khoảng 1,2 Lại có : 4  1  0  1.7 Như vậy tồn tại 1 số c trong 1,2  để f  c   0 Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình : trong khoảng 1,2  (b) Ta có : Như vậy nghiệm thực nằm trong khoảng 1.34,1.35 Bài 01.04.1.116.A.127 (a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực (b) Sừ dụng đồ thị của bạn để tính chính xác giá trị nghiệm thực đến 3 chữ số thập phân Lời giải: (a) Ta có : Lại có : 5 Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,100  để f  c   0 Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình : trong khoảng  0,100  (b) Đồ thị hàm số : . Sử dụng đồ thị hàm số trên , ta có thể tính chính xác nghiệm thực của phương trình là : Bài 01.04.1.117.A.127 (a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực (b) Sừ dụng đồ thị của bạn để tính chính xác giá trị nghiệm thực đến 3 chữ số thập phân 6 Lời giải: (a) Ta có : Lại có : Như vậy tồn tại 1 số c trong  0,1 để f  c   0 Vậy có tồn tại nghiệm của phương trình : trong khoảng  0,1 (b) Đồ thị hàm số : Sử dụng đồ thị hàm số trên , ta có thể tính chính xác nghiệm thực của phương trình là : Sử dụng đồ thị hàm số trên , ta có thể tính chính xác nghiệm thực của phương trình là : 7 Bài 01.04.1.118.A.127 Chứng minh rằng f liên tục tại a khi và chỉ khi : Lời giải:  Ta có : nếu f liên tục tại a , dựa vào định luật 8 với g  h   a  h suy ra :    Ta lấy  0 Từ :  tồn tại   0 để cho : Bởi vậy nếu : Ta có : Như vậy : 8 và bởi vậy f liên tục tại a Bài 01.04.1.119.A.127 Chứng minh rằng sine liên tục , chúng ta có : với mọi số thực a. Bằng ví dụ bài trên tương đương là : Lời giải: Ta có : Bài 01.04.1.120.A.127 Chứng minh rằng cosine liên tục . Lời giải: Như ví dụ trên , chúng ta phải biểu diễn : để chứng minh rằng cosine liên tục. 9 Ta có : Bài 01.04.1.121.A.127 Tìm giá trị của x để f liên tục Lời giải: Ta có : là liên tục Lấy số  và   0 trong khoảng hợp lý và những số hợp lý. Từ đó : bao gồm cả những số không f a  0 f a  1  có vô hạn số x với : 10 Bởi vậy : Bài 01.04.1.122.A.127 Tìm giá trị của x để f liên tục Lời giải: Ta có : là liên tục tại 0 Ta chú ý rằng : bởi vậy sử dụng định lý Squeeze ta có : Nhưng g cũng liên tục . bởi vậy nếu : a0  0 11 trong khoảng những số hợp lý. Từ đó : hoặc bao gồm cả những số không hợp lý và g a  0 g a  a  có vô hạn số x với : Bởi vậy : Bài 01.04.1.123.A.127 Nếu a và b là các số dương , chứng minh rằng phương trình : có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng  1,1 Lời giải: Ta có : Lấy p  x  biểu thị phía bên trái của phương trình. Từ đó p liên tục trong khoảng  1,1 Lại có : 12  tồn tại 1 giá trị c trong khoảng  1,1 để p  c   0 Như vậy xc Bài 01.04.1.124.A.127 Chúng minh hàm số : liên tục trên  ,   Lời giải: Ta có : là liên tục trên  ,0    0,   vì là tích của một đa thức và hàm lượng giác . Lại có : ta có: vì : 13 1   lim  x 4 sin   0 x0 x  Như vậy hàm f liên tục tại 0 , cũng như trên  ,   Bài 01.04.1.125.A.127 (a) Chứng minh hàm giá trị tuyệt đối F  x  x là hàm liên tục. (b) Chứng minh rằng nếu f là hàm số liên tục trong một khoảng thì đó là f (c) Kết quả của phần (b) có luôn đúng không ? Trong trường hợp khác , nếu f là liên tục , điều đó có nghĩa là f liên tục hay không. Nếu không, hãy đưa ví dụ. Lời giải: (a) Ta có : nên : suy ra : F liên tục tại x  a nếu a  0 Với : a  0 Với : a  0 14 Như vậy : (b) hàm f liên tục tại x  a , cũng có nghĩa là liên tục trên  ,   Giả sử f liên tục trên khoảng I. trong đó a  I Như vậy : f liên tục trên I (c) không, nhận định đó là sai. Ví dụ : hàm số : là không liên tục tại x  0 nhưng : là hàm liên tục trên R Bài 01.04.1.126.A.140 (a) Đồ thị hàm y  f  x  có thể cắt tiệm cận đứng ? Có thể cắt tiệm cận ngang ? Vẽ đồ thì phác họa. (b) Đồ thị hàm số y  f  x  có thể có bao nhiêu tiệm cận ngang ? 15 Vẽ đồ thị phác họa Lời giải: (a) Đồ thị của 1 hàm số có thể cắt 1 tiệm cận đứng theo định nghĩa , và không vượt quá nó. Đồ thị của 1 hàm số có thể cắt 1 tiệm cận ngang. Nó thậm chí có thể cắt tiệm cận ngang của nó vô số lần. 16 (b) Đồ thị của 1 hàm có thể có 0,1 hoặc 2 tiệm cậng ngang. Ví dụ minh họa như sau: 1, Không có tiệm cận ngang nào 2, có 1 tiệm cận ngang 17 3, có 2 tiệm cận ngang Bài 01.04.1.127.A.140 Cho hàm số f như đồ thì dưới , hãy tìm : 18 (e) Phương trình tiệm cận đứng. Lời giải: (e) Theo chiều dọc : Tiệm cận ngang là : 19 Bài 01.04.1.128.A.140 Cho hàm số f như đồ thì dưới , hãy tìm : (f) Phương trình tiệm cận ngang. Lời giải: 20