Tài liệu Bài tập chuỗi số và chuỗi đan dấu có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi đan dấu Dạng 1: Sử dụng các tiêu chuẩn so sánh I, tiêu chuẩn so sánh II, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy và tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của chuỗi số.  Bài 03.04.1.001.B182 1  ln n n 7 n Lời giải:Vì ln n >2  n>7 nên 1 1  2 và ta có chuỗi ln n n n  1 n n 7 2 là chuỗi hội tụ( có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân để chứng minh chuỗi này hội tụ ). Do vậy, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.  Bài 03.04.2.002.B182 n e 2  n n 1 Lời giải: Để giải bài này, ta không thể dung các tiêu chuẩn so sánh thường để giải được, ta cần biến đổi nó theo một hàm nào đó: Ta thấy e  n  2   1  0( n ) khi n   (   0 )=>  an   n 1 n 1 n ao 2 2 Hội tụ nếu hệ số ao  6 . Do đó, theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu hội tụ. 2n  n 2  n n 1 3  n  Bài 03.04.3.003.B183 Lời giải: ta xét giới hạn sau:  n  (n  1)2 1 n  2   n  2  (n  1) an 1 3 n   3   2 1 2 lim  lim  n 1  n  lim    2  2 x  a x   3  (n  1) 2  n  x   3  n  1 1  n  3 n  3n  2n   n 1 2 n Như vậy , theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ.  2n n 1 n  1 Bài 03.04.4.004.B184  Lời giải: Ta xét an  2 2n ta đưa n về ẩn x và ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân để n 1 2 làm, mục đích là để chứng minh rằng hàm f(x) thu được liên tục đơn điệu giảm trên nửa trục dương:   1 2x 2x d ( x 2  1) d x  lim d x  lim  ln()  ln 2   A  x 2  1 x   x2  1 x2  1 1 1 A A Từ kết quả của tích phân trên, ta thấy được tích phân trên phân kì, từ đó chuỗi ứng với tích phân đó cũng sẽ phân kì. Chuỗi ban đầu phân kì .  Bài 03.04.5.005.B182  n 1 1 n(n  1) Lời giải: Gặp những hàm kiểu dạng thế này, đơn giản nhất là dựa và tính chất của hàm và so sánh: 1 1  . Xét chuỗi n( n  1) n  1  1 là phần dư sau số hạng của chuỗi điều hòa  n 1 n  1 nên nó phân kì. Do vậy, chuỗi ban đầu cũng phân kì.  Bài 03.04.6.006.B183 ( n !) 2  n 1 (2 n )! Lời giải: Để làm bài này, ta có thể dùng được 2 cách giải theo 2 tiêu chuẩn D’Alembert và Cauchy +) Giải theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta xét giới hạn sau: an 1 (n  1) 2 1  lim  1 x  a x  (2n  2)(2n  1) 4 n lim Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ. +) Giải theo tiêu chuẩn Cauchy, ta xét bất đẳng thức sau:  1 n n 1 2 n 2 2 e   n n n ( n !) e n n 2       2  2    n !  e   => 1 4 e  2  2n  ((2n)!) n    e  2 n 2 n 2 e Do vậy, lim an     1 . x  4 n Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta cũng thu được chuỗi trên hội tụ. (n  1) n  n n 1 n 1  Bài 03.04.7.007.B182 Lời giải: Để làm những bài chuỗi dạng này, các bạn nên đơn giản hóa biểu thức an của nó hoặc là đem biểu thức an đi so sánh với 1 biểu thức khác. 1 1 (n  1)n 1  1   1 khi n   an  n1  1   . Xét giới hạn: lim 1    => an ~ x  e ne n n n  n n n  1 1  1 Mà chuỗi    có: e n 1 n n 1 ne - Là chuỗi điều hòa có n chạy từ 1 đến vô cùng. - Mọi hằng số nhân với chuỗi thì không làm thay đổi tính chất hội tụ của chuỗi. Do vậy, chuỗi ban đầu phân kì.  Bài 03.04.5.008.B185 Chứng minh rằng chuỗi n2  (n  1) n 1 n hội tụ nhưng chuỗi phân kì. Lời giải: ta xét hàm an an  n2 1 ~ an  0 (Vô cùng lớn tương đương)=> lim x  n  (n  1) n n k  1, 2,3,..., n ta có ak  k 2 1 1   k n (k  1) k thỏa mãn điều kiện cần n Và do vậy: Sn   ak  n. k 1 1  n   khi n   n Do đó chuỗi ban đầu phân kì .  Bài 03.04.4.009.B184 1  n ln n2 p n Lời giải: Đây là dạng tôeng quát không của 1 bài toán chuỗi nào cụ thể, ta có thể thay đổi p bất kì để tạo ra các bài toán khác nhau. Như vậy, để giải được bài này thì ta cần xét các khoảng của p sao cho để chuỗi hội tụ hoặc phân kì. Ta đặt: f ( x)  1 , p  2, x  2 . Hàm f(x) thỏa mãn mọi điều kiện của dấu hiệu x ln p n tích phân.  Xét  2 dx  x ln p x   2  d (ln x) dt = p p ln x t ln 2 hội tụ khi p>1và phân kì khi 0

1 và phân kì khi 0

Chuỗi đã cho cũng hội tự theo tiêu chuẩn tích phân Bài 03.04.7.020.T006  ln(n  1) n 1 4 5  n Lời giải: tương tự như bài trên , ta cũng xét tích phân   1 ln( x  1) 4 x5 dx Đặt u  ln( x  1) 1 dv  dx 4 x5 1 dx x 1   4 v 4 x Xét tích phân A2  du    4 1 dx  x ( x  1)   1   ln( x  1) 4 1 x 5 dx , mà x4 x dx =  4 ln( x  1) 4 x    4  1 1 4 dx x ( x  1) dx là tích phân hội tụnên tích phân 4 x x 1 còn lại cũng hội tụ. Từ đó, chuỗi ban đầu hội tụ.  Bài 03.04.7.021.T006 n 1 Lời giải: Do n      n ln 1  arctan  2 n3 2     2 n3   0 hay arctan 2  2 n3 ~ 2  2  2  ln 1  ~ 3  3  4n3  4n  4n 2 Mà chuỗi  3 là chuỗi hội tụ.Vậy chuỗi ban đầu cũng hội tụ. n 1 4 n   Bài 03.04.7.022.T006 1  n  1  ln n n 1 Lời giải: ta thấy n  1  ln n  n  1 n   1 1 . Mà chuỗi   n  1  ln n n  1  1  n 1 là chuỗi phân kì ( có mẫu lớn hơn chuỗi điều n 1 hòa 1 đơn vị ). Vậy chuỗi ban đầu phân kì.  1 1 n 1 arcsin  ln n n Bài 03.04.7.023.T006  Lời giải: Xét hàm U n  VCB 1 1 1 ~ (do n   thì  0 nên ta áp dụng được VCB n  1 1 n arcsin  ln n  ln n n n Ta có: n   ì 1 1 1 . Mà chuỗi  ln n  1  n   1 n 1  n  ln n n  1  n 1 là chuỗi phân kì. Nên n 1 chuỗi ban đầu cũng phân kì. 1   1  Sin  n n n 1  Bài 03.04.7.084.T006   Xét hàm U n  Lời giải: Xét giới hạn 1 1 1  Sin . Chọn hàm Vn  n n n n 1 1  Sin Un t  Sin t t3 1 n n lim  lim  lim  lim 3   0 n  V n  t 0 t 0 6t 1 t3 6 n n n  2 chuỗi có cùng 1 tính chất hội tụ hoặc phân kì  Mà chuỗi n n 1 1 n là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ.  n !2n Bài 03.04.4.024.T008  n n 1 n an1 (n  1)!2n1 n n (n  1)n !2n.2.n 2 2  lim . n  lim  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn: lim n n n n  a n  ( n  1) n 1 n  n  n !2 (n  1) (n  1).n !.2  1 e n 1    n n Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này hội tụ. 32 n 1 Bài 03.04.4.025.T008  n n 1 4 ln( n  1)  Lời giải: Xét giới hạn lim n  an 1 32 n 3.4n.ln( n  1) 32 ln( n 1) 3 2  lim 2 n 1 n 1  lim  1 an n 3 .4 .ln( n  2) n 4ln( n  2) 4 Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì.  7 n (n !) 2 Bài 03.04.4.026.T008  2 n n n 1 Lời giải: Xét giới hạn: lim n  an 1 7 n 1 ((n  1)!)2 n2 n 7 7  lim  lim 2  2  1 2 n  2 n 2 n  e an n (n  1) .7 .(n !) e Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuôi hội tụ. 22 n 1 Bài 03.04.4.027.T008  n n 1 5 ln( n  1)  Lời giải: Xét giới hạn lim n  an 1 22 n 5.5n ln( n  1) 22  lim n 1  1 an n 5 .ln( n  2).2 2 n 1 5 Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ.  n !3n Bài 03.04.4.028.T008  n n 1 n an 1 (n  1)!3n 1.n n 3  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn lim n  a n  ( n  1) n 1 n !.3n e n Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi hội tụ. 3n 2  2n  1 Bài 03.04.4.029.T008  n n 1 2 (3n  2)  Lời giải:Đặt U n  3n 2  2n  1 3n , Chọn hàm Vn  n n 2 (3n  2) 2 3n 2  2n  1 n VCL U Xét giới hạn: lim n  lim 2 (3n  2)  1  0 n  V n  3n n 2n Mặt khác: lim n   2 chuỗi có cùng tính chất bn 1 3(n  1).2n 1  lim n 1   1  chuỗi bn n 2 .3n 2  3n 2 n 1 n là chuỗi hội tự theo tiêu chuẩn D’Alembert , vậy nên theo tính chất bắc cầu thì chuỗi ban đầu cũng hội tụ. (2n  1)!! nn n 1  Bài 03.04.4.030.T008  Lời giải: Xét giới hạn: an 1 (2n  3)!!.n n (2n  3)(2n  1)!!.n n 2 2 lim  lim  lim  lim  1 n n  a n  ( n  1) n 1.(2 n  1)!! n  ( n  1) n ( n  1)(2 n  1)!! n  e  1 n 1    n Theo tiêu chuẩn D’Almbert thì chuỗi ban đầu hội tụ.  (2n)!! Bài 03.04.4.031.T008  n n 1 n Lời giải: Xét giới hạn: an 1 (2n  2)!!.n n 2(n  1).(2n)!!.n n 2  lim  lim  1 n  1 n n  a n  ( n  1) (2n)!! n (n  1) (n  1).(2n)!! e n lim Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ. n ! n Bài 03.04.4.032.T008  n n 1 n  Lời giải: Xét giới hạn: an 1 ( n  1)! n 1.n n   lim  lim  lim  1 n n  1 n n  a n  ( n  1) n  .n !. e 1  n 1    n  Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ. 2  Bài 03.04.4.085.T009 n n .5n  2 (n  1) n 1 n n2 Lời giải: Xét giới hạn: n n .5 5 1 5  lim  1 n n n  2( n  1) n  2 2e 1  1   n  lim n an  lim n  Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ. n2 Bài 03.04.4.033.T009    n 1  n  3   n ( n  4) Lời giải: Xét giới hạn:  n2 lim n an  lim   n n n  3   n4 e  n 2  lim ( n  4)ln   n  n 3  e  1  VCB  ( n  4) lim ( n  4)ln 1 lim  n  n 3  n n 3 e  e1  1 Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.  n3 Bài 03.04.4.034.T009    n 1  n  2   n ( n  4) Lời giải: Xét giới hạn:  n3 lim n an  lim   n n n  2   n4 e  n 3  lim ( n  4)ln    n2  n e  1  VCB lim ( n  4)ln 1   n2  n Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu phân kì. 2  Bài 03.04.4.035.T009 n n .5n  3 (n  1) n 1 n n2 Lời giải: Xét giới hạn: n n .5 5 1 5 lim an  lim  lim  1 n n n  n  3( n  1) n  3 3e 1  1   n  n Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ. e n4 n n  2 lim  e 1  2n 2  n  1  Bài 03.04.4.036.T009   3n 2  sin n  n 1    3 n  ln n Lời giải: Xét giới hạn:  2n 2  n  1  lim an  lim   2 n  n   3n  sin n  3 ln n n n e 2  3 n  ln n   2 n  n 1  lim    ln  n  n   3 n 2  sin n  e  3 n  ln n   2  L lim   ln   n  3  1  3   2  lim  n  ln   n  1   3       2 n  ln n   3  L lim   ln   n   4  1  2 n   3  lim   ln   n  1   4      n  e 3 8 2    1 27 3 Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ.  3n 2  n  1  Bài 03.04.4.037.T009   4n 2  cos n  n 1    2 n  ln n Lời giải: Xét giới hạn:  3n 2  n  1  lim an  lim   2 n  n   4n  cos n  n ln n 2 n  2 n  ln n   3 n  n 1  lim    ln  n   4 n 2  cos n  2 e n  e n  Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu hội tụ. 1 ln    n  Bài 03.04.4.086.T010 2 n 1 ( n  2)  Lời giải: Xét tích phân suy rộng A=  1 1 ln    x  dx ( x  2) 2 1 1 1 u  ln   ln     du  dx x 1 x   x dx  Đặt  A=      x( x  2) 1 x ( x  2) 1 1 1 dv  dx v x2 ( x  2) 2 e 2 9 3    1  4  16 A= 1 ln      1 1 1 1  x  x2  2 3 lim    0   dx      d x  ln  lim ln 1     3     x  x ( x  2) x  x( x  2) 2 1  x x2  x 1  x 1 1  Tích phân ta xét hội tụ nên theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi cùng hội tụ theo.  ln n Bài 03.04.4.038.T010  2 n  2 3n  Lời giải: Xét tích phân suy rộng A=  2 ln x dx 3x 2 1 dx x   1 dv  2 dx 1 v 3x 3x u  ln x Đặt  ln x A 3x 2 du       2 2 1  ln x ln 2 1 dx  lim   2 x  3x 3x 2 12 3x   2  ln 2 1  2 6 Theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.  Bài 03.04.4.039.T010 ln(n  1)  (n  3) n2 2  Lời giải: Xét tích phân suy rộng A=  2 u  ln(x+1) Đặt A dv   0   1 1 dx x 1 1 v x3 du   1 dx 2 ( x  3)  ln( x  1) x3 ln( x  1) dx (n  3) 2    1  1  ln( x  1) ln 2 1  x  3  dx  lim   ln   x  ( x  1)( x  3) x3 4 2  x  1  1 ln 2  ln 2  x3 1  lim ln   ln 2   4 x  x  1  2 4 Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi hội tụ.  n Bài 03.04.2.040.ĐC001  2 n 1 10n  1 Lời giải: Xét U n  n 1 , chọn Vn  . Xét giới hạn: 2 10n  1 10n n 2 Un lim  lim 10n  1  1  0  2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì như n  V x  1 n 10n  nhau. Mà chuỗi V n 1 n là chuỗi điều hòa nhân với 1 hằng số nên phân kì. Từ đó chuỗi ban đầu cũng phân kì theo TCSS II.  Bài 03.04.2.041.ĐC001 Lời giải: Xét U n   n2 n (n  1)(n  2) n n 1   V1n Với n  2  (n  1)(n  2) (n  1)( n  2) ( n  1)( n  2) 1 (n  1)(n  2) 1 V Xét V2 n  . Ta có giới hạn lim 1n  lim  1  0  2 chuỗi có cùng tính n  V n  1 n 2n n chất hội tụ hoặc phân kì.  Mà chuỗi  1 1  là chuỗi điều hòa nên nó phân kì cũng phân kì (   (n  1)(n  2) n2 n2 n theo TCSS II) Vậy theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu đã cho cũng là chuỗi phân kì.  1 n   Bài 03.04.2.042.ĐC001   2 n2  n  1   2  1 n  1 Lời giải: Xét U n   2  Với n  2  Xét hàm Vn  2 . Ta có giới hạn sau: n  n 1  2  1 n   2  U n 1  lim n  lim   1  0  2 chuỗi cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì. n  V n  1 n n2 2  Mà 1 n n2 2 là chuỗi hội tụ - ta dễ dàng tính được nó qua tiêu chuẩn tích phân. Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II 1.3.5...(2n  1) 22 n (n  1)! n2   Bài 03.04.2.043.ĐC001 Lời giải: Xét U n  1.3.5...(2n  1) . Ta có giới hạn: 22 n (n  1)! U n 1 1.3.5...(2n  1).22 n (n  1)! 2n  1 1 lim  lim 2 n  2  lim  1 n  U n  2 n  4n n !.1.3.5...(2 n  1) 2 n Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ.   Bài 03.04.2.044.ĐC001 n 3 1 n ln n ln  ln n    Lời giải: Xét tích phân  1  x ln x ln  ln x   3  2 2 dx   3 d ln  ln x   1  2 ln  ln x  ln  ln x   Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi trên hội tụ.  Bài 03.04.4.045.ĐC002  a   Cos n  n3 n 1 a  Lời giải: Đặt U n   Cos  n  n3 Xét giới hạn sau:   3  1 ln(ln 3) a  lim n U n  lim  Cos  n  n  n  n2 .Khi n    n2  a  lim 1  e 2  Ta được n  2 n   2 1 a VCB a2  0  Cos ~ 1  2 n n 2n  a2  lim n2 ln 1 2  VCB n  2n  e lim n2 . a2 2 n2 n e  a2 2 1 Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ.  1n  Bài 03.04.4.046.ĐC002  n  e  1 n 1    2 2  1n  Lời giải: Đặt U n  n  e  1 .   2 1 VCB  1n  1 1 1  n Khi n     0  e ~  n  e  1 ~ n   1  1  n n n n     Mà  1  n  n 1  n)    0 ( điều cận cần và đủ để chuỗi là chuỗi phân kì do lim(1 n  phân kì ) Vậy nên chuỗi ban đầu phân kì ( cách làm tương đương với cách sử dụng tiêu chuẩn so sánh II , ta chọn hàm dựa vào các tính chất VCB, VCL- tương đương)  Bài 03.04.4.087.ĐC002 Lời giải: Đặt U n  1  n (ln n) ( ,   0) n 3 1 . Ta xét các trường hợp sau đây: n (ln n ) 1 1   Vn . Mà chuỗi  n (ln n) n phân kì    1 thì chuỗi phân kì.  0    1 ,   0 ta có:    1,   0 U n    1 n là chuôi điều hòa nên n 3 1 ta đem so sánh với tích phân suy rộng n(ln n)    3 1 dx  x(ln x)    3 d (ln x) (ln x)1   (ln x)  1    3  Sự hội tụ, phân kì phụ thuộc vào hằng số  .  Tích phân hội tụ khi 1    0    1  Chuỗi hội tụ.  Tích phân phân kì khi 1    0  0    1  Chuỗi phân kì. 1 1  .Mà chuỗi n (ln n)  n    ta thấy n (ln n)  n    1 ,   1  1  n hội tụ n 3 nên chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo.  n 1  n 1 n 1 3 4 Bài 03.04.2.047.ĐC001  Lời giải: Xét U n  n 1  n 1 n 1 Xét hàm Vn  n Un  lim n  V n  n n 4 lim Mặt khác  n 1 n  n 1  n 1 1 1 n cũng hội tụ theo. 2  2 n  3 4 3 4  n 1  n 1  với n  1 . Từ đó ta xét giới hạn sau: 5 4 3 n 5 4 5  2 1 2  lim 2n .n VCL n  1 4 n 5 3 4 1 0 4 là chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II, chuỗi ban đầu  Bài 03.04.2.048.ĐC001  n2 1  1 n  ln   n  n 1  1  1 n  1  2  ln  ln 1    n  n 1  n  n 1  Lời giải:Xét U n  Xét hàm Vn  2 .Ta tìm giới hạn sau: n n 1  2  1 2 ln 1  .  U n 1  n 1 lim n  lim n   lim n  lim n  V n  VCB n  VCL n  2 2 n n n n n  Mà chuỗi n n2 2 n n 1 0 . 2 n n 1 là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên theo tiêu chuẩn n so sánh II, chuỗi ban đầu cũng hội tụ.  Bài 03.04.2.049.ĐC001 Lời giải: Xét U n  1  ln n n2 1 1 1 . n  2 thì n  ln n . Do đó hiển nhiên:  n ln n ln n  1 Mà chuỗi  là chuỗi điều hòa nên nó phân kì.Do đó theo tiêu chuẩn so sánh I n2 n thì chuỗi ban đầu cũng phân kì.  Bài 03.04.2.050.ĐC001 Lời giải: Xét U n  ln n n n2  ln n . n  2 thì n  n ln n ln n   (1) .Ta xét chuỗi n n  phân sau đây: A   2 n .Do đó hiển nhiên: 1 1  n n  ln n . Dựa vào tiêu chuẩn tích phân, ta xét tích n2 n  b  ln 2 x  b  ln 2 b ln 2 2  ln x dx  lim  ln xd(lnx)  lim      lim     . b  b  b  x 2   2 2  2 2 Do đó, tích phân trên phân kì thì chuỗi ứng với tích phân đó cũng phân kì. Theo tính chất bắc cầu và dựa vào tiêu chuẩn so sánh I cho ý (1)  Chuỗi ban đầu là chuỗi phân kì.  n2  n  1  tan 2 Bài 03.04.2.051.ĐC001  ln  2 n n2  n n   1  n2  n  1 V  tan .Chọn hàm  n 2 .Xét giới hạn: 2 2  n n  n n   Lời giải: Đặt U n  ln   n2  n  1 1  n n  ln  2 ln 1  2  tan 2  n n  n n2  n n  Un n2  n n  lim  lim  lim  lim 2 0 n  V n  VCB n  VCB n  1 1 n  n n n3 n3 Như vậy, n  no để Vn  U n .Mà  V n2 n là chuỗi hội tụ  Chuỗi ban đầu cũng hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II. (3n  1)! n 2 8n n 1  Bài 03.04.2.052.ĐC001 Lời giải: Đặt U n   (3n  1)! .Xét giới hạn sau: n 2 8n U n1 (3n  4)!n2 8n (3n  1)!(3n  2)(3n  3)(3n  4) 27n3 lim  lim  lim   1n  1 n  U n  ( n  1) 2 8n 1 (3n  1)! VCL n  (3 n  1)!.8 8 n Chuỗi này phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert.  Bài 03.04.2.053.ĐC001 1   n  ln n 1 1 n   n  1 1  1 n  1  n  V    ln Lời giải: Xét U n   ln  . Xét hàm n    n2 n  n  n  1 n 